Theorem icco1 15177

Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
icco1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))

Assertion

Ref	Expression
icco1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icco1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		icco1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		icco1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		icco1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		icco1.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6		icco1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7		elicc2 13073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
8	6, 4, 7	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁)))
10	5, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑁))
11	10	simp3d 1142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝑁)
12	1, 2, 3, 4, 11	ello1d 15160	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
13	2	renegcld 11332	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
14	6	renegcld 11332	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
15	10	simp2d 1141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝐵)
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	2	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	lenegd 11484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → (𝑀 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
19	15, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
20	1, 13, 3, 14, 19	ello1d 15160	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
21	2	o1lo1 15174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  -cneg 11136  [,]cicc 13011  𝑂(1)co1 15123  ≤𝑂(1)clo1 15124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-o1 15127  df-lo1 15128

This theorem is referenced by: (None)