Theorem onenon 9707

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9704	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 684	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Oncon0 6266   ≈ cen 8730  cardccrd 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-en 8734  df-card 9697

This theorem is referenced by:  oncardval  9713  oncardid  9714  cardnn  9721  iscard  9733  carduni  9739  nnsdomel  9748  harsdom  9753  harsucnn  9756  pm54.43lem  9758  infxpenlem  9769  infxpidm2  9773  onssnum  9796  alephnbtwn  9827  alephnbtwn2  9828  alephordilem1  9829  alephord2  9832  alephsdom  9842  cardaleph  9845  infenaleph  9847  alephinit  9851  iunfictbso  9870  ficardun2  9958  ficardun2OLD  9959  pwsdompw  9960  infunsdom1  9969  ackbij2  9999  cfflb  10015  sdom2en01  10058  fin23lem22  10083  iunctb  10330  alephadd  10333  alephmul  10334  alephexp1  10335  alephsuc3  10336  canthp1lem2  10409  pwfseqlem4a  10417  pwfseqlem4  10418  pwfseqlem5  10419  gchaleph  10427  gchaleph2  10428  hargch  10429  cygctb  19493  ttac  40858  numinfctb  40928  isnumbasgrplem2  40929  isnumbasabl  40931  iscard4  41140  minregex2  41142  harval3  41145  harval3on  41146  aleph1min  41164