MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icco1 14683
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
Assertion
Ref Expression
icco1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 icco1.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 icco1.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 icco1.5 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 icco1.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6 icco1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7 elicc2 12554 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
86, 4, 7syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
98adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
105, 9mpbid 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁))
1110simp3d 1135 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑁)
121, 2, 3, 4, 11ello1d 14666 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
132renegcld 10804 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
146renegcld 10804 . . 3 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
1510simp2d 1134 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀𝐵)
166adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
172adantrr 707 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17lenegd 10956 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝑀𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
1915, 18mpbid 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
201, 13, 3, 14, 19ello1d 14666 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
212o1lo1 14680 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
2212, 20, 21mpbir2and 703 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071  wcel 2107  wss 3792   class class class wbr 4888  cmpt 4967  (class class class)co 6924  cr 10273  cle 10414  -cneg 10609  [,]cicc 12494  𝑂(1)co1 14629  ≤𝑂(1)clo1 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-ico 12497  df-icc 12498  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-o1 14633  df-lo1 14634
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator