Theorem subsub4d 11363

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11438  sub1m1  12225  cnm2m1cnm3  12226  nn0n0n1ge2  12300  ubmelm1fzo  13483  hashf1  14171  ccatass  14293  isercolllem1  15376  caucvgrlem  15384  fsumparts  15518  incexclem  15548  arisum2  15573  pwdif  15580  bpolydiflem  15764  bpoly4  15769  sin01bnd  15894  cos01bnd  15895  vdwlem5  16686  vdwlem8  16689  efgredleme  19349  opnreen  23994  pjthlem1  24601  dveflem  25143  dvcvx  25184  dvfsumlem1  25190  efif1olem2  25699  tanarg  25774  dcubic1  25995  dquartlem1  26001  tanatan  26069  atans2  26081  harmonicbnd4  26160  basellem5  26234  logfaclbnd  26370  bcmono  26425  lgsquadlem1  26528  mulogsumlem  26679  mulog2sumlem1  26682  vmalogdivsum  26687  selbergr  26716  selberg3r  26717  brbtwn2  27273  colinearalglem1  27274  colinearalglem2  27275  colinearalglem4  27277  ax5seglem1  27296  clwlkclwwlklem2a4  28361  clwlkclwwlklem2a  28362  clwwlkext2edg  28420  clwwlknonex2lem1  28471  clwwlknonex2lem2  28472  pjhthlem1  29753  lt2addrd  31074  cycpmco2lem6  31398  ballotlemfp1  32458  signstfveq0  32556  revpfxsfxrev  33077  revwlk  33086  bcprod  33704  dnibndlem10  34667  lcmineqlem10  40046  sticksstones10  40111  sticksstones12a  40113  suplesup  42878  fperdvper  43460  dvnxpaek  43483  itgsinexp  43496  stoweidlem26  43567  stoweidlem34  43575  stirlinglem5  43619  fourierdlem26  43674  fourierdlem107  43754  vonioolem1  44218  dignn0flhalflem1  45961  itsclc0yqsollem1  46108  2itscplem3  46126