Theorem subsub4d 11601

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   + caddc 11112   − cmin 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11676  sub1m1  12463  cnm2m1cnm3  12464  nn0n0n1ge2  12538  ubmelm1fzo  13727  hashf1  14417  ccatass  14537  isercolllem1  15610  caucvgrlem  15618  fsumparts  15751  incexclem  15781  arisum2  15806  pwdif  15813  bpolydiflem  15997  bpoly4  16002  sin01bnd  16127  cos01bnd  16128  vdwlem5  16917  vdwlem8  16920  efgredleme  19610  opnreen  24346  pjthlem1  24953  dveflem  25495  dvcvx  25536  dvfsumlem1  25542  efif1olem2  26051  tanarg  26126  dcubic1  26347  dquartlem1  26353  tanatan  26421  atans2  26433  harmonicbnd4  26512  basellem5  26586  logfaclbnd  26722  bcmono  26777  lgsquadlem1  26880  mulogsumlem  27031  mulog2sumlem1  27034  vmalogdivsum  27039  selbergr  27068  selberg3r  27069  brbtwn2  28160  colinearalglem1  28161  colinearalglem2  28162  colinearalglem4  28164  ax5seglem1  28183  clwlkclwwlklem2a4  29247  clwlkclwwlklem2a  29248  clwwlkext2edg  29306  clwwlknonex2lem1  29357  clwwlknonex2lem2  29358  pjhthlem1  30639  lt2addrd  31959  cycpmco2lem6  32285  ballotlemfp1  33485  signstfveq0  33583  revpfxsfxrev  34101  revwlk  34110  bcprod  34703  dnibndlem10  35358  lcmineqlem10  40898  sticksstones10  40966  sticksstones12a  40968  suplesup  44039  fperdvper  44625  dvnxpaek  44648  itgsinexp  44661  stoweidlem26  44732  stoweidlem34  44740  stirlinglem5  44784  fourierdlem26  44839  fourierdlem107  44919  vonioolem1  45386  dignn0flhalflem1  47291  itsclc0yqsollem1  47438  2itscplem3  47456