Theorem xp1d2m1eqxm1d2 12518

Description: A complex number increased by 1, then divided by 2, then decreased by 1 equals the complex number decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xp1d2m1eqxm1d2	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Proof of Theorem xp1d2m1eqxm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cn 11431	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12509	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 11573	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 1) / 2) ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) ∈ ℂ)
5		peano2cnm 11573	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 1) ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12509	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 1) / 2) ∈ ℂ)
7		2cnd 12342	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12368	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
10		1cnd 11254	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
11	2, 10, 7	subdird 11718	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)))
12	1, 7, 9	divcan1d 12042	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) · 2) = (𝑋 + 1))
13	7	mullidd 11277	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
14	12, 13	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) · 2) − (1 · 2)) = ((𝑋 + 1) − 2))
15	5, 7, 9	divcan1d 12042	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 − 1) / 2) · 2) = (𝑋 − 1))
16		2m1e1 12390	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
18	17	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = (𝑋 − 1))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19, 7, 10	subsub3d 11648	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (2 − 1)) = ((𝑋 + 1) − 2))
21	15, 18, 20	3eqtr2rd 2782	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + 1) − 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
22	11, 14, 21	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((((𝑋 + 1) / 2) − 1) · 2) = (((𝑋 − 1) / 2) · 2))
23	4, 6, 7, 9, 22	mulcan2ad 11897	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((𝑋 + 1) / 2) − 1) = ((𝑋 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327

This theorem is referenced by:  mod2eq1n2dvds  16381  zob  16393  nno  16416  nn0ob  16418  dignn0flhalflem1  48465