Theorem fzsn 13605

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13573	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13572	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4608	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2764	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4592  (class class class)co 7416  ℤcz 12601  ...cfz 13545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-neg 11454  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546

This theorem is used by:  fzsuc  13610  fzpred  13611  fzpr  13618  fzsuc2  13621  fz0sn  13666  fz0sn0fz1  13684  fzosn  13776  seqf1o  14090  hashsng  14416  sumsnf  15805  fsum1  15809  fsumm1  15813  fsum1p  15815  prodsn  16027  fprod1  16028  prodsnf  16029  fprod1p  16033  fprodabs  16039  fprodefsum  16159  phi1  16842  vdwlem8  17058  strle1  17228  telgsumfzs  20069  pmatcollpw3fi1  22960  imasdsf1olem  24545  ehl1eudis  25594  voliunlem1  25724  ply1termlem  26375  plyn0mulidp  26457  pntpbnd1  27765  0wlkons1  30487  iuninc  32920  fzspl  33149  esumfzf  34472  ballotlemfc0  34896  ballotlemfcc  34897  signstf0  34968  subfac1  35682  subfacp1lem1  35683  subfacp1lem5  35688  subfacp1lem6  35689  cvmliftlem10  35798  fwddifn0  36668  poimirlem2  38305  poimirlem3  38306  poimirlem4  38307  poimirlem6  38309  poimirlem7  38310  poimirlem13  38316  poimirlem14  38317  poimirlem16  38319  poimirlem17  38320  poimirlem18  38321  poimirlem19  38322  poimirlem20  38323  poimirlem21  38324  poimirlem22  38325  poimirlem26  38329  poimirlem28  38331  poimirlem31  38334  poimirlem32  38335  sdclem1  38426  fdc  38428  aks6d1c1  42915  sticksstones9  42953  sticksstones11  42955  trclfvdecomr  44486  k0004val0  44912  sumsnd  45778  fzdifsuc2  46061  dvnmul  46689  stoweidlem17  46763  carageniuncllem1  47267  caratheodorylem1  47272  hoidmvlelem3  47343  fzopredsuc  48093  sbgoldbo  48584  nnsum3primesprm  48587  stgr1  48758