Theorem iccssred 13489

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  [,]cicc 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-icc 13407

This theorem is used by:  dvmptresicc  26148  cmvth  26223  dvfsumle  26253  iccshift  46350  eliccelioc  46353  limciccioolb  46453  limcicciooub  46467  icccncfext  46717  cncfiooicclem1  46723  itgcoscmulx  46799  ibliooicc  46801  itgsincmulx  46804  itgsubsticclem  46805  itgiccshift  46810  itgperiod  46811  itgsbtaddcnst  46812  dirkeritg  46932  fourierdlem20  46957  fourierdlem25  46962  fourierdlem39  46976  fourierdlem40  46977  fourierdlem42  46979  fourierdlem46  46982  fourierdlem50  46986  fourierdlem51  46987  fourierdlem52  46988  fourierdlem54  46990  fourierdlem58  46994  fourierdlem64  47000  fourierdlem68  47004  fourierdlem73  47009  fourierdlem74  47010  fourierdlem75  47011  fourierdlem76  47012  fourierdlem78  47014  fourierdlem79  47015  fourierdlem80  47016  fourierdlem81  47017  fourierdlem84  47020  fourierdlem88  47024  fourierdlem89  47025  fourierdlem90  47026  fourierdlem91  47027  fourierdlem100  47036  fourierdlem103  47039  fourierdlem104  47040  fourierdlem107  47043  fourierdlem111  47047  fourierdlem112  47048  etransclem18  47082  etransclem46  47110  rrxsnicc  47130  hoidmv1lelem1  47421  hoidmv1lelem3  47423  hoidmvlelem1  47425  hoidmvlelem2  47426  hoidmvlelem4  47428