MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggenod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggenod 19472
Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggenod.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggenod ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem cyggenod
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . 3 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . 3 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen 19468 . 2 (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5 simplr 766 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
6 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
8 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
91, 2mulgcl 18709 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
106, 7, 8, 9syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
1110fmpttd 6982 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
1211frnd 6601 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
135, 12ssfid 9030 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin)
14 hashen 14049 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
1513, 5, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
16 cyggenod.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
17 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
181, 16, 2, 17dfod2 19159 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
1918adantlr 712 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
2013iftrued 4468 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
2119, 20eqtr2d 2779 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (𝑂𝑋))
2221eqeq1d 2740 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵)))
23 fisseneq 9022 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
24233expia 1120 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
25 enrefg 8760 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → 𝐵𝐵)
27 breq1 5077 . . . . . . 7 (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵𝐵𝐵))
2826, 27syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
2924, 28impbid 211 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
305, 12, 29syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
3115, 22, 303bitr3rd 310 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵)))
3231pm5.32da 579 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵))))
334, 32syl5bb 283 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  wss 3887  ifcif 4460   class class class wbr 5074  cmpt 5157  ran crn 5586  cfv 6427  (class class class)co 7268  cen 8718  Fincfn 8721  0cc0 10859  cz 12307  chash 14032  Basecbs 16900  Grpcgrp 18565  .gcmg 18688  odcod 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-oadd 8289  df-omul 8290  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-acn 9688  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-fz 13228  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-dvds 15952  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-mulg 18689  df-od 19124
This theorem is referenced by:  iscygodd  19476  cyggexb  19488
  Copyright terms: Public domain W3C validator