MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom5 9951
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
21brdom3 9950 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3 alral 3149 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
43anim1i 617 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
54eximi 1836 . . 3 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
62, 5sylbi 220 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
7 inss2 4191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
8 dmss 5759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
10 dmxpss 6017 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
119, 10sstri 3962 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
1211sseli 3949 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝑥𝐵)
13 inss1 4190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
1413ssbri 5098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
1514moimi 2629 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
1612, 15imim12i 62 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
1716ralimi2 3152 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
18 relinxp 5675 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
1917, 18jctil 523 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
20 dffun7 6372 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
2119, 20sylibr 237 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
2221funfnd 6376 . . . . . 6 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
23 rninxp 6025 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
2423biimpri 231 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
2522, 24anim12i 615 . . . . 5 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
26 df-fo 6351 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
2725, 26sylibr 237 . . . 4 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
28 vex 3483 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2928inex1 5208 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
3029dmex 7613 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
3130fodom 9945 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
32 ssdomg 8553 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
331, 11, 32mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
34 domtr 8560 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
3533, 34mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
3627, 31, 353syl 18 . . 3 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
3736exlimiv 1932 . 2 (∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
386, 37impbii 212 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  ∃*wmo 2622  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919   class class class wbr 5053   × cxp 5541  dom cdm 5543  ran crn 5544  Rel wrel 5548  Fun wfun 6339   Fn wfn 6340  ontowfo 6343  cdom 8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-ac2 9885
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9542
This theorem is referenced by:  brdom6disj  9954
  Copyright terms: Public domain W3C validator