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Theorem ptpjcn 23335
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1 π‘Œ = βˆͺ 𝐽
ptpjcn.2 𝐽 = (∏tβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜πΌ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑒 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.1 . . . 4 π‘Œ = βˆͺ 𝐽
2 ptpjcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (∏tβ€˜πΉ)
32ptuni 23318 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐽)
433adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐽)
51, 4eqtr4id 2791 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
65mpteq1d 5243 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) = (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)))
7 pttop 23306 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
873adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
92, 8eqeltrid 2837 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 ffvelcdm 7083 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ Top)
11103adant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ Top)
12 vex 3478 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
1312elixp 8900 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (π‘₯ Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1413simprbi 497 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘₯β€˜πΌ))
16 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜πΌ))
1716unieqd 4922 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐼 β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
1815, 17eleq12d 2827 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (π‘₯β€˜πΌ) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜πΌ)))
1918rspcva 3610 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯β€˜πΌ) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
2014, 19sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯β€˜πΌ) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
21203ad2antl3 1187 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯β€˜πΌ) ∈ βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
2221fmpttd 7116 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)):Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)⟢βˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
235feq2d 6703 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)):π‘ŒβŸΆβˆͺ (πΉβ€˜πΌ) ↔ (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)):Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)⟢βˆͺ (πΉβ€˜πΌ)))
2422, 23mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)):π‘ŒβŸΆβˆͺ (πΉβ€˜πΌ))
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} = {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
2625ptbas 23303 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ TopBases)
27 bastg 22689 . . . . . . . . . . 11 ({𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ TopBases β†’ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† (topGenβ€˜{𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† (topGenβ€˜{𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
29 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟢Top β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3025ptval 23294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) β†’ (∏tβ€˜πΉ) = (topGenβ€˜{𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
312, 30eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) β†’ 𝐽 = (topGenβ€˜{𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
3229, 31sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ 𝐽 = (topGenβ€˜{𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}))
3328, 32sseqtrrd 4023 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝐽)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝐽)
35 eqid 2732 . . . . . . . . 9 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
3625, 35ptpjpre2 23304 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑀 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))})
3734, 36sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
3837expr 457 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ∈ (πΉβ€˜πΌ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3145 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (πΉβ€˜πΌ)(β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
40393impa 1110 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (πΉβ€˜πΌ)(β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
4124, 40jca 512 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)):π‘ŒβŸΆβˆͺ (πΉβ€˜πΌ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (πΉβ€˜πΌ)(β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽))
42 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ (πΉβ€˜πΌ) = βˆͺ (πΉβ€˜πΌ)
431, 42iscn2 22962 . . 3 ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜πΌ)) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ (πΉβ€˜πΌ) ∈ Top) ∧ ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)):π‘ŒβŸΆβˆͺ (πΉβ€˜πΌ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (πΉβ€˜πΌ)(β—‘(π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)))
449, 11, 41, 43syl21anbrc 1344 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜πΌ)))
456, 44eqeltrd 2833 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (π‘₯β€˜πΌ)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜πΌ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  Fincfn 8941  topGenctg 17387  βˆtcpt 17388  Topctop 22615  TopBasesctb 22668   Cn ccn 22948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951
This theorem is referenced by:  pthaus  23362  ptrescn  23363  xkopjcn  23380  pt1hmeo  23530  ptunhmeo  23532  tmdgsum  23819  symgtgp  23830  prdstmdd  23848  prdstgpd  23849  poimir  36824  broucube  36825
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