MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccssred 12816
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iccssred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iccssred (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred
StepHypRef Expression
1 iccssred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 iccssred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12811 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  wss 3884  (class class class)co 7139  cr 10529  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  dvmptresicc  24522  iccshift  42142  eliccelioc  42145  limciccioolb  42250  limcicciooub  42266  icccncfext  42516  cncfiooicclem1  42522  itgcoscmulx  42598  ibliooicc  42600  itgsincmulx  42603  itgsubsticclem  42604  itgiccshift  42609  itgperiod  42610  itgsbtaddcnst  42611  dirkeritg  42731  fourierdlem20  42756  fourierdlem25  42761  fourierdlem39  42775  fourierdlem40  42776  fourierdlem42  42778  fourierdlem46  42781  fourierdlem50  42785  fourierdlem51  42786  fourierdlem52  42787  fourierdlem54  42789  fourierdlem58  42793  fourierdlem64  42799  fourierdlem68  42803  fourierdlem73  42808  fourierdlem74  42809  fourierdlem75  42810  fourierdlem76  42811  fourierdlem78  42813  fourierdlem79  42814  fourierdlem80  42815  fourierdlem81  42816  fourierdlem84  42819  fourierdlem88  42823  fourierdlem89  42824  fourierdlem90  42825  fourierdlem91  42826  fourierdlem100  42835  fourierdlem103  42838  fourierdlem104  42839  fourierdlem107  42842  fourierdlem111  42846  fourierdlem112  42847  etransclem18  42881  etransclem46  42909  rrxsnicc  42929  hoidmv1lelem1  43217  hoidmv1lelem3  43219  hoidmvlelem1  43221  hoidmvlelem2  43222  hoidmvlelem4  43224
  Copyright terms: Public domain W3C validator