Theorem onenon 10018

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 10015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 686	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Oncon0 6395   ≈ cen 9000  cardccrd 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-en 9004  df-card 10008

This theorem is referenced by:  oncardval  10024  oncardid  10025  cardnn  10032  iscard  10044  carduni  10050  nnsdomel  10059  harsdom  10064  harsucnn  10067  pm54.43lem  10069  infxpenlem  10082  infxpidm2  10086  onssnum  10109  alephnbtwn  10140  alephnbtwn2  10141  alephordilem1  10142  alephord2  10145  alephsdom  10155  cardaleph  10158  infenaleph  10160  alephinit  10164  iunfictbso  10183  ficardun2  10271  pwsdompw  10272  infunsdom1  10281  ackbij2  10311  cfflb  10328  sdom2en01  10371  fin23lem22  10396  iunctb  10643  alephadd  10646  alephmul  10647  alephexp1  10648  alephsuc3  10649  canthp1lem2  10722  pwfseqlem4a  10730  pwfseqlem4  10731  pwfseqlem5  10732  gchaleph  10740  gchaleph2  10741  hargch  10742  cygctb  19934  ttac  42993  numinfctb  43060  isnumbasgrplem2  43061  isnumbasabl  43063  iscard4  43495  minregex2  43497  harval3  43500  harval3on  43501  aleph1min  43519