Theorem fzsn 13484

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13453	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13452	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4595	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4579  (class class class)co 7358  ℤcz 12490  ...cfz 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11369  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426

This theorem is referenced by:  fzsuc  13489  fzpred  13490  fzpr  13497  fzsuc2  13500  fz0sn  13545  fz0sn0fz1  13563  fzosn  13654  seqf1o  13968  hashsng  14294  sumsnf  15668  fsum1  15672  fsumm1  15676  fsum1p  15678  prodsn  15887  fprod1  15888  prodsnf  15889  fprod1p  15893  fprodabs  15899  fprodefsum  16020  phi1  16702  vdwlem8  16918  strle1  17087  telgsumfzs  19920  pmatcollpw3fi1  22734  imasdsf1olem  24319  ehl1eudis  25378  voliunlem1  25509  ply1termlem  26166  pntpbnd1  27555  0wlkons1  30177  iuninc  32615  fzspl  32848  esumfzf  34205  ballotlemfc0  34629  ballotlemfcc  34630  plymulx0  34683  signstf0  34704  subfac1  35351  subfacp1lem1  35352  subfacp1lem5  35357  subfacp1lem6  35358  cvmliftlem10  35467  fwddifn0  36337  poimirlem2  37792  poimirlem3  37793  poimirlem4  37794  poimirlem6  37796  poimirlem7  37797  poimirlem13  37803  poimirlem14  37804  poimirlem16  37806  poimirlem17  37807  poimirlem18  37808  poimirlem19  37809  poimirlem20  37810  poimirlem21  37811  poimirlem22  37812  poimirlem26  37816  poimirlem28  37818  poimirlem31  37821  poimirlem32  37822  sdclem1  37913  fdc  37915  aks6d1c1  42405  sticksstones9  42443  sticksstones11  42445  trclfvdecomr  44006  k0004val0  44432  sumsnd  45308  fzdifsuc2  45595  dvnmul  46224  stoweidlem17  46298  carageniuncllem1  46802  caratheodorylem1  46807  hoidmvlelem3  46878  fzopredsuc  47606  sbgoldbo  48070  nnsum3primesprm  48073  stgr1  48244