Theorem onenon 9861

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8921	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  Oncon0 6317   ≈ cen 8880  cardccrd 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8884  df-card 9851

This theorem is referenced by:  oncardval  9867  oncardid  9868  cardnn  9875  iscard  9887  carduni  9893  nnsdomel  9902  harsdom  9907  harsucnn  9910  pm54.43lem  9912  infxpenlem  9923  infxpidm2  9927  onssnum  9950  alephnbtwn  9981  alephnbtwn2  9982  alephordilem1  9983  alephord2  9986  alephsdom  9996  cardaleph  9999  infenaleph  10001  alephinit  10005  iunfictbso  10024  ficardun2  10112  pwsdompw  10113  infunsdom1  10122  ackbij2  10152  cfflb  10169  sdom2en01  10212  fin23lem22  10237  iunctb  10485  alephadd  10488  alephmul  10489  alephexp1  10490  alephsuc3  10491  canthp1lem2  10564  pwfseqlem4a  10572  pwfseqlem4  10573  pwfseqlem5  10574  gchaleph  10582  gchaleph2  10583  hargch  10584  cygctb  19821  ttac  43278  numinfctb  43345  isnumbasgrplem2  43346  isnumbasabl  43348  iscard4  43774  minregex2  43776  harval3  43779  harval3on  43780  aleph1min  43798