Theorem mapfzcons 43165

Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)))
2		elmapex 8789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
3	2	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
6		elmapg 8780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
8	1, 7	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9		ovex 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
10		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		f1osng 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
12	9, 10, 11	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13		f1of 6775	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15		snssi 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16	15	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
17	14, 16	fssd 6680	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18		fzp1disj 13531	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20		fun 6697	. . . . 5 ⊢ (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
21	8, 17, 19, 20	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
22		1z 12551	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0uz 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
25		1m1e0 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
26	25	fveq2i 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
27	24, 26	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
28	23, 27	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
29		fzsuc2 13530	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
30	22, 28, 29	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31	30	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32		unidm 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵)
34	31, 33	feq23d 6658	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
35	21, 34	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37		elmapg 8780	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
38	4, 36, 37	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
39	35, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))))
40		mapfzcons.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
41	40	opeq1i 4820	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩
42	41	sneqi 4579	. . 3 ⊢ {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
43	42	uneq2i 4106	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
44	40	oveq2i 7372	. . 3 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
45	44	oveq2i 7372	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m (1...𝑀)) = (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1)))
46	39, 43, 45	3eltr4g 2854	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   − cmin 11371  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  43243