Theorem subsub4d 11704

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   + caddc 11207   − cmin 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547

This theorem is used by:  subsubadd23  11725  subaddmulsub  11783  sub1m1  12602  cnm2m1cnm3  12603  nn0n0n1ge2  12678  ubmelm1fzo  13902  hashf1  14606  ccatass  14738  revpfxsfxrev  14922  isercolllem1  15838  caucvgrlem  15846  fsumparts  15979  incexclem  16011  arisum2  16036  pwdif  16043  bpolydiflem  16226  bpoly4  16231  sin01bnd  16359  cos01bnd  16360  vdwlem5  17169  vdwlem8  17172  efgredleme  19963  opnreen  25157  pjthlem1  25764  dveflem  26305  dvcvx  26346  dvfsumlem1  26352  efif1olem2  26877  tanarg  26953  dcubic1  27179  dquartlem1  27185  tanatan  27253  atans2  27265  harmonicbnd4  27344  basellem5  27418  logfaclbnd  27555  bcmono  27610  lgsquadlem1  27713  mulogsumlem  27864  mulog2sumlem1  27867  vmalogdivsum  27872  selbergr  27901  selberg3r  27902  brbtwn2  29489  colinearalglem1  29490  colinearalglem2  29491  colinearalglem4  29493  ax5seglem1  29512  revwlk  30273  clwlkclwwlklem2a4  30594  clwlkclwwlklem2a  30595  clwwlkext2edg  30653  clwwlknonex2lem1  30704  clwwlknonex2lem2  30705  pjhthlem1  31999  lt2addrd  33389  cycpmco2lem6  33739  vietalem  34258  constrrtlc1  34411  ballotlemfp1  35171  signstfveq0  35253  bcprod  36596  dnibndlem10  37446  qdiff  38342  lcmineqlem10  43182  sticksstones10  43299  sticksstones12a  43301  bcle2d  43323  suplesup  46445  fperdvper  47023  dvnxpaek  47046  itgsinexp  47059  stoweidlem26  47130  stoweidlem34  47138  stirlinglem5  47182  fourierdlem26  47237  fourierdlem107  47317  vonioolem1  47784  dignn0flhalflem1  49821  itsclc0yqsollem1  49968  2itscplem3  49986