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Theorem pthaus 23493
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Haus)
Proof of Theorem pthaus
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 23186 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Haus β†’ π‘₯ ∈ Top)
21ssriv 3981 . . . 4 Haus βŠ† Top
3 fss 6727 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢Haus ∧ Haus βŠ† Top) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
42, 3mpan2 688 . . 3 (𝐹:𝐴⟢Haus β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
5 pttop 23437 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
64, 5sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
7 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (∏tβ€˜πΉ) = (∏tβ€˜πΉ)
98ptuni 23449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
104, 9sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
127, 11eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
13 ixpfn 8896 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ π‘₯ Fn 𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ π‘₯ Fn 𝐴)
15 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
1615, 11eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
17 ixpfn 8896 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ 𝑦 Fn 𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ 𝑦 Fn 𝐴)
19 eqfnfv 7025 . . . . . 6 ((π‘₯ Fn 𝐴 ∧ 𝑦 Fn 𝐴) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
2014, 18, 19syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
2120necon3abid 2971 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
22 rexnal 3094 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 Β¬ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
23 df-ne 2935 . . . . . . 7 ((π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
24 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ 𝐹:𝐴⟢Haus)
25 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
2624, 25ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ Haus)
27 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘₯ ∈ V
2827elixp 8897 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (π‘₯ Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
2928simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3012, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3130r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3231adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
33 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
3433elixp 8897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (𝑦 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
3534simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3616, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3736r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3837adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
39 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
4140hausnei 23183 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ Haus ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜)βˆƒπ‘› ∈ (πΉβ€˜π‘˜)((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
4226, 32, 38, 39, 41syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜)βˆƒπ‘› ∈ (πΉβ€˜π‘˜)((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))
43 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
444ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
4525adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
46 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)
4746, 8ptpjcn 23466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ((∏tβ€˜πΉ) Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
4843, 44, 45, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ((∏tβ€˜πΉ) Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
49 simprll 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
50 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) = (𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜))
5150mptpreima 6230 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ π‘š) = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š}
52 cnima 23120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ((∏tβ€˜πΉ) Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ π‘š) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
5351, 52eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ((∏tβ€˜πΉ) Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∈ (∏tβ€˜πΉ))
5448, 49, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∈ (∏tβ€˜πΉ))
55 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
5650mptpreima 6230 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑛) = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}
57 cnima 23120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ((∏tβ€˜πΉ) Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑛) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
5856, 57eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ((∏tβ€˜πΉ) Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} ∈ (∏tβ€˜πΉ))
5948, 55, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} ∈ (∏tβ€˜πΉ))
60 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (π‘§β€˜π‘˜) = (π‘₯β€˜π‘˜))
6160eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š))
627ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
63 simprr1 1218 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š)
6461, 62, 63elrabd 3680 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š})
65 fveq1 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘§β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
6665eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ↔ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛))
6715ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
68 simprr2 1219 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛)
6966, 67, 68elrabd 3680 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛})
70 inrab 4301 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}) = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛)}
71 simprr3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…)
72 inelcm 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛) β†’ (π‘š ∩ 𝑛) β‰  βˆ…)
7372necon2bi 2965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∩ 𝑛) = βˆ… β†’ Β¬ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ Β¬ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛))
7574ralrimivw 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) Β¬ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛))
76 rabeq0 4379 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘§ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) Β¬ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛))
7775, 76sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ ((π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛)} = βˆ…)
7870, 77eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}) = βˆ…)
79 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š}))
80 ineq1 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ 𝑣))
8180eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ↔ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ 𝑣) = βˆ…))
8279, 813anbi13d 1434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ 𝑣) = βˆ…)))
83 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} β†’ (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}))
84 ineq2 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} β†’ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}))
8584eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} β†’ (({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ 𝑣) = βˆ… ↔ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}) = βˆ…))
8683, 853anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ 𝑣) = βˆ…) ↔ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}) = βˆ…)))
8782, 86rspc2ev 3619 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∈ (∏tβ€˜πΉ) ∧ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} ∈ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ π‘š} ∩ {𝑧 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∣ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ 𝑛}) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…))
8854, 59, 64, 69, 78, 87syl113anc 1379 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ ((π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…))
8988expr 456 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) ∧ (π‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9089rexlimdvva 3205 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (πΉβ€˜π‘˜)βˆƒπ‘› ∈ (πΉβ€˜π‘˜)((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ π‘š ∧ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ 𝑛 ∧ (π‘š ∩ 𝑛) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9142, 90mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…))
9291expr 456 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) β‰  (π‘¦β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9323, 92biimtrrid 242 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9493rexlimdva 3149 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 Β¬ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9522, 94biimtrrid 242 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ (Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9621, 95sylbid 239 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9796ralrimivva 3194 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…)))
9846ishaus 23177 . 2 ((∏tβ€˜πΉ) ∈ Haus ↔ ((∏tβ€˜πΉ) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (∏tβ€˜πΉ)βˆƒπ‘£ ∈ (∏tβ€˜πΉ)(π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ…))))
996, 97, 98sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Haus) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890  βˆtcpt 17391  Topctop 22746   Cn ccn 23079  Hauscha 23163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cn 23082  df-haus 23170
This theorem is referenced by:  poimirlem30  37029
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