Theorem fzsn 13505

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13474	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13473	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4601	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585  (class class class)co 7369  ℤcz 12507  ...cfz 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-neg 11386  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447

This theorem is referenced by:  fzsuc  13510  fzpred  13511  fzpr  13518  fzsuc2  13521  fz0sn  13566  fz0sn0fz1  13584  fzosn  13675  seqf1o  13986  hashsng  14312  sumsnf  15686  fsum1  15690  fsumm1  15694  fsum1p  15696  prodsn  15905  fprod1  15906  prodsnf  15907  fprod1p  15911  fprodabs  15917  fprodefsum  16038  phi1  16720  vdwlem8  16936  strle1  17105  telgsumfzs  19904  pmatcollpw3fi1  22709  imasdsf1olem  24295  ehl1eudis  25354  voliunlem1  25485  ply1termlem  26142  pntpbnd1  27531  0wlkons1  30101  iuninc  32540  fzspl  32763  esumfzf  34053  ballotlemfc0  34478  ballotlemfcc  34479  plymulx0  34532  signstf0  34553  subfac1  35159  subfacp1lem1  35160  subfacp1lem5  35165  subfacp1lem6  35166  cvmliftlem10  35275  fwddifn0  36146  poimirlem2  37610  poimirlem3  37611  poimirlem4  37612  poimirlem6  37614  poimirlem7  37615  poimirlem13  37621  poimirlem14  37622  poimirlem16  37624  poimirlem17  37625  poimirlem18  37626  poimirlem19  37627  poimirlem20  37628  poimirlem21  37629  poimirlem22  37630  poimirlem26  37634  poimirlem28  37636  poimirlem31  37639  poimirlem32  37640  sdclem1  37731  fdc  37733  aks6d1c1  42098  sticksstones9  42136  sticksstones11  42138  trclfvdecomr  43711  k0004val0  44137  sumsnd  45014  fzdifsuc2  45302  dvnmul  45935  stoweidlem17  46009  carageniuncllem1  46513  caratheodorylem1  46518  hoidmvlelem3  46589  fzopredsuc  47318  sbgoldbo  47782  nnsum3primesprm  47785  stgr1  47954