Theorem cusgrfilem3 29313

Description: Lemma 3 for cusgrfi 29314. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
cusgrfilem3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9200	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3		snfi 9065	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ Fin
4		difinf 9338	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
6	5	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
7	6	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
8	1, 7	impbid2 225	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9		cusgrfi.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
12	11	difexi 5325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
13		mptexg 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
15	9, 14	eqeltrid 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
16		cusgrfi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
17	10, 16, 9	cusgrfilem2 29312	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
18		f1oeq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃 ↔ 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃))
19	15, 17, 18	spcedv 3578	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
20		bren 8970	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
21	19, 20	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22		enfi 9211	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
23	21, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
24	8, 23	bitrd 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   ∖ cdif 3937  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542   ≈ cen 8957  Fincfn 8960  Vtxcvtx 28851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7868  df-1o 8483  df-en 8961  df-fin 8964

This theorem is referenced by:  cusgrfi  29314