Theorem fzsn 12705

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 12674	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 12673	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 218	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4414	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	syl6bbr 281	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2776	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {csn 4398  (class class class)co 6924  ℤcz 11733  ...cfz 12648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-neg 10611  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649

This theorem is referenced by:  fzsuc  12710  fzpred  12711  fzpr  12718  fzsuc2  12721  fz0sn  12763  fz0sn0fz1  12780  fzosn  12863  seqf1o  13165  hashsng  13480  sumsnf  14889  fsum1  14892  fsumm1  14896  fsum1p  14898  prodsn  15104  fprod1  15105  prodsnf  15106  fprod1p  15110  fprodabs  15116  fprodefsum  15236  phi1  15893  vdwlem8  16107  strle1  16376  telgsumfzs  18784  pmatcollpw3fi1  21011  imasdsf1olem  22597  ehl1eudis  23637  voliunlem1  23765  ply1termlem  24407  pntpbnd1  25744  0wlkons1  27541  iuninc  29958  fzspl  30128  esumfzf  30737  ballotlemfc0  31161  ballotlemfcc  31162  plymulx0  31232  signstf0  31253  subfac1  31767  subfacp1lem1  31768  subfacp1lem5  31773  subfacp1lem6  31774  cvmliftlem10  31883  fwddifn0  32868  poimirlem2  34046  poimirlem3  34047  poimirlem4  34048  poimirlem6  34050  poimirlem7  34051  poimirlem13  34057  poimirlem14  34058  poimirlem16  34060  poimirlem17  34061  poimirlem18  34062  poimirlem19  34063  poimirlem20  34064  poimirlem21  34065  poimirlem22  34066  poimirlem26  34070  poimirlem28  34072  poimirlem31  34075  poimirlem32  34076  sdclem1  34172  fdc  34174  trclfvdecomr  38991  k0004val0  39422  sumsnd  40132  fzdifsuc2  40447  dvnmul  41100  stoweidlem17  41175  carageniuncllem1  41676  caratheodorylem1  41681  hoidmvlelem3  41752  fzopredsuc  42379  sbgoldbo  42714  nnsum3primesprm  42717