Theorem iccssred 13354

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13349	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  [,]cicc 13268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-icc 13272

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25877  cmvth  25955  dvfsumle  25986  iccshift  45800  eliccelioc  45803  limciccioolb  45903  limcicciooub  45917  icccncfext  46167  cncfiooicclem1  46173  itgcoscmulx  46249  ibliooicc  46251  itgsincmulx  46254  itgsubsticclem  46255  itgiccshift  46260  itgperiod  46261  itgsbtaddcnst  46262  dirkeritg  46382  fourierdlem20  46407  fourierdlem25  46412  fourierdlem39  46426  fourierdlem40  46427  fourierdlem42  46429  fourierdlem46  46432  fourierdlem50  46436  fourierdlem51  46437  fourierdlem52  46438  fourierdlem54  46440  fourierdlem58  46444  fourierdlem64  46450  fourierdlem68  46454  fourierdlem73  46459  fourierdlem74  46460  fourierdlem75  46461  fourierdlem76  46462  fourierdlem78  46464  fourierdlem79  46465  fourierdlem80  46466  fourierdlem81  46467  fourierdlem84  46470  fourierdlem88  46474  fourierdlem89  46475  fourierdlem90  46476  fourierdlem91  46477  fourierdlem100  46486  fourierdlem103  46489  fourierdlem104  46490  fourierdlem107  46493  fourierdlem111  46497  fourierdlem112  46498  etransclem18  46532  etransclem46  46560  rrxsnicc  46580  hoidmv1lelem1  46871  hoidmv1lelem3  46873  hoidmvlelem1  46875  hoidmvlelem2  46876  hoidmvlelem4  46878