Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme22f.n |
. 2
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
2 | | simp11l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
4 | | simp12l 1287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | simp13l 1289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme22.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme22.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp11r 1286 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
12 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
13 | | cdleme22.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme22.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdleme22.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme22f.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | | cdleme22f.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
18 | 13, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6 | cdleme1b 38735 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
19 | 2, 11, 4, 5, 12, 18 | syl23anc 1378 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp21l 1291 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
21 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 2, 20, 12, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 6, 15 | lhpbase 38507 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 11, 23 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 6, 14 | latmcl 18334 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 3, 22, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
28 | 3, 19, 26, 27 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
29 | 6, 13, 14 | latmle2 18359 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β€ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
30 | 3, 10, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β€ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
31 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
32 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
33 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
34 | | simp23r 1296 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
35 | | simp3r 1203 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
36 | 7, 8 | hlatjcom 37876 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
37 | 2, 12, 33, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
38 | 35, 37 | breqtrd 5132 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
39 | | hlcvl 37867 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
40 | 2, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β CvLat) |
41 | 13, 7, 8 | cvlatexch2 37845 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
42 | 40, 20, 33, 12, 32, 41 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
43 | 38, 42 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
44 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
45 | 13, 7, 14, 8, 15, 44 | cdleme22aa 38848 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) β π = ((π β¨ π) β§ π)) |
46 | 2, 11, 31, 12, 32, 33, 34, 43, 45 | syl233anc 1400 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π = ((π β¨ π) β§ π)) |
47 | 46 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ π) = (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
48 | 30, 47 | breqtrrd 5134 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β€ (πΉ β¨ π)) |
49 | 1, 48 | eqbrtrid 5141 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (πΉ β¨ π)) |