Theorem subsub4d 11652

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11543	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   − cmin 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11727  sub1m1  12520  cnm2m1cnm3  12521  nn0n0n1ge2  12596  ubmelm1fzo  13803  hashf1  14497  ccatass  14627  isercolllem1  15702  caucvgrlem  15710  fsumparts  15843  incexclem  15873  arisum2  15898  pwdif  15905  bpolydiflem  16091  bpoly4  16096  sin01bnd  16222  cos01bnd  16223  vdwlem5  17024  vdwlem8  17027  efgredleme  19762  opnreen  24854  pjthlem1  25472  dveflem  26018  dvcvx  26060  dvfsumlem1  26067  efif1olem2  26586  tanarg  26662  dcubic1  26889  dquartlem1  26895  tanatan  26963  atans2  26975  harmonicbnd4  27055  basellem5  27129  logfaclbnd  27267  bcmono  27322  lgsquadlem1  27425  mulogsumlem  27576  mulog2sumlem1  27579  vmalogdivsum  27584  selbergr  27613  selberg3r  27614  brbtwn2  28921  colinearalglem1  28922  colinearalglem2  28923  colinearalglem4  28925  ax5seglem1  28944  clwlkclwwlklem2a4  30017  clwlkclwwlklem2a  30018  clwwlkext2edg  30076  clwwlknonex2lem1  30127  clwwlknonex2lem2  30128  pjhthlem1  31411  lt2addrd  32756  cycpmco2lem6  33152  constrrtlc1  33774  ballotlemfp1  34495  signstfveq0  34593  revpfxsfxrev  35122  revwlk  35131  bcprod  35739  dnibndlem10  36489  lcmineqlem10  42040  sticksstones10  42157  sticksstones12a  42159  bcle2d  42181  suplesup  45355  fperdvper  45939  dvnxpaek  45962  itgsinexp  45975  stoweidlem26  46046  stoweidlem34  46054  stirlinglem5  46098  fourierdlem26  46153  fourierdlem107  46233  vonioolem1  46700  dignn0flhalflem1  48541  itsclc0yqsollem1  48688  2itscplem3  48706