Theorem cyggenod 19926

Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggenod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggenod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem cyggenod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen 19922	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
6		simplll 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
8		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2	mulgcl 19135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	10	fmpttd 7098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
12	11	frnd 6702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
13	5, 12	ssfid 9215	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin)
14		hashen 14362	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
15	13, 5, 14	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
16		cyggenod.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
17		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
18	1, 16, 2, 17	dfod2 19606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
19	18	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
20	13	iftrued 4490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
21	19, 20	eqtr2d 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (𝑂‘𝑋))
22	21	eqeq1d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵)))
23		fisseneq 9209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
24	23	3expia 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
25		enrefg 8967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐵)
27		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
28	26, 27	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
29	24, 28	impbid 214	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
30	5, 12, 29	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
31	15, 22, 30	3bitr3rd 312	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵)))
32	31	pm5.32da 587	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
33	4, 32	bitrid 285	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ifcif 4482   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5650  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ≈ cen 8926  Fincfn 8929  0cc0 11075  ℤcz 12570  ♯chash 14345  Basecbs 17247  Grpcgrp 18977  ._gcmg 19111  odcod 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-dvds 16289  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-od 19570

This theorem is referenced by:  iscygodd  19930  cyggexb  19941