Theorem iccssred 13452

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13447	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  [,]cicc 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-icc 13370

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  26036  cmvth  26111  dvfsumle  26141  iccshift  46092  eliccelioc  46095  limciccioolb  46195  limcicciooub  46209  icccncfext  46459  cncfiooicclem1  46465  itgcoscmulx  46541  ibliooicc  46543  itgsincmulx  46546  itgsubsticclem  46547  itgiccshift  46552  itgperiod  46553  itgsbtaddcnst  46554  dirkeritg  46674  fourierdlem20  46699  fourierdlem25  46704  fourierdlem39  46718  fourierdlem40  46719  fourierdlem42  46721  fourierdlem46  46724  fourierdlem50  46728  fourierdlem51  46729  fourierdlem52  46730  fourierdlem54  46732  fourierdlem58  46736  fourierdlem64  46742  fourierdlem68  46746  fourierdlem73  46751  fourierdlem74  46752  fourierdlem75  46753  fourierdlem76  46754  fourierdlem78  46756  fourierdlem79  46757  fourierdlem80  46758  fourierdlem81  46759  fourierdlem84  46762  fourierdlem88  46766  fourierdlem89  46767  fourierdlem90  46768  fourierdlem91  46769  fourierdlem100  46778  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem107  46785  fourierdlem111  46789  fourierdlem112  46790  etransclem18  46824  etransclem46  46852  rrxsnicc  46872  hoidmv1lelem1  47163  hoidmv1lelem3  47165  hoidmvlelem1  47167  hoidmvlelem2  47168  hoidmvlelem4  47170