Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hasheuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheuni 34066
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 15859. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 5129 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝑥
2 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ∈ Fin
3 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ⊆ Fin
41, 2, 3nf3an 1899 . . . . . . 7 𝑥(Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin)
5 simp2 1136 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 1137 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
7 simp1 1135 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝑥)
84, 5, 6, 7hashunif 32816 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
9 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 dfss3 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
11 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
12 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑥))
14 elrege0 13491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑥)))
1512, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1716ralimi 3081 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1810, 17sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1918r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2019adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
219, 20esumpfinval 34056 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
22213adant1 1129 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
238, 22eqtr4d 2778 . . . . 5 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
24233adant1l 1175 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
25243expa 1117 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
26 uniexg 7759 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2710notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
28 rexnal 3098 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2927, 28bitr4i 278 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin)
30 elssuni 4942 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
31 ssfi 9212 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3231expcom 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐴 → ( 𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
3332con3d 152 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3534rexlimiv 3146 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3629, 35sylbi 217 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
37 hashinf 14371 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
3826, 36, 37syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
39 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
40 hashinf 14371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) = +∞)
4139, 40mpan 690 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) = +∞)
4241reximi 3082 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
4329, 42sylbi 217 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
44 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴𝑉
45 nfre1 3283 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞
4644, 45nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
47 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → 𝐴𝑉)
48 hashf2 34065 . . . . . . . . . . 11 ♯:V⟶(0[,]+∞)
49 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
5048, 39, 49mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
52 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
5346, 47, 51, 52esumpinfval 34054 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5443, 53sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5538, 54eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
56553adant2 1130 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
57563adant1r 1176 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
58573expa 1117 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
5925, 58pm2.61dan 813 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
60 pwfi 9355 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
61 pwuni 4950 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
62 ssfi 9212 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6361, 62mpan2 691 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6460, 63sylbi 217 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6564con3i 154 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6626, 65, 37syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
67 nftru 1801 . . . . . . . . 9 𝑥
68 unrab 4321 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
69 exmid 894 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
7069rgenw 3063 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
71 rabid2 3468 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)} ↔ ∀𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
7270, 71mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
7368, 72eqtr4i 2766 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴)
7567, 74esumeq1d 34016 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
7675mptru 1544 . . . . . . 7 Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥)
77 nfrab1 3454 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}
78 nfrab1 3454 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
79 rabexg 5343 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
80 rabexg 5343 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
81 rabnc 4397 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅)
8350a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8450a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 34034 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8676, 85eqtr3id 2789 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8786adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
88 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8980adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
90 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
91 dfrab3 4325 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
92 hasheq0 14399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
9493abbii 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥𝑥 = ∅}
95 df-sn 4632 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
9694, 95eqtr4i 2766 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
9796ineq2i 4225 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = (𝐴 ∩ {∅})
9891, 97eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {∅})
99 snfi 9082 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ Fin
100 inss2 4246 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
101 ssfi 9212 . . . . . . . . . . . 12 (({∅} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}) → (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin)
10299, 100, 101mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin
10398, 102eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
105 difinf 9347 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
10690, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
107 notrab 4328 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
108107eleq1i 2830 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin ↔ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
109106, 108sylnib 328 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
11050a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
11139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ V)
112 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})
113 rabid 3455 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
114112, 113sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
115114simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
11693biimpri 228 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
117116necon3bi 2965 . . . . . . . . 9 (¬ (♯‘𝑥) = 0 → 𝑥 ≠ ∅)
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ≠ ∅)
119 hashge1 14425 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
120111, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
121 1xr 11318 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
122121a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ*)
123 0lt1 11783 . . . . . . . 8 0 < 1
124123a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 0 < 1)
12588, 78, 89, 109, 110, 120, 122, 124esumpinfsum 34058 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) = +∞)
126125oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞))
127 iccssxr 13467 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12879adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
12950a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
130129ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13177esumcl 34011 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
132128, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
133127, 132sselid 3993 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
134 xrge0neqmnf 13489 . . . . . . 7 *𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
135132, 134syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
136 xaddpnf1 13265 . . . . . 6 ((Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
137133, 135, 136syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
13887, 126, 1373eqtrd 2779 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
13966, 138eqtr4d 2778 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
140139adantlr 715 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
14159, 140pm2.61dan 813 1 ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524   +𝑒 cxad 13150  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  chash 14366  Σcsu 15719  Σ*cesum 34008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-tsms 24151  df-trg 24184  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-ii 24917  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-esum 34009
This theorem is referenced by:  cntmeas  34207
  Copyright terms: Public domain W3C validator