Theorem onenon 9902

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8955	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  Oncon0 6332   ≈ cen 8915  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-en 8919  df-card 9892

This theorem is referenced by:  oncardval  9908  oncardid  9909  cardnn  9916  iscard  9928  carduni  9934  nnsdomel  9943  harsdom  9948  harsucnn  9951  pm54.43lem  9953  infxpenlem  9966  infxpidm2  9970  onssnum  9993  alephnbtwn  10024  alephnbtwn2  10025  alephordilem1  10026  alephord2  10029  alephsdom  10039  cardaleph  10042  infenaleph  10044  alephinit  10048  iunfictbso  10067  ficardun2  10155  pwsdompw  10156  infunsdom1  10165  ackbij2  10195  cfflb  10212  sdom2en01  10255  fin23lem22  10280  iunctb  10527  alephadd  10530  alephmul  10531  alephexp1  10532  alephsuc3  10533  canthp1lem2  10606  pwfseqlem4a  10614  pwfseqlem4  10615  pwfseqlem5  10616  gchaleph  10624  gchaleph2  10625  hargch  10626  cygctb  19822  ttac  43025  numinfctb  43092  isnumbasgrplem2  43093  isnumbasabl  43095  iscard4  43522  minregex2  43524  harval3  43527  harval3on  43528  aleph1min  43546