Theorem iccssred 13362

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13357	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25885  cmvth  25963  dvfsumle  25994  iccshift  45867  eliccelioc  45870  limciccioolb  45970  limcicciooub  45984  icccncfext  46234  cncfiooicclem1  46240  itgcoscmulx  46316  ibliooicc  46318  itgsincmulx  46321  itgsubsticclem  46322  itgiccshift  46327  itgperiod  46328  itgsbtaddcnst  46329  dirkeritg  46449  fourierdlem20  46474  fourierdlem25  46479  fourierdlem39  46493  fourierdlem40  46494  fourierdlem42  46496  fourierdlem46  46499  fourierdlem50  46503  fourierdlem51  46504  fourierdlem52  46505  fourierdlem54  46507  fourierdlem58  46511  fourierdlem64  46517  fourierdlem68  46521  fourierdlem73  46526  fourierdlem74  46527  fourierdlem75  46528  fourierdlem76  46529  fourierdlem78  46531  fourierdlem79  46532  fourierdlem80  46533  fourierdlem81  46534  fourierdlem84  46537  fourierdlem88  46541  fourierdlem89  46542  fourierdlem90  46543  fourierdlem91  46544  fourierdlem100  46553  fourierdlem103  46556  fourierdlem104  46557  fourierdlem107  46560  fourierdlem111  46564  fourierdlem112  46565  etransclem18  46599  etransclem46  46627  rrxsnicc  46647  hoidmv1lelem1  46938  hoidmv1lelem3  46940  hoidmvlelem1  46942  hoidmvlelem2  46943  hoidmvlelem4  46945