Theorem iccssred 13166

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25080  iccshift  43056  eliccelioc  43059  limciccioolb  43162  limcicciooub  43178  icccncfext  43428  cncfiooicclem1  43434  itgcoscmulx  43510  ibliooicc  43512  itgsincmulx  43515  itgsubsticclem  43516  itgiccshift  43521  itgperiod  43522  itgsbtaddcnst  43523  dirkeritg  43643  fourierdlem20  43668  fourierdlem25  43673  fourierdlem39  43687  fourierdlem40  43688  fourierdlem42  43690  fourierdlem46  43693  fourierdlem50  43697  fourierdlem51  43698  fourierdlem52  43699  fourierdlem54  43701  fourierdlem58  43705  fourierdlem64  43711  fourierdlem68  43715  fourierdlem73  43720  fourierdlem74  43721  fourierdlem75  43722  fourierdlem76  43723  fourierdlem78  43725  fourierdlem79  43726  fourierdlem80  43727  fourierdlem81  43728  fourierdlem84  43731  fourierdlem88  43735  fourierdlem89  43736  fourierdlem90  43737  fourierdlem91  43738  fourierdlem100  43747  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem107  43754  fourierdlem111  43758  fourierdlem112  43759  etransclem18  43793  etransclem46  43821  rrxsnicc  43841  hoidmv1lelem1  44129  hoidmv1lelem3  44131  hoidmvlelem1  44133  hoidmvlelem2  44134  hoidmvlelem4  44136