Theorem subsub4d 11527

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11548  subaddmulsub  11604  sub1m1  12420  cnm2m1cnm3  12421  nn0n0n1ge2  12496  ubmelm1fzo  13709  hashf1  14410  ccatass  14542  isercolllem1  15618  caucvgrlem  15626  fsumparts  15760  incexclem  15792  arisum2  15817  pwdif  15824  bpolydiflem  16010  bpoly4  16015  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  vdwlem5  16947  vdwlem8  16950  efgredleme  19709  opnreen  24807  pjthlem1  25414  dveflem  25956  dvcvx  25997  dvfsumlem1  26003  efif1olem2  26520  tanarg  26596  dcubic1  26822  dquartlem1  26828  tanatan  26896  atans2  26908  harmonicbnd4  26988  basellem5  27062  logfaclbnd  27199  bcmono  27254  lgsquadlem1  27357  mulogsumlem  27508  mulog2sumlem1  27511  vmalogdivsum  27516  selbergr  27545  selberg3r  27546  brbtwn2  28988  colinearalglem1  28989  colinearalglem2  28990  colinearalglem4  28992  ax5seglem1  29011  clwlkclwwlklem2a4  30082  clwlkclwwlklem2a  30083  clwwlkext2edg  30141  clwwlknonex2lem1  30192  clwwlknonex2lem2  30193  pjhthlem1  31477  lt2addrd  32838  cycpmco2lem6  33207  vietalem  33738  constrrtlc1  33892  ballotlemfp1  34652  signstfveq0  34737  revpfxsfxrev  35314  revwlk  35323  bcprod  35936  dnibndlem10  36763  lcmineqlem10  42491  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  bcle2d  42632  suplesup  45787  fperdvper  46365  dvnxpaek  46388  itgsinexp  46401  stoweidlem26  46472  stoweidlem34  46480  stirlinglem5  46524  fourierdlem26  46579  fourierdlem107  46659  vonioolem1  47126  dignn0flhalflem1  49103  itsclc0yqsollem1  49250  2itscplem3  49268