Theorem cnm2m1cnm3 12495

Description: Subtracting 2 and afterwards 1 from a number results in the difference between the number and 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnm2m1cnm3	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) − 1) = (𝐴 − 3))

Proof of Theorem cnm2m1cnm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cnd 12320	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3		1cnd 11239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subsub4d 11632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) − 1) = (𝐴 − (2 + 1)))
5		2p1e3 12384	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
7	6	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (2 + 1)) = (𝐴 − 3))
8	4, 7	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) − 1) = (𝐴 − 3))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   − cmin 11474  2c2 12297  3c3 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-2 12305  df-3 12306

This theorem is referenced by: (None)