Theorem onenon 9378

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8541	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 685	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  Oncon0 6191   ≈ cen 8506  cardccrd 9364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-en 8510  df-card 9368

This theorem is referenced by:  oncardval  9384  oncardid  9385  cardnn  9392  iscard  9404  carduni  9410  nnsdomel  9419  harsdom  9424  pm54.43lem  9428  infxpenlem  9439  infxpidm2  9443  onssnum  9466  alephnbtwn  9497  alephnbtwn2  9498  alephordilem1  9499  alephord2  9502  alephsdom  9512  cardaleph  9515  infenaleph  9517  alephinit  9521  iunfictbso  9540  ficardun2  9625  pwsdompw  9626  infunsdom1  9635  ackbij2  9665  cfflb  9681  sdom2en01  9724  fin23lem22  9749  iunctb  9996  alephadd  9999  alephmul  10000  alephexp1  10001  alephsuc3  10002  canthp1lem2  10075  pwfseqlem4a  10083  pwfseqlem4  10084  pwfseqlem5  10085  gchaleph  10093  gchaleph2  10094  hargch  10095  cygctb  19012  ttac  39653  numinfctb  39723  isnumbasgrplem2  39724  isnumbasabl  39726  iscard4  39920  harsucnn  39923  harval3  39924  harval3on  39925  aleph1min  39936