Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimirlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poimirlem29 36136
Description: Lemma for poimir 36140 connecting cubes of the tessellation to neighborhoods. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
poimir.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
poimirlem30.x 𝑋 = ((πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})))β€˜π‘›)
poimirlem30.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}))
poimirlem30.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) βŠ† (0..^π‘˜))
poimirlem30.4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
poimirlem29 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑧   πœ‘,𝑗,π‘š,𝑛   𝑗,𝐹,π‘š,𝑛   𝑗,𝑁,π‘š,𝑛   πœ‘,𝑖,π‘˜   𝑓,𝑁,𝑖,π‘˜   πœ‘,𝑧   𝑓,𝐹,π‘˜,𝑧   𝑧,𝑁   𝐢,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑧   𝑖,π‘Ÿ,𝑣,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑧,πœ‘   𝑓,π‘Ÿ,𝑣   𝑖,𝐹,π‘Ÿ,𝑣   𝑓,𝐺,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝑓,𝐼,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝑁,π‘Ÿ,𝑣   𝑅,𝑓,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝑓,𝑋,𝑖,π‘š,π‘Ÿ,𝑣,𝑧   𝐢,𝑓,𝑗,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑋(𝑗,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem poimirlem29
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
2 fzfi 13884 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ Fin
3 retop 24141 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
43fconst6 6737 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top
5 pttop 22949 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top) β†’ (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})) ∈ Top)
62, 4, 5mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})) ∈ Top
71, 6eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ Top
8 poimir.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
9 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ∈ V
108, 9eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐼 ∈ V
11 elrest 17316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼)))
127, 10, 11mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼))
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
141, 13ptrecube 36107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑅 ∧ 𝐢 ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧)
1514ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ (𝐢 ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧))
16 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∩ 𝐼) βŠ† 𝑧
17 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝑣 βŠ† 𝑧 ↔ (𝑧 ∩ 𝐼) βŠ† 𝑧))
1816, 17mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑧)
1918sseld 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ 𝐢 ∈ 𝑧))
20 ssrin 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧 β†’ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† (𝑧 ∩ 𝐼))
21 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 ↔ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† (𝑧 ∩ 𝐼)))
2220, 21syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧 β†’ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2322reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2419, 23imim12d 81 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) βŠ† 𝑧) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)))
2515, 24syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ (𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)))
2625rexlimiv 3146 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑅 𝑣 = (𝑧 ∩ 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2712, 26sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣))
2827imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)
2928adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)
30 resttop 22527 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top)
317, 10, 30mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top
32 reex 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
33 unitssre 13423 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) βŠ† ℝ
34 mapss 8834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)))
3532, 33, 34mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
368, 35eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
37 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ∈ V
38 uniretop 24142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
391, 38ptuniconst 22965 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top) β†’ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅)
4037, 3, 39mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅
4140restuni 22529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼))
427, 36, 41mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼)
4342eltopss 22272 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
4431, 43mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
4544sselda 3949 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣) β†’ 𝐢 ∈ 𝐼)
46 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
47 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝑐) ∈ ℝ+)
4846, 47mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (2 / 𝑐) ∈ ℝ+)
4948rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (2 / 𝑐) ∈ ℝ)
50 ceicl 13753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 / 𝑐) ∈ ℝ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„€)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„€)
52 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
5351zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ ℝ)
5448rpgt0d 12967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < (2 / 𝑐))
55 ceige 13756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 / 𝑐) ∈ ℝ β†’ (2 / 𝑐) ≀ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (2 / 𝑐) ≀ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))
5752, 49, 53, 54, 56ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))
58 elnnz 12516 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„• ↔ (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„€ ∧ 0 < -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
5951, 57, 58sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„•)
60 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
61 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (1 / 𝑖) = (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
6261oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) = ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))))
6362eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6463ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) ↔ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6560, 64rexeqbidv 3323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6665rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . 13 (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
69 uznnssnn 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) βŠ† β„•)
7059, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) βŠ† β„•)
7170sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ π‘˜ ∈ β„•))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ π‘˜ ∈ β„•))
7372imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
7459nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ ℝ+)
7548, 74lerecd 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((2 / 𝑐) ≀ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ↔ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (1 / (2 / 𝑐))))
7656, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (1 / (2 / 𝑐)))
77 rpcn 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
78 rpne0 12938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 β‰  0)
79 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ β„‚
80 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 β‰  0
81 recdiv 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ (𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 β‰  0)) β†’ (1 / (2 / 𝑐)) = (𝑐 / 2))
8279, 80, 81mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 β‰  0) β†’ (1 / (2 / 𝑐)) = (𝑐 / 2))
8377, 78, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / (2 / 𝑐)) = (𝑐 / 2))
8476, 83breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2))
8584ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2))
86 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐢 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
8786, 8eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐢 ∈ 𝐼 β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
8887ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
8988ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ (0[,]1))
9033, 89sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
91 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ πœ‘)
92 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9391, 92jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
94 poimirlem30.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}))
9594ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}))
96 xp1st 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)))
97 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)βŸΆβ„•0)
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)βŸΆβ„•0)
9998ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ β„•0)
10099nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
101 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
102100, 101nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
10393, 102sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
10490, 103resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
105104recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ β„‚)
106105abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
10759nnrecred 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ)
108107ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ)
109 rphalfcl 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ+)
110109rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)
111110ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)
112 ltletr 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
113106, 108, 111, 112syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
11485, 113mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
11573, 114sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2)))
116 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
11770sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
118116, 117anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
119118anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
120 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 ∈ ℝ
121 snssi 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (1 ∈ ℝ β†’ {1} βŠ† ℝ)
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 {1} βŠ† ℝ
123 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℝ
124 snssi 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0 ∈ ℝ β†’ {0} βŠ† ℝ)
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 {0} βŠ† ℝ
126122, 125unssi 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ({1} βˆͺ {0}) βŠ† ℝ
127 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 ∈ V
128127fconst 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗))⟢{1}
129 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ V
130129fconst 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))⟢{0}
131128, 130pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗))⟢{1} ∧ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))⟢{0})
132 xp2nd 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ ((β„•0 ↑m (1...𝑁)) Γ— {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)}) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)})
13395, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)})
134 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
135 f1oeq1 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑓 = (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) ↔ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)))
136134, 135elab 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁)} ↔ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
137133, 136sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
138 dff1o3 6795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) ↔ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) ∧ Fun β—‘(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜))))
139138simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ Fun β—‘(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
140 imain 6591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Fun β—‘(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))))
141137, 139, 1403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))))
142 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
143142nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
144143ltp1d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑗 < (𝑗 + 1))
145 fzdisj 13475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 < (𝑗 + 1) β†’ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
147146imaeq2d 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ βˆ…))
148 ima0 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ βˆ…) = βˆ…
149147, 148eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = βˆ…)
150141, 149sylan9req 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = βˆ…)
151 fun 6709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗))⟢{1} ∧ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}):((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))⟢{0}) ∧ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) ∩ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = βˆ…) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))⟢({1} βˆͺ {0}))
152131, 150, 151sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))⟢({1} βˆͺ {0}))
153 imaundi 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))
154 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
155142, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
156 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
157155, 156eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
158 elfzuz3 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
159 fzsplit2 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1...𝑁) = ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁)))
160157, 158, 159syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ (1...𝑁) = ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁)))
161160imaeq2d 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑁)) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))))
162 f1ofo 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁))
163 foima 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
164137, 162, 1633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
165161, 164sylan9req 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
166165ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((1...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
167153, 166eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
168167feq2d 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) βˆͺ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)))⟢({1} βˆͺ {0}) ↔ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(1...𝑁)⟢({1} βˆͺ {0})))
169152, 168mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})):(1...𝑁)⟢({1} βˆͺ {0}))
170169ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ({1} βˆͺ {0}))
171126, 170sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
172 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
173171, 172nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
174173recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
175174absnegd 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
176119, 175sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
177119, 170sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ({1} βˆͺ {0}))
178 elun 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ ({1} βˆͺ {0}) ↔ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}))
179177, 178sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}))
180 nnrecre 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
181 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
182181rpreccld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
183182rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ≀ (1 / π‘˜))
184180, 183absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (absβ€˜(1 / π‘˜)) = (1 / π‘˜))
185117, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (absβ€˜(1 / π‘˜)) = (1 / π‘˜))
186117nnrecred 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
187107adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ)
188110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)
189 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ≀ π‘˜)
190189adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ≀ π‘˜)
19159adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ β„•)
192191nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ∈ ℝ+)
193117nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
194192, 193lerecd 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)) ≀ π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) ≀ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))))
195190, 194mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / π‘˜) ≀ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))
19684adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ≀ (𝑐 / 2))
197186, 187, 188, 195, 196letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (1 / π‘˜) ≀ (𝑐 / 2))
198185, 197eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (absβ€˜(1 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
199 elsni 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) = 1)
200199fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜(1 / π‘˜)))
201200breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ ((absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2) ↔ (absβ€˜(1 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
202198, 201syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
203109rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (𝑐 / 2))
204 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
205 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
206204, 205div0d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (0 / π‘˜) = 0)
207206abs00bd 15183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) = 0)
208207breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2) ↔ 0 ≀ (𝑐 / 2)))
209208biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ≀ (𝑐 / 2) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
210203, 209sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
211117, 210syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
212 elsni 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) = 0)
213212fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜(0 / π‘˜)))
214213breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ ((absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2) ↔ (absβ€˜(0 / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
215211, 214syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0} β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
216202, 215jaod 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
217216adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
218217ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {1} ∨ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ {0}) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)))
219179, 218mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
220176, 219eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2))
22173, 106sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
222 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ πœ‘)
223222anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
224173renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
225223, 224sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
226225recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
227226abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
22873, 227sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
229110, 110jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑐 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ))
230229ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ))
231 ltleadd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑐 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑐 / 2) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2) ∧ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
232221, 228, 230, 231syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2) ∧ (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ≀ (𝑐 / 2)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
233220, 232mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (𝑐 / 2) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
234105, 226abstrid 15348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
235104, 225readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ ℝ)
236235recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) ∈ β„‚)
237236abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
238106, 227readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ)
239110, 110readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) ∈ ℝ)
240239ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) ∈ ℝ)
241 lelttr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∈ ℝ ∧ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∧ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
242237, 238, 240, 241syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ≀ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) ∧ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
243234, 242mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
24473, 243sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) + (absβ€˜-((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
245115, 233, 2443syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
246100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
247246, 171readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
248247, 172nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ)
249119, 248sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ)
250245, 249jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
251250adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
25273adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
25387ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
254253ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ (0[,]1))
25533, 254sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
25674rpreccld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ+)
257256rpxrd 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*)
258257ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*)
25913rexmet 24170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
260 elbl 23757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
261259, 260mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ∈ ℝ*) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
262255, 258, 261syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
263 elmapfn 8810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁))
26495, 96, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁))
265 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π‘˜ ∈ V
266 fnconstg 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ ∈ V β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}) Fn (1...𝑁))
267265, 266mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}) Fn (1...𝑁))
268 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
269 inidm 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
270 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š))
271265fvconst2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘š ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {π‘˜})β€˜π‘š) = π‘˜)
272271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1...𝑁) Γ— {π‘˜})β€˜π‘š) = π‘˜)
273264, 267, 268, 268, 269, 270, 272ofval 7633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))
274273oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)))
275222, 274sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)))
276222, 102sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
27713remetdval 24168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))))
278255, 276, 277syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))))
279275, 278eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))))
280279breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))) ↔ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))))
281280anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
282262, 281bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
283252, 282sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜))) < (1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))))
284 rpxr 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
285284ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ*)
286 elbl 23757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐)))
287259, 286mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ*) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐)))
28890, 285, 287syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐)))
289 elun 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0}) ↔ (𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ {0}))
290 fzofzp1 13676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑣 + 1) ∈ (0...π‘˜))
291 elsni 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ {1} β†’ 𝑧 = 1)
292291oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧 ∈ {1} β†’ (𝑣 + 𝑧) = (𝑣 + 1))
293292eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ {1} β†’ ((𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜) ↔ (𝑣 + 1) ∈ (0...π‘˜)))
294290, 293syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑧 ∈ {1} β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
295 elfzonn0 13624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ β„•0)
296295nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
297296addid1d 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑣 + 0) = 𝑣)
298 elfzofz 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ (0...π‘˜))
299297, 298eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑣 + 0) ∈ (0...π‘˜))
300 elsni 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ {0} β†’ 𝑧 = 0)
301300oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧 ∈ {0} β†’ (𝑣 + 𝑧) = (𝑣 + 0))
302301eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ {0} β†’ ((𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜) ↔ (𝑣 + 0) ∈ (0...π‘˜)))
303299, 302syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑧 ∈ {0} β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
304294, 303jaod 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ ((𝑧 ∈ {1} ∨ 𝑧 ∈ {0}) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
305289, 304biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) β†’ (𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0}) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜)))
306305imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0..^π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0})) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜))
307306adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑣 ∈ (0..^π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ ({1} βˆͺ {0}))) β†’ (𝑣 + 𝑧) ∈ (0...π‘˜))
308 dffn3 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁) ↔ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
309264, 308sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
310 poimirlem30.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ran (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) βŠ† (0..^π‘˜))
311309, 310fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢(0..^π‘˜))
312311adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)):(1...𝑁)⟢(0..^π‘˜))
313 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
314307, 312, 169, 313, 313, 269off 7640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))):(1...𝑁)⟢(0...π‘˜))
315314ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) Fn (1...𝑁))
316265, 266mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}) Fn (1...𝑁))
317264adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) Fn (1...𝑁))
318169ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
319 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š))
320 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) = (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š))
321317, 318, 313, 313, 269, 319, 320ofval 7633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘š) = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)))
322271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1...𝑁) Γ— {π‘˜})β€˜π‘š) = π‘˜)
323315, 316, 313, 313, 269, 321, 322ofval 7633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))
324323eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ))
325223, 324sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ))
326323adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))
327326oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)))
32887ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
329328ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ (0[,]1))
33033, 329sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
331248adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ)
33213remetdval 24168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πΆβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))))
333330, 331, 332syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))))
334246recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
335171recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
336204ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
337205ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ β‰  0)
338334, 335, 336, 337divdird 11976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) + ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
339102recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
340339adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
341340, 174subnegd 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) + ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
342338, 341eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) = ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
343342oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
344343adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
345330recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΆβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
346102adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
347346adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ ℝ)
348347recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
349174adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
350349negcld 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜) ∈ β„‚)
351345, 348, 350subsubd 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜) βˆ’ -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
352344, 351eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜)))
353352fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (absβ€˜((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜))) = (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
354327, 333, 3533eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
355354adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) = (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))))
356772halvesd 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)) = 𝑐)
357356eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 = ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))
358357ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑐 = ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))
359355, 358breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐 ↔ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2))))
360325, 359anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ ((πΆβ€˜π‘š)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š)) < 𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
361288, 360bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
36273, 361sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) + (((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š)) / π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΆβ€˜π‘š) βˆ’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜))β€˜π‘š) / π‘˜)) + -((((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘š) / π‘˜))) < ((𝑐 / 2) + (𝑐 / 2)))))
363251, 283, 3623imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)))
364363ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)))
365 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
366 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ β„•0)
367366nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
368 nndivre 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ ℝ)
369367, 368sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ ℝ)
370 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 0 ≀ 𝑣)
371367, 370jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑣))
372181rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
373 divge0 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑣) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ 0 ≀ (𝑣 / π‘˜))
374371, 372, 373syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝑣 / π‘˜))
375 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑣 ≀ π‘˜)
376375adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑣 ≀ π‘˜)
377367adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
378 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
379181adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
380377, 378, 379ledivmuld 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑣 / π‘˜) ≀ 1 ↔ 𝑣 ≀ (π‘˜ Β· 1)))
381204mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
382381breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑣 ≀ (π‘˜ Β· 1) ↔ 𝑣 ≀ π‘˜))
383382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 ≀ (π‘˜ Β· 1) ↔ 𝑣 ≀ π‘˜))
384380, 383bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑣 / π‘˜) ≀ 1 ↔ 𝑣 ≀ π‘˜))
385376, 384mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ≀ 1)
386 elicc01 13390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑣 / π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑣 / π‘˜) ∧ (𝑣 / π‘˜) ≀ 1))
387369, 374, 385, 386syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1))
388387ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑣 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1))
389 elsni 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ 𝑧 = π‘˜)
390389oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ (𝑣 / 𝑧) = (𝑣 / π‘˜))
391390eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ ((𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑣 / π‘˜) ∈ (0[,]1)))
392388, 391syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑣 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝑧 ∈ {π‘˜} β†’ (𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1)))
393392impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ {π‘˜})) β†’ (𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1))
394365, 393sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑣 ∈ (0...π‘˜) ∧ 𝑧 ∈ {π‘˜})) β†’ (𝑣 / 𝑧) ∈ (0[,]1))
395265fconst 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}):(1...𝑁)⟢{π‘˜}
396395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}):(1...𝑁)⟢{π‘˜})
397394, 314, 396, 313, 313, 269off 7640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
398397ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁))
399119, 398sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁))
400364, 399jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐))))
4018eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼 ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)))
402 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]1) ∈ V
403402, 37elmap 8816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
404401, 403bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼 ↔ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
405397, 404sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼)
406119, 405sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼)
407400, 406jctird 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼)))
408 elin 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼))
409 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ V
410409elixp 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ↔ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)))
411410anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼))
412408, 411bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) ↔ (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐)) ∧ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝐼))
413407, 412syl6ibr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼)))
414 ssel 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
415414com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
416413, 415syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣)))
417416impd 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣) β†’ (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
418417ralrimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣) β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣))
419418expd 417 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣)))
420 poimirlem30.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹)
4214203exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ } β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹))))
422421imp43 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹)
423 r19.29 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ 0π‘Ÿπ‘‹))
424 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))))
425424fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})))β€˜π‘›))
426 poimirlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑋 = ((πΉβ€˜(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})))β€˜π‘›)
427425, 426eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = 𝑋)
428427breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) β†’ (0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ 0π‘Ÿπ‘‹))
429428rspcev 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ 0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
430429rexlimivw 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)((((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ 0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
431423, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 ∧ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
432431expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)0π‘Ÿπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
433422, 432syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ })) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
434433ralrimdvva 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
435117, 434sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐))))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
436435anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
437436adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (0...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f + ((((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ (((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜})) ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
438419, 437syl6d 75 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
439438rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜-(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / -(βŒŠβ€˜-(2 / 𝑐)))) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
44068, 439syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
441440com23 86 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+) β†’ ((Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣 β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
442441impr 456 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
44345, 442sylanl2 680 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (Xπ‘š ∈ (1...𝑁)((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑐) ∩ 𝐼) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
44429, 443rexlimddv 3159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∧ 𝐢 ∈ 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
445444expr 458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
446445com23 86 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
447 r19.21v 3177 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
448446, 447syl6ibr 252 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
449448ralrimdva 3152 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
450 ralcom 3275 . 2 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
451449, 450syl6ib 251 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)(((1st β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∘f / ((1...𝑁) Γ— {π‘˜}))β€˜π‘š) ∈ ((πΆβ€˜π‘š)(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))(1 / 𝑖)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝐢 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925   ↑m cmap 8772  Xcixp 8842  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  abscabs 15126   β†Ύt crest 17309  topGenctg 17326  βˆtcpt 17327  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  Topctop 22258   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312
This theorem is referenced by:  poimirlem30  36137
  Copyright terms: Public domain W3C validator