MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem3 26707
Description: Lemma 3 for cusgrfi 26708. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem3 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 8434 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2 simpr 478 . . . . . 6 ((𝑁𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3 snfi 8280 . . . . . 6 {𝑁} ∈ Fin
4 difinf 8472 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 581 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
65ex 402 . . . 4 (𝑁𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
76con4d 115 . . 3 (𝑁𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
81, 7impbid2 218 . 2 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9 cusgrfi.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1110fvexi 6425 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
12 difexg 5003 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
14 mptexg 6713 . . . . . . 7 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
1513, 14mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
169, 15syl5eqel 2882 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐹 ∈ V)
17 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1810, 17, 9cusgrfilem2 26706 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
19 f1oeq1 6345 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
2019spcegv 3482 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
2116, 18, 20sylc 65 . . . 4 (𝑁𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
22 bren 8204 . . . 4 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
2321, 22sylibr 226 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
24 enfi 8418 . . 3 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
2523, 24syl 17 . 2 (𝑁𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
268, 25bitrd 271 1 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  {crab 3093  Vcvv 3385  cdif 3766  𝒫 cpw 4349  {csn 4368  {cpr 4370   class class class wbr 4843  cmpt 4922  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  cen 8192  Fincfn 8195  Vtxcvtx 26231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-fin 8199
This theorem is referenced by:  cusgrfi  26708
  Copyright terms: Public domain W3C validator