Theorem iccssred 13376

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  [,]cicc 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13294

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25892  cmvth  25967  dvfsumle  25998  iccshift  45963  eliccelioc  45966  limciccioolb  46066  limcicciooub  46080  icccncfext  46330  cncfiooicclem1  46336  itgcoscmulx  46412  ibliooicc  46414  itgsincmulx  46417  itgsubsticclem  46418  itgiccshift  46423  itgperiod  46424  itgsbtaddcnst  46425  dirkeritg  46545  fourierdlem20  46570  fourierdlem25  46575  fourierdlem39  46589  fourierdlem40  46590  fourierdlem42  46592  fourierdlem46  46595  fourierdlem50  46599  fourierdlem51  46600  fourierdlem52  46601  fourierdlem54  46603  fourierdlem58  46607  fourierdlem64  46613  fourierdlem68  46617  fourierdlem73  46622  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem76  46625  fourierdlem78  46627  fourierdlem79  46628  fourierdlem80  46629  fourierdlem81  46630  fourierdlem84  46633  fourierdlem88  46637  fourierdlem89  46638  fourierdlem90  46639  fourierdlem91  46640  fourierdlem100  46649  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem107  46656  fourierdlem111  46660  fourierdlem112  46661  etransclem18  46695  etransclem46  46723  rrxsnicc  46743  hoidmv1lelem1  47034  hoidmv1lelem3  47036  hoidmvlelem1  47038  hoidmvlelem2  47039  hoidmvlelem4  47041