Theorem iccssred 13467

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  [,]cicc 13381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-icc 13385

This theorem is used by:  dvmptresicc  26086  cmvth  26161  dvfsumle  26191  iccshift  46262  eliccelioc  46265  limciccioolb  46365  limcicciooub  46379  icccncfext  46629  cncfiooicclem1  46635  itgcoscmulx  46711  ibliooicc  46713  itgsincmulx  46716  itgsubsticclem  46717  itgiccshift  46722  itgperiod  46723  itgsbtaddcnst  46724  dirkeritg  46844  fourierdlem20  46869  fourierdlem25  46874  fourierdlem39  46888  fourierdlem40  46889  fourierdlem42  46891  fourierdlem46  46894  fourierdlem50  46898  fourierdlem51  46899  fourierdlem52  46900  fourierdlem54  46902  fourierdlem58  46906  fourierdlem64  46912  fourierdlem68  46916  fourierdlem73  46921  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem76  46924  fourierdlem78  46926  fourierdlem79  46927  fourierdlem80  46928  fourierdlem81  46929  fourierdlem84  46932  fourierdlem88  46936  fourierdlem89  46937  fourierdlem90  46938  fourierdlem91  46939  fourierdlem100  46948  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem107  46955  fourierdlem111  46959  fourierdlem112  46960  etransclem18  46994  etransclem46  47022  rrxsnicc  47042  hoidmv1lelem1  47333  hoidmv1lelem3  47335  hoidmvlelem1  47337  hoidmvlelem2  47338  hoidmvlelem4  47340