MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsn 12948
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 12917 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2 elfz3 12916 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
42, 3syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
51, 4impbid2 229 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6 velsn 4544 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
75, 6syl6bbr 292 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
87eqrdv 2799 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  {csn 4528  (class class class)co 7139  cz 11973  ...cfz 12889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-neg 10866  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890
This theorem is referenced by:  fzsuc  12953  fzpred  12954  fzpr  12961  fzsuc2  12964  fz0sn  13006  fz0sn0fz1  13023  fzosn  13107  seqf1o  13411  hashsng  13730  sumsnf  15095  fsum1  15098  fsumm1  15102  fsum1p  15104  prodsn  15312  fprod1  15313  prodsnf  15314  fprod1p  15318  fprodabs  15324  fprodefsum  15444  phi1  16104  vdwlem8  16318  strle1  16588  telgsumfzs  19106  pmatcollpw3fi1  21397  imasdsf1olem  22984  ehl1eudis  24028  voliunlem1  24158  ply1termlem  24804  pntpbnd1  26174  0wlkons1  27910  iuninc  30328  fzspl  30543  esumfzf  31442  ballotlemfc0  31864  ballotlemfcc  31865  plymulx0  31931  signstf0  31952  subfac1  32539  subfacp1lem1  32540  subfacp1lem5  32545  subfacp1lem6  32546  cvmliftlem10  32655  fwddifn0  33739  poimirlem2  35058  poimirlem3  35059  poimirlem4  35060  poimirlem6  35062  poimirlem7  35063  poimirlem13  35069  poimirlem14  35070  poimirlem16  35072  poimirlem17  35073  poimirlem18  35074  poimirlem19  35075  poimirlem20  35076  poimirlem21  35077  poimirlem22  35078  poimirlem26  35082  poimirlem28  35084  poimirlem31  35087  poimirlem32  35088  sdclem1  35180  fdc  35182  metakunt18  39364  metakunt20  39366  metakunt24  39370  trclfvdecomr  40426  k0004val0  40854  sumsnd  41652  fzdifsuc2  41939  dvnmul  42582  stoweidlem17  42656  carageniuncllem1  43157  caratheodorylem1  43162  hoidmvlelem3  43233  fzopredsuc  43877  sbgoldbo  44302  nnsum3primesprm  44305
  Copyright terms: Public domain W3C validator