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Theorem prdstotbnd 36282
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsbnd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbnd.v 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
prdsbnd.e 𝐸 = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsbnd.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsbnd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsbnd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsbnd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdstotbnd.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables 𝑧 π‘Ÿ 𝑓 𝑔 𝑣 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
2 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
3 prdsbnd.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
4 prdsbnd.e . . . 4 𝐸 = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
5 eqid 2737 . . . 4 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
6 prdsbnd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsbnd.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 fvexd 6862 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
9 prdstotbnd.m . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰))
10 totbndmet 36260 . . . . 5 (𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
119, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsmet 23739 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))))
13 prdsbnd.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
14 prdsbnd.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
15 prdsbnd.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
16 dffn5 6906 . . . . . . . 8 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
1715, 16sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
1817oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
1914, 18eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
2019fveq2d 6851 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2113, 20eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
22 prdsbnd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2319fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2422, 23eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2524fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ (Metβ€˜π΅) = (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))))
2612, 21, 253eltr4d 2853 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
277adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
28 istotbnd3 36259 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰) ↔ (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
2928simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)
309, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)
3130r19.21bi 3237 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)
32 df-rex 3075 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
33 rexv 3473 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3432, 33bitr4i 278 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3531, 34sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3635an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3736ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
38 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)))
39 iuneq1 4975 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
4039eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 ↔ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
4138, 40anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ ((𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)))
4241ac6sfi 9238 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)))
4327, 37, 42syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)))
44 elfpw 9305 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin))
4544simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
4746ralimi 3087 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
4847ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
49 ss2ixp 8855 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
51 fnfi 9132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5215, 7, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5315fndmd 6612 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝐼)
5414, 6, 52, 22, 53prdsbas 17346 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
553rgenw 3069 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
56 ixpeq2 8856 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
5854, 57eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
5958ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
6050, 59sseqtrrd 3990 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝐡)
6127adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6244simprbi 498 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6362adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6463ralimi 3087 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6564ad2antll 728 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
66 ixpfi 9300 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6761, 65, 66syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
68 elfpw 9305 . . . . . 6 (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ↔ (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝐡 ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin))
6960, 67, 68sylanbrc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin))
70 metxmet 23703 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
7126, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
72 rpxr 12931 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
73 blssm 23787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
74733expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7574an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7675ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7771, 72, 76syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7877adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
79 ssralv 4015 . . . . . . . 8 (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡))
8060, 78, 79sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
81 iunss 5010 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
8280, 81sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
8361adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8459eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↔ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉))
85 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔 ∈ V
8685elixp 8849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 ↔ (𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
8786simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
88 df-rex 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘§ ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
89 eliun 4963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
90 rexv 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
9188, 89, 903bitr4i 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
92 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
9391, 92bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
9493biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9594adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9695ral2imi 3089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9796ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9887, 97syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9984, 98sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
10099imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
101 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
102 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
103102eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
104101, 103anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ ((𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
105104ac6sfi 9238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
10683, 100, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
107 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦:𝐼⟢V β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
108 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
109108ralimi 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
110107, 109anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
111 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
112111elixp 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
113110, 112sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯))
114113adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯))
11584biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
116 ixpfn 8848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
119 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
120119ralimi 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
121120ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
12285elixp 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ (𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
123118, 121, 122sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
124 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ πœ‘)
12550ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
126125, 114sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
127124, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
128126, 127eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
129 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
130 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜π‘₯))
131130cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))
132131oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
13319, 132eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
134133fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
13513, 134eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
136135fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π·) = (ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))))
137136oveqdr 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))
138 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
139 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
1406adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
1417adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
142 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
143 metxmet 23703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
14411, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
145144adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
146 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
147133fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
14822, 147eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
149148adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
150146, 149eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
15172ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
152 rpgt0 12934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
153152ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
154132, 138, 3, 4, 139, 140, 141, 142, 145, 150, 151, 153prdsbl 23863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
155137, 154eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
156124, 128, 129, 155syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
157123, 156eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
158114, 157jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
159158ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))))
160159eximdv 1921 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))))
161 df-rex 3075 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
162160, 161syl6ibr 252 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
163106, 162mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
164163ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
165 eliun 4963 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
166164, 165syl6ibr 252 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 β†’ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
167166ssrdv 3955 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
16882, 167eqssd 3966 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
169 iuneq1 4975 . . . . . . 7 (𝑣 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
170169eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑣 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡 ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡))
171170rspcev 3584 . . . . 5 ((Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
17269, 168, 171syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
17343, 172exlimddv 1939 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
174173ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
175 istotbnd3 36259 . 2 (𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡))
17626, 174, 175sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Xcixp 8842  Fincfn 8890  0cc0 11058  β„*cxr 11195   < clt 11196  β„+crp 12922  Basecbs 17090  distcds 17149  Xscprds 17334  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  TotBndctotbnd 36254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-totbnd 36256
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  36283
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