MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 9026
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8192 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 9023 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 678 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  Oncon0 5908  cen 8157  cardccrd 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-en 8161  df-card 9016
This theorem is referenced by:  oncardval  9032  oncardid  9033  cardnn  9040  iscard  9052  carduni  9058  nnsdomel  9067  harsdom  9072  pm54.43lem  9076  infxpenlem  9087  infxpidm2  9091  onssnum  9114  alephnbtwn  9145  alephnbtwn2  9146  alephordilem1  9147  alephord2  9150  alephsdom  9160  cardaleph  9163  infenaleph  9165  alephinit  9169  iunfictbso  9188  ficardun2  9278  pwsdompw  9279  infunsdom1  9288  ackbij2  9318  cfflb  9334  sdom2en01  9377  fin23lem22  9402  iunctb  9649  alephadd  9652  alephmul  9653  alephexp1  9654  alephsuc3  9655  canthp1lem2  9728  pwfseqlem4a  9736  pwfseqlem4  9737  pwfseqlem5  9738  gchaleph  9746  gchaleph2  9747  hargch  9748  cygctb  18559  ttac  38280  numinfctb  38350  isnumbasgrplem2  38351  isnumbasabl  38353
  Copyright terms: Public domain W3C validator