Theorem mapfzcons 43294

Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)))
2		elmapex 8829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
3	2	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
6		elmapg 8820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
7	4, 5, 6	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
8	1, 7	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9		ovex 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
10		simp3 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		f1osng 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
12	9, 10, 11	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13		f1of 6806	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15		snssi 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16	15	3ad2ant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
17	14, 16	fssd 6709	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18		fzp1disj 13588	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20		fun 6726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
21	8, 17, 19, 20	syl21anc 848	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵))
22		1z 12601	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simp1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		nn0uz 12877	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
25		1m1e0 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
26	25	fveq2i 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
27	24, 26	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
28	23, 27	eleqtrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
29		fzsuc2 13587	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
30	22, 28, 29	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31	30	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32		unidm 4110	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐵) = 𝐵)
34	31, 33	feq23d 6686	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵 ∪ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
35	21, 34	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36		ovex 7429	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37		elmapg 8820	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
38	4, 36, 37	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
39	35, 38	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1))))
40		mapfzcons.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
41	40	opeq1i 4834	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩
42	41	sneqi 4593	. . 3 ⊢ {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
43	42	uneq2i 4118	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
44	40	oveq2i 7407	. . 3 ⊢ (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
45	44	oveq2i 7407	. 2 ⊢ (𝐵 ↑m (1...𝑀)) = (𝐵 ↑m (1...(𝑁 + 1)))
46	39, 43, 45	3eltr4g 2879	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵 ↑m (1...𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582  ⟨cop 4588  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   − cmin 11414  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  43368