Theorem cusgrfilem3 29548

Description: Lemma 3 for cusgrfi 29549. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
cusgrfilem3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9103	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3		snfi 8984	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ Fin
4		difinf 9215	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
6	5	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
7	6	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
8	1, 7	impbid2 228	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9		cusgrfi.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6845	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
12	11	difexi 5261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
13		mptexg 7169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
15	9, 14	eqeltrid 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
16		cusgrfi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
17	10, 16, 9	cusgrfilem2 29547	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
18		f1oeq1 6759	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃 ↔ 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃))
19	15, 17, 18	spcedv 3538	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
20		bren 8897	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
21	19, 20	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22		enfi 9115	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
23	21, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
24	8, 23	bitrd 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489   ≈ cen 8884  Fincfn 8887  Vtxcvtx 29087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7811  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  cusgrfi  29549