Theorem cusgrfilem3 30020

Description: Lemma 3 for cusgrfi 30021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
cusgrfilem3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥, 𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9174	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3		snfi 9055	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ Fin
4		difinf 9287	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
6	5	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
7	6	con4d 116	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
8	1, 7	impbid2 229	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9		cusgrfi.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11	10	fvexi 6891	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
12	11	difexi 5292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
13		mptexg 7219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
14	12, 13	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
15	9, 14	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
16		cusgrfi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
17	10, 16, 9	cusgrfilem2 30019	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
18		f1oeq1 6804	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃 ↔ 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃))
19	15, 17, 18	spcedv 3553	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
20		bren 8967	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto→𝑃)
21	19, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22		enfi 9186	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
23	21, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
24	8, 23	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531   ≈ cen 8954  Fincfn 8957  Vtxcvtx 29556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7867  df-1o 8460  df-en 8958  df-fin 8961

This theorem is used by:  cusgrfi  30021