Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem3 27254
 Description: Lemma 3 for cusgrfi 27255. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem3 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 8747 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑁𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3 snfi 8590 . . . . . 6 {𝑁} ∈ Fin
4 difinf 8785 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 589 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
65ex 416 . . . 4 (𝑁𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
76con4d 115 . . 3 (𝑁𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
81, 7impbid2 229 . 2 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9 cusgrfi.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1110fvexi 6675 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
1211difexi 5218 . . . . . . 7 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
13 mptexg 6975 . . . . . . 7 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
159, 14eqeltrid 2920 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐹 ∈ V)
16 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1710, 16, 9cusgrfilem2 27253 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
18 f1oeq1 6595 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
1915, 17, 18spcedv 3585 . . . 4 (𝑁𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
20 bren 8514 . . . 4 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
2119, 20sylibr 237 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22 enfi 8731 . . 3 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
2321, 22syl 17 . 2 (𝑁𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
248, 23bitrd 282 1 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  {crab 3137  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  –1-1-onto→wf1o 6342  ‘cfv 6343   ≈ cen 8502  Fincfn 8505  Vtxcvtx 26796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-fin 8509 This theorem is referenced by:  cusgrfi  27255
 Copyright terms: Public domain W3C validator