Theorem subsub4d 11527

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11548  subaddmulsub  11604  sub1m1  12420  cnm2m1cnm3  12421  nn0n0n1ge2  12496  ubmelm1fzo  13709  hashf1  14410  ccatass  14542  isercolllem1  15618  caucvgrlem  15626  fsumparts  15760  incexclem  15792  arisum2  15817  pwdif  15824  bpolydiflem  16010  bpoly4  16015  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  vdwlem5  16947  vdwlem8  16950  efgredleme  19709  opnreen  24815  pjthlem1  25422  dveflem  25964  dvcvx  26005  dvfsumlem1  26011  efif1olem2  26525  tanarg  26601  dcubic1  26827  dquartlem1  26833  tanatan  26901  atans2  26913  harmonicbnd4  26992  basellem5  27066  logfaclbnd  27203  bcmono  27258  lgsquadlem1  27361  mulogsumlem  27512  mulog2sumlem1  27515  vmalogdivsum  27520  selbergr  27549  selberg3r  27550  brbtwn2  28992  colinearalglem1  28993  colinearalglem2  28994  colinearalglem4  28996  ax5seglem1  29015  clwlkclwwlklem2a4  30085  clwlkclwwlklem2a  30086  clwwlkext2edg  30144  clwwlknonex2lem1  30195  clwwlknonex2lem2  30196  pjhthlem1  31480  lt2addrd  32842  cycpmco2lem6  33212  vietalem  33763  constrrtlc1  33916  ballotlemfp1  34676  signstfveq0  34761  revpfxsfxrev  35344  revwlk  35353  bcprod  35966  dnibndlem10  36793  qdiff  37687  lcmineqlem10  42523  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  bcle2d  42664  suplesup  45784  fperdvper  46362  dvnxpaek  46385  itgsinexp  46398  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  stirlinglem5  46521  fourierdlem26  46576  fourierdlem107  46656  vonioolem1  47123  dignn0flhalflem1  49106  itsclc0yqsollem1  49253  2itscplem3  49271