Theorem iccssred 13344

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  [,]cicc 13258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-icc 13262

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25854  cmvth  25932  dvfsumle  25963  iccshift  45632  eliccelioc  45635  limciccioolb  45735  limcicciooub  45749  icccncfext  45999  cncfiooicclem1  46005  itgcoscmulx  46081  ibliooicc  46083  itgsincmulx  46086  itgsubsticclem  46087  itgiccshift  46092  itgperiod  46093  itgsbtaddcnst  46094  dirkeritg  46214  fourierdlem20  46239  fourierdlem25  46244  fourierdlem39  46258  fourierdlem40  46259  fourierdlem42  46261  fourierdlem46  46264  fourierdlem50  46268  fourierdlem51  46269  fourierdlem52  46270  fourierdlem54  46272  fourierdlem58  46276  fourierdlem64  46282  fourierdlem68  46286  fourierdlem73  46291  fourierdlem74  46292  fourierdlem75  46293  fourierdlem76  46294  fourierdlem78  46296  fourierdlem79  46297  fourierdlem80  46298  fourierdlem81  46299  fourierdlem84  46302  fourierdlem88  46306  fourierdlem89  46307  fourierdlem90  46308  fourierdlem91  46309  fourierdlem100  46318  fourierdlem103  46321  fourierdlem104  46322  fourierdlem107  46325  fourierdlem111  46329  fourierdlem112  46330  etransclem18  46364  etransclem46  46392  rrxsnicc  46412  hoidmv1lelem1  46703  hoidmv1lelem3  46705  hoidmvlelem1  46707  hoidmvlelem2  46708  hoidmvlelem4  46710