Theorem iccssred 13456

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25874  cmvth  25952  dvfsumle  25983  iccshift  45514  eliccelioc  45517  limciccioolb  45617  limcicciooub  45633  icccncfext  45883  cncfiooicclem1  45889  itgcoscmulx  45965  ibliooicc  45967  itgsincmulx  45970  itgsubsticclem  45971  itgiccshift  45976  itgperiod  45977  itgsbtaddcnst  45978  dirkeritg  46098  fourierdlem20  46123  fourierdlem25  46128  fourierdlem39  46142  fourierdlem40  46143  fourierdlem42  46145  fourierdlem46  46148  fourierdlem50  46152  fourierdlem51  46153  fourierdlem52  46154  fourierdlem54  46156  fourierdlem58  46160  fourierdlem64  46166  fourierdlem68  46170  fourierdlem73  46175  fourierdlem74  46176  fourierdlem75  46177  fourierdlem76  46178  fourierdlem78  46180  fourierdlem79  46181  fourierdlem80  46182  fourierdlem81  46183  fourierdlem84  46186  fourierdlem88  46190  fourierdlem89  46191  fourierdlem90  46192  fourierdlem91  46193  fourierdlem100  46202  fourierdlem103  46205  fourierdlem104  46206  fourierdlem107  46209  fourierdlem111  46213  fourierdlem112  46214  etransclem18  46248  etransclem46  46276  rrxsnicc  46296  hoidmv1lelem1  46587  hoidmv1lelem3  46589  hoidmvlelem1  46591  hoidmvlelem2  46592  hoidmvlelem4  46594