Theorem iccssred 13387

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-icc 13305

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25883  cmvth  25958  dvfsumle  25988  iccshift  45948  eliccelioc  45951  limciccioolb  46051  limcicciooub  46065  icccncfext  46315  cncfiooicclem1  46321  itgcoscmulx  46397  ibliooicc  46399  itgsincmulx  46402  itgsubsticclem  46403  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  itgsbtaddcnst  46410  dirkeritg  46530  fourierdlem20  46555  fourierdlem25  46560  fourierdlem39  46574  fourierdlem40  46575  fourierdlem42  46577  fourierdlem46  46580  fourierdlem50  46584  fourierdlem51  46585  fourierdlem52  46586  fourierdlem54  46588  fourierdlem58  46592  fourierdlem64  46598  fourierdlem68  46602  fourierdlem73  46607  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem78  46612  fourierdlem79  46613  fourierdlem80  46614  fourierdlem81  46615  fourierdlem84  46618  fourierdlem88  46622  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fourierdlem100  46634  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem107  46641  fourierdlem111  46645  fourierdlem112  46646  etransclem18  46680  etransclem46  46708  rrxsnicc  46728  hoidmv1lelem1  47019  hoidmv1lelem3  47021  hoidmvlelem1  47023  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem4  47026