Theorem elo1d 15462

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elo1mpt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
elo1mpt.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
elo1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
elo1d.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
elo1d.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
elo1d	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elo1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1mpt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		elo1mpt.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	abscld 15365	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4		elo1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		elo1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		elo1d.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑀)
7	1, 3, 4, 5, 6	ello1d 15449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))
8	2	lo1o12 15459	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
9	7, 8	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6532  ℂcc 11090  ℝcr 11091   ≤ cle 11231  abscabs 15163  𝑂(1)co1 15412  ≤𝑂(1)clo1 15413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-o1 15416  df-lo1 15417

This theorem is referenced by:  o1fsum  15741  flo1  15782  divsqrtsumo1  26415  chebbnd1  26902  chto1ub  26906  rpvmasumlem  26917  dchrmusum2  26924  dchrisum0lem2a  26947  dchrisum0lem2  26948  rplogsum  26957  mudivsum  26960  mulogsumlem  26961  selberg3lem1  26987  pntrsumo1  26995