Theorem prinfzo0 13873

Description: The intersection of a half-open integer range and the pair of its outer left borders is empty. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prinfzo0	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem prinfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3 13707	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
2		fznuz 13783	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
4	3	3mix1d 1355	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
5		3ianor 1124	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
6		elfzo2 13836	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
7	5, 6	xchnxbir 336	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
8	4, 7	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
9		incom 4109	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀})
10	9	eqeq1i 2768	. . . 4 ⊢ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
11		disjsn 4673	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
12	10, 11	bitri 278	. . 3 ⊢ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
13	8, 12	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
14		fzonel 13848	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
16		incom 4109	. . . . 5 ⊢ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁})
17	16	eqeq1i 2768	. . . 4 ⊢ (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
18		disjsn 4673	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
19	17, 18	bitri 278	. . 3 ⊢ (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
20	15, 19	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
21		df-pr 4591	. . . . 5 ⊢ {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
22	21	ineq1i 4116	. . . 4 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
23	22	eqeq1i 2768	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
24		undisj1 4418	. . 3 ⊢ ((({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅) ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
25	23, 24	bitr4i 281	. 2 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅))
26	13, 20, 25	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  spthispth  30366