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Theorem prdstotbnd 36966
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsbnd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbnd.v 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
prdsbnd.e 𝐸 = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsbnd.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsbnd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsbnd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsbnd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdstotbnd.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables 𝑧 π‘Ÿ 𝑓 𝑔 𝑣 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
2 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
3 prdsbnd.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
4 prdsbnd.e . . . 4 𝐸 = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
5 eqid 2731 . . . 4 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
6 prdsbnd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsbnd.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 fvexd 6907 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
9 prdstotbnd.m . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰))
10 totbndmet 36944 . . . . 5 (𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
119, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsmet 24097 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))))
13 prdsbnd.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
14 prdsbnd.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
15 prdsbnd.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
16 dffn5 6951 . . . . . . . 8 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
1715, 16sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
1817oveq2d 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
1914, 18eqtrid 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
2019fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2113, 20eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
22 prdsbnd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2319fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2422, 23eqtrid 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2524fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (Metβ€˜π΅) = (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))))
2612, 21, 253eltr4d 2847 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
277adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
28 istotbnd3 36943 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰) ↔ (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
2928simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (TotBndβ€˜π‘‰) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)
309, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)
3130r19.21bi 3247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)
32 df-rex 3070 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
33 rexv 3499 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) ↔ βˆƒπ‘€(𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3432, 33bitr4i 277 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3531, 34sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3635an32s 649 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
3736ralrimiva 3145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
38 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)))
39 iuneq1 5014 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
4039eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 ↔ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))
4138, 40anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ ((𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)))
4241ac6sfi 9290 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘€ ∈ V (𝑀 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)))
4327, 37, 42syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉)))
44 elfpw 9357 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin))
4544simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
4746ralimi 3082 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
4847ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉)
49 ss2ixp 8907 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝑉 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
51 fnfi 9184 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5215, 7, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
5315fndmd 6655 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝐼)
5414, 6, 52, 22, 53prdsbas 17408 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
553rgenw 3064 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
56 ixpeq2 8908 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
5854, 57eqtr4di 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
5958ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
6050, 59sseqtrrd 4024 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝐡)
6127adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6244simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6463ralimi 3082 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6564ad2antll 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
66 ixpfi 9352 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
6761, 65, 66syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin)
68 elfpw 9357 . . . . . 6 (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ↔ (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝐡 ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ Fin))
6960, 67, 68sylanbrc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin))
70 metxmet 24061 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
7126, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
72 rpxr 12988 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
73 blssm 24145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
74733expa 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7574an32s 649 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7675ralrimiva 3145 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7771, 72, 76syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
7877adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
79 ssralv 4051 . . . . . . . 8 (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡))
8060, 78, 79sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
81 iunss 5049 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
8280, 81sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝐡)
8361adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8459eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 ↔ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉))
85 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔 ∈ V
8685elixp 8901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 ↔ (𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
8786simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
88 df-rex 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘§ ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
89 eliun 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
90 rexv 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
9188, 89, 903bitr4i 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
92 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
9391, 92bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
9493biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9695ral2imi 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9796ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9887, 97syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
9984, 98sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
10099imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
101 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
102 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
103102eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
104101, 103anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘¦β€˜π‘₯) β†’ ((𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
105104ac6sfi 9290 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆƒπ‘§ ∈ V (𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
10683, 100, 105syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
107 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦:𝐼⟢V β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
108 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
109108ralimi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
110107, 109anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
111 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
112111elixp 8901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
113110, 112sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯))
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯))
11584biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
116 ixpfn 8900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
119 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
120119ralimi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
121120ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
12285elixp 8901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ↔ (𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
123118, 121, 122sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
124 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ πœ‘)
12550ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
126125, 114sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
127124, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
128126, 127eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
129 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
130 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜π‘₯))
131130cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))
132131oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
13319, 132eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
134133fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
13513, 134eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
136135fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π·) = (ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))))
137136oveqdr 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))
138 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
139 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
1406adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
1417adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
142 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
143 metxmet 24061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
14411, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
145144adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
146 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
147133fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
14822, 147eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
150146, 149eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
15172ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
152 rpgt0 12991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
153152ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
154132, 138, 3, 4, 139, 140, 141, 142, 145, 150, 151, 153prdsbl 24221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
155137, 154eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
156124, 128, 129, 155syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
157123, 156eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
158114, 157jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
159158ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))))
160159eximdv 1919 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))))
161 df-rex 3070 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
162160, 161imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ((π‘¦β€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
163106, 162mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
164163ex 412 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
165 eliun 5002 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)𝑔 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
166164, 165imbitrrdi 251 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐡 β†’ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
167166ssrdv 3989 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
16882, 167eqssd 4000 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
169 iuneq1 5014 . . . . . . 7 (𝑣 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
170169eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑣 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡 ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡))
171170rspcev 3613 . . . . 5 ((Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ X π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
17269, 168, 171syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓:𝐼⟢V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)(𝑧(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = 𝑉))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
17343, 172exlimddv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
174173ralrimiva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡)
175 istotbnd3 36943 . 2 (𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑣 (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = 𝐡))
17626, 174, 175sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Xcixp 8894  Fincfn 8942  0cc0 11113  β„*cxr 11252   < clt 11253  β„+crp 12979  Basecbs 17149  distcds 17211  Xscprds 17396  βˆžMetcxmet 21130  Metcmet 21131  ballcbl 21132  TotBndctotbnd 36938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-prds 17398  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-totbnd 36940
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  36967
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