MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem3 28711
Description: Lemma 3 for cusgrfi 28712. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↩ {𝑥, 𝑁})
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem3 (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 9178 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3 snfi 9043 . . . . . 6 {𝑁} ∈ Fin
4 difinf 9315 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
65ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
76con4d 115 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
81, 7impbid2 225 . 2 (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9 cusgrfi.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↩ {𝑥, 𝑁})
10 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1110fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
1211difexi 5328 . . . . . . 7 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
13 mptexg 7222 . . . . . . 7 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↩ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↩ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
159, 14eqeltrid 2837 . . . . 5 (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
16 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1710, 16, 9cusgrfilem2 28710 . . . . 5 (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
18 f1oeq1 6821 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃 ↔ 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃))
1915, 17, 18spcedv 3588 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
20 bren 8948 . . . 4 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
2119, 20sylibr 233 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22 enfi 9189 . . 3 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
2321, 22syl 17 . 2 (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
248, 23bitrd 278 1 (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Â¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  âˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  âˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  ð’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↩ cmpt 5231  â€“1-1-onto→wf1o 6542  â€˜cfv 6543   ≈ cen 8935  Fincfn 8938  Vtxcvtx 28253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  cusgrfi  28712
  Copyright terms: Public domain W3C validator