Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hasheuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheuni 31565
 Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 15222. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 5012 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝑥
2 nfv 1916 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ∈ Fin
3 nfv 1916 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ⊆ Fin
41, 2, 3nf3an 1903 . . . . . . 7 𝑥(Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin)
5 simp2 1135 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 1136 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
7 simp1 1134 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝑥)
84, 5, 6, 7hashunif 30643 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
9 simpl 487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 dfss3 3881 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
11 hashcl 13760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
12 nn0re 11936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑥))
14 elrege0 12879 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑥)))
1512, 13, 14sylanbrc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1716ralimi 3093 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1810, 17sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥𝐴 (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1918r19.21bi 3138 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2019adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
219, 20esumpfinval 31555 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
22213adant1 1128 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝑥))
238, 22eqtr4d 2797 . . . . 5 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
24233adant1l 1174 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
25243expa 1116 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
26 uniexg 7465 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2710notbii 324 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
28 rexnal 3166 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2927, 28bitr4i 281 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin)
30 elssuni 4831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
31 ssfi 8760 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3231expcom 418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐴 → ( 𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
3332con3d 155 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3534rexlimiv 3205 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3629, 35sylbi 220 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
37 hashinf 13738 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
3826, 36, 37syl2an 599 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
39 vex 3414 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
40 hashinf 13738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) = +∞)
4139, 40mpan 690 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) = +∞)
4241reximi 3172 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
4329, 42sylbi 220 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
44 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴𝑉
45 nfre1 3231 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞
4644, 45nfan 1901 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
47 simpl 487 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → 𝐴𝑉)
48 hashf2 31564 . . . . . . . . . . 11 ♯:V⟶(0[,]+∞)
49 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . 11 ((♯:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ V) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
5048, 39, 49mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) ∧ 𝑥𝐴) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
52 simpr 489 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞)
5346, 47, 51, 52esumpinfval 31553 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (♯‘𝑥) = +∞) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5443, 53sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
5538, 54eqtr4d 2797 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
56553adant2 1129 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
57563adant1r 1175 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
58573expa 1116 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
5925, 58pm2.61dan 813 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
60 pwfi 8845 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
61 pwuni 4838 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
62 ssfi 8760 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6361, 62mpan2 691 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6460, 63sylbi 220 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6564con3i 157 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6626, 65, 37syl2an 599 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = +∞)
67 nftru 1807 . . . . . . . . 9 𝑥
68 unrab 4209 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
69 exmid 893 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
7069rgenw 3083 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
71 rabid2 3300 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)} ↔ ∀𝑥𝐴 ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
7270, 71mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((♯‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (♯‘𝑥) = 0)}
7368, 72eqtr4i 2785 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = 𝐴)
7567, 74esumeq1d 31515 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
7675mptru 1546 . . . . . . 7 Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥)
77 nfrab1 3303 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}
78 nfrab1 3303 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
79 rabexg 5202 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
80 rabexg 5202 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
81 rabnc 4284 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) = ∅)
8350a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8450a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 31533 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8676, 85syl5eqr 2808 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
8786adantr 485 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)))
88 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8980adantr 485 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
90 simpr 489 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
91 dfrab3 4213 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
92 hasheq0 13767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
9493abbii 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥𝑥 = ∅}
95 df-sn 4524 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
9694, 95eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
9796ineq2i 4115 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = (𝐴 ∩ {∅})
9891, 97eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {∅})
99 snfi 8615 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ Fin
100 inss2 4135 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
101 ssfi 8760 . . . . . . . . . . . 12 (({∅} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}) → (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin)
10299, 100, 101mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin
10398, 102eqeltri 2849 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
105 difinf 8814 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
10690, 104, 105syl2anc 588 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
107 notrab 4215 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}
108107eleq1i 2843 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) ∈ Fin ↔ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
109106, 108sylnib 332 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
11050a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
11139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ V)
112 simpr 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0})
113 rabid 3297 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
114112, 113sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → (𝑥𝐴 ∧ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
115114simprd 500 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
11693biimpri 231 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
117116necon3bi 2978 . . . . . . . . 9 (¬ (♯‘𝑥) = 0 → 𝑥 ≠ ∅)
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ≠ ∅)
119 hashge1 13793 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
120111, 118, 119syl2anc 588 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0}) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
121 1xr 10731 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
122121a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ*)
123 0lt1 11193 . . . . . . . 8 0 < 1
124123a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 0 < 1)
12588, 78, 89, 109, 110, 120, 122, 124esumpinfsum 31557 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) = +∞)
126125oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞))
127 iccssxr 12855 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12879adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V)
12950a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0}) → (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
130129ralrimiva 3114 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13177esumcl 31510 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
132128, 130, 131syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
133127, 132sseldi 3891 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
134 xrge0neqmnf 12877 . . . . . . 7 *𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
135132, 134syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞)
136 xaddpnf1 12653 . . . . . 6 ((Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) ≠ -∞) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
137133, 135, 136syl2anc 588 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} (♯‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
13887, 126, 1373eqtrd 2798 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥) = +∞)
13966, 138eqtr4d 2797 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
140139adantlr 715 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
14159, 140pm2.61dan 813 1 ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (♯‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(♯‘𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  {crab 3075  Vcvv 3410   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  𝒫 cpw 4495  {csn 4523  ∪ cuni 4799  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℝcr 10567  0cc0 10568  1c1 10569  +∞cpnf 10703  -∞cmnf 10704  ℝ*cxr 10705   < clt 10706   ≤ cle 10707  ℕ0cn0 11927   +𝑒 cxad 12539  [,)cico 12774  [,]cicc 12775  ♯chash 13733  Σcsu 15083  Σ*cesum 31507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-xnn0 12000  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ioc 12777  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-seq 13412  df-exp 13473  df-fac 13677  df-bc 13706  df-hash 13734  df-shft 14467  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-limsup 14869  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-ef 15462  df-sin 15464  df-cos 15465  df-pi 15467  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-ordt 16825  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-ps 17869  df-tsr 17870  df-plusf 17910  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-submnd 18016  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-mulg 18285  df-subg 18336  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-cring 19361  df-subrg 19594  df-abv 19649  df-lmod 19697  df-scaf 19698  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-lp 21829  df-perf 21830  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-haus 22008  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-tmd 22765  df-tgp 22766  df-tsms 22820  df-trg 22853  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-nm 23277  df-ngp 23278  df-nrg 23280  df-nlm 23281  df-ii 23571  df-cncf 23572  df-limc 24558  df-dv 24559  df-log 25240  df-esum 31508 This theorem is referenced by:  cntmeas  31706
 Copyright terms: Public domain W3C validator