Theorem iccssred 13428

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccssred	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		iccssred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 13423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  [,]cicc 13342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-icc 13346

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25951  cmvth  26026  dvfsumle  26056  iccshift  46042  eliccelioc  46045  limciccioolb  46145  limcicciooub  46159  icccncfext  46409  cncfiooicclem1  46415  itgcoscmulx  46491  ibliooicc  46493  itgsincmulx  46496  itgsubsticclem  46497  itgiccshift  46502  itgperiod  46503  itgsbtaddcnst  46504  dirkeritg  46624  fourierdlem20  46649  fourierdlem25  46654  fourierdlem39  46668  fourierdlem40  46669  fourierdlem42  46671  fourierdlem46  46674  fourierdlem50  46678  fourierdlem51  46679  fourierdlem52  46680  fourierdlem54  46682  fourierdlem58  46686  fourierdlem64  46692  fourierdlem68  46696  fourierdlem73  46701  fourierdlem74  46702  fourierdlem75  46703  fourierdlem76  46704  fourierdlem78  46706  fourierdlem79  46707  fourierdlem80  46708  fourierdlem81  46709  fourierdlem84  46712  fourierdlem88  46716  fourierdlem89  46717  fourierdlem90  46718  fourierdlem91  46719  fourierdlem100  46728  fourierdlem103  46731  fourierdlem104  46732  fourierdlem107  46735  fourierdlem111  46739  fourierdlem112  46740  etransclem18  46774  etransclem46  46802  rrxsnicc  46822  hoidmv1lelem1  47113  hoidmv1lelem3  47115  hoidmvlelem1  47117  hoidmvlelem2  47118  hoidmvlelem4  47120