Theorem subsub4d 11514

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11015   + caddc 11020   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11535  subaddmulsub  11591  sub1m1  12384  cnm2m1cnm3  12385  nn0n0n1ge2  12460  ubmelm1fzo  13670  hashf1  14371  ccatass  14503  isercolllem1  15579  caucvgrlem  15587  fsumparts  15720  incexclem  15750  arisum2  15775  pwdif  15782  bpolydiflem  15968  bpoly4  15973  sin01bnd  16101  cos01bnd  16102  vdwlem5  16904  vdwlem8  16907  efgredleme  19663  opnreen  24767  pjthlem1  25384  dveflem  25930  dvcvx  25972  dvfsumlem1  25979  efif1olem2  26499  tanarg  26575  dcubic1  26802  dquartlem1  26808  tanatan  26876  atans2  26888  harmonicbnd4  26968  basellem5  27042  logfaclbnd  27180  bcmono  27235  lgsquadlem1  27338  mulogsumlem  27489  mulog2sumlem1  27492  vmalogdivsum  27497  selbergr  27526  selberg3r  27527  brbtwn2  28904  colinearalglem1  28905  colinearalglem2  28906  colinearalglem4  28908  ax5seglem1  28927  clwlkclwwlklem2a4  29998  clwlkclwwlklem2a  29999  clwwlkext2edg  30057  clwwlknonex2lem1  30108  clwwlknonex2lem2  30109  pjhthlem1  31392  lt2addrd  32758  cycpmco2lem6  33141  vietalem  33663  constrrtlc1  33817  ballotlemfp1  34577  signstfveq0  34662  revpfxsfxrev  35232  revwlk  35241  bcprod  35854  dnibndlem10  36603  lcmineqlem10  42204  sticksstones10  42321  sticksstones12a  42323  bcle2d  42345  suplesup  45500  fperdvper  46079  dvnxpaek  46102  itgsinexp  46115  stoweidlem26  46186  stoweidlem34  46194  stirlinglem5  46238  fourierdlem26  46293  fourierdlem107  46373  vonioolem1  46840  dignn0flhalflem1  48777  itsclc0yqsollem1  48924  2itscplem3  48942