Theorem iccssred 13460

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3946  (class class class)co 7423  ℝcr 11153  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25928  cmvth  26006  dvfsumle  26037  iccshift  45073  eliccelioc  45076  limciccioolb  45179  limcicciooub  45195  icccncfext  45445  cncfiooicclem1  45451  itgcoscmulx  45527  ibliooicc  45529  itgsincmulx  45532  itgsubsticclem  45533  itgiccshift  45538  itgperiod  45539  itgsbtaddcnst  45540  dirkeritg  45660  fourierdlem20  45685  fourierdlem25  45690  fourierdlem39  45704  fourierdlem40  45705  fourierdlem42  45707  fourierdlem46  45710  fourierdlem50  45714  fourierdlem51  45715  fourierdlem52  45716  fourierdlem54  45718  fourierdlem58  45722  fourierdlem64  45728  fourierdlem68  45732  fourierdlem73  45737  fourierdlem74  45738  fourierdlem75  45739  fourierdlem76  45740  fourierdlem78  45742  fourierdlem79  45743  fourierdlem80  45744  fourierdlem81  45745  fourierdlem84  45748  fourierdlem88  45752  fourierdlem89  45753  fourierdlem90  45754  fourierdlem91  45755  fourierdlem100  45764  fourierdlem103  45767  fourierdlem104  45768  fourierdlem107  45771  fourierdlem111  45775  fourierdlem112  45776  etransclem18  45810  etransclem46  45838  rrxsnicc  45858  hoidmv1lelem1  46149  hoidmv1lelem3  46151  hoidmvlelem1  46153  hoidmvlelem2  46154  hoidmvlelem4  46156