MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbssntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbssntr 24001
Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a (𝜑𝐴𝑆)
dvbssntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvbssntr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvbssntr (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem dvbssntr
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 dvcl.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 dvcl.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 dvbssntr.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
5 dvbssntr.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
64, 5dvfval 23998 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
87simprd 490 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
9 dmss 5524 . . 3 ((𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
11 dmxpss 5780 . 2 dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴)
1210, 11syl6ss 3808 1 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  cdif 3764  wss 3767  {csn 4366   ciun 4708  cmpt 4920   × cxp 5308  dom cdm 5310  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220  cmin 10554   / cdiv 10974  t crest 16392  TopOpenctopn 16393  fldccnfld 20064  intcnt 21146   lim climc 23963   D cdv 23964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fi 8557  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-fz 12577  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14176  df-re 14177  df-im 14178  df-sqrt 14312  df-abs 14313  df-struct 16182  df-ndx 16183  df-slot 16184  df-base 16186  df-plusg 16276  df-mulr 16277  df-starv 16278  df-tset 16282  df-ple 16283  df-ds 16285  df-unif 16286  df-rest 16394  df-topn 16395  df-topgen 16415  df-psmet 20056  df-xmet 20057  df-met 20058  df-bl 20059  df-mopn 20060  df-cnfld 20065  df-top 21023  df-topon 21040  df-topsp 21062  df-bases 21075  df-cnp 21357  df-xms 22449  df-ms 22450  df-limc 23967  df-dv 23968
This theorem is referenced by:  dvbss  24002  dvnres  24031  dvcmulf  24045  dvcjbr  24049  dvmptcmul  24064  dvcnvre  24119  ftc1cn  24143  taylthlem1  24464  taylthlem2  24465  ulmdvlem3  24493  ftc1cnnc  33963
  Copyright terms: Public domain W3C validator