MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem8 20633
Description: Lemma for mdetuni 20636. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem8.id (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 470 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝜑)
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 enrefg 8220 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → 𝑁𝑁)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑁)
5 f1finf1o 8422 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑁𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
64, 2, 5syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
76biimpa 464 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
109matring 20456 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
112, 8, 10syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
13 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (1r𝐴) = (1r𝐴)
1412, 13ringidcl 18766 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1615adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
17 mdetuni.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
19 mdetuni.1r . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
20 mdetuni.pg . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
21 mdetuni.tg . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
22 mdetuni.ff . . . . . . 7 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
23 mdetuni.al . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
24 mdetuni.li . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
25 mdetuni.sc . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 20632 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
271, 7, 16, 26syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
282adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29283ad2ant1 1156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
308adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31303ad2ant1 1156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simp1r 1248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
33 f1f 6312 . . . . . . . . . 10 (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁𝑁)
35 simp2 1160 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3634, 35ffvelrnd 6578 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐸𝑎) ∈ 𝑁)
37 simp3 1161 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 20462 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
3938mpt2eq3dva 6945 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
4039fveq2d 6408 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4241adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4342oveq2d 6886 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44 zrhpsgnmhm 20133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
458, 2, 44syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46 eqid 2806 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47 eqid 2806 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4847, 17mgpbas 18693 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4946, 48mhmf 17541 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5150adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52 eqid 2806 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5352, 46elsymgbas 17999 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
557, 54mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5651, 55ffvelrnd 6578 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
5717, 21, 18ringrz 18786 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5830, 56, 57syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5943, 58eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = 0 )
6027, 40, 593eqtr3d 2848 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
6160ex 399 . . 3 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
6261adantr 468 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63 ibar 520 . . . . . . 7 (𝐸:𝑁𝑁 → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
6463adantl 469 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
65 dff13 6732 . . . . . 6 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
6664, 65syl6rbbr 281 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
6766notbid 309 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68 rexnal 3182 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69 rexnal 3182 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70 df-ne 2979 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
7170anbi2i 611 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72 annim 392 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
7371, 72bitr2i 267 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7473rexbii 3229 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7569, 74bitr3i 268 . . . . . 6 (¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7675rexbii 3229 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7768, 76bitr3i 268 . . . 4 (¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7867, 77syl6bb 278 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑)))
79 simprrl 790 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐸𝑐) = (𝐸𝑑))
80 fveqeq2 6413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
8180ifbid 4301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
82 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
8381, 82eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
84 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
85 fveqeq2 6413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑑) = 𝑏))
8685ifbid 4301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
87 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
8886, 87eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
89 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
9089eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9188, 90pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . 12 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
9284, 91syl6reqr 2859 . . . . . . . . . . 11 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9383, 92pm2.61i 176 . . . . . . . . . 10 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
94 eqeq1 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑑) = (𝐸𝑐) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9594eqcoms 2814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9695ifbid 4301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
9796ifeq1d 4297 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9897ifeq2d 4298 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9993, 98syl5eq 2852 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
10099mpt2eq3dv 6947 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
101100fveq2d 6408 . . . . . . 7 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
10279, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
103 simpll 774 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝜑)
104 simprll 788 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑁)
105 simprlr 789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑑𝑁)
106 simprrr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑑)
107104, 105, 1063jca 1151 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝑐𝑁𝑑𝑁𝑐𝑑))
10817, 19ringidcl 18766 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐾)
1098, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑1𝐾)
11017, 18ring0cl 18767 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
112109, 111ifcld 4324 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
113112ad3antrrr 712 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑏𝑁) → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
114 simp1ll 1310 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝜑)
115109, 111ifcld 4324 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
1179, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116mdetunilem2 20627 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
118102, 117eqtrd 2840 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
119118expr 446 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑑𝑁)) → (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
120119rexlimdvva 3226 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12178, 120sylbid 231 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12262, 121pm2.61d 171 1 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  cdif 3766  ifcif 4279  {csn 4370   class class class wbr 4844   × cxp 5309  cres 5313  ccom 5315  wf 6093  1-1wf1 6094  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097  (class class class)co 6870  cmpt2 6872  𝑓 cof 7121  cen 8185  Fincfn 8188  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  0gc0g 16301   MndHom cmhm 17534  SymGrpcsymg 17994  pmSgncpsgn 18106  mulGrpcmgp 18687  1rcur 18699  Ringcrg 18745  ℤRHomczrh 20052   Mat cmat 20420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-ot 4379  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-tpos 7583  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-word 13506  df-lsw 13507  df-concat 13508  df-s1 13509  df-substr 13510  df-splice 13511  df-reverse 13512  df-s2 13813  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-prds 16309  df-pws 16311  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-ghm 17856  df-gim 17899  df-cntz 17947  df-oppg 17973  df-symg 17995  df-pmtr 18059  df-psgn 18108  df-evpm 18109  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-rnghom 18915  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-sra 19377  df-rgmod 19378  df-cnfld 19951  df-zring 20023  df-zrh 20056  df-dsmm 20283  df-frlm 20298  df-mamu 20397  df-mat 20421
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20634
  Copyright terms: Public domain W3C validator