Theorem fzsn 13543

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13512	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13511	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 225	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4645	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2731	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  fzsuc  13548  fzpred  13549  fzpr  13556  fzsuc2  13559  fz0sn  13601  fz0sn0fz1  13618  fzosn  13703  seqf1o  14009  hashsng  14329  sumsnf  15689  fsum1  15693  fsumm1  15697  fsum1p  15699  prodsn  15906  fprod1  15907  prodsnf  15908  fprod1p  15912  fprodabs  15918  fprodefsum  16038  phi1  16706  vdwlem8  16921  strle1  17091  telgsumfzs  19857  pmatcollpw3fi1  22290  imasdsf1olem  23879  ehl1eudis  24937  voliunlem1  25067  ply1termlem  25717  pntpbnd1  27089  0wlkons1  29374  iuninc  31792  fzspl  32001  esumfzf  33067  ballotlemfc0  33491  ballotlemfcc  33492  plymulx0  33558  signstf0  33579  subfac1  34169  subfacp1lem1  34170  subfacp1lem5  34175  subfacp1lem6  34176  cvmliftlem10  34285  fwddifn0  35136  poimirlem2  36490  poimirlem3  36491  poimirlem4  36492  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem13  36501  poimirlem14  36502  poimirlem16  36504  poimirlem17  36505  poimirlem18  36506  poimirlem19  36507  poimirlem20  36508  poimirlem21  36509  poimirlem22  36510  poimirlem26  36514  poimirlem28  36516  poimirlem31  36519  poimirlem32  36520  sdclem1  36611  fdc  36613  sticksstones9  40970  sticksstones11  40972  metakunt18  41002  metakunt20  41004  metakunt24  41008  trclfvdecomr  42479  k0004val0  42905  sumsnd  43710  fzdifsuc2  44020  dvnmul  44659  stoweidlem17  44733  carageniuncllem1  45237  caratheodorylem1  45242  hoidmvlelem3  45313  fzopredsuc  46031  sbgoldbo  46455  nnsum3primesprm  46458