Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimirlem29 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem poimirlem29 37175
Description: Lemma for poimir 37179 connecting cubes of the tessellation to neighborhoods. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
poimir.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
poimirlem30.x 𝑋 = ((πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})))β€˜π‘›)
poimirlem30.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}))
poimirlem30.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) βŠ† (0..^π‘˜))
poimirlem30.4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
poimirlem29 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑧   πœ‘,𝑗,π‘š,𝑛   𝑗,𝐹,π‘š,𝑛   𝑗,𝑁,π‘š,𝑛   πœ‘,𝑖,π‘˜   𝑓,𝑁,𝑖,π‘˜   πœ‘,𝑧   𝑓,𝐹,π‘˜,𝑧   𝑧,𝑁   𝐢,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑧   𝑖,π‘Ÿ,𝑣,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑧,πœ‘   𝑓,π‘Ÿ,𝑣   𝑖,𝐹,π‘Ÿ,𝑣   𝑓,𝐺,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝑓,𝐼,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝑁,π‘Ÿ,𝑣   𝑅,𝑓,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝑓,𝑋,𝑖,π‘š,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝐢,𝑓,𝑗,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑋(𝑗,π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem poimirlem29
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
2 fzfi 13964 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ Fin
3 retop 24691 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
43fconst6 6781 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top
5 pttop 23499 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top) β†’ (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})) ∈ Top)
62, 4, 5mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})) ∈ Top
71, 6eqeltri 2821 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ Top
8 poimir.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
9 ovex 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ∈ V
108, 9eqeltri 2821 . . . . . . . . . . 11 𝐼 ∈ V
11 elrest 17403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼)))
127, 10, 11mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼))
13 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
141, 13ptrecube 37146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑅 ∧ 𝐢 ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧)
1514ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ (𝐢 ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧))
16 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∩ 𝐼) βŠ† 𝑧
17 sseq1 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑧 ↔ (𝑧 ∩ 𝐼) βŠ† 𝑧))
1816, 17mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑧)
1918sseld 3972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ 𝐢 ∈ 𝑧))
20 ssrin 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧 β†’ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† (𝑧 ∩ 𝐼))
21 sseq2 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 ↔ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† (𝑧 ∩ 𝐼)))
2220, 21imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧 β†’ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2322reximdv 3160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2419, 23imim12d 81 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)))
2515, 24syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)))
2625rexlimiv 3138 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2712, 26sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2827imp 405 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)
2928adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)
30 resttop 23077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
317, 10, 30mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top
32 reex 11224 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
33 unitssre 13503 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) βŠ† ℝ
34 mapss 8901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)))
3532, 33, 34mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
368, 35eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
37 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ∈ V
38 uniretop 24692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
391, 38ptuniconst 23515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top) β†’ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅)
4037, 3, 39mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅
4140restuni 23079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼))
427, 36, 41mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼)
4342eltopss 22822 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
4431, 43mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
4544sselda 3973 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣) β†’ 𝐢 ∈ 𝐼)
46 2rp 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
47 rpdivcl 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝑐) ∈ ℝ+)
4846, 47mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (2 / 𝑐) ∈ ℝ+)
4948rpred 13043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (2 / 𝑐) ∈ ℝ)
50 ceicl 13833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 / 𝑐) ∈ ℝ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„€)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„€)
52 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
5351zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ ℝ)
5448rpgt0d 13046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < (2 / 𝑐))
55 ceige 13836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 / 𝑐) ∈ ℝ β†’ (2 / 𝑐) ≀ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (2 / 𝑐) ≀ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))
5752, 49, 53, 54, 56ltletrd 11399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))
58 elnnz 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„• ↔ (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„€ ∧ 0 < -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
5951, 57, 58sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„•)
60 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
61 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (1 / 𝑖) = (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
6261oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) = ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))))
6362eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6463ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) ↔ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6560, 64rexeqbidv 3331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6665rspcv 3599 . . . . . . . . . . . . 13 (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
69 uznnssnn 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) βŠ† β„•)
7059, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) βŠ† β„•)
7170sseld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ π‘˜ ∈ β„•))
7271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ π‘˜ ∈ β„•))
7372imdistani 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
7459nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ ℝ+)
7548, 74lerecd 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((2 / 𝑐) ≀ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ↔ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (1 / (2 / 𝑐))))
7656, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (1 / (2 / 𝑐)))
77 rpcn 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
78 rpne0 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 β‰  0)
79 2cn 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ β„‚
80 2ne0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 β‰  0
81 recdiv 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ (𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 β‰  0)) β†’ (1 / (2 / 𝑐)) = (𝑐 / 2))
8279, 80, 81mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 β‰  0) β†’ (1 / (2 / 𝑐)) = (𝑐 / 2))
8377, 78, 82syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / (2 / 𝑐)) = (𝑐 / 2))
8476, 83breqtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2))
8584ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2))
86 elmapi 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐢 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
8786, 8eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐢 ∈ 𝐼 β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
8887ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
8988ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ (0[,]1))
9033, 89sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
91 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ πœ‘)
92 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9391, 92jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
94 poimirlem30.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}))
9594ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}))
96 xp1st 8019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)))
97 elmapi 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)βŸΆβ„•0)
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)βŸΆβ„•0)
9998ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ β„•0)
10099nn0red 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
101 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
102100, 101nndivred 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
10393, 102sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
10490, 103resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
105104recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ β„‚)
106105abscld 15410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
10759nnrecred 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ)
108107ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ)
109 rphalfcl 13028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ+)
110109rpred 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)
111110ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)
112 ltletr 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
113106, 108, 111, 112syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
11485, 113mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
11573, 114sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
116 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
11770sselda 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
118116, 117anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
119118anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
120 1re 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 ∈ ℝ
121 snssi 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (1 ∈ ℝ β†’ {1} βŠ† ℝ)
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 {1} βŠ† ℝ
123 0re 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℝ
124 snssi 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0 ∈ ℝ β†’ {0} βŠ† ℝ)
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 {0} βŠ† ℝ
126122, 125unssi 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ({1} βˆͺ {0}) βŠ† ℝ
127 1ex 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 ∈ V
128127fconst 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗))⟢{1}
129 c0ex 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ V
130129fconst 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))⟢{0}
131128, 130pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗))⟢{1} ∧ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))⟢{0})
132 xp2nd 8020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)})
13395, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)})
134 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
135 f1oeq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑓 = (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) ↔ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)))
136134, 135elab 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)} ↔ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
137133, 136sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
138 dff1o3 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) ↔ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) ∧ Fun β—‘(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜))))
139138simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ Fun β—‘(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
140 imain 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Fun β—‘(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))))
141137, 139, 1403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))))
142 elfznn0 13621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
143142nn0red 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
144143ltp1d 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 < (𝑗 + 1))
145 fzdisj 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 < (𝑗 + 1) β†’ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
147146imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ βˆ…))
148 ima0 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ βˆ…) = βˆ…
149147, 148eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = βˆ…)
150141, 149sylan9req 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = βˆ…)
151 fun 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗))⟢{1} ∧ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))⟢{0}) ∧ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = βˆ…) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))⟢({1} βˆͺ {0}))
152131, 150, 151sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))⟢({1} βˆͺ {0}))
153 imaundi 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))
154 nn0p1nn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
155142, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
156 nnuz 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
157155, 156eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
158 elfzuz3 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
159 fzsplit2 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1...𝑁) = ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁)))
160157, 158, 159syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (1...𝑁) = ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁)))
161160imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑁)) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))))
162 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁))
163 foima 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
164137, 162, 1633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
165161, 164sylan9req 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
166165ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
167153, 166eqtr3id 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
168167feq2d 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))⟢({1} βˆͺ {0}) ↔ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(1...𝑁)⟢({1} βˆͺ {0})))
169152, 168mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(1...𝑁)⟢({1} βˆͺ {0}))
170169ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ({1} βˆͺ {0}))
171126, 170sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
172 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
173171, 172nndivred 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
174173recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
175174absnegd 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
176119, 175sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
177119, 170sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ({1} βˆͺ {0}))
178 elun 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ({1} βˆͺ {0}) ↔ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}))
179177, 178sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}))
180 nnrecre 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
181 nnrp 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
182181rpreccld 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
183182rpge0d 13047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ≀ (1 / π‘˜))
184180, 183absidd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (absβ€˜(1 / π‘˜)) = (1 / π‘˜))
185117, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (absβ€˜(1 / π‘˜)) = (1 / π‘˜))
186117nnrecred 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
187107adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ)
188110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)
189 eluzle 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ≀ π‘˜)
190189adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ≀ π‘˜)
19159adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„•)
192191nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ ℝ+)
193117nnrpd 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
194192, 193lerecd 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ≀ π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) ≀ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))))
195190, 194mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / π‘˜) ≀ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
19684adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2))
197186, 187, 188, 195, 196letrd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / π‘˜) ≀ (𝑐 / 2))
198185, 197eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (absβ€˜(1 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
199 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) = 1)
200199fvoveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜(1 / π‘˜)))
201200breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ ((absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2) ↔ (absβ€˜(1 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
202198, 201syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
203109rpge0d 13047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (𝑐 / 2))
204 nncn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
205 nnne0 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
206204, 205div0d 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (0 / π‘˜) = 0)
207206abs00bd 15265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) = 0)
208207breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2) ↔ 0 ≀ (𝑐 / 2)))
209208biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ≀ (𝑐 / 2) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
210203, 209sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
211117, 210syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
212 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) = 0)
213212fvoveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜(0 / π‘˜)))
214213breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ ((absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2) ↔ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
215211, 214syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
216202, 215jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
217216adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
218217ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
219179, 218mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
220176, 219eqbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
22173, 106sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
222 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ πœ‘)
223222anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
224173renegcld 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
225223, 224sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
226225recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
227226abscld 15410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
22873, 227sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
229110, 110jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑐 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ))
230229ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ))
231 ltleadd 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑐 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2) ∧ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
232221, 228, 230, 231syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2) ∧ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
233220, 232mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
234105, 226abstrid 15430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
235104, 225readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
236235recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ β„‚)
237236abscld 15410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
238106, 227readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
239110, 110readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) ∈ ℝ)
240239ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) ∈ ℝ)
241 lelttr 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∧ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
242237, 238, 240, 241syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∧ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
243234, 242mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
24473, 243sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
245115, 233, 2443syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
246100adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
247246, 171readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
248247, 172nndivred 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ)
249119, 248sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ)
250245, 249jctild 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
251250adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
25273adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
25387ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
254253ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ (0[,]1))
25533, 254sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
25674rpreccld 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ+)
257256rpxrd 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*)
258257ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*)
25913rexmet 24720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
260 elbl 24307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
261259, 260mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
262255, 258, 261syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
263 elmapfn 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁))
26495, 96, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁))
265 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π‘˜ ∈ V
266 fnconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ ∈ V β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}) Fn (1...𝑁))
267265, 266mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}) Fn (1...𝑁))
268 fzfid 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
269 inidm 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
270 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š))
271265fvconst2 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘š ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {π‘˜})β€˜π‘š) = π‘˜)
272271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1...𝑁) Γ— {π‘˜})β€˜π‘š) = π‘˜)
273264, 267, 268, 268, 269, 270, 272ofval 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))
274273oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)))
275222, 274sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)))
276222, 102sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
27713remetdval 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))))
278255, 276, 277syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))))
279275, 278eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))))
280279breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ↔ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))))
281280anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
282262, 281bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
283252, 282sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
284 rpxr 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
285284ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
286 elbl 24307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐)))
287259, 286mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐)))
28890, 285, 287syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐)))
289 elun 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0}) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ {0}))
290 fzofzp1 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑣 + 1) ∈ (0...π‘˜))
291 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ {1} β†’ 𝑧 = 1)
292291oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧 ∈ {1} β†’ (𝑣 + 𝑧) = (𝑣 + 1))
293292eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ {1} β†’ ((𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜) ↔ (𝑣 + 1) ∈ (0...π‘˜)))
294290, 293syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑧 ∈ {1} β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
295 elfzonn0 13704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ β„•0)
296295nn0cnd 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
297296addridd 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑣 + 0) = 𝑣)
298 elfzofz 13675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ (0...π‘˜))
299297, 298eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑣 + 0) ∈ (0...π‘˜))
300 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ {0} β†’ 𝑧 = 0)
301300oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧 ∈ {0} β†’ (𝑣 + 𝑧) = (𝑣 + 0))
302301eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ {0} β†’ ((𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜) ↔ (𝑣 + 0) ∈ (0...π‘˜)))
303299, 302syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑧 ∈ {0} β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
304294, 303jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ ((𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ {0}) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
305289, 304biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0}) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
306305imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0..^π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0})) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜))
307306adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0}))) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜))
308 dffn3 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁) ↔ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
309264, 308sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
310 poimirlem30.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) βŠ† (0..^π‘˜))
311309, 310fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢(0..^π‘˜))
312311adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢(0..^π‘˜))
313 fzfid 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
314307, 312, 169, 313, 313, 269off 7697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))):(1...𝑁)⟢(0...π‘˜))
315314ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) Fn (1...𝑁))
316265, 266mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}) Fn (1...𝑁))
317264adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁))
318169ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
319 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š))
320 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) = (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š))
321317, 318, 313, 313, 269, 319, 320ofval 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘š) = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)))
322271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1...𝑁) Γ— {π‘˜})β€˜π‘š) = π‘˜)
323315, 316, 313, 313, 269, 321, 322ofval 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))
324323eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ))
325223, 324sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ))
326323adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))
327326oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)))
32887ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
329328ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ (0[,]1))
33033, 329sselid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
331248adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ)
33213remetdval 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))))
333330, 331, 332syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))))
334246recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
335171recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
336204ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
337205ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ β‰  0)
338334, 335, 336, 337divdird 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) + ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
339102recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
340339adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
341340, 174subnegd 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) + ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
342338, 341eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
343342oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
344343adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
345330recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
346102adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
347346adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
348347recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
349174adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
350349negcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
351345, 348, 350subsubd 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
352344, 351eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
353352fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))) = (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
354327, 333, 3533eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
355354adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
356772halvesd 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) = 𝑐)
357356eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 = ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))
358357ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑐 = ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))
359355, 358breq12d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐 ↔ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
360325, 359anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
361288, 360bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
36273, 361sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
363251, 283, 3623imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)))
364363ralimdva 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)))
365 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
366 elfznn0 13621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ β„•0)
367366nn0red 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
368 nndivre 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ ℝ)
369367, 368sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ ℝ)
370 elfzle1 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 0 ≀ 𝑣)
371367, 370jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑣))
372181rpregt0d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
373 divge0 12108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑣) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ 0 ≀ (𝑣 / π‘˜))
374371, 372, 373syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑣 / π‘˜))
375 elfzle2 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑣 ≀ π‘˜)
376375adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑣 ≀ π‘˜)
377367adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
378 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
379181adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
380377, 378, 379ledivmuld 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑣 / π‘˜) ≀ 1 ↔ 𝑣 ≀ (π‘˜ Β· 1)))
381204mulridd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
382381breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑣 ≀ (π‘˜ Β· 1) ↔ 𝑣 ≀ π‘˜))
383382adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 ≀ (π‘˜ Β· 1) ↔ 𝑣 ≀ π‘˜))
384380, 383bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑣 / π‘˜) ≀ 1 ↔ 𝑣 ≀ π‘˜))
385376, 384mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ≀ 1)
386 elicc01 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑣 / π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑣 / π‘˜) ∧ (𝑣 / π‘˜) ≀ 1))
387369, 374, 385, 386syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1))
388387ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑣 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1))
389 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ 𝑧 = π‘˜)
390389oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ (𝑣 / 𝑧) = (𝑣 / π‘˜))
391390eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ ((𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1)))
392388, 391syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑣 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ (𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1)))
393392impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ {π‘˜})) β†’ (𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1))
394365, 393sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ {π‘˜})) β†’ (𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1))
395265fconst 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}):(1...𝑁)⟢{π‘˜}
396395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}):(1...𝑁)⟢{π‘˜})
397394, 314, 396, 313, 313, 269off 7697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
398397ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁))
399119, 398sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁))
400364, 399jctild 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐))))
4018eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼 ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)))
402 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]1) ∈ V
403402, 37elmap 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
404401, 403bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼 ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
405397, 404sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼)
406119, 405sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼)
407400, 406jctird 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼)))
408 elin 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼))
409 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ V
410409elixp 8916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)))
411410anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼))
412408, 411bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼))
413407, 412imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼)))
414 ssel 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
415414com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
416413, 415syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣)))
417416impd 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
418417ralrimdva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
419418expd 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣)))
420 poimirlem30.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹)
4214203exp2 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ } β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹))))
422421imp43 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹)
423 r19.29 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ 0π‘Ÿπ‘‹))
424 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))))
425424fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})))β€˜π‘›))
426 poimirlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑋 = ((πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})))β€˜π‘›)
427425, 426eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = 𝑋)
428427breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ (0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ 0π‘Ÿπ‘‹))
429428rspcev 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ 0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
430429rexlimivw 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ 0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
431423, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
432431expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
433422, 432syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
434433ralrimdvva 3200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
435117, 434sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
436435anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
437436adantllr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
438419, 437syl6d 75 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
439438rexlimdva 3145 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
44068, 439syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
441440com23 86 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
442441impr 453 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
44345, 442sylanl2 679 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
44429, 443rexlimddv 3151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
445444expr 455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
446445com23 86 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
447 r19.21v 3170 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
448446, 447imbitrrdi 251 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
449448ralrimdva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
450 ralcom 3277 . 2 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
451449, 450imbitrdi 250 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3939   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319  {csn 4625  {cpr 4627  βˆͺ cuni 4904   class class class wbr 5144   Γ— cxp 5671  β—‘ccnv 5672  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676   ∘ ccom 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∘f cof 7677  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986   ↑m cmap 8838  Xcixp 8909  Fincfn 8957  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  β„+crp 13001  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  βŒŠcfl 13782  abscabs 15208   β†Ύt crest 17396  topGenctg 17413  βˆtcpt 17414  βˆžMetcxmet 21263  ballcbl 21265  Topctop 22808   Cn ccn 23141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-rest 17398  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862
This theorem is referenced by:  poimirlem30  37176
  Copyright terms: Public domain W3C validator