Theorem onenon 9894

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8931	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 685	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  Oncon0 6322   ≈ cen 8887  cardccrd 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-en 8891  df-card 9884

This theorem is referenced by:  oncardval  9900  oncardid  9901  cardnn  9908  iscard  9920  carduni  9926  nnsdomel  9935  harsdom  9940  harsucnn  9943  pm54.43lem  9945  infxpenlem  9958  infxpidm2  9962  onssnum  9985  alephnbtwn  10016  alephnbtwn2  10017  alephordilem1  10018  alephord2  10021  alephsdom  10031  cardaleph  10034  infenaleph  10036  alephinit  10040  iunfictbso  10059  ficardun2  10147  ficardun2OLD  10148  pwsdompw  10149  infunsdom1  10158  ackbij2  10188  cfflb  10204  sdom2en01  10247  fin23lem22  10272  iunctb  10519  alephadd  10522  alephmul  10523  alephexp1  10524  alephsuc3  10525  canthp1lem2  10598  pwfseqlem4a  10606  pwfseqlem4  10607  pwfseqlem5  10608  gchaleph  10616  gchaleph2  10617  hargch  10618  cygctb  19683  ttac  41418  numinfctb  41488  isnumbasgrplem2  41489  isnumbasabl  41491  iscard4  41927  minregex2  41929  harval3  41932  harval3on  41933  aleph1min  41951