Theorem onenon 9864

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8916	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  Oncon0 6311   ≈ cen 8876  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-en 8880  df-card 9854

This theorem is referenced by:  oncardval  9870  oncardid  9871  cardnn  9878  iscard  9890  carduni  9896  nnsdomel  9905  harsdom  9910  harsucnn  9913  pm54.43lem  9915  infxpenlem  9926  infxpidm2  9930  onssnum  9953  alephnbtwn  9984  alephnbtwn2  9985  alephordilem1  9986  alephord2  9989  alephsdom  9999  cardaleph  10002  infenaleph  10004  alephinit  10008  iunfictbso  10027  ficardun2  10115  pwsdompw  10116  infunsdom1  10125  ackbij2  10155  cfflb  10172  sdom2en01  10215  fin23lem22  10240  iunctb  10487  alephadd  10490  alephmul  10491  alephexp1  10492  alephsuc3  10493  canthp1lem2  10566  pwfseqlem4a  10574  pwfseqlem4  10575  pwfseqlem5  10576  gchaleph  10584  gchaleph2  10585  hargch  10586  cygctb  19789  ttac  43012  numinfctb  43079  isnumbasgrplem2  43080  isnumbasabl  43082  iscard4  43509  minregex2  43511  harval3  43514  harval3on  43515  aleph1min  43533