Theorem subsub4d 11630

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11705  sub1m1  12498  cnm2m1cnm3  12499  nn0n0n1ge2  12574  ubmelm1fzo  13784  hashf1  14480  ccatass  14611  isercolllem1  15686  caucvgrlem  15694  fsumparts  15827  incexclem  15857  arisum2  15882  pwdif  15889  bpolydiflem  16075  bpoly4  16080  sin01bnd  16208  cos01bnd  16209  vdwlem5  17010  vdwlem8  17013  efgredleme  19729  opnreen  24776  pjthlem1  25394  dveflem  25940  dvcvx  25982  dvfsumlem1  25989  efif1olem2  26509  tanarg  26585  dcubic1  26812  dquartlem1  26818  tanatan  26886  atans2  26898  harmonicbnd4  26978  basellem5  27052  logfaclbnd  27190  bcmono  27245  lgsquadlem1  27348  mulogsumlem  27499  mulog2sumlem1  27502  vmalogdivsum  27507  selbergr  27536  selberg3r  27537  brbtwn2  28889  colinearalglem1  28890  colinearalglem2  28891  colinearalglem4  28893  ax5seglem1  28912  clwlkclwwlklem2a4  29983  clwlkclwwlklem2a  29984  clwwlkext2edg  30042  clwwlknonex2lem1  30093  clwwlknonex2lem2  30094  pjhthlem1  31377  lt2addrd  32733  cycpmco2lem6  33147  constrrtlc1  33771  ballotlemfp1  34529  signstfveq0  34614  revpfxsfxrev  35143  revwlk  35152  bcprod  35760  dnibndlem10  36510  lcmineqlem10  42056  sticksstones10  42173  sticksstones12a  42175  bcle2d  42197  suplesup  45333  fperdvper  45915  dvnxpaek  45938  itgsinexp  45951  stoweidlem26  46022  stoweidlem34  46030  stirlinglem5  46074  fourierdlem26  46129  fourierdlem107  46209  vonioolem1  46676  dignn0flhalflem1  48562  itsclc0yqsollem1  48709  2itscplem3  48727