Theorem cutscld 28226

Description: Closure law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
cutscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cutscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No)

Proof of Theorem cutscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutscl 28225	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   <<s cslts 28200   |s ccuts 28202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203

This theorem is used by:  eqcuts3  28247  cofcut1  28363  cofcutr  28367  addsuniflem  28444  negsunif  28498  sltmuls1  28590  sltmuls2  28591  mulsuniflem  28592  mulsunif2lem  28612  precsexlem11  28660  precsex  28661  elons2  28701  oncutlt  28707  n0fincut  28798  zcuts  28850  twocut  28866  nohalf  28867  pw2recs  28881  halfcut  28901  pw2cut2  28905