Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons 39504
 Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)))
2 elmapex 8412 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
32simpld 498 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 ovex 7173 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
6 elmapg 8404 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
81, 7mpbid 235 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9 ovex 7173 . . . . . . . 8 (𝑁 + 1) ∈ V
10 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
11 f1osng 6638 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
129, 10, 11sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13 f1of 6598 . . . . . . 7 ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15 snssi 4724 . . . . . . 7 (𝐶𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16153ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
1714, 16fssd 6511 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18 fzp1disj 12961 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20 fun 6523 . . . . 5 (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
218, 17, 19, 20syl21anc 836 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
22 1z 12000 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
23 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 nn0uz 12268 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
25 1m1e0 11697 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2625fveq2i 6656 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
2724, 26eqtr4i 2850 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 − 1))
2823, 27eleqtrdi 2926 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
29 fzsuc2 12960 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3022, 28, 29sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3130eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32 unidm 4112 . . . . . 6 (𝐵𝐵) = 𝐵
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐵𝐵) = 𝐵)
3431, 33feq23d 6492 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3521, 34mpbid 235 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36 ovex 7173 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37 elmapg 8404 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
384, 36, 37sylancl 589 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3935, 38mpbird 260 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...(𝑁 + 1))))
40 mapfzcons.1 . . . . 5 𝑀 = (𝑁 + 1)
4140opeq1i 4789 . . . 4 𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶
4241sneqi 4559 . . 3 {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
4342uneq2i 4120 . 2 (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
4440oveq2i 7151 . . 3 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
4544oveq2i 7151 . 2 (𝐵m (1...𝑀)) = (𝐵m (1...(𝑁 + 1)))
4639, 43, 453eltr4g 2933 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   ∪ cun 3916   ∩ cin 3917   ⊆ wss 3918  ∅c0 4274  {csn 4548  ⟨cop 4554  ⟶wf 6334  –1-1-onto→wf1o 6337  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8391  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   − cmin 10857  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  39582
 Copyright terms: Public domain W3C validator