Theorem subsub4d 11564

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11585  subaddmulsub  11641  sub1m1  12434  cnm2m1cnm3  12435  nn0n0n1ge2  12510  ubmelm1fzo  13724  hashf1  14422  ccatass  14553  isercolllem1  15631  caucvgrlem  15639  fsumparts  15772  incexclem  15802  arisum2  15827  pwdif  15834  bpolydiflem  16020  bpoly4  16025  sin01bnd  16153  cos01bnd  16154  vdwlem5  16956  vdwlem8  16959  efgredleme  19673  opnreen  24720  pjthlem1  25337  dveflem  25883  dvcvx  25925  dvfsumlem1  25932  efif1olem2  26452  tanarg  26528  dcubic1  26755  dquartlem1  26761  tanatan  26829  atans2  26841  harmonicbnd4  26921  basellem5  26995  logfaclbnd  27133  bcmono  27188  lgsquadlem1  27291  mulogsumlem  27442  mulog2sumlem1  27445  vmalogdivsum  27450  selbergr  27479  selberg3r  27480  brbtwn2  28832  colinearalglem1  28833  colinearalglem2  28834  colinearalglem4  28836  ax5seglem1  28855  clwlkclwwlklem2a4  29926  clwlkclwwlklem2a  29927  clwwlkext2edg  29985  clwwlknonex2lem1  30036  clwwlknonex2lem2  30037  pjhthlem1  31320  lt2addrd  32674  cycpmco2lem6  33088  constrrtlc1  33722  ballotlemfp1  34483  signstfveq0  34568  revpfxsfxrev  35103  revwlk  35112  bcprod  35725  dnibndlem10  36475  lcmineqlem10  42026  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  bcle2d  42167  suplesup  45335  fperdvper  45917  dvnxpaek  45940  itgsinexp  45953  stoweidlem26  46024  stoweidlem34  46032  stirlinglem5  46076  fourierdlem26  46131  fourierdlem107  46211  vonioolem1  46678  dignn0flhalflem1  48601  itsclc0yqsollem1  48748  2itscplem3  48766