Theorem subsub4d 11028

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 10919	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   + caddc 10540   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11103  sub1m1  11890  cnm2m1cnm3  11891  nn0n0n1ge2  11963  ubmelm1fzo  13134  hashf1  13816  ccatass  13942  isercolllem1  15021  caucvgrlem  15029  fsumparts  15161  incexclem  15191  arisum2  15216  pwdif  15223  bpolydiflem  15408  bpoly4  15413  sin01bnd  15538  cos01bnd  15539  vdwlem5  16321  vdwlem8  16324  efgredleme  18869  opnreen  23439  pjthlem1  24040  dveflem  24576  dvcvx  24617  dvfsumlem1  24623  efif1olem2  25127  tanarg  25202  dcubic1  25423  dquartlem1  25429  tanatan  25497  atans2  25509  harmonicbnd4  25588  basellem5  25662  logfaclbnd  25798  bcmono  25853  lgsquadlem1  25956  mulogsumlem  26107  mulog2sumlem1  26110  vmalogdivsum  26115  selbergr  26144  selberg3r  26145  brbtwn2  26691  colinearalglem1  26692  colinearalglem2  26693  colinearalglem4  26695  ax5seglem1  26714  clwlkclwwlklem2a4  27775  clwlkclwwlklem2a  27776  clwwlkext2edg  27835  clwwlknonex2lem1  27886  clwwlknonex2lem2  27887  pjhthlem1  29168  lt2addrd  30475  cycpmco2lem6  30773  ballotlemfp1  31749  signstfveq0  31847  revpfxsfxrev  32362  revwlk  32371  bcprod  32970  dnibndlem10  33826  suplesup  41627  fperdvper  42223  dvnxpaek  42247  itgsinexp  42260  stoweidlem26  42331  stoweidlem34  42339  stirlinglem5  42383  fourierdlem26  42438  fourierdlem107  42518  vonioolem1  42982  dignn0flhalflem1  44695  itsclc0yqsollem1  44769  2itscplem3  44787