MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem8 22625
Description: Lemma for mdetuni 22628. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem8.id (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝜑)
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 enrefg 9024 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → 𝑁𝑁)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑁)
5 f1finf1o 9305 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑁𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
64, 2, 5syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
76biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
109matring 22449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
112, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (1r𝐴) = (1r𝐴)
1412, 13ringidcl 20262 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
17 mdetuni.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
19 mdetuni.1r . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
20 mdetuni.pg . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
21 mdetuni.tg . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
22 mdetuni.ff . . . . . . 7 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
23 mdetuni.al . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
24 mdetuni.li . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
25 mdetuni.sc . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 22624 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
271, 7, 16, 26syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
282adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29283ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
308adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31303ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simp1r 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
33 f1f 6804 . . . . . . . . . 10 (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁𝑁)
35 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3634, 35ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐸𝑎) ∈ 𝑁)
37 simp3 1139 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 22454 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
3938mpoeq3dva 7510 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
4039fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4342oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44 zrhpsgnmhm 21602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
458, 2, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4847, 17mgpbas 20142 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4946, 48mhmf 18802 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5352, 46elsymgbas 19391 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
557, 54mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5651, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
5717, 21, 18ringrz 20291 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5830, 56, 57syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5943, 58eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = 0 )
6027, 40, 593eqtr3d 2785 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
6160ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
6261adantr 480 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63 dff13 7275 . . . . . 6 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
64 ibar 528 . . . . . . 7 (𝐸:𝑁𝑁 → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
6564adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
6663, 65bitr4id 290 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
6766notbid 318 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68 rexnal 3100 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69 rexnal 3100 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
7170anbi2i 623 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72 annim 403 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
7371, 72bitr2i 276 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7473rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7569, 74bitr3i 277 . . . . . 6 (¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7675rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7768, 76bitr3i 277 . . . 4 (¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7867, 77bitrdi 287 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑)))
79 simprrl 781 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐸𝑐) = (𝐸𝑑))
80 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
8180ifbid 4549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
82 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
8381, 82eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
84 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑑) = 𝑏))
8584ifbid 4549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
86 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
8785, 86eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
88 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
8988eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9087, 89pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . 12 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
91 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9290, 91eqtr4id 2796 . . . . . . . . . . 11 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9383, 92pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
94 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑑) = (𝐸𝑐) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9594eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9695ifbid 4549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
9796ifeq1d 4545 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9897ifeq2d 4546 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9993, 98eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
10099mpoeq3dv 7512 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
101100fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
10279, 101syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
103 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝜑)
104 simprll 779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑁)
105 simprlr 780 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑑𝑁)
106 simprrr 782 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑑)
107104, 105, 1063jca 1129 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝑐𝑁𝑑𝑁𝑐𝑑))
10817, 19ringidcl 20262 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐾)
1098, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑1𝐾)
11017, 18ring0cl 20264 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
112109, 111ifcld 4572 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
113112ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑏𝑁) → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
114 simp1ll 1237 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝜑)
115109, 111ifcld 4572 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
1179, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 103, 107, 113, 116mdetunilem2 22619 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
118102, 117eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
119118expr 456 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑑𝑁)) → (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
120119rexlimdvva 3213 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12178, 120sylbid 240 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12262, 121pm2.61d 179 1 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cres 5687  ccom 5689  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  cen 8982  Fincfn 8985  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   MndHom cmhm 18794  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  ℤRHomczrh 21510   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-evpm 19510  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22626
  Copyright terms: Public domain W3C validator