Theorem subsub4d 11567

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065   + caddc 11070   − cmin 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11588  subaddmulsub  11644  sub1m1  12467  cnm2m1cnm3  12468  nn0n0n1ge2  12543  ubmelm1fzo  13763  hashf1  14464  ccatass  14596  isercolllem1  15683  caucvgrlem  15691  fsumparts  15825  incexclem  15857  arisum2  15882  pwdif  15889  bpolydiflem  16075  bpoly4  16080  sin01bnd  16208  cos01bnd  16209  vdwlem5  17012  vdwlem8  17015  efgredleme  19774  opnreen  24880  pjthlem1  25487  dveflem  26029  dvcvx  26070  dvfsumlem1  26076  efif1olem2  26596  tanarg  26672  dcubic1  26898  dquartlem1  26904  tanatan  26972  atans2  26984  harmonicbnd4  27063  basellem5  27137  logfaclbnd  27274  bcmono  27329  lgsquadlem1  27432  mulogsumlem  27583  mulog2sumlem1  27586  vmalogdivsum  27591  selbergr  27620  selberg3r  27621  brbtwn2  29063  colinearalglem1  29064  colinearalglem2  29065  colinearalglem4  29067  ax5seglem1  29086  clwlkclwwlklem2a4  30156  clwlkclwwlklem2a  30157  clwwlkext2edg  30215  clwwlknonex2lem1  30266  clwwlknonex2lem2  30267  pjhthlem1  31551  lt2addrd  32913  cycpmco2lem6  33272  vietalem  33837  constrrtlc1  33990  ballotlemfp1  34750  signstfveq0  34832  revpfxsfxrev  35427  revwlk  35436  bcprod  36049  dnibndlem10  36886  qdiff  37780  lcmineqlem10  42616  sticksstones10  42733  sticksstones12a  42735  bcle2d  42757  suplesup  45876  fperdvper  46454  dvnxpaek  46477  itgsinexp  46490  stoweidlem26  46561  stoweidlem34  46569  stirlinglem5  46613  fourierdlem26  46668  fourierdlem107  46748  vonioolem1  47215  dignn0flhalflem1  49198  itsclc0yqsollem1  49345  2itscplem3  49363