Theorem fzsn 13496

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13465	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13464	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4598	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  (class class class)co 7370  ℤcz 12502  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fzsuc  13501  fzpred  13502  fzpr  13509  fzsuc2  13512  fz0sn  13557  fz0sn0fz1  13575  fzosn  13666  seqf1o  13980  hashsng  14306  sumsnf  15680  fsum1  15684  fsumm1  15688  fsum1p  15690  prodsn  15899  fprod1  15900  prodsnf  15901  fprod1p  15905  fprodabs  15911  fprodefsum  16032  phi1  16714  vdwlem8  16930  strle1  17099  telgsumfzs  19935  pmatcollpw3fi1  22749  imasdsf1olem  24334  ehl1eudis  25393  voliunlem1  25524  ply1termlem  26181  pntpbnd1  27570  0wlkons1  30214  iuninc  32653  fzspl  32886  esumfzf  34253  ballotlemfc0  34677  ballotlemfcc  34678  plymulx0  34731  signstf0  34752  subfac1  35400  subfacp1lem1  35401  subfacp1lem5  35406  subfacp1lem6  35407  cvmliftlem10  35516  fwddifn0  36386  poimirlem2  37902  poimirlem3  37903  poimirlem4  37904  poimirlem6  37906  poimirlem7  37907  poimirlem13  37913  poimirlem14  37914  poimirlem16  37916  poimirlem17  37917  poimirlem18  37918  poimirlem19  37919  poimirlem20  37920  poimirlem21  37921  poimirlem22  37922  poimirlem26  37926  poimirlem28  37928  poimirlem31  37931  poimirlem32  37932  sdclem1  38023  fdc  38025  aks6d1c1  42515  sticksstones9  42553  sticksstones11  42555  trclfvdecomr  44113  k0004val0  44539  sumsnd  45415  fzdifsuc2  45701  dvnmul  46330  stoweidlem17  46404  carageniuncllem1  46908  caratheodorylem1  46913  hoidmvlelem3  46984  fzopredsuc  47712  sbgoldbo  48176  nnsum3primesprm  48179  stgr1  48350