MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 9366
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8528 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 9363 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 686 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  Oncon0 6163  cen 8493  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-en 8497  df-card 9356
This theorem is referenced by:  oncardval  9372  oncardid  9373  cardnn  9380  iscard  9392  carduni  9398  nnsdomel  9407  harsdom  9412  harsucnn  9415  pm54.43lem  9417  infxpenlem  9428  infxpidm2  9432  onssnum  9455  alephnbtwn  9486  alephnbtwn2  9487  alephordilem1  9488  alephord2  9491  alephsdom  9501  cardaleph  9504  infenaleph  9506  alephinit  9510  iunfictbso  9529  ficardun2  9617  ficardun2OLD  9618  pwsdompw  9619  infunsdom1  9628  ackbij2  9658  cfflb  9674  sdom2en01  9717  fin23lem22  9742  iunctb  9989  alephadd  9992  alephmul  9993  alephexp1  9994  alephsuc3  9995  canthp1lem2  10068  pwfseqlem4a  10076  pwfseqlem4  10077  pwfseqlem5  10078  gchaleph  10086  gchaleph2  10087  hargch  10088  cygctb  19009  ttac  39970  numinfctb  40040  isnumbasgrplem2  40041  isnumbasabl  40043  iscard4  40234  harval3  40237  harval3on  40238  aleph1min  40249
  Copyright terms: Public domain W3C validator