Theorem onenon 9923

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  dom cdm 5651  Oncon0 6349   ≈ cen 8928  cardccrd 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-en 8932  df-card 9913

This theorem is referenced by:  oncardval  9929  oncardid  9930  cardnn  9937  iscard  9949  carduni  9955  nnsdomel  9964  harsdom  9969  harsucnn  9972  pm54.43lem  9974  infxpenlem  9985  infxpidm2  9989  onssnum  10012  alephnbtwn  10043  alephnbtwn2  10044  alephordilem1  10045  alephord2  10048  alephsdom  10058  cardaleph  10061  infenaleph  10063  alephinit  10067  iunfictbso  10086  ficardun2  10173  pwsdompw  10174  infunsdom1  10183  ackbij2  10213  cfflb  10231  sdom2en01  10274  fin23lem22  10299  iunctb  10547  alephadd  10550  alephmul  10551  alephexp1  10552  alephsuc3  10553  canthp1lem2  10626  pwfseqlem4a  10634  pwfseqlem4  10635  pwfseqlem5  10636  gchaleph  10644  gchaleph2  10645  hargch  10646  cygctb  19950  ttac  43620  numinfctb  43687  isnumbasgrplem2  43688  isnumbasabl  43690  iscard4  44116  minregex2  44118  harval3  44121  harval3on  44122  aleph1min  44140