MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icco1 15516
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
Assertion
Ref Expression
icco1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 icco1.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 icco1.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 icco1.5 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 icco1.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6 icco1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7 elicc2 13421 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
86, 4, 7syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
105, 9mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁))
1110simp3d 1142 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑁)
121, 2, 3, 4, 11ello1d 15499 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
132renegcld 11671 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
146renegcld 11671 . . 3 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
1510simp2d 1141 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀𝐵)
166adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
172adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17lenegd 11823 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝑀𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
1915, 18mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
201, 13, 3, 14, 19ello1d 15499 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
212o1lo1 15513 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
2212, 20, 21mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  cmpt 5231  (class class class)co 7420  cr 11137  cle 11279  -cneg 11475  [,]cicc 13359  𝑂(1)co1 15462  ≤𝑂(1)clo1 15463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-icc 13363  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-o1 15466  df-lo1 15467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator