Theorem xp1d2m1eqxm1d2 12407

Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xp1d2m1eqxm1d2	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cn 11317	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12398	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 11459	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
5		peano2cnm 11459	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 1) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12398	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) / 2) ∈ ℂ)
7		2cnd 12235	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12261	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
10		1cnd 11139	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
11	2, 10, 7	subdird 11606	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)))
12	1, 7, 9	divcan1d 11930	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) · 2) = (𝑋 + 1))
13	7	mullidd 11162	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
14	12, 13	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)) = ((𝑋 + 1) − 2))
15	5, 7, 9	divcan1d 11930	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 − 1) / 2) · 2) = (𝑋 − 1))
16		2m1e1 12278	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
18	17	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = (𝑋 − 1))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19, 7, 10	subsub3d 11534	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = ((𝑋 + 1) − 2))
21	15, 18, 20	3eqtr2rd 2779	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) − 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
23	4, 6, 7, 9, 22	mulcan2ad 11785	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220

This theorem is referenced by:  mod2eq1n2dvds  16286  zob  16298  nno  16321  nn0ob  16323  dignn0flhalflem1  48972