MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub4d 10625
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsub4d (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub4 10516 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136   + caddc 10141  cmin 10468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470
This theorem is referenced by:  sub1m1  11486  cnm2m1cnm3  11487  nn0n0n1ge2  11560  ubmelm1fzo  12772  hashf1  13443  ccatass  13570  isercolllem1  14603  caucvgrlem  14611  fsumparts  14745  incexclem  14775  arisum2  14800  bpolydiflem  14991  bpoly4  14996  sin01bnd  15121  cos01bnd  15122  vdwlem5  15896  vdwlem8  15899  efgredleme  18363  opnreen  22854  pjthlem1  23427  dveflem  23962  dvcvx  24003  dvfsumlem1  24009  efif1olem2  24510  tanarg  24586  dcubic1  24793  dquartlem1  24799  tanatan  24867  atans2  24879  harmonicbnd4  24958  basellem5  25032  logfaclbnd  25168  bcmono  25223  lgsquadlem1  25326  mulogsumlem  25441  mulog2sumlem1  25444  vmalogdivsum  25449  selbergr  25478  selberg3r  25479  brbtwn2  26006  colinearalglem1  26007  colinearalglem2  26008  colinearalglem4  26010  ax5seglem1  26029  clwlkclwwlklem2a4  27147  clwlkclwwlklem2a  27148  clwwlkext2edg  27213  clwwlknonex2lem1  27283  clwwlknonex2lem2  27284  pjhthlem1  28590  lt2addrd  29856  ballotlemfp1  30893  signstfveq0  30994  bcprod  31962  dnibndlem10  32814  suplesup  40071  fperdvper  40651  dvnxpaek  40675  itgsinexp  40688  stoweidlem26  40760  stoweidlem34  40768  stirlinglem5  40812  fourierdlem26  40867  fourierdlem107  40947  vonioolem1  41414  pwdif  42029  dignn0flhalflem1  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator