Theorem fzsn 13515

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13484	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 228	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4574	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 291	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2739	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558  (class class class)co 7360  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzsuc  13520  fzpred  13521  fzpr  13528  fzsuc2  13531  fz0sn  13576  fz0sn0fz1  13594  fzosn  13686  seqf1o  14000  hashsng  14326  sumsnf  15700  fsum1  15704  fsumm1  15708  fsum1p  15710  prodsn  15922  fprod1  15923  prodsnf  15924  fprod1p  15928  fprodabs  15934  fprodefsum  16055  phi1  16738  vdwlem8  16954  strle1  17123  telgsumfzs  19959  pmatcollpw3fi1  22775  imasdsf1olem  24360  ehl1eudis  25409  voliunlem1  25539  ply1termlem  26190  pntpbnd1  27571  0wlkons1  30213  iuninc  32653  fzspl  32885  esumfzf  34265  ballotlemfc0  34689  ballotlemfcc  34690  plymulx0  34743  signstf0  34764  subfac1  35421  subfacp1lem1  35422  subfacp1lem5  35427  subfacp1lem6  35428  cvmliftlem10  35537  fwddifn0  36407  poimirlem2  38004  poimirlem3  38005  poimirlem4  38006  poimirlem6  38008  poimirlem7  38009  poimirlem13  38015  poimirlem14  38016  poimirlem16  38018  poimirlem17  38019  poimirlem18  38020  poimirlem19  38021  poimirlem20  38022  poimirlem21  38023  poimirlem22  38024  poimirlem26  38028  poimirlem28  38030  poimirlem31  38033  poimirlem32  38034  sdclem1  38125  fdc  38127  aks6d1c1  42616  sticksstones9  42654  sticksstones11  42656  trclfvdecomr  44187  k0004val0  44613  sumsnd  45489  fzdifsuc2  45772  dvnmul  46400  stoweidlem17  46474  carageniuncllem1  46978  caratheodorylem1  46983  hoidmvlelem3  47054  fzopredsuc  47801  sbgoldbo  48292  nnsum3primesprm  48295  stgr1  48466