Theorem onenon 9871

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8928	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9868	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 693	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  Oncon0 6317   ≈ cen 8887  cardccrd 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8891  df-card 9861

This theorem is referenced by:  oncardval  9877  oncardid  9878  cardnn  9885  iscard  9897  carduni  9903  nnsdomel  9912  harsdom  9917  harsucnn  9920  pm54.43lem  9922  infxpenlem  9933  infxpidm2  9937  onssnum  9960  alephnbtwn  9991  alephnbtwn2  9992  alephordilem1  9993  alephord2  9996  alephsdom  10006  cardaleph  10009  infenaleph  10011  alephinit  10015  iunfictbso  10034  ficardun2  10122  pwsdompw  10123  infunsdom1  10132  ackbij2  10162  cfflb  10179  sdom2en01  10222  fin23lem22  10247  iunctb  10495  alephadd  10498  alephmul  10499  alephexp1  10500  alephsuc3  10501  canthp1lem2  10574  pwfseqlem4a  10582  pwfseqlem4  10583  pwfseqlem5  10584  gchaleph  10592  gchaleph2  10593  hargch  10594  cygctb  19865  ttac  43488  numinfctb  43555  isnumbasgrplem2  43556  isnumbasabl  43558  iscard4  43984  minregex2  43986  harval3  43989  harval3on  43990  aleph1min  44008