Theorem icco1 15617

Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
icco1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))

Assertion

Ref	Expression
icco1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icco1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		icco1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		icco1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		icco1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		icco1.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6		icco1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicc2 13456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
8	6, 4, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
10	5, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁))
11	10	simp3d 1162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝑁)
12	1, 2, 3, 4, 11	ello1d 15600	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
13	2	renegcld 11658	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
14	6	renegcld 11658	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
15	10	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝐵)
16	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	2	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenegd 11810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝑀 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
19	15, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
20	1, 13, 3, 14, 19	ello1d 15600	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
21	2	o1lo1 15614	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  (class class class)co 7419  ℝcr 11116   ≤ cle 11261  -cneg 11459  [,]cicc 13393  𝑂(1)co1 15563  ≤𝑂(1)clo1 15564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-icc 13397  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-o1 15567  df-lo1 15568

This theorem is used by: (None)