Theorem subsub4d 11293

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11184	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11368  sub1m1  12155  cnm2m1cnm3  12156  nn0n0n1ge2  12230  ubmelm1fzo  13411  hashf1  14099  ccatass  14221  isercolllem1  15304  caucvgrlem  15312  fsumparts  15446  incexclem  15476  arisum2  15501  pwdif  15508  bpolydiflem  15692  bpoly4  15697  sin01bnd  15822  cos01bnd  15823  vdwlem5  16614  vdwlem8  16617  efgredleme  19264  opnreen  23900  pjthlem1  24506  dveflem  25048  dvcvx  25089  dvfsumlem1  25095  efif1olem2  25604  tanarg  25679  dcubic1  25900  dquartlem1  25906  tanatan  25974  atans2  25986  harmonicbnd4  26065  basellem5  26139  logfaclbnd  26275  bcmono  26330  lgsquadlem1  26433  mulogsumlem  26584  mulog2sumlem1  26587  vmalogdivsum  26592  selbergr  26621  selberg3r  26622  brbtwn2  27176  colinearalglem1  27177  colinearalglem2  27178  colinearalglem4  27180  ax5seglem1  27199  clwlkclwwlklem2a4  28262  clwlkclwwlklem2a  28263  clwwlkext2edg  28321  clwwlknonex2lem1  28372  clwwlknonex2lem2  28373  pjhthlem1  29654  lt2addrd  30976  cycpmco2lem6  31300  ballotlemfp1  32358  signstfveq0  32456  revpfxsfxrev  32977  revwlk  32986  bcprod  33610  dnibndlem10  34594  lcmineqlem10  39974  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  suplesup  42768  fperdvper  43350  dvnxpaek  43373  itgsinexp  43386  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  stirlinglem5  43509  fourierdlem26  43564  fourierdlem107  43644  vonioolem1  44108  dignn0flhalflem1  45849  itsclc0yqsollem1  45996  2itscplem3  46014