Theorem pthaus 23864

Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pthaus	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Haus)

Proof of Theorem pthaus

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23556	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Top)
2	1	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Top
3		fss 6719	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶Haus ∧ Haus ⊆ Top) → 𝐹:𝐴⟶Top)
4	2, 3	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶Haus → 𝐹:𝐴⟶Top)
5		pttop 23808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t‘𝐹) ∈ Top)
6	4, 5	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Top)
7		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
8		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
9	8	ptuni 23820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
10	4, 9	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
12	7, 11	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘))
13		ixpfn 8910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → 𝑥 Fn 𝐴)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 Fn 𝐴)
15		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
16	15, 11	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘))
17		ixpfn 8910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → 𝑦 Fn 𝐴)
18	16, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 Fn 𝐴)
19		eqfnfv 7022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 Fn 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
20	14, 18, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
21	20	necon3abid 2991	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
22		rexnal 3114	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
23		df-ne 2956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘) ↔ ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
24		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Haus)
25		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝐴)
26	24, 25	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ Haus)
27		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	elixp 8911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘)))
29	28	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
30	12, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
31	30	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
32	31	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
33		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
34	33	elixp 8911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑦 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘)))
35	34	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
36	16, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
37	36	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
38	37	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
39		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))
40		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
41	40	hausnei 23553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ Haus ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
42	26, 32, 38, 39, 41	syl13anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
43		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	4	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
45	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
47	46, 8	ptpjcn 23837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)))
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)))
49		simprll 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘))
50		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) = (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘))
51	50	mptpreima 6234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑚) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚}
52		cnima 23490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)) → (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑚) ∈ (∏t‘𝐹))
53	51, 52	eqeltrrid 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹))
54	48, 49, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹))
55		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘))
56	50	mptpreima 6234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑛) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}
57		cnima 23490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) → (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑛) ∈ (∏t‘𝐹))
58	56, 57	eqeltrrid 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹))
59	48, 55, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹))
60		fveq1 6877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧‘𝑘) = (𝑥‘𝑘))
61	60	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ↔ (𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚))
62	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
63		simprr1 1240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚)
64	61, 62, 63	elrabd 3647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚})
65		fveq1 6877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
66	65	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛 ↔ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛))
67	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
68		simprr2 1241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛)
69	66, 67, 68	elrabd 3647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛})
70		inrab 4262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)}
71		simprr3 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
72		inelcm 4418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛) → (𝑚 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
73	72	necon2bi 2985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∩ 𝑛) = ∅ → ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
74	71, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
75	74	ralrimivw 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ∀𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
76		rabeq0 4338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
77	75, 76	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅)
78	70, 77	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)
79		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚}))
80		ineq1 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑢 ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣))
81	80	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅))
82	79, 81	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅)))
83		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}))
84		ineq2 4160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}))
85	84	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → (({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅))
86	83, 85	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)))
87	82, 86	rspc2ev 3589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹) ∧ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
88	54, 59, 64, 69, 78, 87	syl113anc 1409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
89	88	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ (𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘))) → (((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
90	89	rexlimdvva 3219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
91	42, 90	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
92	91	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
93	23, 92	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
94	93	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
95	22, 94	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
96	21, 95	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
97	96	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → ∀𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)∀𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
98	46	ishaus 23547	. 2 ⊢ ((∏t‘𝐹) ∈ Haus ↔ ((∏t‘𝐹) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)∀𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))))
99	6, 97, 98	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Haus)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Xcixp 8904  ∏_tcpt 17523  Topctop 23118   Cn ccn 23449  Hauscha 23533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1o 8455  df-2o 8456  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cn 23452  df-haus 23540

This theorem is used by:  poimirlem30  38399