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Theorem dihglblem6 39832
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem6.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem6.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem6.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem6.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihglblem6.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem6.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem6.s 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihglblem6.d 𝐷 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dihglblem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯, ∧   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)

Proof of Theorem dihglblem6
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem6.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihglblem6.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 eqid 2737 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
4 dihglblem6.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
5 dihglblem6.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 eqid 2737 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣(meetβ€˜πΎ)π‘Š)} = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣(meetβ€˜πΎ)π‘Š)}
7 eqid 2737 . . . 4 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dihglblem6.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dihglblem4 39789 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
10 fal 1556 . . . . 5 Β¬ βŠ₯
11 dihglblem6.s . . . . . . . 8 𝑃 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
12 dihglblem6.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
13 dihglblem6.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
155, 13, 14dvhlmod 39602 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
16 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlclat 37849 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
19 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
201, 4clatglbcl 18401 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
2118, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
221, 5, 8, 13, 11dihlss 39742 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∈ 𝑃)
2314, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∈ 𝑃)
241, 4, 5, 13, 8, 11dihglblem5 39790 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑃)
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑃)
26 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
2711, 12, 15, 23, 25, 26lpssat 37504 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))))
2827ex 414 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))))
29 simp1l 1198 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
305, 13, 8, 12dih1dimat 39822 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ 𝑝 ∈ ran 𝐼)
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ 𝑝 ∈ ran 𝐼)
32313adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ 𝑝 ∈ ran 𝐼)
335, 8dihcnvid2 39765 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) = 𝑝)
3429, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) = 𝑝)
35 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ 𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
36 ssiin 5020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯))
3735, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯))
38 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
39 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
401, 5, 8, 13, 11dihf11 39759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:𝐡–1-1→𝑃)
41 f1f1orn 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼:𝐡–1-1→𝑃 β†’ 𝐼:𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼:𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
43 f1ocnvdm 7236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼:𝐡–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
4442, 31, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
46 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
4746sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
481, 2, 5, 8dihord 39756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯))
4938, 45, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯))
5039, 31, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) = 𝑝)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) = 𝑝)
5251sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)))
5349, 52bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯ ↔ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)))
5453ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)))
55543adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)))
5637, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯)
57 simp1ll 1237 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5857, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
59443adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
60 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
611, 2, 4clatleglb 18414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ π‘₯))
6356, 62mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ (πΊβ€˜π‘†))
6458, 60, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
651, 2, 5, 8dihord 39756 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ (πΊβ€˜π‘†)))
6629, 59, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘) ≀ (πΊβ€˜π‘†)))
6763, 66mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘)) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
6834, 67eqsstrrd 3988 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
69 simp3r 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
7068, 69pm2.21fal 1564 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐷 ∧ (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))) β†’ βŠ₯)
7170rexlimdv3a 3157 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑝 βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ 𝑝 βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))) β†’ βŠ₯))
7228, 71syld 47 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ βŠ₯))
7310, 72mtoi 198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Β¬ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
74 dfpss3 4051 . . . . . 6 ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))))
7574notbii 320 . . . . 5 (Β¬ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))))
76 iman 403 . . . . 5 (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))) ↔ Β¬ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ Β¬ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))))
77 anclb 547 . . . . 5 (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))) ↔ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))))
7875, 76, 773bitr2i 299 . . . 4 (Β¬ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ⊊ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))))
7973, 78sylib 217 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))))
809, 79mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))))
81 eqss 3964 . 2 ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ∧ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†))))
8280, 81sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ₯wfal 1554   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  βˆ…c0 4287  βˆ© ciin 4960   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  glbcglb 18206  meetcmee 18208  CLatccla 18394  LSubSpclss 20408  LSAtomsclsa 37465  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  DIsoBcdib 39630  DIsoHcdih 39720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-disoa 39521  df-dvech 39571  df-dib 39631  df-dic 39665  df-dih 39721
This theorem is referenced by:  dihglb  39833
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