Theorem mdetunilem8 22593

Description: Lemma for mdetuni 22596. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem8.id	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝜑)
2		mdetuni.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		enrefg 8922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑁 ≈ 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≈ 𝑁)
5		f1finf1o 9174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≈ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
6	4, 2, 5	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
8		mdetuni.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mdetuni.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10	9	matring 22417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	2, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
12		mdetuni.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
13		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	12, 13	ringidcl 20235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
17		mdetuni.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
18		mdetuni.0g	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		mdetuni.1r	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20		mdetuni.pg	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑅)
21		mdetuni.tg	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
22		mdetuni.ff	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
23		mdetuni.al	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
24		mdetuni.li	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
25		mdetuni.sc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
26	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25	mdetunilem7 22592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))))
27	1, 7, 16, 26	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))))
28	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
30	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32		simp1r 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)
33		f1f 6728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
35		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
36	34, 35	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐸‘𝑎) ∈ 𝑁)
37		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
38	9, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13	mat1ov 22422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏) = if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
39	38	mpoeq3dva 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
40	39	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41		mdetunilem8.id	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )
43	42	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44		zrhpsgnmhm 21572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
45	8, 2, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48	47, 17	mgpbas 20115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
49	46, 48	mhmf 18746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
53	52, 46	elsymgbas 19338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
54	28, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
55	7, 54	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
56	51, 55	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
57	17, 21, 18	ringrz 20264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
58	30, 56, 57	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
59	43, 58	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
60	27, 40, 59	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
61	60	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
62	61	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63		dff13 7200	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
64		ibar 528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:𝑁⟶𝑁 → (∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
66	63, 65	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
67	66	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68		rexnal 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑁 ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69		rexnal 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑁 ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70		df-ne 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
71	70	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) ↔ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72		annim 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
73	71, 72	bitr2i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
74	73	rexbii 3085	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑁 ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
75	69, 74	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
76	75	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑁 ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
77	68, 76	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
78	67, 77	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))
79		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑))
80		fveqeq2 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
81	80	ifbid 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
82		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
83	81, 82	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
84		fveqeq2 6841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑑) = 𝑏))
85	84	ifbid 4491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
86		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
87	85, 86	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
88		iffalse 4476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
89	88	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
90	87, 89	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
91		iffalse 4476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
92	90, 91	eqtr4id 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
93	83, 92	pm2.61i 182	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
94		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸‘𝑑) = (𝐸‘𝑐) → ((𝐸‘𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
95	94	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → ((𝐸‘𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
96	95	ifbid 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
97	96	ifeq1d 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
98	97	ifeq2d 4488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
99	93, 98	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
100	99	mpoeq3dv 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
101	100	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
102	79, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
103		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝜑)
104		simprll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
105		simprlr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑑 ∈ 𝑁)
106		simprrr 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ≠ 𝑑)
107	104, 105, 106	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
108	17, 19	ringidcl 20235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾)
109	8, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
110	17, 18	ring0cl 20237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
111	8, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
112	109, 111	ifcld 4514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
113	112	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
114		simp1ll 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝜑)
115	109, 111	ifcld 4514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
117	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116	mdetunilem2 22587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
118	102, 117	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
119	118	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
120	119	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
121	78, 120	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
122	62, 121	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5620   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ∘_f cof 7620   ≈ cen 8881  Fincfn 8884  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  0_gc0g 17391   MndHom cmhm 18738  SymGrpcsymg 19333  pmSgncpsgn 19453  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  ℤRHomczrh 21487   Mat cmat 22381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-word 14465  df-lsw 14514  df-concat 14522  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14701  df-reverse 14710  df-s2 14799  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-efmnd 18826  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-gim 19223  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-symg 19334  df-pmtr 19406  df-psgn 19455  df-evpm 19456  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-cnfld 21343  df-zring 21435  df-zrh 21491  df-dsmm 21720  df-frlm 21735  df-mamu 22365  df-mat 22382

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22594