Theorem dfscott2 35826

Description: Alternate definition of a Scott's trick set. (Contributed by BTernaryTau, 8-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfscott2	⊢ Scott 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (rank‘𝑥) = ∩ (rank “ 𝐴)}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dfscott2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-scott 9956	. 2 ⊢ Scott 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)}
2		rankfn 35818	. . . 4 ⊢ rank Fn V
3		ssv 3937	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ V
4		fnfvintima 35786	. . . 4 ⊢ ((rank Fn V ∧ 𝐴 ⊆ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((rank‘𝑥) = ∩ (rank “ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))
5	2, 3, 4	mp3an12 1481	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((rank‘𝑥) = ∩ (rank “ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))
6	5	rabbiia 3420	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (rank‘𝑥) = ∩ (rank “ 𝐴)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)}
7	1, 6	eqtr4i 2789	1 ⊢ Scott 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (rank‘𝑥) = ∩ (rank “ 𝐴)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∩ cint 4910   “ cima 5658   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  rankcrnk 9794  Scott cscott 9955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-reg 9613  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-r1 9795  df-rank 9796  df-scott 9956

This theorem is used by:  dfscott3  35827  elscott2  35828  elscottrank  35829