Theorem fzsn 13119

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 13088	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 13087	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 229	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4543	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {csn 4527  (class class class)co 7191  ℤcz 12141  ...cfz 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061

This theorem is referenced by:  fzsuc  13124  fzpred  13125  fzpr  13132  fzsuc2  13135  fz0sn  13177  fz0sn0fz1  13194  fzosn  13278  seqf1o  13582  hashsng  13901  sumsnf  15271  fsum1  15274  fsumm1  15278  fsum1p  15280  prodsn  15487  fprod1  15488  prodsnf  15489  fprod1p  15493  fprodabs  15499  fprodefsum  15619  phi1  16289  vdwlem8  16504  strle1  16776  telgsumfzs  19328  pmatcollpw3fi1  21639  imasdsf1olem  23225  ehl1eudis  24271  voliunlem1  24401  ply1termlem  25051  pntpbnd1  26421  0wlkons1  28158  iuninc  30573  fzspl  30785  esumfzf  31703  ballotlemfc0  32125  ballotlemfcc  32126  plymulx0  32192  signstf0  32213  subfac1  32807  subfacp1lem1  32808  subfacp1lem5  32813  subfacp1lem6  32814  cvmliftlem10  32923  fwddifn0  34152  poimirlem2  35465  poimirlem3  35466  poimirlem4  35467  poimirlem6  35469  poimirlem7  35470  poimirlem13  35476  poimirlem14  35477  poimirlem16  35479  poimirlem17  35480  poimirlem18  35481  poimirlem19  35482  poimirlem20  35483  poimirlem21  35484  poimirlem22  35485  poimirlem26  35489  poimirlem28  35491  poimirlem31  35494  poimirlem32  35495  sdclem1  35587  fdc  35589  sticksstones9  39779  sticksstones11  39781  metakunt18  39805  metakunt20  39807  metakunt24  39811  trclfvdecomr  40954  k0004val0  41382  sumsnd  42183  fzdifsuc2  42463  dvnmul  43102  stoweidlem17  43176  carageniuncllem1  43677  caratheodorylem1  43682  hoidmvlelem3  43753  fzopredsuc  44431  sbgoldbo  44855  nnsum3primesprm  44858