MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsn 13484
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 13453 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2 elfz3 13452 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
42, 3syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
51, 4impbid2 225 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6 velsn 4603 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
75, 6bitr4di 289 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
87eqrdv 2735 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4587  (class class class)co 7358  cz 12500  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  fzsuc  13489  fzpred  13490  fzpr  13497  fzsuc2  13500  fz0sn  13542  fz0sn0fz1  13559  fzosn  13644  seqf1o  13950  hashsng  14270  sumsnf  15629  fsum1  15633  fsumm1  15637  fsum1p  15639  prodsn  15846  fprod1  15847  prodsnf  15848  fprod1p  15852  fprodabs  15858  fprodefsum  15978  phi1  16646  vdwlem8  16861  strle1  17031  telgsumfzs  19767  pmatcollpw3fi1  22140  imasdsf1olem  23729  ehl1eudis  24787  voliunlem1  24917  ply1termlem  25567  pntpbnd1  26937  0wlkons1  29068  iuninc  31482  fzspl  31696  esumfzf  32671  ballotlemfc0  33095  ballotlemfcc  33096  plymulx0  33162  signstf0  33183  subfac1  33775  subfacp1lem1  33776  subfacp1lem5  33781  subfacp1lem6  33782  cvmliftlem10  33891  fwddifn0  34752  poimirlem2  36083  poimirlem3  36084  poimirlem4  36085  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem13  36094  poimirlem14  36095  poimirlem16  36097  poimirlem17  36098  poimirlem18  36099  poimirlem19  36100  poimirlem20  36101  poimirlem21  36102  poimirlem22  36103  poimirlem26  36107  poimirlem28  36109  poimirlem31  36112  poimirlem32  36113  sdclem1  36205  fdc  36207  sticksstones9  40565  sticksstones11  40567  metakunt18  40597  metakunt20  40599  metakunt24  40603  trclfvdecomr  42007  k0004val0  42433  sumsnd  43238  fzdifsuc2  43551  dvnmul  44191  stoweidlem17  44265  carageniuncllem1  44769  caratheodorylem1  44774  hoidmvlelem3  44845  fzopredsuc  45562  sbgoldbo  45986  nnsum3primesprm  45989
  Copyright terms: Public domain W3C validator