Theorem fzsn 13466

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13435	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13434	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4589	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  (class class class)co 7346  ℤcz 12468  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  fzsuc  13471  fzpred  13472  fzpr  13479  fzsuc2  13482  fz0sn  13527  fz0sn0fz1  13545  fzosn  13636  seqf1o  13950  hashsng  14276  sumsnf  15650  fsum1  15654  fsumm1  15658  fsum1p  15660  prodsn  15869  fprod1  15870  prodsnf  15871  fprod1p  15875  fprodabs  15881  fprodefsum  16002  phi1  16684  vdwlem8  16900  strle1  17069  telgsumfzs  19901  pmatcollpw3fi1  22703  imasdsf1olem  24288  ehl1eudis  25347  voliunlem1  25478  ply1termlem  26135  pntpbnd1  27524  0wlkons1  30101  iuninc  32540  fzspl  32772  esumfzf  34082  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  plymulx0  34560  signstf0  34581  subfac1  35222  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem5  35228  subfacp1lem6  35229  cvmliftlem10  35338  fwddifn0  36208  poimirlem2  37661  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem13  37672  poimirlem14  37673  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem18  37677  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem21  37680  poimirlem22  37681  poimirlem26  37685  poimirlem28  37687  poimirlem31  37690  poimirlem32  37691  sdclem1  37782  fdc  37784  aks6d1c1  42208  sticksstones9  42246  sticksstones11  42248  trclfvdecomr  43820  k0004val0  44246  sumsnd  45122  fzdifsuc2  45410  dvnmul  46040  stoweidlem17  46114  carageniuncllem1  46618  caratheodorylem1  46623  hoidmvlelem3  46694  fzopredsuc  47422  sbgoldbo  47886  nnsum3primesprm  47889  stgr1  48060