Theorem dvbssntr 25064

Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvbssntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvbssntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvbssntr	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem dvbssntr

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvbssntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvbssntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	dvfval 25061	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
8		dmss 5811	. . 3 ⊢ ((𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
9	7, 8	simpl2im 504	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
10		dmxpss 6074	. 2 ⊢ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴)
11	9, 10	sstrdi 3933	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   − cmin 11205   / cdiv 11632   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  intcnt 22168   lim_ℂ climc 25026   D cdv 25027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-limc 25030  df-dv 25031

This theorem is referenced by:  dvbss  25065  dvnres  25095  dvcmulf  25109  dvcjbr  25113  dvmptcmul  25128  dvcnvre  25183  ftc1cn  25207  taylthlem1  25532  taylthlem2  25533  ulmdvlem3  25561  ftc1cnnc  35849