Theorem cutscld 27791

Description: Closure law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
cutscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cutscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem cutscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutscl 27790	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   No csur 27619   <<s cslts 27765   |s ccuts 27767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-slts 27766  df-cuts 27768

This theorem is referenced by:  eqcuts3  27812  cofcut1  27928  cofcutr  27932  addsuniflem  28009  negsunif  28063  sltmuls1  28155  sltmuls2  28156  mulsuniflem  28157  mulsunif2lem  28177  precsexlem11  28225  precsex  28226  elons2  28266  oncutlt  28272  n0fincut  28363  zcuts  28415  twocut  28431  nohalf  28432  pw2recs  28446  halfcut  28466  pw2cut2  28470