Theorem onenon 9864

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  Oncon0 6317   ≈ cen 8883  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8887  df-card 9854

This theorem is referenced by:  oncardval  9870  oncardid  9871  cardnn  9878  iscard  9890  carduni  9896  nnsdomel  9905  harsdom  9910  harsucnn  9913  pm54.43lem  9915  infxpenlem  9926  infxpidm2  9930  onssnum  9953  alephnbtwn  9984  alephnbtwn2  9985  alephordilem1  9986  alephord2  9989  alephsdom  9999  cardaleph  10002  infenaleph  10004  alephinit  10008  iunfictbso  10027  ficardun2  10115  pwsdompw  10116  infunsdom1  10125  ackbij2  10155  cfflb  10172  sdom2en01  10215  fin23lem22  10240  iunctb  10488  alephadd  10491  alephmul  10492  alephexp1  10493  alephsuc3  10494  canthp1lem2  10567  pwfseqlem4a  10575  pwfseqlem4  10576  pwfseqlem5  10577  gchaleph  10585  gchaleph2  10586  hargch  10587  cygctb  19858  ttac  43482  numinfctb  43549  isnumbasgrplem2  43550  isnumbasabl  43552  iscard4  43978  minregex2  43980  harval3  43983  harval3on  43984  aleph1min  44002