Theorem mdetunilem8 22513

Description: Lemma for mdetuni 22516. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem8.id	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝜑)
2		mdetuni.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		enrefg 8958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑁 ≈ 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≈ 𝑁)
5		f1finf1o 9223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≈ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
6	4, 2, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
8		mdetuni.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mdetuni.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10	9	matring 22337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	2, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
12		mdetuni.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
13		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	12, 13	ringidcl 20181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
17		mdetuni.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
18		mdetuni.0g	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		mdetuni.1r	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20		mdetuni.pg	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑅)
21		mdetuni.tg	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
22		mdetuni.ff	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
23		mdetuni.al	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
24		mdetuni.li	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
25		mdetuni.sc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
26	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25	mdetunilem7 22512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))))
27	1, 7, 16, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))))
28	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
30	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32		simp1r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)
33		f1f 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
35		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
36	34, 35	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐸‘𝑎) ∈ 𝑁)
37		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
38	9, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13	mat1ov 22342	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏) = if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
39	38	mpoeq3dva 7469	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
40	39	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41		mdetunilem8.id	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )
43	42	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44		zrhpsgnmhm 21500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
45	8, 2, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48	47, 17	mgpbas 20061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
49	46, 48	mhmf 18723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
53	52, 46	elsymgbas 19311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
54	28, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
55	7, 54	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
56	51, 55	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
57	17, 21, 18	ringrz 20210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
58	30, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
59	43, 58	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
60	27, 40, 59	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
61	60	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
62	61	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63		dff13 7232	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
64		ibar 528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:𝑁⟶𝑁 → (∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
66	63, 65	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
67	66	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68		rexnal 3083	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑁 ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69		rexnal 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑁 ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70		df-ne 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
71	70	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) ↔ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72		annim 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
73	71, 72	bitr2i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
74	73	rexbii 3077	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑁 ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
75	69, 74	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
76	75	rexbii 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑁 ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
77	68, 76	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
78	67, 77	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))
79		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑))
80		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
81	80	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
82		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
83	81, 82	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
84		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑑) = 𝑏))
85	84	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
86		iftrue 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
87	85, 86	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
88		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
89	88	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
90	87, 89	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
91		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
92	90, 91	eqtr4id 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
93	83, 92	pm2.61i 182	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
94		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸‘𝑑) = (𝐸‘𝑐) → ((𝐸‘𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
95	94	eqcoms 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → ((𝐸‘𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
96	95	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
97	96	ifeq1d 4511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
98	97	ifeq2d 4512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
99	93, 98	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
100	99	mpoeq3dv 7471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
101	100	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
102	79, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
103		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝜑)
104		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
105		simprlr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑑 ∈ 𝑁)
106		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ≠ 𝑑)
107	104, 105, 106	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
108	17, 19	ringidcl 20181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾)
109	8, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
110	17, 18	ring0cl 20183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
111	8, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
112	109, 111	ifcld 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
113	112	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
114		simp1ll 1237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝜑)
115	109, 111	ifcld 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
117	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116	mdetunilem2 22507	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
118	102, 117	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
119	118	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
120	119	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
121	78, 120	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
122	62, 121	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ∘_f cof 7654   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   MndHom cmhm 18715  SymGrpcsymg 19306  pmSgncpsgn 19426  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  ℤRHomczrh 21416   Mat cmat 22301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428  df-evpm 19429  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-mamu 22285  df-mat 22302

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22514