Theorem iccssred 13326

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  [,]cicc 13240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-icc 13244

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25837  cmvth  25915  dvfsumle  25946  iccshift  45537  eliccelioc  45540  limciccioolb  45640  limcicciooub  45654  icccncfext  45904  cncfiooicclem1  45910  itgcoscmulx  45986  ibliooicc  45988  itgsincmulx  45991  itgsubsticclem  45992  itgiccshift  45997  itgperiod  45998  itgsbtaddcnst  45999  dirkeritg  46119  fourierdlem20  46144  fourierdlem25  46149  fourierdlem39  46163  fourierdlem40  46164  fourierdlem42  46166  fourierdlem46  46169  fourierdlem50  46173  fourierdlem51  46174  fourierdlem52  46175  fourierdlem54  46177  fourierdlem58  46181  fourierdlem64  46187  fourierdlem68  46191  fourierdlem73  46196  fourierdlem74  46197  fourierdlem75  46198  fourierdlem76  46199  fourierdlem78  46201  fourierdlem79  46202  fourierdlem80  46203  fourierdlem81  46204  fourierdlem84  46207  fourierdlem88  46211  fourierdlem89  46212  fourierdlem90  46213  fourierdlem91  46214  fourierdlem100  46223  fourierdlem103  46226  fourierdlem104  46227  fourierdlem107  46230  fourierdlem111  46234  fourierdlem112  46235  etransclem18  46269  etransclem46  46297  rrxsnicc  46317  hoidmv1lelem1  46608  hoidmv1lelem3  46610  hoidmvlelem1  46612  hoidmvlelem2  46613  hoidmvlelem4  46615