Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbssntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbssntr 24599
 Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a (𝜑𝐴𝑆)
dvbssntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvbssntr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvbssntr (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem dvbssntr
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 dvcl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 dvcl.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 dvbssntr.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
5 dvbssntr.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
64, 5dvfval 24596 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
8 dmss 5742 . . 3 ((𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
97, 8simpl2im 507 . 2 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
10 dmxpss 6000 . 2 dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴)
119, 10sstrdi 3904 1 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ∪ ciun 4883   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  dom cdm 5524  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   − cmin 10908   / cdiv 11335   ↾t crest 16752  TopOpenctopn 16753  ℂfldccnfld 20166  intcnt 21717   limℂ climc 24561   D cdv 24562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-fz 12940  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-rest 16754  df-topn 16755  df-topgen 16775  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cnp 21928  df-xms 23022  df-ms 23023  df-limc 24565  df-dv 24566 This theorem is referenced by:  dvbss  24600  dvnres  24630  dvcmulf  24644  dvcjbr  24648  dvmptcmul  24663  dvcnvre  24718  ftc1cn  24742  taylthlem1  25067  taylthlem2  25068  ulmdvlem3  25096  ftc1cnnc  35409
 Copyright terms: Public domain W3C validator