MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccssred 13148
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iccssred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iccssred (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred
StepHypRef Expression
1 iccssred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 iccssred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 13143 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 583 1 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2109  wss 3891  (class class class)co 7268  cr 10854  [,]cicc 13064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-icc 13068
This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25061  iccshift  43010  eliccelioc  43013  limciccioolb  43116  limcicciooub  43132  icccncfext  43382  cncfiooicclem1  43388  itgcoscmulx  43464  ibliooicc  43466  itgsincmulx  43469  itgsubsticclem  43470  itgiccshift  43475  itgperiod  43476  itgsbtaddcnst  43477  dirkeritg  43597  fourierdlem20  43622  fourierdlem25  43627  fourierdlem39  43641  fourierdlem40  43642  fourierdlem42  43644  fourierdlem46  43647  fourierdlem50  43651  fourierdlem51  43652  fourierdlem52  43653  fourierdlem54  43655  fourierdlem58  43659  fourierdlem64  43665  fourierdlem68  43669  fourierdlem73  43674  fourierdlem74  43675  fourierdlem75  43676  fourierdlem76  43677  fourierdlem78  43679  fourierdlem79  43680  fourierdlem80  43681  fourierdlem81  43682  fourierdlem84  43685  fourierdlem88  43689  fourierdlem89  43690  fourierdlem90  43691  fourierdlem91  43692  fourierdlem100  43701  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fourierdlem107  43708  fourierdlem111  43712  fourierdlem112  43713  etransclem18  43747  etransclem46  43775  rrxsnicc  43795  hoidmv1lelem1  44083  hoidmv1lelem3  44085  hoidmvlelem1  44087  hoidmvlelem2  44088  hoidmvlelem4  44090
  Copyright terms: Public domain W3C validator