Theorem subsub4d 11611

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   + caddc 11114   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454

This theorem is used by:  subsubadd23  11632  subaddmulsub  11688  sub1m1  12507  cnm2m1cnm3  12508  nn0n0n1ge2  12583  ubmelm1fzo  13804  hashf1  14507  ccatass  14639  revpfxsfxrev  14822  isercolllem1  15735  caucvgrlem  15743  fsumparts  15876  incexclem  15908  arisum2  15933  pwdif  15940  bpolydiflem  16125  bpoly4  16130  sin01bnd  16258  cos01bnd  16259  vdwlem5  17062  vdwlem8  17065  efgredleme  19836  opnreen  25018  pjthlem1  25625  dveflem  26167  dvcvx  26208  dvfsumlem1  26214  efif1olem2  26737  tanarg  26813  dcubic1  27039  dquartlem1  27045  tanatan  27113  atans2  27125  harmonicbnd4  27204  basellem5  27278  logfaclbnd  27415  bcmono  27470  lgsquadlem1  27573  mulogsumlem  27724  mulog2sumlem1  27727  vmalogdivsum  27732  selbergr  27761  selberg3r  27762  brbtwn2  29284  colinearalglem1  29285  colinearalglem2  29286  colinearalglem4  29288  ax5seglem1  29307  clwlkclwwlklem2a4  30377  clwlkclwwlklem2a  30378  clwwlkext2edg  30436  clwwlknonex2lem1  30487  clwwlknonex2lem2  30488  pjhthlem1  31772  lt2addrd  33124  cycpmco2lem6  33474  vietalem  33992  constrrtlc1  34145  ballotlemfp1  34906  signstfveq0  34988  revwlk  35630  bcprod  36243  dnibndlem10  37109  qdiff  38004  lcmineqlem10  42838  sticksstones10  42955  sticksstones12a  42957  bcle2d  42979  suplesup  46088  fperdvper  46666  dvnxpaek  46689  itgsinexp  46702  stoweidlem26  46773  stoweidlem34  46781  stirlinglem5  46825  fourierdlem26  46880  fourierdlem107  46960  vonioolem1  47427  dignn0flhalflem1  49428  itsclc0yqsollem1  49575  2itscplem3  49593