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Theorem pntrlog2bndlem6 27086
Description: Lemma for pntrlog2bnd 27087. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘Ž))((Ξ›β€˜π‘–) Β· ((logβ€˜π‘–) + (Οˆβ€˜(π‘Ž / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ if(π‘Ž ∈ ℝ+, (π‘Ž Β· (logβ€˜π‘Ž)), 0))
pntrlog2bndlem5.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡)
pntrlog2bndlem6.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑖,π‘Ž,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,𝑛,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑖,π‘Ž)   𝐡(𝑖,π‘Ž)   𝑅(𝑖,π‘Ž)   𝑆(𝑖,π‘Ž)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 13354 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
21adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3 1rp 12978 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 1red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 13383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (1 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
76adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
87simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 < π‘₯)
95, 2, 8ltled 11362 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
102, 4, 9rpgecld 13055 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
1211pntrf 27066 . . . . . . . . . . . 12 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
1312ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1514recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1615abscld 15383 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1710relogcld 26131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
19 2re 12286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
212, 8rplogcld 26137 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2220, 21rerpdivcld 13047 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
23 fzfid 13938 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2410adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
25 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2726nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2824, 27rpdivcld 13033 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2912ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
3130recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
3231abscld 15383 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
3327relogcld 26131 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3432, 33remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
3523, 34fsumrecl 15680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
3622, 35remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3718, 36resubcld 11642 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
3837recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) ∈ β„‚)
39 fzfid 13938 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
40 ssun2 4174 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘Ž))((Ξ›β€˜π‘–) Β· ((logβ€˜π‘–) + (Οˆβ€˜(π‘Ž / 𝑖)))))
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (π‘Ž ∈ ℝ ↦ if(π‘Ž ∈ ℝ+, (π‘Ž Β· (logβ€˜π‘Ž)), 0))
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡)
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝐴)
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 27085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) = ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))))
4840, 47sseqtrrid 4036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
4948sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
5049, 34syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
5139, 50fsumrecl 15680 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
5222, 51remulcld 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ ℝ)
5352recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ β„‚)
542recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5510rpne0d 13021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
5638, 53, 54, 55divdird 12028 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) = (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯)))
5718recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5836recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ∈ β„‚)
5957, 58, 53subsubd 11599 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))) = ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
6022recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 / (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6135recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
6251recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
6360, 61, 62subdid 11670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
64 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) ∈ Fin)
65 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βŠ† ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βˆͺ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6665, 47sseqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6766sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6867, 34syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
6964, 68fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7069recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
713a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
7245, 71, 46rpgecld 13055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
742, 73rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ)
75 reflcl 13761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ∈ ℝ)
7776ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1))
78 fzdisj 13528 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) ∩ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = βˆ…)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴))) ∩ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = βˆ…)
8034recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
8179, 47, 23, 80fsumsplit 15687 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))
8270, 62, 81mvrraddd 11626 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))
8382oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))
8463, 83eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))
8584oveq2d 7425 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))))) = (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
8659, 85eqtr3d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) = (((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))))
8786oveq1d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) + ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) = ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯))
8856, 87eqtr3d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯)) = ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯))
8988mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)))
9037, 10rerpdivcld 13047 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) ∈ ℝ)
9152, 10rerpdivcld 13047 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ∈ ℝ)
9241, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 27084 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
93 ioossre 13385 . . . . 5 (1(,)+∞) βŠ† ℝ
9493a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1(,)+∞) βŠ† ℝ)
95 1red 11215 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
9619a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
9743rpred 13016 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9872relogcld 26131 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
9998, 95readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
10097, 99remulcld 11244 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ)
10196, 100remulcld 11244 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ∈ ℝ)
10251, 21rerpdivcld 13047 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10397adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
10473relogcld 26131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
105104, 5readdcld 11243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
106103, 105remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ)
1072, 106remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ∈ ℝ)
108 2rp 12979 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
110109rpge0d 13020 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ 2)
111103, 2remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
11249, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
113112nnrecred 12263 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11439, 113fsumrecl 15680 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
115111, 114remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11621adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
11750, 116rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
118103adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1192adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
120118, 119remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
121120, 113remulcld 11244 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
12249, 32syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
123119, 112nndivred 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
124118, 123remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
12549, 27syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
126125relogcld 26131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
12710adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
128127relogcld 26131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
12949, 31syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
130129absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))))
131 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
132131adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯))
133112nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
134 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯)))
135119, 133, 134syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ 𝑛 ≀ (βŒŠβ€˜π‘₯)))
136132, 135mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
137125, 127logled 26135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (logβ€˜π‘›) ≀ (logβ€˜π‘₯)))
138136, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ≀ (logβ€˜π‘₯))
139126, 128, 122, 130, 138lemul2ad 12154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ≀ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘₯)))
14050, 122, 116ledivmul2d 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ↔ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ≀ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘₯))))
141139, 140mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))))
142123recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ β„‚)
14349, 28syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
144143rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) β‰  0)
145129, 142, 144absdivd 15402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) = ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (absβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
14610rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
147146adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ π‘₯)
148119, 125, 147divge0d 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (π‘₯ / 𝑛))
149123, 148absidd 15369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) = (π‘₯ / 𝑛))
150149oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (absβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)))
151145, 150eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) = ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)))
152 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)))
153 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ 𝑦 = (π‘₯ / 𝑛))
154152, 153oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ ((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦) = ((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛)))
155154fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) = (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))))
156155breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ / 𝑛) β†’ ((absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡 ↔ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) ≀ 𝐡))
15744ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐡)
158156, 157, 143rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) ≀ 𝐡)
159151, 158eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)) ≀ 𝐡)
160122, 118, 143ledivmul2d 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) / (π‘₯ / 𝑛)) ≀ 𝐡 ↔ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛))))
161159, 160mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)))
162117, 122, 124, 141, 161letrd 11371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)))
163118recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
16454adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
165112nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
166112nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
167163, 164, 165, 166divassd 12025 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) / 𝑛) = (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)))
168163, 164mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
169168, 165, 166divrecd 11993 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) / 𝑛) = ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
170167, 169eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 Β· (π‘₯ / 𝑛)) = ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
171162, 170breqtrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
17239, 117, 121, 171fsumle 15745 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
17317recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
17449, 80syldan 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
17521rpne0d 13021 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)
17639, 173, 174, 175fsumdivc 15732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)))
177103recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
178177, 54mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
179113recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
18039, 178, 179fsummulc2 15730 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((𝐡 Β· π‘₯) Β· (1 / 𝑛)))
181172, 176, 1803brtr4d 5181 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)))
18243adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
183182rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
184103, 2, 183, 146mulge0d 11791 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 0 ≀ (𝐡 Β· π‘₯))
18526nnrecred 12263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
18623, 185fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
18717, 104resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
18817, 5readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
18967, 185syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
19064, 189fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
191 harmonicubnd 26514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ≀ ((logβ€˜π‘₯) + 1))
1922, 9, 191syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ≀ ((logβ€˜π‘₯) + 1))
19310, 73relogdivd 26134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) = ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄)))
19410, 73rpdivcld 13033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ+)
195 harmoniclbnd 26513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ / 𝐴) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛))
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛))
197193, 196eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄)) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛))
198186, 187, 188, 190, 192, 197le2subd 11834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛)) ≀ (((logβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄))))
19967, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
200199nnrecred 12263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
20164, 200fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
202201recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) ∈ β„‚)
203114recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ∈ β„‚)
20426nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
20526nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
206204, 205reccld 11983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
20779, 47, 23, 206fsumsplit 15687 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛) + Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)))
208202, 203, 207mvrladdd 11627 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))(1 / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛))
209 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
210104recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
211173, 209, 210pnncand 11610 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((logβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄))) = (1 + (logβ€˜π΄)))
212209, 210, 211comraddd 11428 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((logβ€˜π‘₯) + 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) βˆ’ (logβ€˜π΄))) = ((logβ€˜π΄) + 1))
213198, 208, 2123brtr3d 5180 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛) ≀ ((logβ€˜π΄) + 1))
214114, 105, 111, 184, 213lemul2ad 12154 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) ≀ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))
215105recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ β„‚)
216177, 54, 215mulassd 11237 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) = (𝐡 Β· (π‘₯ Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
217177, 54, 215mul12d 11423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· (π‘₯ Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) = (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
218216, 217eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) = (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
219214, 218breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((𝐡 Β· π‘₯) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / 𝑛)) ≀ (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
220102, 115, 107, 181, 219letrd 11371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
221102, 107, 20, 110, 220lemul2ad 12154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯))) ≀ (2 Β· (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))))
222 2cnd 12290 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ 2 ∈ β„‚)
223222, 173, 62, 175div32d 12013 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) = (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)) / (logβ€˜π‘₯))))
224210, 209addcld 11233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π΄) + 1) ∈ β„‚)
225177, 224mulcld 11234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)) ∈ β„‚)
22654, 222, 225mul12d 11423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (π‘₯ Β· (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))) = (2 Β· (π‘₯ Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))))
227221, 223, 2263brtr4d 5181 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1)))))
228101adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ∈ ℝ)
22952, 228, 10ledivmuld 13069 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))) ↔ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) ≀ (π‘₯ Β· (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))))
230227, 229mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
231230adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯) ≀ (2 Β· (𝐡 Β· ((logβ€˜π΄) + 1))))
23294, 91, 95, 101, 231ello1d 15467 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
23390, 91, 92, 232lo1add 15571 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯) + (((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›))) / π‘₯))) ∈ ≀𝑂(1))
23489, 233eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((absβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) Β· (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((2 / (logβ€˜π‘₯)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝐴)))((absβ€˜(π‘…β€˜(π‘₯ / 𝑛))) Β· (logβ€˜π‘›)))) / π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  abscabs 15181  β‰€π‘‚(1)clo1 15431  Ξ£csu 15632  logclog 26063  Ξ›cvma 26596  Οˆcchp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-o1 15434  df-lo1 15435  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-atan 26372  df-em 26497  df-cht 26601  df-vma 26602  df-chp 26603  df-ppi 26604  df-mu 26605
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  27087
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