Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons 42704
Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)))
2 elmapex 8887 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
32simpld 494 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 ovex 7464 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
6 elmapg 8878 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
81, 7mpbid 232 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑁 + 1) ∈ V
10 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
11 f1osng 6890 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13 f1of 6849 . . . . . . 7 ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15 snssi 4813 . . . . . . 7 (𝐶𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16153ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
1714, 16fssd 6754 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18 fzp1disj 13620 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20 fun 6771 . . . . 5 (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
218, 17, 19, 20syl21anc 838 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
22 1z 12645 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
23 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 nn0uz 12918 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
25 1m1e0 12336 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2625fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
2724, 26eqtr4i 2766 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 − 1))
2823, 27eleqtrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
29 fzsuc2 13619 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3022, 28, 29sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3130eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32 unidm 4167 . . . . . 6 (𝐵𝐵) = 𝐵
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐵𝐵) = 𝐵)
3431, 33feq23d 6732 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3521, 34mpbid 232 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36 ovex 7464 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37 elmapg 8878 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
384, 36, 37sylancl 586 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3935, 38mpbird 257 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...(𝑁 + 1))))
40 mapfzcons.1 . . . . 5 𝑀 = (𝑁 + 1)
4140opeq1i 4881 . . . 4 𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶
4241sneqi 4642 . . 3 {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
4342uneq2i 4175 . 2 (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
4440oveq2i 7442 . . 3 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
4544oveq2i 7442 . 2 (𝐵m (1...𝑀)) = (𝐵m (1...(𝑁 + 1)))
4639, 43, 453eltr4g 2856 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵m (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵m (1...𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  42782
  Copyright terms: Public domain W3C validator