MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbl 24000
Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 24014) - for a counterexample the point 𝑝 in ℝ↑ℕ whose 𝑛-th coordinate is 1 βˆ’ 1 / 𝑛 is in X𝑛 ∈ β„•ball(0, 1) but is not in the 1-ball of the product (since 𝑑(0, 𝑝) = 1).

The last assumption, 0 < 𝐴, is needed only in the case 𝐼 = βˆ…, when the right side evaluates to {βˆ…} and the left evaluates to βˆ… if 𝐴 ≀ 0 and {βˆ…} if 0 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsbl.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsbl.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsbl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsbl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsbl.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsbl.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
prdsbl.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
prdsbl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
prdsbl.g (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
prdsbl (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝐴) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑃   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
65ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 17427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
98eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↔ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉))
109biimpa 478 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
11 ixpfn 8897 . . . . . 6 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉 β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
12 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1312elixp 8898 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴)))
1413baib 537 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴)))
1510, 11, 143syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴)))
16 prdsbl.m . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
1716adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
18 prdsbl.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 17429 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2322r19.21bi 3249 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
243adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
254adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
266adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
27 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 17429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2928r19.21bi 3249 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
30 elbl2 23896 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 838 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
3231ralbidva 3176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
33 xmetcl 23837 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
3417, 23, 29, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
3534ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
36 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)))
37 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (𝑧 < 𝐴 ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
3836, 37ralrnmptw 7096 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ* β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)))𝑧 < 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
3935, 38syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)))𝑧 < 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
4140adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 0 < 𝐴)
42 c0ex 11208 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
43 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 β†’ (𝑧 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
4442, 43ralsn 4686 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴)
4541, 44sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 < 𝐴)
46 ralunb 4192 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})𝑧 < 𝐴 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)))𝑧 < 𝐴 ∧ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 < 𝐴))
4720adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 17431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃𝐷𝑓) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
51 xrltso 13120 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ < Or ℝ*)
5336rnmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑦 = ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))}
54 abrexfi 9352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ Fin β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑦 = ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))} ∈ Fin)
5553, 54eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
5625, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
57 snfi 9044 . . . . . . . . . . . . 13 {0} ∈ Fin
58 unfi 9172 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
5956, 57, 58sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
60 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
6142snss 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
6260, 61mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
63 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
6534fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„*)
6665frnd 6726 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βŠ† ℝ*)
67 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6968snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ {0} βŠ† ℝ*)
7066, 69unssd 4187 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
71 fisupcl 9464 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ… ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
7252, 59, 64, 70, 71syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
7350, 72eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃𝐷𝑓) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
74 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑃𝐷𝑓) β†’ (𝑧 < 𝐴 ↔ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7574rspcv 3609 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐷𝑓) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})𝑧 < 𝐴 β†’ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})𝑧 < 𝐴 β†’ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7746, 76biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)))𝑧 < 𝐴 ∧ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 < 𝐴) β†’ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7845, 77mpan2d 693 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)))𝑧 < 𝐴 β†’ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7939, 78sylbird 260 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴 β†’ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
80 ssun1 4173 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
81 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ V
8281elabrex 7242 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑦 = ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))})
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑦 = ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))})
8483, 53eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))))
8580, 84sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
86 supxrub 13303 . . . . . . . . . 10 (((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
8770, 85, 86syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
8850adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑃𝐷𝑓) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
8987, 88breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (𝑃𝐷𝑓))
901, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 23875 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
9220ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9327adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
94 xmetcl 23837 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
96 xrlelttr 13135 . . . . . . . . 9 ((((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (𝑃𝐷𝑓) ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
9734, 95, 19, 96syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) ≀ (𝑃𝐷𝑓) ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
9889, 97mpand 694 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
9998ralrimdva 3155 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴))
10079, 99impbid 211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)𝐸(π‘“β€˜π‘₯)) < 𝐴 ↔ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
10115, 32, 1003bitrrd 306 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 ↔ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴)))
102101pm5.32da 580 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴))))
103 elbl 23894 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝑓 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝐴) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴)))
10490, 20, 18, 103syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝐴) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴)))
10521r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
10618adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
107 blssm 23924 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† 𝑉)
10816, 105, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† 𝑉)
109108ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† 𝑉)
110 ss2ixp 8904 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† 𝑉 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
111109, 110syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑉)
112111, 8sseqtrrd 4024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) βŠ† 𝐡)
113112sseld 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡))
114113pm4.71rd 564 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴))))
115102, 104, 1143bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝐴) ↔ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴)))
116115eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝐴) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘ƒβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891  Fincfn 8939  supcsup 9435  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  Basecbs 17144  distcds 17206  Xscprds 17391  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-prds 17393  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24038  prdstotbnd  36662  prdsbnd2  36663
  Copyright terms: Public domain W3C validator