Theorem onenon 9842

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8906	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  Oncon0 6306   ≈ cen 8866  cardccrd 9828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-en 8870  df-card 9832

This theorem is referenced by:  oncardval  9848  oncardid  9849  cardnn  9856  iscard  9868  carduni  9874  nnsdomel  9883  harsdom  9888  harsucnn  9891  pm54.43lem  9893  infxpenlem  9904  infxpidm2  9908  onssnum  9931  alephnbtwn  9962  alephnbtwn2  9963  alephordilem1  9964  alephord2  9967  alephsdom  9977  cardaleph  9980  infenaleph  9982  alephinit  9986  iunfictbso  10005  ficardun2  10093  pwsdompw  10094  infunsdom1  10103  ackbij2  10133  cfflb  10150  sdom2en01  10193  fin23lem22  10218  iunctb  10465  alephadd  10468  alephmul  10469  alephexp1  10470  alephsuc3  10471  canthp1lem2  10544  pwfseqlem4a  10552  pwfseqlem4  10553  pwfseqlem5  10554  gchaleph  10562  gchaleph2  10563  hargch  10564  cygctb  19805  ttac  43075  numinfctb  43142  isnumbasgrplem2  43143  isnumbasabl  43145  iscard4  43572  minregex2  43574  harval3  43577  harval3on  43578  aleph1min  43596