Theorem mapfzcons 40518

Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)))
2		elmapex 8610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
3	2	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		ovex 7301	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
6		elmapg 8602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
8	1, 7	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9		ovex 7301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
10		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		f1osng 6752	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
12	9, 10, 11	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13		f1of 6712	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15		snssi 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16	15	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
17	14, 16	fssd 6614	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18		fzp1disj 13297	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20		fun 6632	. . . . 5 ⊢ (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
21	8, 17, 19, 20	syl21anc 834	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
22		1z 12333	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0uz 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
25		1m1e0 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
26	25	fveq2i 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
27	24, 26	eqtr4i 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
28	23, 27	eleqtrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
29		fzsuc2 13296	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
30	22, 28, 29	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31	30	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32		unidm 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵)
34	31, 33	feq23d 6591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
35	21, 34	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36		ovex 7301	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37		elmapg 8602	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
38	4, 36, 37	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
39	35, 38	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))))
40		mapfzcons.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
41	40	opeq1i 4812	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩
42	41	sneqi 4577	. . 3 ⊢ {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
43	42	uneq2i 4098	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
44	40	oveq2i 7279	. . 3 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
45	44	oveq2i 7279	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m (1...𝑀)) = (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1)))
46	39, 43, 45	3eltr4g 2857	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∪ cun 3889   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  {csn 4566  ⟨cop 4572  ⟶wf 6426  –1-1-onto→wf1o 6429  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ↑_m cmap 8589  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   − cmin 11188  ℕ₀cn0 12216  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564  ...cfz 13221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  40596