Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggenod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggenod 18683
 Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggenod.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggenod ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem cyggenod
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . 3 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . 3 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen 18679 . 2 (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5 simplr 759 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
6 simplll 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
8 simplr 759 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
91, 2mulgcl 17956 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
106, 7, 8, 9syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
1110fmpttd 6651 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
1211frnd 6300 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
135, 12ssfid 8473 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin)
14 hashen 13458 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
1513, 5, 14syl2anc 579 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
16 cyggenod.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
17 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
181, 16, 2, 17dfod2 18376 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
1918adantlr 705 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂𝑋) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0))
2013iftrued 4315 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))), 0) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
2119, 20eqtr2d 2815 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (𝑂𝑋))
2221eqeq1d 2780 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → ((♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))) = (♯‘𝐵) ↔ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵)))
23 fisseneq 8461 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵)
24233expia 1111 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
25 enrefg 8275 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
2625adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → 𝐵𝐵)
27 breq1 4891 . . . . . . 7 (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵𝐵𝐵))
2826, 27syl5ibrcom 239 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵))
2924, 28impbid 204 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
305, 12, 29syl2anc 579 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ≈ 𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
3115, 22, 303bitr3rd 302 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑋𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵)))
3231pm5.32da 574 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵))))
334, 32syl5bb 275 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑂𝑋) = (♯‘𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094   ⊆ wss 3792  ifcif 4307   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ≈ cen 8240  Fincfn 8243  0cc0 10274  ℤcz 11733  ♯chash 13441  Basecbs 16266  Grpcgrp 17820  .gcmg 17938  odcod 18339 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-od 18343 This theorem is referenced by:  iscygodd  18687  cyggexb  18697
 Copyright terms: Public domain W3C validator