MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdom5 10285
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brdom5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
21brdom3 10284 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
3 alral 3080 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦)
43anim1i 615 . . . 4 ((∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
54eximi 1837 . . 3 (∃𝑓(∀𝑥∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
62, 5sylbi 216 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
7 inss2 4163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴)
8 dmss 5811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ (𝐵 × 𝐴) → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ dom (𝐵 × 𝐴)
10 dmxpss 6074 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
119, 10sstri 3930 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵
1211sseli 3917 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝑥𝐵)
13 inss1 4162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝑓
1413ssbri 5119 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦𝑥𝑓𝑦)
1514moimi 2545 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
1612, 15imim12i 62 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
1716ralimi2 3084 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦)
18 relinxp 5724 . . . . . . . . 9 Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))
1917, 18jctil 520 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
20 dffun7 6461 . . . . . . . 8 (Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Rel (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))∃*𝑦 𝑥(𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))𝑦))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → Fun (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
2221funfnd 6465 . . . . . 6 (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
23 rninxp 6082 . . . . . . 7 (ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥)
2423biimpri 227 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴)
2522, 24anim12i 613 . . . . 5 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
26 df-fo 6439 . . . . 5 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) Fn dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) = 𝐴))
2725, 26sylibr 233 . . . 4 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴)
28 vex 3436 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2928inex1 5241 . . . . . 6 (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
3029dmex 7758 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∈ V
3130fodom 10279 . . . 4 ((𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)):dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴))–onto𝐴𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)))
32 ssdomg 8786 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ⊆ 𝐵 → dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵))
331, 11, 32mp2 9 . . . . 5 dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵
34 domtr 8793 . . . . 5 ((𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ∧ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) ≼ 𝐵) → 𝐴𝐵)
3533, 34mpan2 688 . . . 4 (𝐴 ≼ dom (𝑓 ∩ (𝐵 × 𝐴)) → 𝐴𝐵)
3627, 31, 353syl 18 . . 3 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
3736exlimiv 1933 . 2 (∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥) → 𝐴𝐵)
386, 37impbii 208 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑦𝑓𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wal 1537   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  ∃*wmo 2538  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3432  cin 3886  wss 3887   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590  Rel wrel 5594  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ontowfo 6431  cdom 8731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-ac2 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872
This theorem is referenced by:  brdom6disj  10288
  Copyright terms: Public domain W3C validator