Theorem iccssred 13566

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13561	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  [,]cicc 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-icc 13484

This theorem is used by:  dvmptresicc  26237  cmvth  26312  dvfsumle  26342  iccshift  46606  eliccelioc  46609  limciccioolb  46709  limcicciooub  46723  icccncfext  46973  cncfiooicclem1  46979  itgcoscmulx  47055  ibliooicc  47057  itgsincmulx  47060  itgsubsticclem  47061  itgiccshift  47066  itgperiod  47067  itgsbtaddcnst  47068  dirkeritg  47188  fourierdlem20  47213  fourierdlem25  47218  fourierdlem39  47232  fourierdlem40  47233  fourierdlem42  47235  fourierdlem46  47238  fourierdlem50  47242  fourierdlem51  47243  fourierdlem52  47244  fourierdlem54  47246  fourierdlem58  47250  fourierdlem64  47256  fourierdlem68  47260  fourierdlem73  47265  fourierdlem74  47266  fourierdlem75  47267  fourierdlem76  47268  fourierdlem78  47270  fourierdlem79  47271  fourierdlem80  47272  fourierdlem81  47273  fourierdlem84  47276  fourierdlem88  47280  fourierdlem89  47281  fourierdlem90  47282  fourierdlem91  47283  fourierdlem100  47292  fourierdlem103  47295  fourierdlem104  47296  fourierdlem107  47299  fourierdlem111  47303  fourierdlem112  47304  etransclem18  47338  etransclem46  47366  rrxsnicc  47386  hoidmv1lelem1  47677  hoidmv1lelem3  47679  hoidmvlelem1  47681  hoidmvlelem2  47682  hoidmvlelem4  47684