MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjcn 23619
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1 𝑌 = 𝐽
ptpjcn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.1 . . . 4 𝑌 = 𝐽
2 ptpjcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (∏t𝐹)
32ptuni 23602 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
433adant3 1133 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
51, 4eqtr4id 2796 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝑌 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
65mpteq1d 5237 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)))
7 pttop 23590 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
873adant3 1133 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (∏t𝐹) ∈ Top)
92, 8eqeltrid 2845 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
11103adant1 1131 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
12 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1312elixp 8944 . . . . . . . . 9 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
1413simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐼))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1716unieqd 4920 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1815, 17eleq12d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
1918rspcva 3620 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
2014, 19sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐼𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
21203ad2antl3 1188 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) ∧ 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
2221fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼))
235feq2d 6722 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ↔ (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼)))
2422, 23mpbird 257 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} = {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
2625ptbas 23587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases)
27 bastg 22973 . . . . . . . . . . 11 ({𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
29 ffn 6736 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶Top → 𝐹 Fn 𝐴)
3025ptval 23578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → (∏t𝐹) = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
312, 30eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3229, 31sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3328, 32sseqtrrd 4021 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
35 eqid 2737 . . . . . . . . 9 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
3625, 35ptpjpre2 23588 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))})
3734, 36sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
3837expr 456 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → (𝑢 ∈ (𝐹𝐼) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3145 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
40393impa 1110 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
4124, 40jca 511 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
42 eqid 2737 . . . 4 (𝐹𝐼) = (𝐹𝐼)
431, 42iscn2 23246 . . 3 ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐼) ∈ Top) ∧ ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
449, 11, 41, 43syl21anbrc 1345 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
456, 44eqeltrd 2841 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951   cuni 4907  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Xcixp 8937  Fincfn 8985  topGenctg 17482  tcpt 17483  Topctop 22899  TopBasesctb 22952   Cn ccn 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235
This theorem is referenced by:  pthaus  23646  ptrescn  23647  xkopjcn  23664  pt1hmeo  23814  ptunhmeo  23816  tmdgsum  24103  symgtgp  24114  prdstmdd  24132  prdstgpd  24133  poimir  37660  broucube  37661
  Copyright terms: Public domain W3C validator