Theorem prinfzo0 13744

Description: The intersection of a half-open integer range and the pair of its outer left borders is empty. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prinfzo0	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem prinfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3 13580	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
2		fznuz 13655	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
4	3	3mix1d 1337	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
5		3ianor 1107	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
6		elfzo2 13708	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
7	5, 6	xchnxbir 333	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
8	4, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
9		incom 4220	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀})
10	9	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
11		disjsn 4719	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
12	10, 11	bitri 275	. . 3 ⊢ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
13	8, 12	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
14		fzonel 13719	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
16		incom 4220	. . . . 5 ⊢ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁})
17	16	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
18		disjsn 4719	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
19	17, 18	bitri 275	. . 3 ⊢ (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
20	15, 19	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
21		df-pr 4637	. . . . 5 ⊢ {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
22	21	ineq1i 4227	. . . 4 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
23	22	eqeq1i 2742	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
24		undisj1 4471	. . 3 ⊢ ((({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅) ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
25	23, 24	bitr4i 278	. 2 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅))
26	13, 20, 25	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3964   ∩ cin 3965  ∅c0 4342  {csn 4634  {cpr 4636   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  1c1 11163   + caddc 11165   < clt 11302  ℤcz 12620  ℤ_≥cuz 12885  ...cfz 13553  ..^cfzo 13700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701

This theorem is referenced by:  spthispth  29770