Theorem onenon 9944

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9941	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 686	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Oncon0 6365   ≈ cen 8936  cardccrd 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8940  df-card 9934

This theorem is referenced by:  oncardval  9950  oncardid  9951  cardnn  9958  iscard  9970  carduni  9976  nnsdomel  9985  harsdom  9990  harsucnn  9993  pm54.43lem  9995  infxpenlem  10008  infxpidm2  10012  onssnum  10035  alephnbtwn  10066  alephnbtwn2  10067  alephordilem1  10068  alephord2  10071  alephsdom  10081  cardaleph  10084  infenaleph  10086  alephinit  10090  iunfictbso  10109  ficardun2  10197  ficardun2OLD  10198  pwsdompw  10199  infunsdom1  10208  ackbij2  10238  cfflb  10254  sdom2en01  10297  fin23lem22  10322  iunctb  10569  alephadd  10572  alephmul  10573  alephexp1  10574  alephsuc3  10575  canthp1lem2  10648  pwfseqlem4a  10656  pwfseqlem4  10657  pwfseqlem5  10658  gchaleph  10666  gchaleph2  10667  hargch  10668  cygctb  19760  ttac  41823  numinfctb  41893  isnumbasgrplem2  41894  isnumbasabl  41896  iscard4  42332  minregex2  42334  harval3  42337  harval3on  42338  aleph1min  42356