Theorem onenon 9963

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8998	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Oncon0 6352   ≈ cen 8956  cardccrd 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-en 8960  df-card 9953

This theorem is referenced by:  oncardval  9969  oncardid  9970  cardnn  9977  iscard  9989  carduni  9995  nnsdomel  10004  harsdom  10009  harsucnn  10012  pm54.43lem  10014  infxpenlem  10027  infxpidm2  10031  onssnum  10054  alephnbtwn  10085  alephnbtwn2  10086  alephordilem1  10087  alephord2  10090  alephsdom  10100  cardaleph  10103  infenaleph  10105  alephinit  10109  iunfictbso  10128  ficardun2  10216  pwsdompw  10217  infunsdom1  10226  ackbij2  10256  cfflb  10273  sdom2en01  10316  fin23lem22  10341  iunctb  10588  alephadd  10591  alephmul  10592  alephexp1  10593  alephsuc3  10594  canthp1lem2  10667  pwfseqlem4a  10675  pwfseqlem4  10676  pwfseqlem5  10677  gchaleph  10685  gchaleph2  10686  hargch  10687  cygctb  19873  ttac  43060  numinfctb  43127  isnumbasgrplem2  43128  isnumbasabl  43130  iscard4  43557  minregex2  43559  harval3  43562  harval3on  43563  aleph1min  43581