Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22f 38855
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115. 𝐹, 𝑁 represent f(t), ft(s) respectively. If s ≀ t ∨ v, then ft(s) ≀ f(t) ∨ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme22.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme22.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme22.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme22.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme22f.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme22f.f 𝐹 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
cdleme22f.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22f ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑁 ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22f
StepHypRef Expression
1 cdleme22f.n . 2 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
2 simp11l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 37872 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp13l 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdleme22.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 37875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
102, 4, 5, 9syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp11r 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
12 simp22 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
13 cdleme22.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdleme22.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
15 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
16 cdleme22f.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
17 cdleme22f.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
1813, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6cdleme1b 38735 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 11, 4, 5, 12, 18syl23anc 1378 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp21l 1291 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
216, 7, 8hlatjcl 37875 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
222, 20, 12, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
236, 15lhpbase 38507 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2411, 23syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
256, 14latmcl 18334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
263, 22, 24, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
276, 7latjcl 18333 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
283, 19, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
296, 13, 14latmle2 18359 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))) ≀ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
303, 10, 28, 29syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))) ≀ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
31 simp21 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
32 simp3l 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
33 simp23l 1295 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
34 simp23r 1296 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
35 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))
367, 8hlatjcom 37876 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ 𝑇))
372, 12, 33, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ 𝑇))
3835, 37breqtrd 5132 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑉 ∨ 𝑇))
39 hlcvl 37867 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
402, 39syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
4113, 7, 8cvlatexch2 37845 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) β†’ (𝑆 ≀ (𝑉 ∨ 𝑇) β†’ 𝑉 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
4240, 20, 33, 12, 32, 41syl131anc 1384 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑉 ∨ 𝑇) β†’ 𝑉 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
4338, 42mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑉 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
44 eqid 2733 . . . . . 6 ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
4513, 7, 14, 8, 15, 44cdleme22aa 38848 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ 𝑉 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
462, 11, 31, 12, 32, 33, 34, 43, 45syl233anc 1400 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
4746oveq2d 7374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ (𝐹 ∨ 𝑉) = (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
4830, 47breqtrrd 5134 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))) ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))
491, 48eqbrtrid 5141 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))) β†’ 𝑁 ≀ (𝐹 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  cdleme22f2  38856  cdleme26fALTN  38871  cdleme26f  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator