MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbssntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbssntr 25750
Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvbssntr.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvbssntr.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvbssntr (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π΄))

Proof of Theorem dvbssntr
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 dvcl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 dvcl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 dvbssntr.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
5 dvbssntr.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
64, 5dvfval 25747 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
8 dmss 5902 . . 3 ((𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π½)β€˜π΄) Γ— β„‚) β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† dom (((intβ€˜π½)β€˜π΄) Γ— β„‚))
97, 8simpl2im 503 . 2 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† dom (((intβ€˜π½)β€˜π΄) Γ— β„‚))
10 dmxpss 6170 . 2 dom (((intβ€˜π½)β€˜π΄) Γ— β„‚) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π΄)
119, 10sstrdi 3994 1 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21234  intcnt 22842   limβ„‚ climc 25712   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cnp 23053  df-xms 24147  df-ms 24148  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvbss  25751  dvnres  25782  dvcmulf  25797  dvcjbr  25802  dvmptcmul  25817  dvcnvre  25873  ftc1cn  25899  taylthlem1  26225  taylthlem2  26226  ulmdvlem3  26254  gg-taylthlem2  35634  ftc1cnnc  37027
  Copyright terms: Public domain W3C validator