Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hasheuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheuni 34086
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 15862. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 5124 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝑥
2 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ∈ Fin
3 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ⊆ Fin
41, 2, 3nf3an 1901 . . . . . . 7 𝑥(Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin)
5 simp2 1138 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 1139 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
7 simp1 1137 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝑥)
84, 5, 6, 7hashunif 32810 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
9 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 dfss3 3972 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
11 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
12 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 12551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑥))
14 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑥)))
1512, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1716ralimi 3083 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1810, 17sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1918r19.21bi 3251 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2019adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
219, 20esumpfinval 34076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
22213adant1 1131 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
238, 22eqtr4d 2780 . . . . 5 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
24233adant1l 1177 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
25243expa 1119 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
26 uniexg 7760 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2710notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
28 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2927, 28bitr4i 278 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin)
30 elssuni 4937 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
31 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3231expcom 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐴 → ( 𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
3332con3d 152 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3534rexlimiv 3148 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3629, 35sylbi 217 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
37 hashinf 14374 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
3826, 36, 37syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
39 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
40 hashinf 14374 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) = +∞)
4139, 40mpan 690 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) = +∞)
4241reximi 3084 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
4329, 42sylbi 217 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
44 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴𝑉
45 nfre1 3285 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞
4644, 45nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
47 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → 𝐴𝑉)
48 hashf2 34085 . . . . . . . . . . 11 ♯:V⟶(0[,]+∞)
49 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . 11 ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
5048, 39, 49mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
52 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
5346, 47, 51, 52esumpinfval 34074 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5443, 53sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5538, 54eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
56553adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
57563adant1r 1178 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
58573expa 1119 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
5925, 58pm2.61dan 813 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
60 pwfi 9357 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
61 pwuni 4945 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
62 ssfi 9213 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6361, 62mpan2 691 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6460, 63sylbi 217 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6564con3i 154 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6626, 65, 37syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
67 nftru 1804 . . . . . . . . 9 𝑥
68 unrab 4315 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
69 exmid 895 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
7069rgenw 3065 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
71 rabid2 3470 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)} ↔ ∀𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
7270, 71mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
7368, 72eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴)
7567, 74esumeq1d 34036 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
7675mptru 1547 . . . . . . 7 Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥)
77 nfrab1 3457 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}
78 nfrab1 3457 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
79 rabexg 5337 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
80 rabexg 5337 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
81 rabnc 4391 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅)
8350a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8450a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 34054 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8676, 85eqtr3id 2791 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8786adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
88 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8980adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
90 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
91 dfrab3 4319 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
92 hasheq0 14402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
9493abbii 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥𝑥 = ∅}
95 df-sn 4627 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
9694, 95eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
9796ineq2i 4217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = (𝐴 ∩ {∅})
9891, 97eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {∅})
99 snfi 9083 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ Fin
100 inss2 4238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
101 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . 12 (({∅} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}) → (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin)
10299, 100, 101mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin
10398, 102eqeltri 2837 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
105 difinf 9349 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
10690, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
107 notrab 4322 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
108107eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin ↔ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
109106, 108sylnib 328 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
11050a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
11139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ V)
112 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})
113 rabid 3458 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
114112, 113sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
115114simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
11693biimpri 228 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
117116necon3bi 2967 . . . . . . . . 9 (¬ (♯‘𝑥) = 0 → 𝑥 ≠ ∅)
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ≠ ∅)
119 hashge1 14428 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
120111, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
121 1xr 11320 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
122121a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ*)
123 0lt1 11785 . . . . . . . 8 0 < 1
124123a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 0 < 1)
12588, 78, 89, 109, 110, 120, 122, 124esumpinfsum 34078 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) = +∞)
126125oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞))
127 iccssxr 13470 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12879adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
12950a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
130129ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13177esumcl 34031 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
132128, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
133127, 132sselid 3981 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
134 xrge0neqmnf 13492 . . . . . . 7 *𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
135132, 134syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
136 xaddpnf1 13268 . . . . . 6 ((Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
137133, 135, 136syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
13887, 126, 1373eqtrd 2781 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
13966, 138eqtr4d 2780 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
140139adantlr 715 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
14159, 140pm2.61dan 813 1 ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526   +𝑒 cxad 13152  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  chash 14369  Σcsu 15722  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  cntmeas  34227
  Copyright terms: Public domain W3C validator