Theorem fzsn 13482

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13451	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13450	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4596	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580  (class class class)co 7358  ℤcz 12488  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fzsuc  13487  fzpred  13488  fzpr  13495  fzsuc2  13498  fz0sn  13543  fz0sn0fz1  13561  fzosn  13652  seqf1o  13966  hashsng  14292  sumsnf  15666  fsum1  15670  fsumm1  15674  fsum1p  15676  prodsn  15885  fprod1  15886  prodsnf  15887  fprod1p  15891  fprodabs  15897  fprodefsum  16018  phi1  16700  vdwlem8  16916  strle1  17085  telgsumfzs  19918  pmatcollpw3fi1  22732  imasdsf1olem  24317  ehl1eudis  25376  voliunlem1  25507  ply1termlem  26164  pntpbnd1  27553  0wlkons1  30196  iuninc  32635  fzspl  32869  esumfzf  34226  ballotlemfc0  34650  ballotlemfcc  34651  plymulx0  34704  signstf0  34725  subfac1  35372  subfacp1lem1  35373  subfacp1lem5  35378  subfacp1lem6  35379  cvmliftlem10  35488  fwddifn0  36358  poimirlem2  37823  poimirlem3  37824  poimirlem4  37825  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem13  37834  poimirlem14  37835  poimirlem16  37837  poimirlem17  37838  poimirlem18  37839  poimirlem19  37840  poimirlem20  37841  poimirlem21  37842  poimirlem22  37843  poimirlem26  37847  poimirlem28  37849  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  sdclem1  37944  fdc  37946  aks6d1c1  42370  sticksstones9  42408  sticksstones11  42410  trclfvdecomr  43969  k0004val0  44395  sumsnd  45271  fzdifsuc2  45558  dvnmul  46187  stoweidlem17  46261  carageniuncllem1  46765  caratheodorylem1  46770  hoidmvlelem3  46841  fzopredsuc  47569  sbgoldbo  48033  nnsum3primesprm  48036  stgr1  48207