Theorem fzsn 13724

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13692	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13691	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4600	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  (class class class)co 7440  ℤcz 12717  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  fzsuc  13729  fzpred  13730  fzpr  13737  fzsuc2  13740  fz0sn  13785  fz0sn0fz1  13803  fzosn  13895  seqf1o  14210  hashsng  14537  sumsnf  15935  fsum1  15939  fsumm1  15943  fsum1p  15945  prodsn  16155  fprod1  16156  prodsnf  16157  fprod1p  16161  fprodabs  16167  fprodefsum  16287  phi1  16976  vdwlem8  17192  strle1  17362  telgsumfzs  20230  pmatcollpw3fi1  23133  imasdsf1olem  24719  voliunlem1  25898  ply1termlem  26548  plyn0mulidp  26629  pntpbnd1  27940  0wlkons1  30739  iuninc  33224  fzspl  33448  esumfzf  34768  ballotlemfc0  35192  ballotlemfcc  35193  signstf0  35264  subfac1  36109  subfacp1lem1  36110  subfacp1lem5  36115  subfacp1lem6  36116  cvmliftlem10  36225  fwddifn0  37106  poimirlem2  38731  poimirlem3  38732  poimirlem4  38733  poimirlem6  38735  poimirlem7  38736  poimirlem13  38742  poimirlem14  38743  poimirlem16  38745  poimirlem17  38746  poimirlem18  38747  poimirlem19  38748  poimirlem20  38749  poimirlem21  38750  poimirlem22  38751  poimirlem26  38755  poimirlem28  38757  poimirlem31  38760  poimirlem32  38761  sdclem1  38868  fdc  38870  aks6d1c1  43357  sticksstones9  43395  sticksstones11  43397  trclfvdecomr  44918  sumsnd  46246  fzdifsuc2  46529  dvnmul  47156  stoweidlem17  47230  carageniuncllem1  47734  caratheodorylem1  47739  hoidmvlelem3  47810  fzopredsuc  48597  sbgoldbo  49088  nnsum3primesprm  49091  stgr1  49262