Theorem subsub4d 11017

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 10908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11092  sub1m1  11877  cnm2m1cnm3  11878  nn0n0n1ge2  11950  ubmelm1fzo  13128  hashf1  13811  ccatass  13933  isercolllem1  15013  caucvgrlem  15021  fsumparts  15153  incexclem  15183  arisum2  15208  pwdif  15215  bpolydiflem  15400  bpoly4  15405  sin01bnd  15530  cos01bnd  15531  vdwlem5  16311  vdwlem8  16314  efgredleme  18861  opnreen  23436  pjthlem1  24041  dveflem  24582  dvcvx  24623  dvfsumlem1  24629  efif1olem2  25135  tanarg  25210  dcubic1  25431  dquartlem1  25437  tanatan  25505  atans2  25517  harmonicbnd4  25596  basellem5  25670  logfaclbnd  25806  bcmono  25861  lgsquadlem1  25964  mulogsumlem  26115  mulog2sumlem1  26118  vmalogdivsum  26123  selbergr  26152  selberg3r  26153  brbtwn2  26699  colinearalglem1  26700  colinearalglem2  26701  colinearalglem4  26703  ax5seglem1  26722  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2a  27783  clwwlkext2edg  27841  clwwlknonex2lem1  27892  clwwlknonex2lem2  27893  pjhthlem1  29174  lt2addrd  30501  cycpmco2lem6  30823  ballotlemfp1  31859  signstfveq0  31957  revpfxsfxrev  32475  revwlk  32484  bcprod  33083  dnibndlem10  33939  lcmineqlem10  39326  suplesup  41971  fperdvper  42561  dvnxpaek  42584  itgsinexp  42597  stoweidlem26  42668  stoweidlem34  42676  stirlinglem5  42720  fourierdlem26  42775  fourierdlem107  42855  vonioolem1  43319  dignn0flhalflem1  45029  itsclc0yqsollem1  45176  2itscplem3  45194