MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem8 22341
Description: Lemma for mdetuni 22344. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetunilem8.id (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 0 )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   + ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   0 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   1 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ๐œ‘)
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
3 enrefg 8982 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ โ‰ˆ ๐‘)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ˆ ๐‘)
5 f1finf1o 9273 . . . . . . . 8 ((๐‘ โ‰ˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†” ๐ธ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘))
64, 2, 5syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†” ๐ธ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘))
76biimpa 475 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ๐ธ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
109matring 22165 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
112, 8, 10syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
13 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
1412, 13ringidcl 20154 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1615adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
17 mdetuni.k . . . . . . 7 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
19 mdetuni.1r . . . . . . 7 1 = (1rโ€˜๐‘…)
20 mdetuni.pg . . . . . . 7 + = (+gโ€˜๐‘…)
21 mdetuni.tg . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
22 mdetuni.ff . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
23 mdetuni.al . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
24 mdetuni.li . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
25 mdetuni.sc . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 22340 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ธโ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐ด)๐‘))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))))
271, 7, 16, 26syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ธโ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐ด)๐‘))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))))
282adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
29283ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
308adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
31303ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
32 simp1r 1196 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘)
33 f1f 6786 . . . . . . . . . 10 (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†’ ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘)
35 simp2 1135 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘)
3634, 35ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Ž) โˆˆ ๐‘)
37 simp3 1136 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 22170 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐ด)๐‘) = if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))
3938mpoeq3dva 7488 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ธโ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐ด)๐‘)) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))
4039fveq2d 6894 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ธโ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐ด)๐‘))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 0 )
4241adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 0 )
4342oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท 0 ))
44 zrhpsgnmhm 21356 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
458, 2, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
46 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
47 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
4847, 17mgpbas 20034 . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
4946, 48mhmf 18711 . . . . . . . . . 10 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ๐พ)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ๐พ)
5150adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):(Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โŸถ๐พ)
52 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
5352, 46elsymgbas 19282 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐ธ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†” ๐ธ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (๐ธ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†” ๐ธ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘))
557, 54mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
5651, 55ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) โˆˆ ๐พ)
5717, 21, 18ringrz 20182 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท 0 ) = 0 )
5830, 56, 57syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท 0 ) = 0 )
5943, 58eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐ธ) ยท (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด))) = 0 )
6027, 40, 593eqtr3d 2778 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 )
6160ex 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 ))
6261adantr 479 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 ))
63 dff13 7256 . . . . . 6 (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†” (๐ธ:๐‘โŸถ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘)))
64 ibar 527 . . . . . . 7 (๐ธ:๐‘โŸถ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” (๐ธ:๐‘โŸถ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))))
6564adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” (๐ธ:๐‘โŸถ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))))
6663, 65bitr4id 289 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘)))
6766notbid 317 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘)))
68 rexnal 3098 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
69 rexnal 3098 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ยฌ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
70 df-ne 2939 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โ‰  ๐‘‘ โ†” ยฌ ๐‘ = ๐‘‘)
7170anbi2i 621 . . . . . . . . 9 (((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ยฌ ๐‘ = ๐‘‘))
72 annim 402 . . . . . . . . 9 (((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ยฌ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” ยฌ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
7371, 72bitr2i 275 . . . . . . . 8 (ยฌ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))
7473rexbii 3092 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ยฌ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))
7569, 74bitr3i 276 . . . . . 6 (ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))
7675rexbii 3092 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))
7768, 76bitr3i 276 . . . 4 (ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))
7867, 77bitrdi 286 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘)))
79 simprrl 777 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘))
80 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘ โ†” (๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘))
8180ifbid 4550 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))
82 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))
8381, 82eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))
84 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘ โ†” (๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘))
8584ifbid 4550 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ))
86 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )) = if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ))
8785, 86eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))
88 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ ๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )) = if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))
8988eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ ๐‘Ž = ๐‘‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))
9087, 89pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . 12 if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))
91 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘Ž = ๐‘ โ†’ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))
9290, 91eqtr4id 2789 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘Ž = ๐‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))
9383, 92pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))
94 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ธโ€˜๐‘‘) = (๐ธโ€˜๐‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘ โ†” (๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘))
9594eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘ โ†” (๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘))
9695ifbid 4550 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ) = if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))
9796ifeq1d 4546 . . . . . . . . . . 11 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )) = if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))
9897ifeq2d 4547 . . . . . . . . . 10 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))
9993, 98eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))
10099mpoeq3dv 7490 . . . . . . . 8 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 )))))
101100fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))))
10279, 101syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))))
103 simpll 763 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ ๐œ‘)
104 simprll 775 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
105 simprlr 776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐‘)
106 simprrr 778 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘‘)
107104, 105, 1063jca 1126 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))
10817, 19ringidcl 20154 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
1098, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
11017, 18ring0cl 20155 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
112109, 111ifcld 4573 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
113112ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
114 simp1ll 1234 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐œ‘)
115109, 111ifcld 4573 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
1179, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116mdetunilem2 22335 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘Ž = ๐‘‘, if((๐ธโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ), if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))))) = 0 )
118102, 117eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘) โˆง ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 )
119118expr 455 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 ))
120119rexlimdvva 3209 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐‘ ((๐ธโ€˜๐‘) = (๐ธโ€˜๐‘‘) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 ))
12178, 120sylbid 239 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐ธ:๐‘โ€“1-1โ†’๐‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 ))
12262, 121pm2.61d 179 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ธ:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐ธโ€˜๐‘Ž) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   โˆ– cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ร— cxp 5673   โ†พ cres 5677   โˆ˜ ccom 5679  โŸถwf 6538  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   โˆ˜f cof 7670   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   MndHom cmhm 18703  SymGrpcsymg 19275  pmSgncpsgn 19398  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  โ„คRHomczrh 21268   Mat cmat 22127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-symg 19276  df-pmtr 19351  df-psgn 19400  df-evpm 19401  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mamu 22106  df-mat 22128
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22342
  Copyright terms: Public domain W3C validator