Theorem pthaus 23501

Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pthaus	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Haus)

Proof of Theorem pthaus

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23194	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Top)
2	1	ssriv 3947	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Top
3		fss 6686	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶Haus ∧ Haus ⊆ Top) → 𝐹:𝐴⟶Top)
4	2, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶Haus → 𝐹:𝐴⟶Top)
5		pttop 23445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t‘𝐹) ∈ Top)
6	4, 5	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Top)
7		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
8		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
9	8	ptuni 23457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
10	4, 9	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (∏t‘𝐹))
12	7, 11	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘))
13		ixpfn 8853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → 𝑥 Fn 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑥 Fn 𝐴)
15		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
16	15, 11	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘))
17		ixpfn 8853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → 𝑦 Fn 𝐴)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → 𝑦 Fn 𝐴)
19		eqfnfv 6985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 Fn 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
20	14, 18, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
21	20	necon3abid 2961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘)))
22		rexnal 3082	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
23		df-ne 2926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘) ↔ ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
24		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Haus)
25		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → 𝑘 ∈ 𝐴)
26	24, 25	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝐹‘𝑘) ∈ Haus)
27		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	elixp 8854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘)))
29	28	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
30	12, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
31	30	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
32	31	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
33		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
34	33	elixp 8854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝑦 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘)))
35	34	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
36	16, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
37	36	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
38	37	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘))
39		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))
40		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
41	40	hausnei 23191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ Haus ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ ∪ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
42	26, 32, 38, 39, 41	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
43		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	4	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
45	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
47	46, 8	ptpjcn 23474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)))
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)))
49		simprll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘))
50		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) = (𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘))
51	50	mptpreima 6199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑚) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚}
52		cnima 23128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)) → (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑚) ∈ (∏t‘𝐹))
53	51, 52	eqeltrrid 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹))
54	48, 49, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹))
55		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘))
56	50	mptpreima 6199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑛) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}
57		cnima 23128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) → (◡(𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) “ 𝑛) ∈ (∏t‘𝐹))
58	56, 57	eqeltrrid 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ↦ (𝑧‘𝑘)) ∈ ((∏t‘𝐹) Cn (𝐹‘𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹))
59	48, 55, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹))
60		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧‘𝑘) = (𝑥‘𝑘))
61	60	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ↔ (𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚))
62	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
63		simprr1 1222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚)
64	61, 62, 63	elrabd 3658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚})
65		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧‘𝑘) = (𝑦‘𝑘))
66	65	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛 ↔ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛))
67	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))
68		simprr2 1223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛)
69	66, 67, 68	elrabd 3658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛})
70		inrab 4275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)}
71		simprr3 1224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)
72		inelcm 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛) → (𝑚 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
73	72	necon2bi 2955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∩ 𝑛) = ∅ → ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
74	71, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
75	74	ralrimivw 3129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ∀𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
76		rabeq0 4347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ¬ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛))
77	75, 76	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅)
78	70, 77	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)
79		eleq2 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚}))
80		ineq1 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑢 ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣))
81	80	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅))
82	79, 81	3anbi13d 1440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅)))
83		eleq2 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → (𝑦 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}))
84		ineq2 4173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}))
85	84	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → (({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅))
86	83, 85	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)))
87	82, 86	rspc2ev 3598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t‘𝐹) ∧ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∣ (𝑧‘𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
88	54, 59, 64, 69, 78, 87	syl113anc 1384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)) ∧ ((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
89	88	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) ∧ (𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘))) → (((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
90	89	rexlimdvva 3192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → (∃𝑚 ∈ (𝐹‘𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹‘𝑘)((𝑥‘𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦‘𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
91	42, 90	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘))) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))
92	91	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥‘𝑘) ≠ (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
93	23, 92	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
94	93	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
95	22, 94	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑥‘𝑘) = (𝑦‘𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
96	21, 95	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
97	96	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → ∀𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)∀𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅)))
98	46	ishaus 23185	. 2 ⊢ ((∏t‘𝐹) ∈ Haus ↔ ((∏t‘𝐹) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)∀𝑦 ∈ ∪ (∏t‘𝐹)(𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t‘𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t‘𝐹)(𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) = ∅))))
99	6, 97, 98	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t‘𝐹) ∈ Haus)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Xcixp 8847  ∏_tcpt 17377  Topctop 22756   Cn ccn 23087  Hauscha 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1o 8411  df-2o 8412  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9338  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cn 23090  df-haus 23178

This theorem is referenced by:  poimirlem30  37617