Theorem mdetunilem8 22121

Description: Lemma for mdetuni 22124. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetunilem8.id	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝜑)
2		mdetuni.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		enrefg 8980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑁 ≈ 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≈ 𝑁)
5		f1finf1o 9271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≈ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
6	4, 2, 5	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
7	6	biimpa 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
8		mdetuni.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mdetuni.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10	9	matring 21945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	2, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
12		mdetuni.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
13		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	12, 13	ringidcl 20083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
16	15	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
17		mdetuni.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
18		mdetuni.0g	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		mdetuni.1r	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20		mdetuni.pg	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑅)
21		mdetuni.tg	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
22		mdetuni.ff	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
23		mdetuni.al	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
24		mdetuni.li	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
25		mdetuni.sc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
26	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25	mdetunilem7 22120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))))
27	1, 7, 16, 26	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))))
28	2	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
30	8	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32		simp1r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)
33		f1f 6788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
35		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
36	34, 35	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐸‘𝑎) ∈ 𝑁)
37		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
38	9, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13	mat1ov 21950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏) = if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
39	38	mpoeq3dva 7486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
40	39	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐸‘𝑎)(1r‘𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41		mdetunilem8.id	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )
42	41	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 0 )
43	42	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44		zrhpsgnmhm 21137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
45	8, 2, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48	47, 17	mgpbas 19993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
49	46, 48	mhmf 18677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
51	50	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
53	52, 46	elsymgbas 19241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
54	28, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁))
55	7, 54	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
56	51, 55	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
57	17, 21, 18	ringrz 20108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
58	30, 56, 57	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
59	43, 58	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r‘𝐴))) = 0 )
60	27, 40, 59	3eqtr3d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
61	60	ex 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
62	61	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63		dff13 7254	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
64		ibar 530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:𝑁⟶𝑁 → (∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
65	64	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
66	63, 65	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
67	66	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68		rexnal 3101	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑁 ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69		rexnal 3101	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑁 ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70		df-ne 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
71	70	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) ↔ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72		annim 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
73	71, 72	bitr2i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
74	73	rexbii 3095	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑁 ¬ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
75	69, 74	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
76	75	rexbii 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑁 ¬ ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
77	68, 76	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑐 ∈ 𝑁 ∀𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
78	67, 77	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))
79		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑))
80		fveqeq2 6901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
81	80	ifbid 4552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
82		iftrue 4535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
83	81, 82	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
84		fveqeq2 6901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑑) = 𝑏))
85	84	ifbid 4552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
86		iftrue 4535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
87	85, 86	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
88		iffalse 4538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
89	88	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
90	87, 89	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
91		iffalse 4538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
92	90, 91	eqtr4id 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
93	83, 92	pm2.61i 182	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
94		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸‘𝑑) = (𝐸‘𝑐) → ((𝐸‘𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
95	94	eqcoms 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → ((𝐸‘𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸‘𝑐) = 𝑏))
96	95	ifbid 4552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
97	96	ifeq1d 4548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
98	97	ifeq2d 4549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
99	93, 98	eqtrid 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
100	99	mpoeq3dv 7488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
101	100	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
102	79, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
103		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝜑)
104		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ∈ 𝑁)
105		simprlr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑑 ∈ 𝑁)
106		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ≠ 𝑑)
107	104, 105, 106	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))
108	17, 19	ringidcl 20083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾)
109	8, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
110	17, 18	ring0cl 20084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
111	8, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
112	109, 111	ifcld 4575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
113	112	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
114		simp1ll 1237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝜑)
115	109, 111	ifcld 4575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
117	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116	mdetunilem2 22115	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸‘𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
118	102, 117	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
119	118	expr 458	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) ∧ (𝑐 ∈ 𝑁 ∧ 𝑑 ∈ 𝑁)) → (((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
120	119	rexlimdvva 3212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (∃𝑐 ∈ 𝑁 ∃𝑑 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑐) = (𝐸‘𝑑) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
121	78, 120	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁–1-1→𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
122	62, 121	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸:𝑁⟶𝑁) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if((𝐸‘𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675   ↾ cres 5679   ∘ ccom 5681  ⟶wf 6540  –1-1→wf1 6541  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ∘_f cof 7668   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  0_gc0g 17385   MndHom cmhm 18669  SymGrpcsymg 19234  pmSgncpsgn 19357  mulGrpcmgp 19987  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  ℤRHomczrh 21049   Mat cmat 21907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359  df-evpm 19360  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mamu 21886  df-mat 21908

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22122