Theorem cyggenod 19960

Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggenod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggenod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥, 𝑛)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem cyggenod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen 19956	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
6		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
8		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2	mulgcl 19163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	10	fmpttd 7110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
12	11	frnd 6714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
13	5, 12	ssfid 9227	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin)
14		hashen 14390	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
15	13, 5, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
16		cyggenod.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
17		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
18	1, 16, 2, 17	dfod2 19640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
19	18	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
20	13	iftrued 4494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
21	19, 20	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (𝑂‘𝑋))
22	21	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵)))
23		fisseneq 9221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
24	23	3expia 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
25		enrefg 8979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
26	25	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐵)
27		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
28	26, 27	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
29	24, 28	impbid 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
30	5, 12, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
31	15, 22, 30	3bitr3rd 313	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵)))
32	31	pm5.32da 589	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
33	4, 32	bitrid 286	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ≈ cen 8938  Fincfn 8941  0cc0 11106  ℤcz 12597  ♯chash 14373  Basecbs 17275  Grpcgrp 19006  ._gcmg 19139  odcod 19600

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-od 19604

This theorem is used by:  iscygodd  19964  cyggexb  19975