Theorem subsub4d 11601

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  subsubadd23  11622  subaddmulsub  11678  sub1m1  12497  cnm2m1cnm3  12498  nn0n0n1ge2  12573  ubmelm1fzo  13794  hashf1  14496  ccatass  14628  isercolllem1  15718  caucvgrlem  15726  fsumparts  15860  incexclem  15892  arisum2  15917  pwdif  15924  bpolydiflem  16109  bpoly4  16114  sin01bnd  16242  cos01bnd  16243  vdwlem5  17046  vdwlem8  17049  efgredleme  19814  opnreen  24970  pjthlem1  25577  dveflem  26119  dvcvx  26160  dvfsumlem1  26166  efif1olem2  26689  tanarg  26765  dcubic1  26991  dquartlem1  26997  tanatan  27065  atans2  27077  harmonicbnd4  27156  basellem5  27230  logfaclbnd  27367  bcmono  27422  lgsquadlem1  27525  mulogsumlem  27676  mulog2sumlem1  27679  vmalogdivsum  27684  selbergr  27713  selberg3r  27714  brbtwn2  29236  colinearalglem1  29237  colinearalglem2  29238  colinearalglem4  29240  ax5seglem1  29259  clwlkclwwlklem2a4  30329  clwlkclwwlklem2a  30330  clwwlkext2edg  30388  clwwlknonex2lem1  30439  clwwlknonex2lem2  30440  pjhthlem1  31724  lt2addrd  33076  cycpmco2lem6  33432  vietalem  33950  constrrtlc1  34103  ballotlemfp1  34863  signstfveq0  34945  revpfxsfxrev  35588  revwlk  35598  bcprod  36211  dnibndlem10  37057  qdiff  37952  lcmineqlem10  42786  sticksstones10  42903  sticksstones12a  42905  bcle2d  42927  suplesup  46038  fperdvper  46616  dvnxpaek  46639  itgsinexp  46652  stoweidlem26  46723  stoweidlem34  46731  stirlinglem5  46775  fourierdlem26  46830  fourierdlem107  46910  vonioolem1  47377  dignn0flhalflem1  49378  itsclc0yqsollem1  49525  2itscplem3  49543