Theorem fzsn 13307

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13276	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13275	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 225	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4578	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4562  (class class class)co 7284  ℤcz 12328  ...cfz 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-neg 11217  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249

This theorem is referenced by:  fzsuc  13312  fzpred  13313  fzpr  13320  fzsuc2  13323  fz0sn  13365  fz0sn0fz1  13382  fzosn  13467  seqf1o  13773  hashsng  14093  sumsnf  15464  fsum1  15468  fsumm1  15472  fsum1p  15474  prodsn  15681  fprod1  15682  prodsnf  15683  fprod1p  15687  fprodabs  15693  fprodefsum  15813  phi1  16483  vdwlem8  16698  strle1  16868  telgsumfzs  19599  pmatcollpw3fi1  21946  imasdsf1olem  23535  ehl1eudis  24593  voliunlem1  24723  ply1termlem  25373  pntpbnd1  26743  0wlkons1  28494  iuninc  30909  fzspl  31120  esumfzf  32046  ballotlemfc0  32468  ballotlemfcc  32469  plymulx0  32535  signstf0  32556  subfac1  33149  subfacp1lem1  33150  subfacp1lem5  33155  subfacp1lem6  33156  cvmliftlem10  33265  fwddifn0  34475  poimirlem2  35788  poimirlem3  35789  poimirlem4  35790  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem13  35799  poimirlem14  35800  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem18  35804  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem21  35807  poimirlem22  35808  poimirlem26  35812  poimirlem28  35814  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  sdclem1  35910  fdc  35912  sticksstones9  40117  sticksstones11  40119  metakunt18  40149  metakunt20  40151  metakunt24  40155  trclfvdecomr  41343  k0004val0  41771  sumsnd  42576  fzdifsuc2  42856  dvnmul  43491  stoweidlem17  43565  carageniuncllem1  44066  caratheodorylem1  44071  hoidmvlelem3  44142  fzopredsuc  44826  sbgoldbo  45250  nnsum3primesprm  45253