Theorem fzsn 13583

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13552	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13551	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4617	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2733	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601  (class class class)co 7405  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  fzsuc  13588  fzpred  13589  fzpr  13596  fzsuc2  13599  fz0sn  13644  fz0sn0fz1  13662  fzosn  13752  seqf1o  14061  hashsng  14387  sumsnf  15759  fsum1  15763  fsumm1  15767  fsum1p  15769  prodsn  15978  fprod1  15979  prodsnf  15980  fprod1p  15984  fprodabs  15990  fprodefsum  16111  phi1  16792  vdwlem8  17008  strle1  17177  telgsumfzs  19970  pmatcollpw3fi1  22726  imasdsf1olem  24312  ehl1eudis  25372  voliunlem1  25503  ply1termlem  26160  pntpbnd1  27549  0wlkons1  30102  iuninc  32541  fzspl  32766  esumfzf  34100  ballotlemfc0  34525  ballotlemfcc  34526  plymulx0  34579  signstf0  34600  subfac1  35200  subfacp1lem1  35201  subfacp1lem5  35206  subfacp1lem6  35207  cvmliftlem10  35316  fwddifn0  36182  poimirlem2  37646  poimirlem3  37647  poimirlem4  37648  poimirlem6  37650  poimirlem7  37651  poimirlem13  37657  poimirlem14  37658  poimirlem16  37660  poimirlem17  37661  poimirlem18  37662  poimirlem19  37663  poimirlem20  37664  poimirlem21  37665  poimirlem22  37666  poimirlem26  37670  poimirlem28  37672  poimirlem31  37675  poimirlem32  37676  sdclem1  37767  fdc  37769  aks6d1c1  42129  sticksstones9  42167  sticksstones11  42169  metakunt18  42235  metakunt20  42237  metakunt24  42241  trclfvdecomr  43752  k0004val0  44178  sumsnd  45050  fzdifsuc2  45339  dvnmul  45972  stoweidlem17  46046  carageniuncllem1  46550  caratheodorylem1  46555  hoidmvlelem3  46626  fzopredsuc  47352  sbgoldbo  47801  nnsum3primesprm  47804  stgr1  47973