Theorem icco1 15483

Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
icco1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))

Assertion

Ref	Expression
icco1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icco1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		icco1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		icco1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		icco1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		icco1.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6		icco1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicc2 13388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
8	6, 4, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
10	5, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁))
11	10	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝑁)
12	1, 2, 3, 4, 11	ello1d 15466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
13	2	renegcld 11640	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
14	6	renegcld 11640	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
15	10	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝐵)
16	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	2	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenegd 11792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝑀 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
19	15, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
20	1, 13, 3, 14, 19	ello1d 15466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
21	2	o1lo1 15480	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  (class class class)co 7408  ℝcr 11108   ≤ cle 11248  -cneg 11444  [,]cicc 13326  𝑂(1)co1 15429  ≤𝑂(1)clo1 15430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-icc 13330  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-o1 15433  df-lo1 15434

This theorem is referenced by: (None)