Theorem subsub4d 11739

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   + caddc 11242   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582

This theorem is used by:  subsubadd23  11760  subaddmulsub  11819  sub1m1  12638  cnm2m1cnm3  12639  nn0n0n1ge2  12714  ubmelm1fzo  13938  hashf1  14643  ccatass  14775  revpfxsfxrev  14959  isercolllem1  15876  caucvgrlem  15884  fsumparts  16017  incexclem  16049  arisum2  16074  pwdif  16081  bpolydiflem  16264  bpoly4  16269  sin01bnd  16397  cos01bnd  16398  vdwlem5  17207  vdwlem8  17210  efgredleme  20008  opnreen  25206  pjthlem1  25813  dveflem  26354  dvcvx  26395  dvfsumlem1  26401  efif1olem2  26928  tanarg  27004  dcubic1  27230  dquartlem1  27236  tanatan  27304  atans2  27316  harmonicbnd4  27395  basellem5  27469  logfaclbnd  27606  bcmono  27661  lgsquadlem1  27764  mulogsumlem  27915  mulog2sumlem1  27918  vmalogdivsum  27923  selbergr  27952  selberg3r  27953  brbtwn2  29540  colinearalglem1  29541  colinearalglem2  29542  colinearalglem4  29544  ax5seglem1  29563  revwlk  30324  clwlkclwwlklem2a4  30645  clwlkclwwlklem2a  30646  clwwlkext2edg  30704  clwwlknonex2lem1  30755  clwwlknonex2lem2  30756  pjhthlem1  32050  lt2addrd  33438  cycpmco2lem6  33791  vietalem  34322  constrrtlc1  34475  ballotlemfp1  35235  signstfveq0  35317  bcprod  36718  dnibndlem10  37568  qdiff  38516  lcmineqlem10  43354  sticksstones10  43471  sticksstones12a  43473  bcle2d  43495  suplesup  46624  fperdvper  47202  dvnxpaek  47225  itgsinexp  47238  stoweidlem26  47309  stoweidlem34  47317  stirlinglem5  47361  fourierdlem26  47416  fourierdlem107  47496  vonioolem1  47963  dignn0flhalflem1  50058  itsclc0yqsollem1  50205  2itscplem3  50223