Theorem dihglblem6 40943

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem6.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem6.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem6.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem6.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.s	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
dihglblem6.d	⊢ 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dihglblem6

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem6.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem6.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4		dihglblem6.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		dihglblem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)} = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)}
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8		dihglblem6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dihglblem4 40900	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
10		fal 1547	. . . . 5 ⊢ ¬ ⊥
11		dihglblem6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
12		dihglblem6.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)
13		dihglblem6.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	5, 13, 14	dvhlmod 40713	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝑈 ∈ LMod)
16		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
17		hlclat 38960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝐾 ∈ CLat)
19		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
20	1, 4	clatglbcl 18500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
22	1, 5, 8, 13, 11	dihlss 40853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∈ 𝑃)
23	14, 21, 22	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∈ 𝑃)
24	1, 4, 5, 13, 8, 11	dihglblem5 40901	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑃)
25	24	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑃)
26		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
27	11, 12, 15, 23, 25, 26	lpssat 38615	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → ∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
29		simp1l 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	5, 13, 8, 12	dih1dimat 40933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
31	30	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
32	31	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
33	5, 8	dihcnvid2 40876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
34	29, 32, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
35		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
36		ssiin 5059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥))
37	35, 36	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥))
38		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40	1, 5, 8, 13, 11	dihf11 40870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑃)
41		f1f1orn 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑃 → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
43		f1ocnvdm 7294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
44	42, 31, 43	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
45	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
46		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
47	46	sselda 3976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48	1, 2, 5, 8	dihord 40867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
49	38, 45, 47, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
50	39, 31, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
51	50	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
52	51	sseq1d 4008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
53	49, 52	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
54	53	ralbidva 3165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
55	54	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
56	37, 55	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥)
57		simp1ll 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝐾 ∈ HL)
58	57, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝐾 ∈ CLat)
59	44	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
60		simp1rl 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
61	1, 2, 4	clatleglb 18513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ((◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
63	56, 62	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆))
64	58, 60, 20	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
65	1, 2, 5, 8	dihord 40867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆)))
66	29, 59, 64, 65	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆)))
67	63, 66	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
68	34, 67	eqsstrrd 4016	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
69		simp3r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
70	68, 69	pm2.21fal 1555	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ⊥)
71	70	rexlimdv3a 3148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) → ⊥))
72	28, 71	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ⊥))
73	10, 72	mtoi 198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
74		dfpss3 4082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
75	74	notbii 319	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
76		iman 400	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
77		anclb 544	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
78	75, 76, 77	3bitr2i 298	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
79	73, 78	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
80	9, 79	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
81		eqss 3992	. 2 ⊢ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
82	80, 81	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊥wfal 1545   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945  ∅c0 4322  ∩ ciin 4998   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5677  ran crn 5679  –1-1→wf1 6546  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  glbcglb 18305  meetcmee 18307  CLatccla 18493  LSubSpclss 20827  LSAtomsclsa 38576  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  DIsoBcdib 40741  DIsoHcdih 40831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38578  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-disoa 40632  df-dvech 40682  df-dib 40742  df-dic 40776  df-dih 40832

This theorem is referenced by:  dihglb  40944