MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub4d 11022
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsub4d (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub4 10913 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1367 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7150  cc 10529   + caddc 10534  cmin 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866
This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11097  sub1m1  11883  cnm2m1cnm3  11884  nn0n0n1ge2  11956  ubmelm1fzo  13127  hashf1  13809  ccatass  13936  isercolllem1  15015  caucvgrlem  15023  fsumparts  15155  incexclem  15185  arisum2  15210  pwdif  15217  bpolydiflem  15402  bpoly4  15407  sin01bnd  15532  cos01bnd  15533  vdwlem5  16315  vdwlem8  16318  efgredleme  18863  opnreen  23433  pjthlem1  24034  dveflem  24570  dvcvx  24611  dvfsumlem1  24617  efif1olem2  25121  tanarg  25196  dcubic1  25417  dquartlem1  25423  tanatan  25491  atans2  25503  harmonicbnd4  25582  basellem5  25656  logfaclbnd  25792  bcmono  25847  lgsquadlem1  25950  mulogsumlem  26101  mulog2sumlem1  26104  vmalogdivsum  26109  selbergr  26138  selberg3r  26139  brbtwn2  26685  colinearalglem1  26686  colinearalglem2  26687  colinearalglem4  26689  ax5seglem1  26708  clwlkclwwlklem2a4  27769  clwlkclwwlklem2a  27770  clwwlkext2edg  27829  clwwlknonex2lem1  27880  clwwlknonex2lem2  27881  pjhthlem1  29162  lt2addrd  30469  cycpmco2lem6  30768  ballotlemfp1  31744  signstfveq0  31842  revpfxsfxrev  32357  revwlk  32366  bcprod  32965  dnibndlem10  33821  suplesup  41600  fperdvper  42196  dvnxpaek  42220  itgsinexp  42233  stoweidlem26  42305  stoweidlem34  42313  stirlinglem5  42357  fourierdlem26  42412  fourierdlem107  42492  vonioolem1  42956  dignn0flhalflem1  44669  itsclc0yqsollem1  44743  2itscplem3  44761
  Copyright terms: Public domain W3C validator