Theorem subsub4d 11649

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156   − cmin 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11724  sub1m1  12516  cnm2m1cnm3  12517  nn0n0n1ge2  12592  ubmelm1fzo  13799  hashf1  14493  ccatass  14623  isercolllem1  15698  caucvgrlem  15706  fsumparts  15839  incexclem  15869  arisum2  15894  pwdif  15901  bpolydiflem  16087  bpoly4  16092  sin01bnd  16218  cos01bnd  16219  vdwlem5  17019  vdwlem8  17022  efgredleme  19776  opnreen  24867  pjthlem1  25485  dveflem  26032  dvcvx  26074  dvfsumlem1  26081  efif1olem2  26600  tanarg  26676  dcubic1  26903  dquartlem1  26909  tanatan  26977  atans2  26989  harmonicbnd4  27069  basellem5  27143  logfaclbnd  27281  bcmono  27336  lgsquadlem1  27439  mulogsumlem  27590  mulog2sumlem1  27593  vmalogdivsum  27598  selbergr  27627  selberg3r  27628  brbtwn2  28935  colinearalglem1  28936  colinearalglem2  28937  colinearalglem4  28939  ax5seglem1  28958  clwlkclwwlklem2a4  30026  clwlkclwwlklem2a  30027  clwwlkext2edg  30085  clwwlknonex2lem1  30136  clwwlknonex2lem2  30137  pjhthlem1  31420  lt2addrd  32762  cycpmco2lem6  33134  constrrtlc1  33738  ballotlemfp1  34473  signstfveq0  34571  revpfxsfxrev  35100  revwlk  35109  bcprod  35718  dnibndlem10  36470  lcmineqlem10  42020  sticksstones10  42137  sticksstones12a  42139  bcle2d  42161  suplesup  45289  fperdvper  45875  dvnxpaek  45898  itgsinexp  45911  stoweidlem26  45982  stoweidlem34  45990  stirlinglem5  46034  fourierdlem26  46089  fourierdlem107  46169  vonioolem1  46636  dignn0flhalflem1  48465  itsclc0yqsollem1  48612  2itscplem3  48630