MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbl 24520
Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 24534) - for a counterexample the point 𝑝 in ℝ↑ℕ whose 𝑛-th coordinate is 1 − 1 / 𝑛 is in X𝑛 ∈ ℕball(0, 1) but is not in the 1-ball of the product (since 𝑑(0, 𝑝) = 1).

The last assumption, 0 < 𝐴, is needed only in the case 𝐼 = ∅, when the right side evaluates to {∅} and the left evaluates to if 𝐴 ≤ 0 and {∅} if 0 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbl.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsbl.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsbl.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsbl.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsbl.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsbl.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsbl.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
prdsbl.p (𝜑𝑃𝐵)
prdsbl.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
prdsbl.g (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
prdsbl (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) = X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑊)
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
65ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑅)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 17528 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = X𝑥𝐼 𝑉)
98eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓𝐵𝑓X𝑥𝐼 𝑉))
109biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓X𝑥𝐼 𝑉)
11 ixpfn 8942 . . . . . 6 (𝑓X𝑥𝐼 𝑉𝑓 Fn 𝐼)
12 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1312elixp 8943 . . . . . . 7 (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
1413baib 535 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
1510, 11, 143syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
16 prdsbl.m . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1716adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
18 prdsbl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1918ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐵)
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 17530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
2322r19.21bi 3249 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
243adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑆𝑊)
254adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
266adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 17530 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
2928r19.21bi 3249 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
30 elbl2 24416 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3231ralbidva 3174 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
33 xmetcl 24357 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑃𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
3417, 23, 29, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
3534ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
36 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))
37 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3836, 37ralrnmptw 7114 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ* → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3935, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 0 < 𝐴)
42 c0ex 11253 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
43 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → (𝑧 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
4442, 43ralsn 4686 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴)
4541, 44sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴)
46 ralunb 4207 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})𝑧 < 𝐴 ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴))
4720adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑃𝐵)
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (dist‘𝑌)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 17532 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑃𝐷𝑓) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
51 xrltso 13180 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → < Or ℝ*)
5336rnmpt 5971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))}
54 abrexfi 9390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))} ∈ Fin)
5553, 54eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∈ Fin)
5625, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∈ Fin)
57 snfi 9082 . . . . . . . . . . . . 13 {0} ∈ Fin
58 unfi 9210 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
60 ssun2 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
6142snss 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
6260, 61mpbir 231 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
63 ne0i 4347 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
6534fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))):𝐼⟶ℝ*)
6665frnd 6745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ ℝ*)
67 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
6968snssd 4814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → {0} ⊆ ℝ*)
7066, 69unssd 4202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
71 fisupcl 9507 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
7252, 59, 64, 70, 71syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
7350, 72eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑃𝐷𝑓) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
74 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑃𝐷𝑓) → (𝑧 < 𝐴 ↔ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7574rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐷𝑓) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) → (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})𝑧 < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})𝑧 < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7746, 76biimtrrid 243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ((∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴) → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7845, 77mpan2d 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7939, 78sylbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
80 ssun1 4188 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
81 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ V
8281elabrex 7262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))})
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))})
8483, 53eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))))
8580, 84sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
86 supxrub 13363 . . . . . . . . . 10 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8770, 85, 86syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8850adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝐷𝑓) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8987, 88breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑓))
901, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 24395 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
9190ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
9220ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑃𝐵)
9327adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓𝐵)
94 xmetcl 24357 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵𝑓𝐵) → (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
96 xrlelttr 13195 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑓) ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
9734, 95, 19, 96syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑓) ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
9889, 97mpand 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
9998ralrimdva 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
10079, 99impbid 212 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴 ↔ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
10115, 32, 1003bitrrd 306 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
102101pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐵 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) ↔ (𝑓𝐵𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))))
103 elbl 24414 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑓 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) ↔ (𝑓𝐵 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴)))
10490, 20, 18, 103syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) ↔ (𝑓𝐵 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴)))
10521r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
10618adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ*)
107 blssm 24444 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑃𝑥) ∈ 𝑉𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉)
10816, 105, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉)
109108ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉)
110 ss2ixp 8949 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ X𝑥𝐼 𝑉)
111109, 110syl 17 . . . . . 6 (𝜑X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ X𝑥𝐼 𝑉)
112111, 8sseqtrrd 4037 . . . . 5 (𝜑X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝐵)
113112sseld 3994 . . . 4 (𝜑 → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) → 𝑓𝐵))
114113pm4.71rd 562 . . 3 (𝜑 → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ (𝑓𝐵𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))))
115102, 104, 1143bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) ↔ 𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
116115eqrdv 2733 1 (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) = X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Or wor 5596   × cxp 5687  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  Fincfn 8984  supcsup 9478  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  Basecbs 17245  distcds 17307  Xscprds 17492  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24558  prdstotbnd  37781  prdsbnd2  37782
  Copyright terms: Public domain W3C validator