Theorem fzsn 13515

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13484	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4584	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  (class class class)co 7362  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzsuc  13520  fzpred  13521  fzpr  13528  fzsuc2  13531  fz0sn  13576  fz0sn0fz1  13594  fzosn  13686  seqf1o  14000  hashsng  14326  sumsnf  15700  fsum1  15704  fsumm1  15708  fsum1p  15710  prodsn  15922  fprod1  15923  prodsnf  15924  fprod1p  15928  fprodabs  15934  fprodefsum  16055  phi1  16738  vdwlem8  16954  strle1  17123  telgsumfzs  19959  pmatcollpw3fi1  22767  imasdsf1olem  24352  ehl1eudis  25401  voliunlem1  25531  ply1termlem  26182  pntpbnd1  27567  0wlkons1  30210  iuninc  32649  fzspl  32881  esumfzf  34233  ballotlemfc0  34657  ballotlemfcc  34658  plymulx0  34711  signstf0  34732  subfac1  35380  subfacp1lem1  35381  subfacp1lem5  35386  subfacp1lem6  35387  cvmliftlem10  35496  fwddifn0  36366  poimirlem2  37963  poimirlem3  37964  poimirlem4  37965  poimirlem6  37967  poimirlem7  37968  poimirlem13  37974  poimirlem14  37975  poimirlem16  37977  poimirlem17  37978  poimirlem18  37979  poimirlem19  37980  poimirlem20  37981  poimirlem21  37982  poimirlem22  37983  poimirlem26  37987  poimirlem28  37989  poimirlem31  37992  poimirlem32  37993  sdclem1  38084  fdc  38086  aks6d1c1  42575  sticksstones9  42613  sticksstones11  42615  trclfvdecomr  44179  k0004val0  44605  sumsnd  45481  fzdifsuc2  45767  dvnmul  46395  stoweidlem17  46469  carageniuncllem1  46973  caratheodorylem1  46978  hoidmvlelem3  47049  fzopredsuc  47790  sbgoldbo  48281  nnsum3primesprm  48284  stgr1  48455