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Theorem bitsf1 16331
Description: The bits function is an injection from β„€ to 𝒫 β„•0. It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 9077), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of β„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 16312 . 2 bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
2 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
32zcnd 12613 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
43adantr 482 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5 simpr 486 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
65zcnd 12613 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
76adantr 482 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
84negcld 11504 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
97negcld 11504 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ -𝑦 ∈ β„‚)
10 1cnd 11155 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ 1 ∈ β„‚)
11 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))
1211difeq2d 4083 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘₯)) = (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘¦)))
13 bitscmp 16323 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)))
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘₯)) = (bitsβ€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)))
15 bitscmp 16323 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„€ β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘¦)) = (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)))
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘¦)) = (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)))
1712, 14, 163eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (bitsβ€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) = (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)))
18 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . 11 (-π‘₯ ∈ β„• β†’ (-π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (-π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2019fvresd 6863 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) = (bitsβ€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)))
21 ominf 9205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β¬ Ο‰ ∈ Fin
22 nn0ennn 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„•0 β‰ˆ β„•
23 nnenom 13891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„• β‰ˆ Ο‰
2422, 23entr2i 8952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ο‰ β‰ˆ β„•0
25 enfii 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„•0 ∈ Fin ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•0) β†’ Ο‰ ∈ Fin)
2624, 25mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„•0 ∈ Fin β†’ Ο‰ ∈ Fin)
2721, 26mto 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ β„•0 ∈ Fin
28 difinf 9263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ β„•0 ∈ Fin ∧ (bitsβ€˜π‘₯) ∈ Fin) β†’ Β¬ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2927, 28mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bitsβ€˜π‘₯) ∈ Fin β†’ Β¬ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
30 bitsfi 16322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) ∈ Fin)
3119, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (bitsβ€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) ∈ Fin)
3214, 31eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
3329, 32nsyl3 138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ (bitsβ€˜π‘₯) ∈ Fin)
3411, 33eqneltrrd 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ (bitsβ€˜π‘¦) ∈ Fin)
35 bitsfi 16322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘¦) ∈ Fin)
3634, 35nsyl 140 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ β„•0)
375znegcld 12614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ -𝑦 ∈ β„€)
38 elznn 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑦 ∈ β„€ ↔ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝑦 ∈ β„• ∨ --𝑦 ∈ β„•0)))
3938simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑦 ∈ β„€ β†’ (-𝑦 ∈ β„• ∨ --𝑦 ∈ β„•0))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (-𝑦 ∈ β„• ∨ --𝑦 ∈ β„•0))
416negnegd 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ --𝑦 = 𝑦)
4241eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (--𝑦 ∈ β„•0 ↔ 𝑦 ∈ β„•0))
4342orbi2d 915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((-𝑦 ∈ β„• ∨ --𝑦 ∈ β„•0) ↔ (-𝑦 ∈ β„• ∨ 𝑦 ∈ β„•0)))
4440, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (-𝑦 ∈ β„• ∨ 𝑦 ∈ β„•0))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (-𝑦 ∈ β„• ∨ 𝑦 ∈ β„•0))
4645ord 863 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (Β¬ -𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„•0))
4736, 46mt3d 148 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ -𝑦 ∈ β„•)
48 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ β„• β†’ (-𝑦 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (-𝑦 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5049fvresd 6863 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-𝑦 βˆ’ 1)) = (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)))
5117, 20, 503eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-𝑦 βˆ’ 1)))
52 bitsf1o 16330 . . . . . . . . . . 11 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
53 f1of1 6784 . . . . . . . . . . 11 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1β†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1β†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
55 f1fveq 7210 . . . . . . . . . 10 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1β†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ ((-π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ (-𝑦 βˆ’ 1) ∈ β„•0)) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-𝑦 βˆ’ 1)) ↔ (-π‘₯ βˆ’ 1) = (-𝑦 βˆ’ 1)))
5654, 55mpan 689 . . . . . . . . 9 (((-π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ (-𝑦 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-𝑦 βˆ’ 1)) ↔ (-π‘₯ βˆ’ 1) = (-𝑦 βˆ’ 1)))
5719, 49, 56syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-π‘₯ βˆ’ 1)) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(-𝑦 βˆ’ 1)) ↔ (-π‘₯ βˆ’ 1) = (-𝑦 βˆ’ 1)))
5851, 57mpbid 231 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (-π‘₯ βˆ’ 1) = (-𝑦 βˆ’ 1))
598, 9, 10, 58subcan2d 11559 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ -π‘₯ = -𝑦)
604, 7, 59neg11d 11529 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
6160expr 458 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ -π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
623negnegd 11508 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ --π‘₯ = π‘₯)
6362eleq1d 2819 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (--π‘₯ ∈ β„•0 ↔ π‘₯ ∈ β„•0))
6463biimpa 478 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ --π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
65 simprr 772 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))
66 fvres 6862 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘₯))
6766ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘₯))
6815ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘¦)) = (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)))
69 bitsfi 16322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘₯) ∈ Fin)
7069ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (bitsβ€˜π‘₯) ∈ Fin)
7165, 70eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (bitsβ€˜π‘¦) ∈ Fin)
72 difinf 9263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Β¬ β„•0 ∈ Fin ∧ (bitsβ€˜π‘¦) ∈ Fin) β†’ Β¬ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘¦)) ∈ Fin)
7327, 71, 72sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘¦)) ∈ Fin)
7468, 73eqneltrrd 2855 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
75 bitsfi 16322 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜(-𝑦 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
7674, 75nsyl 140 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ (-𝑦 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7776, 48nsyl 140 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ -𝑦 ∈ β„•)
7844adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (-𝑦 ∈ β„• ∨ 𝑦 ∈ β„•0))
7978ord 863 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (Β¬ -𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„•0))
8077, 79mpd 15 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
8180fvresd 6863 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘¦) = (bitsβ€˜π‘¦))
8265, 67, 813eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘¦))
83 simprl 770 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
84 f1fveq 7210 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1β†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
8554, 84mpan 689 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
8683, 80, 85syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ (((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
8782, 86mpbid 231 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ (bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
8887expr 458 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
8964, 88syldan 592 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ --π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
902znegcld 12614 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ -π‘₯ ∈ β„€)
91 elznn 12520 . . . . . 6 (-π‘₯ ∈ β„€ ↔ (-π‘₯ ∈ ℝ ∧ (-π‘₯ ∈ β„• ∨ --π‘₯ ∈ β„•0)))
9291simprbi 498 . . . . 5 (-π‘₯ ∈ β„€ β†’ (-π‘₯ ∈ β„• ∨ --π‘₯ ∈ β„•0))
9390, 92syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (-π‘₯ ∈ β„• ∨ --π‘₯ ∈ β„•0))
9461, 89, 93mpjaodan 958 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
9594rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
96 dff13 7203 . 2 (bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ↔ (bits:β„€βŸΆπ’« β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((bitsβ€˜π‘₯) = (bitsβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
971, 95, 96mpbir2an 710 1 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910  π’« cpw 4561   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8883  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  bitscbits 16304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-bits 16307
This theorem is referenced by:  bitsuz  16359  eulerpartlemmf  33032
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