Theorem subsub4d 11498

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11389	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   + caddc 11004   − cmin 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11519  subaddmulsub  11575  sub1m1  12368  cnm2m1cnm3  12369  nn0n0n1ge2  12444  ubmelm1fzo  13658  hashf1  14359  ccatass  14491  isercolllem1  15567  caucvgrlem  15575  fsumparts  15708  incexclem  15738  arisum2  15763  pwdif  15770  bpolydiflem  15956  bpoly4  15961  sin01bnd  16089  cos01bnd  16090  vdwlem5  16892  vdwlem8  16895  efgredleme  19650  opnreen  24742  pjthlem1  25359  dveflem  25905  dvcvx  25947  dvfsumlem1  25954  efif1olem2  26474  tanarg  26550  dcubic1  26777  dquartlem1  26783  tanatan  26851  atans2  26863  harmonicbnd4  26943  basellem5  27017  logfaclbnd  27155  bcmono  27210  lgsquadlem1  27313  mulogsumlem  27464  mulog2sumlem1  27467  vmalogdivsum  27472  selbergr  27501  selberg3r  27502  brbtwn2  28878  colinearalglem1  28879  colinearalglem2  28880  colinearalglem4  28882  ax5seglem1  28901  clwlkclwwlklem2a4  29969  clwlkclwwlklem2a  29970  clwwlkext2edg  30028  clwwlknonex2lem1  30079  clwwlknonex2lem2  30080  pjhthlem1  31363  lt2addrd  32726  cycpmco2lem6  33092  constrrtlc1  33737  ballotlemfp1  34497  signstfveq0  34582  revpfxsfxrev  35152  revwlk  35161  bcprod  35774  dnibndlem10  36521  lcmineqlem10  42071  sticksstones10  42188  sticksstones12a  42190  bcle2d  42212  suplesup  45378  fperdvper  45957  dvnxpaek  45980  itgsinexp  45993  stoweidlem26  46064  stoweidlem34  46072  stirlinglem5  46116  fourierdlem26  46171  fourierdlem107  46251  vonioolem1  46718  dignn0flhalflem1  48647  itsclc0yqsollem1  48794  2itscplem3  48812