Theorem fzsn 13654

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13622	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13621	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4600	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  (class class class)co 7409  ℤcz 12648  ...cfz 13594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-neg 11501  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595

This theorem is used by:  fzsuc  13659  fzpred  13660  fzpr  13667  fzsuc2  13670  fz0sn  13715  fz0sn0fz1  13733  fzosn  13825  seqf1o  14140  hashsng  14466  sumsnf  15862  fsum1  15866  fsumm1  15870  fsum1p  15872  prodsn  16082  fprod1  16083  prodsnf  16084  fprod1p  16088  fprodabs  16094  fprodefsum  16214  phi1  16897  vdwlem8  17113  strle1  17283  telgsumfzs  20150  pmatcollpw3fi1  23053  imasdsf1olem  24639  ehl1eudis  25688  voliunlem1  25818  ply1termlem  26468  plyn0mulidp  26551  pntpbnd1  27862  0wlkons1  30631  iuninc  33074  fzspl  33300  esumfzf  34620  ballotlemfc0  35045  ballotlemfcc  35046  signstf0  35117  subfac1  35858  subfacp1lem1  35859  subfacp1lem5  35864  subfacp1lem6  35865  cvmliftlem10  35974  fwddifn0  36845  poimirlem2  38454  poimirlem3  38455  poimirlem4  38456  poimirlem6  38458  poimirlem7  38459  poimirlem13  38465  poimirlem14  38466  poimirlem16  38468  poimirlem17  38469  poimirlem18  38470  poimirlem19  38471  poimirlem20  38472  poimirlem21  38473  poimirlem22  38474  poimirlem26  38478  poimirlem28  38480  poimirlem31  38483  poimirlem32  38484  sdclem1  38591  fdc  38593  aks6d1c1  43080  sticksstones9  43118  sticksstones11  43120  trclfvdecomr  44666  k0004val0  45092  sumsnd  45958  fzdifsuc2  46241  dvnmul  46869  stoweidlem17  46943  carageniuncllem1  47447  caratheodorylem1  47452  hoidmvlelem3  47523  fzopredsuc  48310  sbgoldbo  48801  nnsum3primesprm  48804  stgr1  48975