MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prinfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prinfzo0 12715
Description: The intersection of a half-open integer range and the pair of its outer left borders is empty. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
prinfzo0 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem prinfzo0
StepHypRef Expression
1 elfz3 12558 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
2 fznuz 12629 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
433mix1d 1435 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
5 3ianor 1132 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
6 elfzo2 12681 . . . . 5 (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
75, 6xchnxbir 324 . . . 4 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
84, 7sylibr 225 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
9 incom 3967 . . . . 5 ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀})
109eqeq1i 2770 . . . 4 (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
11 disjsn 4402 . . . 4 ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
1210, 11bitri 266 . . 3 (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
138, 12sylibr 225 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
14 fzonel 12691 . . . 4 ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
1514a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
16 incom 3967 . . . . 5 ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁})
1716eqeq1i 2770 . . . 4 (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
18 disjsn 4402 . . . 4 ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
1917, 18bitri 266 . . 3 (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
2015, 19sylibr 225 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
21 df-pr 4337 . . . . 5 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2221ineq1i 3972 . . . 4 ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
2322eqeq1i 2770 . . 3 (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
24 undisj1 4190 . . 3 ((({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅) ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
2523, 24bitr4i 269 . 2 (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅))
2613, 20, 25sylanbrc 578 1 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3o 1106  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3730  cin 3731  c0 4079  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  spthispth  26913
  Copyright terms: Public domain W3C validator