Theorem cnm2m1cnm3 12501

Description: Subtracting 2 and afterwards 1 from a number results in the difference between the number and 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnm2m1cnm3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) − 1) = (𝐴 − 3))

Proof of Theorem cnm2m1cnm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cnd 12325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3		1cnd 11237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subsub4d 11632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) − 1) = (𝐴 − (2 + 1)))
5		2p1e3 12389	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
7	6	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 + 1)) = (𝐴 − 3))
8	4, 7	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) − 1) = (𝐴 − 3))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7412  ℂcc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   − cmin 11473  2c2 12302  3c3 12303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-ltxr 11281  df-sub 11475  df-2 12310  df-3 12311

This theorem is referenced by: (None)