Theorem iccssred 13385

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  [,]cicc 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-icc 13303

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25908  cmvth  25983  dvfsumle  26013  iccshift  45964  eliccelioc  45967  limciccioolb  46067  limcicciooub  46081  icccncfext  46331  cncfiooicclem1  46337  itgcoscmulx  46413  ibliooicc  46415  itgsincmulx  46418  itgsubsticclem  46419  itgiccshift  46424  itgperiod  46425  itgsbtaddcnst  46426  dirkeritg  46546  fourierdlem20  46571  fourierdlem25  46576  fourierdlem39  46590  fourierdlem40  46591  fourierdlem42  46593  fourierdlem46  46596  fourierdlem50  46600  fourierdlem51  46601  fourierdlem52  46602  fourierdlem54  46604  fourierdlem58  46608  fourierdlem64  46614  fourierdlem68  46618  fourierdlem73  46623  fourierdlem74  46624  fourierdlem75  46625  fourierdlem76  46626  fourierdlem78  46628  fourierdlem79  46629  fourierdlem80  46630  fourierdlem81  46631  fourierdlem84  46634  fourierdlem88  46638  fourierdlem89  46639  fourierdlem90  46640  fourierdlem91  46641  fourierdlem100  46650  fourierdlem103  46653  fourierdlem104  46654  fourierdlem107  46657  fourierdlem111  46661  fourierdlem112  46662  etransclem18  46696  etransclem46  46724  rrxsnicc  46744  hoidmv1lelem1  47035  hoidmv1lelem3  47037  hoidmvlelem1  47039  hoidmvlelem2  47040  hoidmvlelem4  47042