Theorem subsub4d 10765

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 10656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1439	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   + caddc 10275   − cmin 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  10838  sub1m1  11634  cnm2m1cnm3  11635  nn0n0n1ge2  11709  ubmelm1fzo  12883  hashf1  13555  ccatass  13678  isercolllem1  14803  caucvgrlem  14811  fsumparts  14942  incexclem  14972  arisum2  14997  bpolydiflem  15187  bpoly4  15192  sin01bnd  15317  cos01bnd  15318  vdwlem5  16093  vdwlem8  16096  efgredleme  18541  opnreen  23042  pjthlem1  23643  dveflem  24179  dvcvx  24220  dvfsumlem1  24226  efif1olem2  24727  tanarg  24802  dcubic1  25023  dquartlem1  25029  tanatan  25097  atans2  25109  harmonicbnd4  25189  basellem5  25263  logfaclbnd  25399  bcmono  25454  lgsquadlem1  25557  mulogsumlem  25672  mulog2sumlem1  25675  vmalogdivsum  25680  selbergr  25709  selberg3r  25710  brbtwn2  26254  colinearalglem1  26255  colinearalglem2  26256  colinearalglem4  26258  ax5seglem1  26277  clwlkclwwlklem2a4  27377  clwlkclwwlklem2a  27378  clwwlkext2edg  27453  clwwlknonex2lem1  27509  clwwlknonex2lem2  27510  pjhthlem1  28822  lt2addrd  30081  ballotlemfp1  31152  signstfveq0  31255  signstfveq0OLD  31256  bcprod  32218  dnibndlem10  33060  suplesup  40467  fperdvper  41065  dvnxpaek  41089  itgsinexp  41102  stoweidlem26  41174  stoweidlem34  41182  stirlinglem5  41226  fourierdlem26  41281  fourierdlem107  41361  vonioolem1  41825  pwdif  42526  dignn0flhalflem1  43428  itsclc0yqsollem1  43502  2itscplem3  43520