Theorem fzsn 13623

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13591	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13590	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4603	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  (class class class)co 7416  ℤcz 12618  ...cfz 13563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564

This theorem is used by:  fzsuc  13628  fzpred  13629  fzpr  13636  fzsuc2  13639  fz0sn  13684  fz0sn0fz1  13702  fzosn  13794  seqf1o  14109  hashsng  14435  sumsnf  15831  fsum1  15835  fsumm1  15839  fsum1p  15841  prodsn  16053  fprod1  16054  prodsnf  16055  fprod1p  16059  fprodabs  16065  fprodefsum  16185  phi1  16868  vdwlem8  17084  strle1  17254  telgsumfzs  20117  pmatcollpw3fi1  23014  imasdsf1olem  24600  ehl1eudis  25649  voliunlem1  25779  ply1termlem  26430  plyn0mulidp  26512  pntpbnd1  27820  0wlkons1  30577  iuninc  33020  fzspl  33247  esumfzf  34566  ballotlemfc0  34991  ballotlemfcc  34992  signstf0  35063  subfac1  35744  subfacp1lem1  35745  subfacp1lem5  35750  subfacp1lem6  35751  cvmliftlem10  35860  fwddifn0  36731  poimirlem2  38358  poimirlem3  38359  poimirlem4  38360  poimirlem6  38362  poimirlem7  38363  poimirlem13  38369  poimirlem14  38370  poimirlem16  38372  poimirlem17  38373  poimirlem18  38374  poimirlem19  38375  poimirlem20  38376  poimirlem21  38377  poimirlem22  38378  poimirlem26  38382  poimirlem28  38384  poimirlem31  38387  poimirlem32  38388  sdclem1  38480  fdc  38482  aks6d1c1  42969  sticksstones9  43007  sticksstones11  43009  trclfvdecomr  44555  k0004val0  44981  sumsnd  45847  fzdifsuc2  46130  dvnmul  46758  stoweidlem17  46832  carageniuncllem1  47336  caratheodorylem1  47341  hoidmvlelem3  47412  fzopredsuc  48199  sbgoldbo  48690  nnsum3primesprm  48693  stgr1  48864