Theorem subsub4d 11535

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11556  subaddmulsub  11612  sub1m1  12405  cnm2m1cnm3  12406  nn0n0n1ge2  12481  ubmelm1fzo  13691  hashf1  14392  ccatass  14524  isercolllem1  15600  caucvgrlem  15608  fsumparts  15741  incexclem  15771  arisum2  15796  pwdif  15803  bpolydiflem  15989  bpoly4  15994  sin01bnd  16122  cos01bnd  16123  vdwlem5  16925  vdwlem8  16928  efgredleme  19684  opnreen  24788  pjthlem1  25405  dveflem  25951  dvcvx  25993  dvfsumlem1  26000  efif1olem2  26520  tanarg  26596  dcubic1  26823  dquartlem1  26829  tanatan  26897  atans2  26909  harmonicbnd4  26989  basellem5  27063  logfaclbnd  27201  bcmono  27256  lgsquadlem1  27359  mulogsumlem  27510  mulog2sumlem1  27513  vmalogdivsum  27518  selbergr  27547  selberg3r  27548  brbtwn2  28990  colinearalglem1  28991  colinearalglem2  28992  colinearalglem4  28994  ax5seglem1  29013  clwlkclwwlklem2a4  30084  clwlkclwwlklem2a  30085  clwwlkext2edg  30143  clwwlknonex2lem1  30194  clwwlknonex2lem2  30195  pjhthlem1  31478  lt2addrd  32840  cycpmco2lem6  33224  vietalem  33755  constrrtlc1  33909  ballotlemfp1  34669  signstfveq0  34754  revpfxsfxrev  35329  revwlk  35338  bcprod  35951  dnibndlem10  36706  lcmineqlem10  42405  sticksstones10  42522  sticksstones12a  42524  bcle2d  42546  suplesup  45695  fperdvper  46274  dvnxpaek  46297  itgsinexp  46310  stoweidlem26  46381  stoweidlem34  46389  stirlinglem5  46433  fourierdlem26  46488  fourierdlem107  46568  vonioolem1  47035  dignn0flhalflem1  48972  itsclc0yqsollem1  49119  2itscplem3  49137