Theorem cyggenod 19484

Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggenod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggenod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem cyggenod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen 19480	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
6		simplll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
8		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2	mulgcl 18721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11	10	fmpttd 6989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
12	11	frnd 6608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
13	5, 12	ssfid 9042	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin)
14		hashen 14061	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
15	13, 5, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
16		cyggenod.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
17		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
18	1, 16, 2, 17	dfod2 19171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
19	18	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
20	13	iftrued 4467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
21	19, 20	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (𝑂‘𝑋))
22	21	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵)))
23		fisseneq 9034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
24	23	3expia 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
25		enrefg 8772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐵)
27		breq1 5077	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
28	26, 27	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
29	24, 28	impbid 211	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
30	5, 12, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
31	15, 22, 30	3bitr3rd 310	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵)))
32	31	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
33	4, 32	bitrid 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ≈ cen 8730  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℤcz 12319  ♯chash 14044  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  ._gcmg 18700  odcod 19132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-od 19136

This theorem is referenced by:  iscygodd  19488  cyggexb  19500