Theorem ac9s 10531

Description: An Axiom of Choice equivalent: the infinite Cartesian product of nonempty classes is nonempty. Axiom of Choice (second form) of [Enderton] p. 55 and its converse. This is a stronger version of the axiom in Enderton, with no existence requirement for the family of classes 𝐵(𝑥) (achieved via the Collection Principle cp 9929). (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac9.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac9s	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac9s

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac9.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	ac6s4 10528	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
3		n0 4359	. . . 4 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		vex 3482	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	elixp 8943	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1845	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
7	3, 6	bitr2i 276	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
8	2, 7	sylib 218	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
9		ixpn0 8969	. 2 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)
10	8, 9	impbii 209	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3478  ∅c0 4339   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  Xcixp 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-ixp 8937  df-en 8985  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-ac 10154

This theorem is referenced by: (None)