Theorem subsub4d 11624

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  subsubadd23  11645  subaddmulsub  11701  sub1m1  12520  cnm2m1cnm3  12521  nn0n0n1ge2  12596  ubmelm1fzo  13819  hashf1  14522  ccatass  14654  revpfxsfxrev  14837  isercolllem1  15752  caucvgrlem  15760  fsumparts  15893  incexclem  15925  arisum2  15950  pwdif  15957  bpolydiflem  16140  bpoly4  16145  sin01bnd  16273  cos01bnd  16274  vdwlem5  17077  vdwlem8  17080  efgredleme  19870  opnreen  25058  pjthlem1  25665  dveflem  26206  dvcvx  26247  dvfsumlem1  26253  efif1olem2  26780  tanarg  26856  dcubic1  27082  dquartlem1  27088  tanatan  27156  atans2  27168  harmonicbnd4  27247  basellem5  27321  logfaclbnd  27458  bcmono  27513  lgsquadlem1  27616  mulogsumlem  27767  mulog2sumlem1  27770  vmalogdivsum  27775  selbergr  27804  selberg3r  27805  brbtwn2  29362  colinearalglem1  29363  colinearalglem2  29364  colinearalglem4  29366  ax5seglem1  29385  revwlk  30146  clwlkclwwlklem2a4  30467  clwlkclwwlklem2a  30468  clwwlkext2edg  30526  clwwlknonex2lem1  30577  clwwlknonex2lem2  30578  pjhthlem1  31872  lt2addrd  33221  cycpmco2lem6  33571  vietalem  34089  constrrtlc1  34242  ballotlemfp1  35003  signstfveq0  35085  bcprod  36317  dnibndlem10  37184  qdiff  38079  lcmineqlem10  42904  sticksstones10  43021  sticksstones12a  43023  bcle2d  43045  suplesup  46169  fperdvper  46747  dvnxpaek  46770  itgsinexp  46783  stoweidlem26  46854  stoweidlem34  46862  stirlinglem5  46906  fourierdlem26  46961  fourierdlem107  47041  vonioolem1  47508  dignn0flhalflem1  49545  itsclc0yqsollem1  49692  2itscplem3  49710