MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjcn 23635
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1 𝑌 = 𝐽
ptpjcn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.1 . . . 4 𝑌 = 𝐽
2 ptpjcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (∏t𝐹)
32ptuni 23618 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
433adant3 1131 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
51, 4eqtr4id 2794 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝑌 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
65mpteq1d 5243 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)))
7 pttop 23606 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
873adant3 1131 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (∏t𝐹) ∈ Top)
92, 8eqeltrid 2843 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
11103adant1 1129 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
12 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1312elixp 8943 . . . . . . . . 9 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
1413simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
15 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐼))
16 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1716unieqd 4925 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1815, 17eleq12d 2833 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
1918rspcva 3620 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
2014, 19sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐼𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
21203ad2antl3 1186 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) ∧ 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
2221fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼))
235feq2d 6723 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ↔ (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼)))
2422, 23mpbird 257 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼))
25 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} = {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
2625ptbas 23603 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases)
27 bastg 22989 . . . . . . . . . . 11 ({𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
29 ffn 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶Top → 𝐹 Fn 𝐴)
3025ptval 23594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → (∏t𝐹) = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
312, 30eqtrid 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3229, 31sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3328, 32sseqtrrd 4037 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
35 eqid 2735 . . . . . . . . 9 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
3625, 35ptpjpre2 23604 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))})
3734, 36sseldd 3996 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
3837expr 456 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → (𝑢 ∈ (𝐹𝐼) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3143 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
40393impa 1109 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
4124, 40jca 511 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
42 eqid 2735 . . . 4 (𝐹𝐼) = (𝐹𝐼)
431, 42iscn2 23262 . . 3 ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐼) ∈ Top) ∧ ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
449, 11, 41, 43syl21anbrc 1343 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
456, 44eqeltrd 2839 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963   cuni 4912  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  Fincfn 8984  topGenctg 17484  tcpt 17485  Topctop 22915  TopBasesctb 22968   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  pthaus  23662  ptrescn  23663  xkopjcn  23680  pt1hmeo  23830  ptunhmeo  23832  tmdgsum  24119  symgtgp  24130  prdstmdd  24148  prdstgpd  24149  poimir  37640  broucube  37641
  Copyright terms: Public domain W3C validator