Theorem subsub4d 11604

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 11495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   − cmin 11446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-sub 11448

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11679  sub1m1  12466  cnm2m1cnm3  12467  nn0n0n1ge2  12541  ubmelm1fzo  13730  hashf1  14420  ccatass  14540  isercolllem1  15613  caucvgrlem  15621  fsumparts  15754  incexclem  15784  arisum2  15809  pwdif  15816  bpolydiflem  16000  bpoly4  16005  sin01bnd  16130  cos01bnd  16131  vdwlem5  16920  vdwlem8  16923  efgredleme  19613  opnreen  24354  pjthlem1  24961  dveflem  25503  dvcvx  25544  dvfsumlem1  25550  efif1olem2  26059  tanarg  26134  dcubic1  26357  dquartlem1  26363  tanatan  26431  atans2  26443  harmonicbnd4  26522  basellem5  26596  logfaclbnd  26732  bcmono  26787  lgsquadlem1  26890  mulogsumlem  27041  mulog2sumlem1  27044  vmalogdivsum  27049  selbergr  27078  selberg3r  27079  brbtwn2  28201  colinearalglem1  28202  colinearalglem2  28203  colinearalglem4  28205  ax5seglem1  28224  clwlkclwwlklem2a4  29288  clwlkclwwlklem2a  29289  clwwlkext2edg  29347  clwwlknonex2lem1  29398  clwwlknonex2lem2  29399  pjhthlem1  30682  lt2addrd  32002  cycpmco2lem6  32331  ballotlemfp1  33559  signstfveq0  33657  revpfxsfxrev  34175  revwlk  34184  bcprod  34777  dnibndlem10  35449  lcmineqlem10  40989  sticksstones10  41057  sticksstones12a  41059  suplesup  44128  fperdvper  44714  dvnxpaek  44737  itgsinexp  44750  stoweidlem26  44821  stoweidlem34  44829  stirlinglem5  44873  fourierdlem26  44928  fourierdlem107  45008  vonioolem1  45475  dignn0flhalflem1  47379  itsclc0yqsollem1  47526  2itscplem3  47544