Theorem dihglblem6 41449

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem6.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem6.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem6.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem6.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.s	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
dihglblem6.d	⊢ 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dihglblem6

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem6.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem6.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4		dihglblem6.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		dihglblem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)} = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)}
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8		dihglblem6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dihglblem4 41406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
10		fal 1555	. . . . 5 ⊢ ¬ ⊥
11		dihglblem6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
12		dihglblem6.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)
13		dihglblem6.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	5, 13, 14	dvhlmod 41219	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝑈 ∈ LMod)
16		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
17		hlclat 39467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝐾 ∈ CLat)
19		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
20	1, 4	clatglbcl 18411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
22	1, 5, 8, 13, 11	dihlss 41359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∈ 𝑃)
23	14, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∈ 𝑃)
24	1, 4, 5, 13, 8, 11	dihglblem5 41407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑃)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑃)
26		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
27	11, 12, 15, 23, 25, 26	lpssat 39122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) → ∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
29		simp1l 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	5, 13, 8, 12	dih1dimat 41439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
31	30	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
33	5, 8	dihcnvid2 41382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
34	29, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
35		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
36		ssiin 5002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥))
37	35, 36	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥))
38		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40	1, 5, 8, 13, 11	dihf11 41376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→𝑃)
41		f1f1orn 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→𝑃 → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
43		f1ocnvdm 7219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
44	42, 31, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
46		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
47	46	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
48	1, 2, 5, 8	dihord 41373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
49	38, 45, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
50	39, 31, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) = 𝑝)
52	51	sseq1d 3961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
53	49, 52	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
54	53	ralbidva 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
55	54	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼‘𝑥)))
56	37, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥)
57		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝐾 ∈ HL)
58	57, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝐾 ∈ CLat)
59	44	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵)
60		simp1rl 1239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
61	1, 2, 4	clatleglb 18424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ((◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (◡𝐼‘𝑝) ≤ 𝑥))
63	56, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆))
64	58, 60, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
65	1, 2, 5, 8	dihord 41373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆)))
66	29, 59, 64, 65	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ (◡𝐼‘𝑝) ≤ (𝐺‘𝑆)))
67	63, 66	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
68	34, 67	eqsstrrd 3965	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
69		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
70	68, 69	pm2.21fal 1563	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))) → ⊥)
71	70	rexlimdv3a 3137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ 𝐷 (𝑝 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) → ⊥))
72	28, 71	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ⊥))
73	10, 72	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
74		dfpss3 4036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
75	74	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
76		iman 401	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ¬ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
77		anclb 545	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
78	75, 76, 77	3bitr2i 299	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊊ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
79	73, 78	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))))
80	9, 79	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
81		eqss 3945	. 2 ⊢ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∧ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺‘𝑆))))
82	80, 81	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊥wfal 1553   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898  ∅c0 4280  ∩ ciin 4940   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  ran crn 5615  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  glbcglb 18216  meetcmee 18218  CLatccla 18404  LSubSpclss 20864  LSAtomsclsa 39083  Atomscatm 39372  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  DIsoBcdib 41247  DIsoHcdih 41337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39085  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338

This theorem is referenced by:  dihglb  41450