dihglblem6 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem dihglblem6 40199

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dihglblem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem6.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem6.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem6.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem6.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.s	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
dihglblem6.d	⊢ 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)

**Assertion**
Ref	Expression
dihglblem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥, ∧ 𝑥, ≤ 𝑥,𝐵 𝑥,𝐷 𝑥,𝐺 𝑥,𝐻 𝑥,𝐼 𝑥,𝐾 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝑥,𝑊 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥) 𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dihglblem6 Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem6.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem6.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4		dihglblem6.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		dihglblem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)} = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)}
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8		dihglblem6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dihglblem4 40156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
10		fal 1555	. . . . 5 ⊢ ¬ ⊥
11		dihglblem6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
12		dihglblem6.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)
13		dihglblem6.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	5, 13, 14	dvhlmod 39969	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝑈 ∈ LMod)
16		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
17		hlclat 38216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝐾 ∈ CLat)
19		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
20	1, 4	clatglbcl 18454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
22	1, 5, 8, 13, 11	dihlss 40109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∈ 𝑃)
23	14, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∈ 𝑃)
24	1, 4, 5, 13, 8, 11	dihglblem5 40157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑃)
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑃)
26		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
27	11, 12, 15, 23, 25, 26	lpssat 37871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → ∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
29		simp1l 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	5, 13, 8, 12	dih1dimat 40189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
31	30	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
33	5, 8	dihcnvid2 40132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
34	29, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
35		simp3l 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
36		ssiin 5057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥))
37	35, 36	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥))
38		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40	1, 5, 8, 13, 11	dihf11 40126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑃)
41		f1f1orn 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑃 → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
43		f1ocnvdm 7279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
44	42, 31, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
46		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
47	46	sselda 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48	1, 2, 5, 8	dihord 40123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
49	38, 45, 47, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
50	39, 31, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
52	51	sseq1d 4012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
53	49, 52	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
54	53	ralbidva 3175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
55	54	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
56	37, 55	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥)
57		simp1ll 1236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝐾 ∈ HL)
58	57, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝐾 ∈ CLat)
59	44	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
60		simp1rl 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
61	1, 2, 4	clatleglb 18467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((^◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ((^◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (^◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
63	56, 62	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (^◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆))
64	58, 60, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
65	1, 2, 5, 8	dihord 40123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (^◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (^◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆)))
66	29, 59, 64, 65	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ((𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (^◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆)))
67	63, 66	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐼‘(^◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
68	34, 67	eqsstrrd 4020	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
69		simp3r 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
70	68, 69	pm2.21fal 1563	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ⊥)
71	70	rexlimdv3a 3159	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) → ⊥))
72	28, 71	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ⊥))
73	10, 72	mtoi 198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
74		dfpss3 4085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
75	74	notbii 319	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
76		iman 402	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
77		anclb 546	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
78	75, 76, 77	3bitr2i 298	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
79	73, 78	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
80	9, 79	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
81		eqss 3996	. 2 ⊢ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
82	80, 81	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ⊥wfal 1553 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 {crab 3432 ⊆ wss 3947 ⊊ wpss 3948 ∅c0 4321 ∩ ciin 4997 class class class wbr 5147 ^◡ccnv 5674 ran crn 5676 –1-1→wf1 6537 –1-1-onto→wf1o 6539 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 Basecbs 17140 lecple 17200 glbcglb 18259 meetcmee 18261 CLatccla 18447 LSubSpclss 20534 LSAtomsclsa 37832 Atomscatm 38121 HLchlt 38208 LHypclh 38843 DVecHcdvh 39937 DIsoBcdib 39997 DIsoHcdih 40087

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-tpos 8207 df-undef 8254 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-fz 13481 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-0g 17383 df-proset 18244 df-poset 18262 df-plt 18279 df-lub 18295 df-glb 18296 df-join 18297 df-meet 18298 df-p0 18374 df-p1 18375 df-lat 18381 df-clat 18448 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-grp 18818 df-minusg 18819 df-sbg 18820 df-subg 18997 df-cntz 19175 df-lsm 19498 df-cmn 19644 df-abl 19645 df-mgp 19982 df-ur 19999 df-ring 20051 df-oppr 20142 df-dvdsr 20163 df-unit 20164 df-invr 20194 df-dvr 20207 df-drng 20309 df-lmod 20465 df-lss 20535 df-lsp 20575 df-lvec 20706 df-lsatoms 37834 df-oposet 38034 df-ol 38036 df-oml 38037 df-covers 38124 df-ats 38125 df-atl 38156 df-cvlat 38180 df-hlat 38209 df-llines 38357 df-lplanes 38358 df-lvols 38359 df-lines 38360 df-psubsp 38362 df-pmap 38363 df-padd 38655 df-lhyp 38847 df-laut 38848 df-ldil 38963 df-ltrn 38964 df-trl 39018 df-tendo 39614 df-edring 39616 df-disoa 39888 df-dvech 39938 df-dib 39998 df-dic 40032 df-dih 40088

This theorem is referenced by: dihglb 40200

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