Theorem cutscl 27850

Description: Closure law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cutscl	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem cutscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutcuts 27849	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
2	1	simp1d 1154	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  {csn 4581   class class class wbr 5099  (class class class)co 7390   No csur 27679   <<s cslts 27825   |s ccuts 27827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1o 8430  df-2o 8431  df-no 27682  df-lts 27683  df-bday 27684  df-slts 27826  df-cuts 27828

This theorem is referenced by:  cutscld  27851  cutsf  27860  lesrec  27867  0no  27877  1no  27878  madeval2  27901  elmade  27925