Theorem mapfzcons 43563

Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)))
2		elmapex 8850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
3	2	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
6		elmapg 8841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
8	1, 7	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
10		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		f1osng 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13		f1of 6821	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15		snssi 4749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
17	14, 16	fssd 6724	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18		fzp1disj 13640	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20		fun 6741	. . . . 5 ⊢ (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
21	8, 17, 19, 20	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
22		1z 12651	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0uz 12928	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
25		1m1e0 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
26	25	fveq2i 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
27	24, 26	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
28	23, 27	eleqtrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
29		fzsuc2 13639	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
30	22, 28, 29	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31	30	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32		unidm 4107	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵)
34	31, 33	feq23d 6701	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
35	21, 34	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37		elmapg 8841	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
38	4, 36, 37	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
39	35, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))))
40		mapfzcons.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
41	40	opeq1i 4839	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩
42	41	sneqi 4598	. . 3 ⊢ {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
43	42	uneq2i 4115	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
44	40	oveq2i 7427	. . 3 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
45	44	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m (1...𝑀)) = (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1)))
46	39, 43, 45	3eltr4g 2879	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564

This theorem is used by:  rexrabdioph  43637