Theorem ac9s 10512

Description: An Axiom of Choice equivalent: the infinite Cartesian product of nonempty classes is nonempty. Axiom of Choice (second form) of [Enderton] p. 55 and its converse. This is a stronger version of the axiom in Enderton, with no existence requirement for the family of classes 𝐵(𝑥) (achieved via the Collection Principle cp 9910). (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac9.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac9s	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac9s

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac9.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	ac6s4 10509	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
3		n0 4333	. . . 4 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		vex 3468	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	elixp 8923	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
7	3, 6	bitr2i 276	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
8	2, 7	sylib 218	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
9		ixpn0 8949	. 2 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
10	8, 9	impbii 209	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3464  ∅c0 4313   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  Xcixp 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-reg 9611  ax-inf2 9660  ax-ac2 10482

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-ixp 8917  df-en 8965  df-r1 9783  df-rank 9784  df-card 9958  df-ac 10135

This theorem is referenced by: (None)