Theorem xp1d2m1eqxm1d2 12386

Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xp1d2m1eqxm1d2	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cn 11296	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12377	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 11438	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
5		peano2cnm 11438	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 1) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12377	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) / 2) ∈ ℂ)
7		2cnd 12214	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12240	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
10		1cnd 11118	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
11	2, 10, 7	subdird 11585	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)))
12	1, 7, 9	divcan1d 11909	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) · 2) = (𝑋 + 1))
13	7	mullidd 11141	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
14	12, 13	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)) = ((𝑋 + 1) − 2))
15	5, 7, 9	divcan1d 11909	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 − 1) / 2) · 2) = (𝑋 − 1))
16		2m1e1 12257	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
18	17	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = (𝑋 − 1))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19, 7, 10	subsub3d 11513	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = ((𝑋 + 1) − 2))
21	15, 18, 20	3eqtr2rd 2775	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) − 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
23	4, 6, 7, 9, 22	mulcan2ad 11764	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355   / cdiv 11785  2c2 12191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199

This theorem is referenced by:  mod2eq1n2dvds  16265  zob  16277  nno  16300  nn0ob  16302  dignn0flhalflem1  48777