Theorem iccssred 13471

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  [,]cicc 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25966  cmvth  26044  dvfsumle  26075  iccshift  45471  eliccelioc  45474  limciccioolb  45577  limcicciooub  45593  icccncfext  45843  cncfiooicclem1  45849  itgcoscmulx  45925  ibliooicc  45927  itgsincmulx  45930  itgsubsticclem  45931  itgiccshift  45936  itgperiod  45937  itgsbtaddcnst  45938  dirkeritg  46058  fourierdlem20  46083  fourierdlem25  46088  fourierdlem39  46102  fourierdlem40  46103  fourierdlem42  46105  fourierdlem46  46108  fourierdlem50  46112  fourierdlem51  46113  fourierdlem52  46114  fourierdlem54  46116  fourierdlem58  46120  fourierdlem64  46126  fourierdlem68  46130  fourierdlem73  46135  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138  fourierdlem78  46140  fourierdlem79  46141  fourierdlem80  46142  fourierdlem81  46143  fourierdlem84  46146  fourierdlem88  46150  fourierdlem89  46151  fourierdlem90  46152  fourierdlem91  46153  fourierdlem100  46162  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem107  46169  fourierdlem111  46173  fourierdlem112  46174  etransclem18  46208  etransclem46  46236  rrxsnicc  46256  hoidmv1lelem1  46547  hoidmv1lelem3  46549  hoidmvlelem1  46551  hoidmvlelem2  46552  hoidmvlelem4  46554