Theorem subsub4d 11596

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   + caddc 11099   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11617  subaddmulsub  11673  sub1m1  12492  cnm2m1cnm3  12493  nn0n0n1ge2  12568  ubmelm1fzo  13788  hashf1  14490  ccatass  14622  isercolllem1  15712  caucvgrlem  15720  fsumparts  15854  incexclem  15886  arisum2  15911  pwdif  15918  bpolydiflem  16104  bpoly4  16109  sin01bnd  16237  cos01bnd  16238  vdwlem5  17041  vdwlem8  17044  efgredleme  19809  opnreen  24954  pjthlem1  25561  dveflem  26103  dvcvx  26144  dvfsumlem1  26150  efif1olem2  26670  tanarg  26746  dcubic1  26972  dquartlem1  26978  tanatan  27046  atans2  27058  harmonicbnd4  27137  basellem5  27211  logfaclbnd  27348  bcmono  27403  lgsquadlem1  27506  mulogsumlem  27657  mulog2sumlem1  27660  vmalogdivsum  27665  selbergr  27694  selberg3r  27695  brbtwn2  29192  colinearalglem1  29193  colinearalglem2  29194  colinearalglem4  29196  ax5seglem1  29215  clwlkclwwlklem2a4  30285  clwlkclwwlklem2a  30286  clwwlkext2edg  30344  clwwlknonex2lem1  30395  clwwlknonex2lem2  30396  pjhthlem1  31680  lt2addrd  33032  cycpmco2lem6  33388  vietalem  33910  constrrtlc1  34063  ballotlemfp1  34823  signstfveq0  34905  revpfxsfxrev  35502  revwlk  35512  bcprod  36125  dnibndlem10  36961  qdiff  37854  lcmineqlem10  42690  sticksstones10  42807  sticksstones12a  42809  bcle2d  42831  suplesup  45940  fperdvper  46518  dvnxpaek  46541  itgsinexp  46554  stoweidlem26  46625  stoweidlem34  46633  stirlinglem5  46677  fourierdlem26  46732  fourierdlem107  46812  vonioolem1  47279  dignn0flhalflem1  49273  itsclc0yqsollem1  49420  2itscplem3  49438