Theorem iccssred 41800

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 12819	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  iccshift  41814  eliccelioc  41817  limciccioolb  41922  limcicciooub  41938  icccncfext  42190  cncfiooicclem1  42196  dvmptresicc  42224  itgcoscmulx  42274  ibliooicc  42276  itgsincmulx  42279  itgsubsticclem  42280  itgiccshift  42285  itgperiod  42286  itgsbtaddcnst  42287  dirkeritg  42407  fourierdlem20  42432  fourierdlem25  42437  fourierdlem39  42451  fourierdlem40  42452  fourierdlem42  42454  fourierdlem46  42457  fourierdlem50  42461  fourierdlem51  42462  fourierdlem52  42463  fourierdlem54  42465  fourierdlem58  42469  fourierdlem64  42475  fourierdlem68  42479  fourierdlem73  42484  fourierdlem74  42485  fourierdlem75  42486  fourierdlem76  42487  fourierdlem78  42489  fourierdlem79  42490  fourierdlem80  42491  fourierdlem81  42492  fourierdlem84  42495  fourierdlem88  42499  fourierdlem89  42500  fourierdlem90  42501  fourierdlem91  42502  fourierdlem100  42511  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem107  42518  fourierdlem111  42522  fourierdlem112  42523  etransclem18  42557  etransclem46  42585  rrxsnicc  42605  hoidmv1lelem1  42893  hoidmv1lelem3  42895  hoidmvlelem1  42897  hoidmvlelem2  42898  hoidmvlelem4  42900