Theorem iccssred 41157

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 12627	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825  (class class class)co 6970  ℝcr 10326  [,]cicc 12550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-icc 12554

This theorem is referenced by:  iccshift  41171  eliccelioc  41174  limciccioolb  41279  limcicciooub  41295  icccncfext  41546  cncfiooicclem1  41552  dvmptresicc  41580  itgcoscmulx  41630  ibliooicc  41632  itgsincmulx  41635  itgsubsticclem  41636  itgiccshift  41641  itgperiod  41642  itgsbtaddcnst  41643  dirkeritg  41764  fourierdlem20  41789  fourierdlem25  41794  fourierdlem39  41808  fourierdlem40  41809  fourierdlem42  41811  fourierdlem46  41814  fourierdlem50  41818  fourierdlem51  41819  fourierdlem52  41820  fourierdlem54  41822  fourierdlem58  41826  fourierdlem64  41832  fourierdlem68  41836  fourierdlem73  41841  fourierdlem74  41842  fourierdlem75  41843  fourierdlem76  41844  fourierdlem78  41846  fourierdlem79  41847  fourierdlem80  41848  fourierdlem81  41849  fourierdlem84  41852  fourierdlem88  41856  fourierdlem89  41857  fourierdlem90  41858  fourierdlem91  41859  fourierdlem100  41868  fourierdlem103  41871  fourierdlem104  41872  fourierdlem107  41875  fourierdlem111  41879  fourierdlem112  41880  etransclem18  41914  etransclem46  41942  rrxsnicc  41962  hoidmv1lelem1  42250  hoidmv1lelem3  42252  hoidmvlelem1  42254  hoidmvlelem2  42255  hoidmvlelem4  42257