Theorem mapfzcons 41025

Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)))
2		elmapex 8786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
3	2	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
6		elmapg 8778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
8	1, 7	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
10		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		f1osng 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13		f1of 6784	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15		snssi 4768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
17	14, 16	fssd 6686	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18		fzp1disj 13500	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20		fun 6704	. . . . 5 ⊢ (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
21	8, 17, 19, 20	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
22		1z 12533	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0uz 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
25		1m1e0 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
26	25	fveq2i 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
27	24, 26	eqtr4i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
28	23, 27	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
29		fzsuc2 13499	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
30	22, 28, 29	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31	30	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32		unidm 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵)
34	31, 33	feq23d 6663	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
35	21, 34	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36		ovex 7390	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37		elmapg 8778	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
38	4, 36, 37	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
39	35, 38	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))))
40		mapfzcons.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
41	40	opeq1i 4833	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩
42	41	sneqi 4597	. . 3 ⊢ {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
43	42	uneq2i 4120	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
44	40	oveq2i 7368	. . 3 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
45	44	oveq2i 7368	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m (1...𝑀)) = (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1)))
46	39, 43, 45	3eltr4g 2855	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586  ⟨cop 4592  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   − cmin 11385  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  41103