MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icco1 15247
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
Assertion
Ref Expression
icco1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 icco1.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 icco1.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 icco1.5 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 icco1.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6 icco1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7 elicc2 13143 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
86, 4, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
105, 9mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁))
1110simp3d 1143 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑁)
121, 2, 3, 4, 11ello1d 15230 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
132renegcld 11402 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
146renegcld 11402 . . 3 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
1510simp2d 1142 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀𝐵)
166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
172adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17lenegd 11554 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝑀𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
1915, 18mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
201, 13, 3, 14, 19ello1d 15230 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
212o1lo1 15244 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
2212, 20, 21mpbir2and 710 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086  wcel 2110  wss 3892   class class class wbr 5079  cmpt 5162  (class class class)co 7271  cr 10871  cle 11011  -cneg 11206  [,]cicc 13081  𝑂(1)co1 15193  ≤𝑂(1)clo1 15194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-ico 13084  df-icc 13085  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-o1 15197  df-lo1 15198
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator