Theorem subsub4d 11693

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536

This theorem is used by:  subsubadd23  11714  subaddmulsub  11772  sub1m1  12591  cnm2m1cnm3  12592  nn0n0n1ge2  12667  ubmelm1fzo  13891  hashf1  14595  ccatass  14727  revpfxsfxrev  14910  isercolllem1  15825  caucvgrlem  15833  fsumparts  15966  incexclem  15998  arisum2  16023  pwdif  16030  bpolydiflem  16213  bpoly4  16218  sin01bnd  16346  cos01bnd  16347  vdwlem5  17156  vdwlem8  17159  efgredleme  19950  opnreen  25144  pjthlem1  25751  dveflem  26292  dvcvx  26333  dvfsumlem1  26339  efif1olem2  26864  tanarg  26940  dcubic1  27166  dquartlem1  27172  tanatan  27240  atans2  27252  harmonicbnd4  27331  basellem5  27405  logfaclbnd  27542  bcmono  27597  lgsquadlem1  27700  mulogsumlem  27851  mulog2sumlem1  27854  vmalogdivsum  27859  selbergr  27888  selberg3r  27889  brbtwn2  29476  colinearalglem1  29477  colinearalglem2  29478  colinearalglem4  29480  ax5seglem1  29499  revwlk  30260  clwlkclwwlklem2a4  30581  clwlkclwwlklem2a  30582  clwwlkext2edg  30640  clwwlknonex2lem1  30691  clwwlknonex2lem2  30692  pjhthlem1  31986  lt2addrd  33335  cycpmco2lem6  33685  vietalem  34204  constrrtlc1  34357  ballotlemfp1  35117  signstfveq0  35199  bcprod  36482  dnibndlem10  37333  qdiff  38228  lcmineqlem10  43068  sticksstones10  43185  sticksstones12a  43187  bcle2d  43209  suplesup  46320  fperdvper  46898  dvnxpaek  46921  itgsinexp  46934  stoweidlem26  47005  stoweidlem34  47013  stirlinglem5  47057  fourierdlem26  47112  fourierdlem107  47192  vonioolem1  47659  dignn0flhalflem1  49696  itsclc0yqsollem1  49843  2itscplem3  49861