Theorem iccssred 12987

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 12982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  [,]cicc 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-icc 12907

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  24767  iccshift  42672  eliccelioc  42675  limciccioolb  42780  limcicciooub  42796  icccncfext  43046  cncfiooicclem1  43052  itgcoscmulx  43128  ibliooicc  43130  itgsincmulx  43133  itgsubsticclem  43134  itgiccshift  43139  itgperiod  43140  itgsbtaddcnst  43141  dirkeritg  43261  fourierdlem20  43286  fourierdlem25  43291  fourierdlem39  43305  fourierdlem40  43306  fourierdlem42  43308  fourierdlem46  43311  fourierdlem50  43315  fourierdlem51  43316  fourierdlem52  43317  fourierdlem54  43319  fourierdlem58  43323  fourierdlem64  43329  fourierdlem68  43333  fourierdlem73  43338  fourierdlem74  43339  fourierdlem75  43340  fourierdlem76  43341  fourierdlem78  43343  fourierdlem79  43344  fourierdlem80  43345  fourierdlem81  43346  fourierdlem84  43349  fourierdlem88  43353  fourierdlem89  43354  fourierdlem90  43355  fourierdlem91  43356  fourierdlem100  43365  fourierdlem103  43368  fourierdlem104  43369  fourierdlem107  43372  fourierdlem111  43376  fourierdlem112  43377  etransclem18  43411  etransclem46  43439  rrxsnicc  43459  hoidmv1lelem1  43747  hoidmv1lelem3  43749  hoidmvlelem1  43751  hoidmvlelem2  43752  hoidmvlelem4  43754