Theorem cusgrfilem3 29493

Description: Lemma 3 for cusgrfi 29494. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
cusgrfilem3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9242	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3		snfi 9109	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ Fin
4		difinf 9377	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
7	6	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
8	1, 7	impbid2 226	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9		cusgrfi.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
12	11	difexi 5348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
13		mptexg 7258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
15	9, 14	eqeltrid 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
16		cusgrfi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
17	10, 16, 9	cusgrfilem2 29492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
18		f1oeq1 6850	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃 ↔ 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃))
19	15, 17, 18	spcedv 3611	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
20		bren 9013	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
21	19, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22		enfi 9253	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
23	21, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
24	8, 23	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  Vtxcvtx 29031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  cusgrfi  29494