Theorem pthaus 23662

Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pthaus	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Haus)

Proof of Theorem pthaus

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23355	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Top)
2	1	ssriv 3999	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Top
3		fss 6753	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶Haus ∧ Haus ⊆ Top) → 𝐹:𝐴⟶Top)
4	2, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶Haus → 𝐹:𝐴⟶Top)
5		pttop 23606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t‘𝐹) ∈ Top)
6	4, 5	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Top)
7		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
8		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
9	8	ptuni 23618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
10	4, 9	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
12	7, 11	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘))
13		ixpfn 8942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → 𝑥 Fn 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 Fn 𝐴)
15		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
16	15, 11	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘))
17		ixpfn 8942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → 𝑦 Fn 𝐴)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 Fn 𝐴)
19		eqfnfv 7051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 Fn 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
20	14, 18, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
21	20	necon3abid 2975	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
22		rexnal 3098	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
23		df-ne 2939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘) ↔ ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
24		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Haus)
25		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝐴)
26	24, 25	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ Haus)
27		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	elixp 8943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘)))
29	28	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
30	12, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
31	30	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
32	31	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
33		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
34	33	elixp 8943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑦 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘)))
35	34	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
36	16, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
37	36	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
38	37	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
39		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))
40		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
41	40	hausnei 23352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ Haus ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
42	26, 32, 38, 39, 41	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
43		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	4	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
45	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
47	46, 8	ptpjcn 23635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)))
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)))
49		simprll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘))
50		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) = (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘))
51	50	mptpreima 6260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑚) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚}
52		cnima 23289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)) → (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑚) ∈ (∏t‘𝐹))
53	51, 52	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹))
54	48, 49, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹))
55		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘))
56	50	mptpreima 6260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑛) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}
57		cnima 23289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) → (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑛) ∈ (∏t‘𝐹))
58	56, 57	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹))
59	48, 55, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹))
60		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧‘𝑘) = (𝑥‘𝑘))
61	60	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ↔ (𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚))
62	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
63		simprr1 1220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚)
64	61, 62, 63	elrabd 3697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚})
65		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
66	65	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛 ↔ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛))
67	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
68		simprr2 1221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛)
69	66, 67, 68	elrabd 3697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛})
70		inrab 4322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)}
71		simprr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
72		inelcm 4471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛) → (𝑚 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
73	72	necon2bi 2969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∩ 𝑛) = ∅ → ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
74	71, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
75	74	ralrimivw 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ∀𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
76		rabeq0 4394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
77	75, 76	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅)
78	70, 77	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)
79		eleq2 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚}))
80		ineq1 4221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑢 ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣))
81	80	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅))
82	79, 81	3anbi13d 1437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅)))
83		eleq2 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}))
84		ineq2 4222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}))
85	84	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → (({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅))
86	83, 85	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)))
87	82, 86	rspc2ev 3635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹) ∧ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
88	54, 59, 64, 69, 78, 87	syl113anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
89	88	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ (𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘))) → (((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
90	89	rexlimdvva 3211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
91	42, 90	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
92	91	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
93	23, 92	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
94	93	rexlimdva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
95	22, 94	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
96	21, 95	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
97	96	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → ∀𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)∀𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
98	46	ishaus 23346	. 2 ⊢ ((∏t‘𝐹) ∈ Haus ↔ ((∏t‘𝐹) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)∀𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))))
99	6, 97, 98	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Haus)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  ∏_tcpt 17485  Topctop 22915   Cn ccn 23248  Hauscha 23332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-haus 23339

This theorem is referenced by:  poimirlem30  37637