Theorem cvlatexch2 40152

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlatexch.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvlatexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlatexch.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlatexch2	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem cvlatexch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvlatexch.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cvlatexch.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cvlatexch.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvlatexch1 40151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
5		cvllat 40141	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
8		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 3	atbase 40104	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
12	8, 3	atbase 40104	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14	8, 2	latjcom 18528	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
16	15	breq2d 5126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
17		simp21 1225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑃 ∈ 𝐴)
18	8, 3	atbase 40104	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
20	8, 2	latjcom 18528	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
21	6, 19, 13, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
22	21	breq2d 5126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
23	4, 16, 22	3imtr4d 297	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  lecple 17342  joincjn 18392  Latclat 18512  Atomscatm 40078  CvLatclc 40080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-lat 18513  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137

This theorem is used by:  hlatexch2  40211  4atexlemnclw  40885  4atexlemex2  40886  cdleme21ct  41144  cdleme22f  41161  cdleme22f2  41162  cdlemf1  41376