Theorem brdom5 10572

Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brdom5	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom3.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	brdom3 10571	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3		alral 3065	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
4	3	anim1i 613	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
5	4	eximi 1830	. . 3 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
6	2, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))
7		inss2 4231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
8		dmss 5909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
10		dmxpss 6182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
11	9, 10	sstri 3989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
12	11	sseli 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		inss1 4230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
14	13	ssbri 5198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦 → 𝑥𝑓𝑦)
15	14	moimi 2534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
16	12, 15	imim12i 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
17	16	ralimi2 3068	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
18		relinxp 5820	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
19	17, 18	jctil 518	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
20		dffun7 6586	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
22	21	funfnd 6590	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
23		rninxp 6190	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥)
24	23	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
25	22, 24	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
26		df-fo 6560	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
27	25, 26	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴)
28		vex 3466	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
29	28	inex1 5322	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
30	29	dmex 7922	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
31	30	fodom 10566	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto→𝐴 → 𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
32		ssdomg 9031	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
33	1, 11, 32	mp2 9	. . . . 5 ⊢ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
34		domtr 9038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
35	33, 34	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
36	27, 31, 35	3syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
37	36	exlimiv 1926	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴 ≼ 𝐵)
38	6, 37	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑓𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394  ∀wal 1532   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2527  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153   × cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  Rel wrel 5687  Fun wfun 6548   Fn wfn 6549  –onto→wfo 6552   ≼ cdom 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-ac2 10506

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-card 9982  df-acn 9985  df-ac 10159

This theorem is referenced by:  brdom6disj  10575