Theorem subsub4d 11678

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11569	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11753  sub1m1  12545  cnm2m1cnm3  12546  nn0n0n1ge2  12620  ubmelm1fzo  13813  hashf1  14506  ccatass  14636  isercolllem1  15713  caucvgrlem  15721  fsumparts  15854  incexclem  15884  arisum2  15909  pwdif  15916  bpolydiflem  16102  bpoly4  16107  sin01bnd  16233  cos01bnd  16234  vdwlem5  17032  vdwlem8  17035  efgredleme  19785  opnreen  24872  pjthlem1  25490  dveflem  26037  dvcvx  26079  dvfsumlem1  26086  efif1olem2  26603  tanarg  26679  dcubic1  26906  dquartlem1  26912  tanatan  26980  atans2  26992  harmonicbnd4  27072  basellem5  27146  logfaclbnd  27284  bcmono  27339  lgsquadlem1  27442  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem1  27596  vmalogdivsum  27601  selbergr  27630  selberg3r  27631  brbtwn2  28938  colinearalglem1  28939  colinearalglem2  28940  colinearalglem4  28942  ax5seglem1  28961  clwlkclwwlklem2a4  30029  clwlkclwwlklem2a  30030  clwwlkext2edg  30088  clwwlknonex2lem1  30139  clwwlknonex2lem2  30140  pjhthlem1  31423  lt2addrd  32758  cycpmco2lem6  33124  constrrtlc1  33723  ballotlemfp1  34456  signstfveq0  34554  revpfxsfxrev  35083  revwlk  35092  bcprod  35700  dnibndlem10  36453  lcmineqlem10  41995  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  bcle2d  42136  suplesup  45254  fperdvper  45840  dvnxpaek  45863  itgsinexp  45876  stoweidlem26  45947  stoweidlem34  45955  stirlinglem5  45999  fourierdlem26  46054  fourierdlem107  46134  vonioolem1  46601  dignn0flhalflem1  48349  itsclc0yqsollem1  48496  2itscplem3  48514