MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthaus 21930
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t𝐹) ∈ Haus)

Proof of Theorem pthaus
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21623 . . . . 5 (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Top)
21ssriv 3893 . . . 4 Haus ⊆ Top
3 fss 6395 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶Haus ∧ Haus ⊆ Top) → 𝐹:𝐴⟶Top)
42, 3mpan2 687 . . 3 (𝐹:𝐴⟶Haus → 𝐹:𝐴⟶Top)
5 pttop 21874 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
64, 5sylan2 592 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t𝐹) ∈ Top)
7 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑥 (∏t𝐹))
8 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
98ptuni 21886 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏t𝐹))
104, 9sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏t𝐹))
1110adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏t𝐹))
127, 11eleqtrrd 2886 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
13 ixpfn 8316 . . . . . . 7 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → 𝑥 Fn 𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑥 Fn 𝐴)
15 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑦 (∏t𝐹))
1615, 11eleqtrrd 2886 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
17 ixpfn 8316 . . . . . . 7 (𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → 𝑦 Fn 𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑦 Fn 𝐴)
19 eqfnfv 6667 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐴𝑦 Fn 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
2120necon3abid 3020 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
22 rexnal 3202 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
23 df-ne 2985 . . . . . . 7 ((𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘) ↔ ¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
24 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Haus)
25 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → 𝑘𝐴)
2624, 25ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ Haus)
27 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
2827elixp 8317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2928simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3012, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3130r19.21bi 3175 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3231adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
33 vex 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
3433elixp 8317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑦 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
3534simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3616, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3736r19.21bi 3175 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3837adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
39 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))
40 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
4140hausnei 21620 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ Haus ∧ ((𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹𝑘)((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
4226, 32, 38, 39, 41syl13anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹𝑘)((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
43 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝐴𝑉)
444ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
4525adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑘𝐴)
46 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
4746, 8ptpjcn 21903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘𝐴) → (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)))
4843, 44, 45, 47syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)))
49 simprll 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑚 ∈ (𝐹𝑘))
50 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) = (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘))
5150mptpreima 5967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑚) = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚}
52 cnima 21557 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑚) ∈ (∏t𝐹))
5351, 52syl5eqelr 2888 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹𝑘)) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t𝐹))
5448, 49, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t𝐹))
55 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑛 ∈ (𝐹𝑘))
5650mptpreima 5967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑛) = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}
57 cnima 21557 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑛) ∈ (∏t𝐹))
5856, 57syl5eqelr 2888 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t𝐹))
5948, 55, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t𝐹))
60 fveq1 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑘) = (𝑥𝑘))
6160eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ↔ (𝑥𝑘) ∈ 𝑚))
627ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑥 (∏t𝐹))
63 simprr1 1214 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑥𝑘) ∈ 𝑚)
6461, 62, 63elrabd 3620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚})
65 fveq1 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑘) = (𝑦𝑘))
6665eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝑘) ∈ 𝑛 ↔ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛))
6715ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑦 (∏t𝐹))
68 simprr2 1215 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑦𝑘) ∈ 𝑛)
6966, 67, 68elrabd 3620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛})
70 inrab 4195 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛)}
71 simprr3 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑚𝑛) = ∅)
72 inelcm 4328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛) → (𝑚𝑛) ≠ ∅)
7372necon2bi 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚𝑛) = ∅ → ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
7574ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ∀𝑧 (∏t𝐹) ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
76 rabeq0 4258 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑧 (∏t𝐹) ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
7775, 76sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅)
7870, 77syl5eq 2843 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)
79 eleq2 2871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑥𝑢𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚}))
80 ineq1 4101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑢𝑣) = ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣))
8180eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑢𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅))
8279, 813anbi13d 1430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦𝑣 ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅)))
83 eleq2 2871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → (𝑦𝑣𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}))
84 ineq2 4103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}))
8584eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → (({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅))
8683, 853anbi23d 1431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → ((𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦𝑣 ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)))
8782, 86rspc2ev 3574 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t𝐹) ∧ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t𝐹) ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
8854, 59, 64, 69, 78, 87syl113anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
8988expr 457 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ (𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘))) → (((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9089rexlimdvva 3257 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (∃𝑚 ∈ (𝐹𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹𝑘)((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9142, 90mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
9291expr 457 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9323, 92syl5bir 244 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9493rexlimdva 3247 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9522, 94syl5bir 244 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (¬ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9621, 95sylbid 241 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (𝑥𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9796ralrimivva 3158 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → ∀𝑥 (∏t𝐹)∀𝑦 (∏t𝐹)(𝑥𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9846ishaus 21614 . 2 ((∏t𝐹) ∈ Haus ↔ ((∏t𝐹) ∈ Top ∧ ∀𝑥 (∏t𝐹)∀𝑦 (∏t𝐹)(𝑥𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))))
996, 97, 98sylanbrc 583 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t𝐹) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  {crab 3109  cin 3858  wss 3859  c0 4211   cuni 4745  cmpt 5041  ccnv 5442  cima 5446   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  Xcixp 8310  tcpt 16541  Topctop 21185   Cn ccn 21516  Hauscha 21600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-fin 8361  df-fi 8721  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cn 21519  df-haus 21607
This theorem is referenced by:  poimirlem30  34453
  Copyright terms: Public domain W3C validator