MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icco1 15542
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
icco1.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
icco1.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
icco1.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
icco1.5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
icco1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
Assertion
Ref Expression
icco1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 icco1.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 icco1.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 icco1.5 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 icco1.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁))
6 icco1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7 elicc2 13443 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
86, 4, 7syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
98adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁)))
105, 9mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐵𝐵𝑁))
1110simp3d 1141 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵𝑁)
121, 2, 3, 4, 11ello1d 15525 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
132renegcld 11691 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
146renegcld 11691 . . 3 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℝ)
1510simp2d 1140 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀𝐵)
166adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝑀 ∈ ℝ)
172adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17lenegd 11843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → (𝑀𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
1915, 18mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝐶𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
201, 13, 3, 14, 19ello1d 15525 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
212o1lo1 15539 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
2212, 20, 21mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5153  cmpt 5236  (class class class)co 7424  cr 11157  cle 11299  -cneg 11495  [,]cicc 13381  𝑂(1)co1 15488  ≤𝑂(1)clo1 15489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-icc 13385  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-o1 15492  df-lo1 15493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator