Theorem iccssred 13475

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13470	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  [,]cicc 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-icc 13395

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25952  cmvth  26030  dvfsumle  26061  iccshift  45536  eliccelioc  45539  limciccioolb  45641  limcicciooub  45657  icccncfext  45907  cncfiooicclem1  45913  itgcoscmulx  45989  ibliooicc  45991  itgsincmulx  45994  itgsubsticclem  45995  itgiccshift  46000  itgperiod  46001  itgsbtaddcnst  46002  dirkeritg  46122  fourierdlem20  46147  fourierdlem25  46152  fourierdlem39  46166  fourierdlem40  46167  fourierdlem42  46169  fourierdlem46  46172  fourierdlem50  46176  fourierdlem51  46177  fourierdlem52  46178  fourierdlem54  46180  fourierdlem58  46184  fourierdlem64  46190  fourierdlem68  46194  fourierdlem73  46199  fourierdlem74  46200  fourierdlem75  46201  fourierdlem76  46202  fourierdlem78  46204  fourierdlem79  46205  fourierdlem80  46206  fourierdlem81  46207  fourierdlem84  46210  fourierdlem88  46214  fourierdlem89  46215  fourierdlem90  46216  fourierdlem91  46217  fourierdlem100  46226  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem107  46233  fourierdlem111  46237  fourierdlem112  46238  etransclem18  46272  etransclem46  46300  rrxsnicc  46320  hoidmv1lelem1  46611  hoidmv1lelem3  46613  hoidmvlelem1  46615  hoidmvlelem2  46616  hoidmvlelem4  46618