MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem8 21968
Description: Lemma for mdetuni 21971. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem8.id (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝜑)
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 enrefg 8924 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → 𝑁𝑁)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑁)
5 f1finf1o 9215 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑁𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
64, 2, 5syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
76biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
109matring 21792 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
112, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
13 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (1r𝐴) = (1r𝐴)
1412, 13ringidcl 19989 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
17 mdetuni.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
19 mdetuni.1r . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
20 mdetuni.pg . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
21 mdetuni.tg . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
22 mdetuni.ff . . . . . . 7 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
23 mdetuni.al . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
24 mdetuni.li . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
25 mdetuni.sc . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 21967 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
271, 7, 16, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
282adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29283ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
308adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31303ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simp1r 1198 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
33 f1f 6738 . . . . . . . . . 10 (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁𝑁)
35 simp2 1137 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3634, 35ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐸𝑎) ∈ 𝑁)
37 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 21797 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
3938mpoeq3dva 7434 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
4039fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4342oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44 zrhpsgnmhm 20988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
458, 2, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4847, 17mgpbas 19902 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4946, 48mhmf 18607 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5352, 46elsymgbas 19155 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
557, 54mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5651, 55ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
5717, 21, 18ringrz 20012 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5830, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5943, 58eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = 0 )
6027, 40, 593eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
6160ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
6261adantr 481 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63 dff13 7202 . . . . . 6 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
64 ibar 529 . . . . . . 7 (𝐸:𝑁𝑁 → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
6564adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
6663, 65bitr4id 289 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
6766notbid 317 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68 rexnal 3103 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69 rexnal 3103 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70 df-ne 2944 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
7170anbi2i 623 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72 annim 404 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
7371, 72bitr2i 275 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7473rexbii 3097 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7569, 74bitr3i 276 . . . . . 6 (¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7675rexbii 3097 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7768, 76bitr3i 276 . . . 4 (¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7867, 77bitrdi 286 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑)))
79 simprrl 779 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐸𝑐) = (𝐸𝑑))
80 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
8180ifbid 4509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
82 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
8381, 82eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
84 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑑) = 𝑏))
8584ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
86 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
8785, 86eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
88 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
8988eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9087, 89pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . 12 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
91 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9290, 91eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . 11 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9383, 92pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
94 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑑) = (𝐸𝑐) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9594eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9695ifbid 4509 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
9796ifeq1d 4505 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9897ifeq2d 4506 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9993, 98eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
10099mpoeq3dv 7436 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
101100fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
10279, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
103 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝜑)
104 simprll 777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑁)
105 simprlr 778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑑𝑁)
106 simprrr 780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑑)
107104, 105, 1063jca 1128 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝑐𝑁𝑑𝑁𝑐𝑑))
10817, 19ringidcl 19989 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐾)
1098, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑1𝐾)
11017, 18ring0cl 19990 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
112109, 111ifcld 4532 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
113112ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑏𝑁) → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
114 simp1ll 1236 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝜑)
115109, 111ifcld 4532 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
1179, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116mdetunilem2 21962 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
118102, 117eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
119118expr 457 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑑𝑁)) → (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
120119rexlimdvva 3205 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12178, 120sylbid 239 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12262, 121pm2.61d 179 1 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  cen 8880  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   MndHom cmhm 18599  SymGrpcsymg 19148  pmSgncpsgn 19271  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  21969
  Copyright terms: Public domain W3C validator