MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 9890
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8927 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 9887 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 686 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  Oncon0 6318  cen 8883  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-en 8887  df-card 9880
This theorem is referenced by:  oncardval  9896  oncardid  9897  cardnn  9904  iscard  9916  carduni  9922  nnsdomel  9931  harsdom  9936  harsucnn  9939  pm54.43lem  9941  infxpenlem  9954  infxpidm2  9958  onssnum  9981  alephnbtwn  10012  alephnbtwn2  10013  alephordilem1  10014  alephord2  10017  alephsdom  10027  cardaleph  10030  infenaleph  10032  alephinit  10036  iunfictbso  10055  ficardun2  10143  ficardun2OLD  10144  pwsdompw  10145  infunsdom1  10154  ackbij2  10184  cfflb  10200  sdom2en01  10243  fin23lem22  10268  iunctb  10515  alephadd  10518  alephmul  10519  alephexp1  10520  alephsuc3  10521  canthp1lem2  10594  pwfseqlem4a  10602  pwfseqlem4  10603  pwfseqlem5  10604  gchaleph  10612  gchaleph2  10613  hargch  10614  cygctb  19674  ttac  41403  numinfctb  41473  isnumbasgrplem2  41474  isnumbasabl  41476  iscard4  41893  minregex2  41895  harval3  41898  harval3on  41899  aleph1min  41917
  Copyright terms: Public domain W3C validator