MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo1d 14883
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
elo1mpt.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
elo1mpt.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
elo1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
elo1d.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
elo1d.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
elo1d (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elo1d
StepHypRef Expression
1 elo1mpt.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 elo1mpt.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
32abscld 14786 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4 elo1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 elo1d.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6 elo1d.5 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
71, 3, 4, 5, 6ello1d 14870 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))
82lo1o12 14880 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
97, 8mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6352  cc 10524  cr 10525  cle 10665  abscabs 14583  𝑂(1)co1 14833  ≤𝑂(1)clo1 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-o1 14837  df-lo1 14838
This theorem is referenced by:  o1fsum  15158  flo1  15199  divsqrtsumo1  25475  chebbnd1  25962  chto1ub  25966  rpvmasumlem  25977  dchrmusum2  25984  dchrisum0lem2a  26007  dchrisum0lem2  26008  rplogsum  26017  mudivsum  26020  mulogsumlem  26021  selberg3lem1  26047  pntrsumo1  26055
  Copyright terms: Public domain W3C validator