Theorem cutscld 28048

Description: Closure law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
cutscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cutscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem cutscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutscl 28047	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413   No csur 27876   <<s cslts 28022   |s ccuts 28024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1o 8455  df-2o 8456  df-no 27879  df-lts 27880  df-bday 27881  df-slts 28023  df-cuts 28025

This theorem is used by:  eqcuts3  28069  cofcut1  28185  cofcutr  28189  addsuniflem  28266  negsunif  28320  sltmuls1  28412  sltmuls2  28413  mulsuniflem  28414  mulsunif2lem  28434  precsexlem11  28482  precsex  28483  elons2  28523  oncutlt  28529  n0fincut  28620  zcuts  28672  twocut  28688  nohalf  28689  pw2recs  28703  halfcut  28723  pw2cut2  28727