Theorem onenon 10034

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9015	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 10031	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  Oncon0 6362   ≈ cen 8974  cardccrd 10020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-en 8978  df-card 10024

This theorem is used by:  oncardval  10040  oncardid  10041  cardnn  10048  iscard  10060  carduni  10066  nnsdomel  10075  harsdom  10080  harsucnn  10083  pm54.43lem  10085  infxpenlem  10096  infxpidm2  10100  onssnum  10123  alephnbtwn  10154  alephnbtwn2  10155  alephordilem1  10156  alephord2  10159  alephsdom  10169  cardaleph  10172  infenaleph  10174  alephinit  10178  iunfictbso  10197  ficardun2  10284  pwsdompw  10285  infunsdom1  10294  ackbij2  10324  cfflb  10341  sdom2en01  10384  fin23lem22  10409  iunctb  10663  alephadd  10666  alephmul  10667  alephexp1  10668  alephsuc3  10669  canthp1lem2  10742  pwfseqlem4a  10750  pwfseqlem4  10751  pwfseqlem5  10752  gchaleph  10760  gchaleph2  10761  hargch  10762  cygctb  20112  j0ltaleph  35948  ttac  44137  numinfctb  44199  isnumbasgrplem2  44200  isnumbasabl  44202  iscard4  44628  minregex2  44630  harval3  44633  harval3on  44634  aleph1min  44652