MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub4d 11544
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsub4d (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub4 11435 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11619  sub1m1  12406  cnm2m1cnm3  12407  nn0n0n1ge2  12481  ubmelm1fzo  13669  hashf1  14357  ccatass  14477  isercolllem1  15550  caucvgrlem  15558  fsumparts  15692  incexclem  15722  arisum2  15747  pwdif  15754  bpolydiflem  15938  bpoly4  15943  sin01bnd  16068  cos01bnd  16069  vdwlem5  16858  vdwlem8  16861  efgredleme  19526  opnreen  24197  pjthlem1  24804  dveflem  25346  dvcvx  25387  dvfsumlem1  25393  efif1olem2  25902  tanarg  25977  dcubic1  26198  dquartlem1  26204  tanatan  26272  atans2  26284  harmonicbnd4  26363  basellem5  26437  logfaclbnd  26573  bcmono  26628  lgsquadlem1  26731  mulogsumlem  26882  mulog2sumlem1  26885  vmalogdivsum  26890  selbergr  26919  selberg3r  26920  brbtwn2  27857  colinearalglem1  27858  colinearalglem2  27859  colinearalglem4  27861  ax5seglem1  27880  clwlkclwwlklem2a4  28944  clwlkclwwlklem2a  28945  clwwlkext2edg  29003  clwwlknonex2lem1  29054  clwwlknonex2lem2  29055  pjhthlem1  30336  lt2addrd  31659  cycpmco2lem6  31983  ballotlemfp1  33094  signstfveq0  33192  revpfxsfxrev  33712  revwlk  33721  bcprod  34314  dnibndlem10  34953  lcmineqlem10  40498  sticksstones10  40566  sticksstones12a  40568  suplesup  43580  fperdvper  44167  dvnxpaek  44190  itgsinexp  44203  stoweidlem26  44274  stoweidlem34  44282  stirlinglem5  44326  fourierdlem26  44381  fourierdlem107  44461  vonioolem1  44928  dignn0flhalflem1  46708  itsclc0yqsollem1  46855  2itscplem3  46873
  Copyright terms: Public domain W3C validator