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Theorem pntrlog2bndlem6 27323
Description: Lemma for pntrlog2bnd 27324. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘Ž))((Ξ›β€˜π‘–) Β· ((logβ€˜π‘–) + (Οˆβ€˜(π‘Ž / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ if(π‘Ž ∈ ℝ+, (π‘Ž Β· (logβ€˜π‘Ž)), 0))
pntrlog2bndlem5.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡)
pntrlog2bndlem6.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑖,π‘Ž,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,𝑛,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑖,π‘Ž)   𝐡(𝑖,π‘Ž)   𝑅(𝑖,π‘Ž)   𝑆(𝑖,π‘Ž)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 13359 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
21adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3 1rp 12983 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 1red 11220 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 13388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (1 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
76adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
87simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 < π‘₯)
95, 2, 8ltled 11367 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
102, 4, 9rpgecld 13060 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
1211pntrf 27303 . . . . . . . . . . . 12 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
1312ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1514recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1615abscld 15388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1710relogcld 26368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 11249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
19 2re 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
212, 8rplogcld 26374 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2220, 21rerpdivcld 13052 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
23 fzfid 13943 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2410adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
25 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2726nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2824, 27rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2912ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
3231abscld 15388 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
3327relogcld 26368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3432, 33remulcld 11249 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
3523, 34fsumrecl 15685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
3622, 35remulcld 11249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3718, 36resubcld 11647 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
3837recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) ∈ β„‚)
39 fzfid 13943 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
40 ssun2 4173 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘Ž))((Ξ›β€˜π‘–) Β· ((logβ€˜π‘–) + (Οˆβ€˜(π‘Ž / 𝑖)))))
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ if(π‘Ž ∈ ℝ+, (π‘Ž Β· (logβ€˜π‘Ž)), 0))
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡)
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 27322 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) = ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))))
4840, 47sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
4948sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
5049, 34syldan 590 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
5139, 50fsumrecl 15685 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
5222, 51remulcld 11249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
5352recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ β„‚)
542recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5510rpne0d 13026 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
5638, 53, 54, 55divdird 12033 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) = (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯)))
5718recnd 11247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5836recnd 11247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ β„‚)
5957, 58, 53subsubd 11604 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))) = ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
6022recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 / (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6135recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
6251recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
6360, 61, 62subdid 11675 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
64 fzfid 13943 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) ∈ Fin)
65 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6665, 47sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6766sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6867, 34syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
6964, 68fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7069recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
713a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
7245, 71, 46rpgecld 13060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
742, 73rerpdivcld 13052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ)
75 reflcl 13766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ∈ ℝ)
7776ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1))
78 fzdisj 13533 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) ∩ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = βˆ…)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) ∩ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = βˆ…)
8034recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
8179, 47, 23, 80fsumsplit 15692 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))
8270, 62, 81mvrraddd 11631 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))
8382oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))
8463, 83eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))
8584oveq2d 7428 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))) = (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
8659, 85eqtr3d 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
8786oveq1d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) = ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯))
8856, 87eqtr3d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯)) = ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯))
8988mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)))
9037, 10rerpdivcld 13052 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) ∈ ℝ)
9152, 10rerpdivcld 13052 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ∈ ℝ)
9241, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 27321 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
93 ioossre 13390 . . . . 5 (1(,)+∞) βŠ† ℝ
9493a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1(,)+∞) βŠ† ℝ)
95 1red 11220 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
9619a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
9743rpred 13021 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9872relogcld 26368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
9998, 95readdcld 11248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
10097, 99remulcld 11249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ)
10196, 100remulcld 11249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ∈ ℝ)
10251, 21rerpdivcld 13052 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10397adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
10473relogcld 26368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
105104, 5readdcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
106103, 105remulcld 11249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ)
1072, 106remulcld 11249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ∈ ℝ)
108 2rp 12984 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
110109rpge0d 13025 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ 2)
111103, 2remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
11249, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
113112nnrecred 12268 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11439, 113fsumrecl 15685 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 11249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11621adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
11750, 116rerpdivcld 13052 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
118103adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1192adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
120118, 119remulcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
121120, 113remulcld 11249 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
12249, 32syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
123119, 112nndivred 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
124118, 123remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
12549, 27syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
126125relogcld 26368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
12710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
128127relogcld 26368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
12949, 31syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
130129absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))))
131 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
133112nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
134 flge 13775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯)))
135119, 133, 134syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯)))
136132, 135mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
137125, 127logled 26372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (logβ€˜π‘›) ≀ (logβ€˜π‘₯)))
138136, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ≀ (logβ€˜π‘₯))
139126, 128, 122, 130, 138lemul2ad 12159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ≀ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘₯)))
14050, 122, 116ledivmul2d 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ↔ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ≀ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘₯))))
141139, 140mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))))
142123recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
14349, 28syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
144143rpne0d 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) β‰  0)
145129, 142, 144absdivd 15407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) = ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (absβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
14610rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
147146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ π‘₯)
148119, 125, 147divge0d 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛))
149123, 148absidd 15374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) = (π‘₯ / 𝑛))
150149oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (absβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)))
151145, 150eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) = ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)))
152 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)))
153 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ 𝑦 = (π‘₯ / 𝑛))
154152, 153oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ ((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦) = ((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛)))
155154fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) = (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))))
156155breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ ((absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡 ↔ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) ≀ 𝐡))
15744ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡)
158156, 157, 143rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) ≀ 𝐡)
159151, 158eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)) ≀ 𝐡)
160122, 118, 143ledivmul2d 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)) ≀ 𝐡 ↔ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛))))
161159, 160mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)))
162117, 122, 124, 141, 161letrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)))
163118recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
16454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
165112nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
166112nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
167163, 164, 165, 166divassd 12030 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) / 𝑛) = (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)))
168163, 164mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
169168, 165, 166divrecd 11998 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) / 𝑛) = ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
170167, 169eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)) = ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
171162, 170breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
17239, 117, 121, 171fsumle 15750 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
17317recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
17449, 80syldan 590 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
17521rpne0d 13026 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)
17639, 173, 174, 175fsumdivc 15737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)))
177103recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
178177, 54mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
179113recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
18039, 178, 179fsummulc2 15735 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
181172, 176, 1803brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)))
18243adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
183182rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
184103, 2, 183, 146mulge0d 11796 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ (𝐡 Β· π‘₯))
18526nnrecred 12268 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
18623, 185fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
18717, 104resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
18817, 5readdcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
18967, 185syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
19064, 189fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
191 harmonicubnd 26751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ≀ ((logβ€˜π‘₯) + 1))
1922, 9, 191syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ≀ ((logβ€˜π‘₯) + 1))
19310, 73relogdivd 26371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) = ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄)))
19410, 73rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ+)
195 harmoniclbnd 26750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛))
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛))
197193, 196eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛))
198186, 187, 188, 190, 192, 197le2subd 11839 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛)) ≀ (((logβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄))))
19967, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
200199nnrecred 12268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
20164, 200fsumrecl 15685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
202201recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) ∈ β„‚)
203114recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ∈ β„‚)
20426nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
20526nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
206204, 205reccld 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
20779, 47, 23, 206fsumsplit 15692 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)))
208202, 203, 207mvrladdd 11632 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛))
209 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
210104recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
211173, 209, 210pnncand 11615 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((logβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄))) = (1 + (logβ€˜π΄)))
212209, 210, 211comraddd 11433 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((logβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄))) = ((logβ€˜π΄) + 1))
213198, 208, 2123brtr3d 5179 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ≀ ((logβ€˜π΄) + 1))
214114, 105, 111, 184, 213lemul2ad 12159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) ≀ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))
215105recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ β„‚)
216177, 54, 215mulassd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) = (𝐡 Β· (π‘₯ Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
217177, 54, 215mul12d 11428 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· (π‘₯ Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) = (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
218216, 217eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) = (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
219214, 218breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) ≀ (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
220102, 115, 107, 181, 219letrd 11376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
221102, 107, 20, 110, 220lemul2ad 12159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯))) ≀ (2 Β· (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))))
222 2cnd 12295 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 2 ∈ β„‚)
223222, 173, 62, 175div32d 12018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) = (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯))))
224210, 209addcld 11238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ β„‚)
225177, 224mulcld 11239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) ∈ β„‚)
22654, 222, 225mul12d 11428 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))) = (2 Β· (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))))
227221, 223, 2263brtr4d 5180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))))
228101adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ∈ ℝ)
22952, 228, 10ledivmuld 13074 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ↔ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))))
230227, 229mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
231230adantrr 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
23294, 91, 95, 101, 231ello1d 15472 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
23390, 91, 92, 232lo1add 15576 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯))) ∈ ≀𝑂(1))
23489, 233eqeltrrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  abscabs 15186  β‰€π‘‚(1)clo1 15436  Ξ£csu 15637  logclog 26300  Ξ›cvma 26833  Οˆcchp 26834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26126  df-log 26302  df-cxp 26303  df-atan 26609  df-em 26734  df-cht 26838  df-vma 26839  df-chp 26840  df-ppi 26841  df-mu 26842
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  27324
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