Theorem subsub4d 11531

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11422	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  ℂcc 11031   + caddc 11036   − cmin 11372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11552  subaddmulsub  11608  sub1m1  12424  cnm2m1cnm3  12425  nn0n0n1ge2  12500  ubmelm1fzo  13713  hashf1  14414  ccatass  14546  isercolllem1  15622  caucvgrlem  15630  fsumparts  15764  incexclem  15796  arisum2  15821  pwdif  15828  bpolydiflem  16014  bpoly4  16019  sin01bnd  16147  cos01bnd  16148  vdwlem5  16951  vdwlem8  16954  efgredleme  19713  opnreen  24819  pjthlem1  25426  dveflem  25968  dvcvx  26009  dvfsumlem1  26015  efif1olem2  26529  tanarg  26605  dcubic1  26831  dquartlem1  26837  tanatan  26905  atans2  26917  harmonicbnd4  26996  basellem5  27070  logfaclbnd  27207  bcmono  27262  lgsquadlem1  27365  mulogsumlem  27516  mulog2sumlem1  27519  vmalogdivsum  27524  selbergr  27553  selberg3r  27554  brbtwn2  28996  colinearalglem1  28997  colinearalglem2  28998  colinearalglem4  29000  ax5seglem1  29019  clwlkclwwlklem2a4  30089  clwlkclwwlklem2a  30090  clwwlkext2edg  30148  clwwlknonex2lem1  30199  clwwlknonex2lem2  30200  pjhthlem1  31484  lt2addrd  32846  cycpmco2lem6  33216  vietalem  33775  constrrtlc1  33928  ballotlemfp1  34688  signstfveq0  34773  revpfxsfxrev  35359  revwlk  35368  bcprod  35981  dnibndlem10  36808  qdiff  37702  lcmineqlem10  42538  sticksstones10  42655  sticksstones12a  42657  bcle2d  42679  suplesup  45798  fperdvper  46376  dvnxpaek  46399  itgsinexp  46412  stoweidlem26  46483  stoweidlem34  46491  stirlinglem5  46535  fourierdlem26  46590  fourierdlem107  46670  vonioolem1  47137  dignn0flhalflem1  49120  itsclc0yqsollem1  49267  2itscplem3  49285