Theorem iccssred 13460

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  [,]cicc 13374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-icc 13378

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  26054  cmvth  26129  dvfsumle  26159  iccshift  46204  eliccelioc  46207  limciccioolb  46307  limcicciooub  46321  icccncfext  46571  cncfiooicclem1  46577  itgcoscmulx  46653  ibliooicc  46655  itgsincmulx  46658  itgsubsticclem  46659  itgiccshift  46664  itgperiod  46665  itgsbtaddcnst  46666  dirkeritg  46786  fourierdlem20  46811  fourierdlem25  46816  fourierdlem39  46830  fourierdlem40  46831  fourierdlem42  46833  fourierdlem46  46836  fourierdlem50  46840  fourierdlem51  46841  fourierdlem52  46842  fourierdlem54  46844  fourierdlem58  46848  fourierdlem64  46854  fourierdlem68  46858  fourierdlem73  46863  fourierdlem74  46864  fourierdlem75  46865  fourierdlem76  46866  fourierdlem78  46868  fourierdlem79  46869  fourierdlem80  46870  fourierdlem81  46871  fourierdlem84  46874  fourierdlem88  46878  fourierdlem89  46879  fourierdlem90  46880  fourierdlem91  46881  fourierdlem100  46890  fourierdlem103  46893  fourierdlem104  46894  fourierdlem107  46897  fourierdlem111  46901  fourierdlem112  46902  etransclem18  46936  etransclem46  46964  rrxsnicc  46984  hoidmv1lelem1  47275  hoidmv1lelem3  47277  hoidmvlelem1  47279  hoidmvlelem2  47280  hoidmvlelem4  47282