Theorem onenon 9942

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9939	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  Oncon0 6360   ≈ cen 8938  cardccrd 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-en 8942  df-card 9932

This theorem is used by:  oncardval  9948  oncardid  9949  cardnn  9956  iscard  9968  carduni  9974  nnsdomel  9983  harsdom  9988  harsucnn  9991  pm54.43lem  9993  infxpenlem  10004  infxpidm2  10008  onssnum  10031  alephnbtwn  10062  alephnbtwn2  10063  alephordilem1  10064  alephord2  10067  alephsdom  10077  cardaleph  10080  infenaleph  10082  alephinit  10086  iunfictbso  10105  ficardun2  10192  pwsdompw  10193  infunsdom1  10202  ackbij2  10232  cfflb  10249  sdom2en01  10292  fin23lem22  10317  iunctb  10565  alephadd  10568  alephmul  10569  alephexp1  10570  alephsuc3  10571  canthp1lem2  10644  pwfseqlem4a  10652  pwfseqlem4  10653  pwfseqlem5  10654  gchaleph  10662  gchaleph2  10663  hargch  10664  cygctb  19968  ttac  43791  numinfctb  43858  isnumbasgrplem2  43859  isnumbasabl  43861  iscard4  44287  minregex2  44289  harval3  44292  harval3on  44293  aleph1min  44311