Theorem onenon 9948

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9945	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 683	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Oncon0 6365   ≈ cen 8940  cardccrd 9934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8944  df-card 9938

This theorem is referenced by:  oncardval  9954  oncardid  9955  cardnn  9962  iscard  9974  carduni  9980  nnsdomel  9989  harsdom  9994  harsucnn  9997  pm54.43lem  9999  infxpenlem  10012  infxpidm2  10016  onssnum  10039  alephnbtwn  10070  alephnbtwn2  10071  alephordilem1  10072  alephord2  10075  alephsdom  10085  cardaleph  10088  infenaleph  10090  alephinit  10094  iunfictbso  10113  ficardun2  10201  ficardun2OLD  10202  pwsdompw  10203  infunsdom1  10212  ackbij2  10242  cfflb  10258  sdom2en01  10301  fin23lem22  10326  iunctb  10573  alephadd  10576  alephmul  10577  alephexp1  10578  alephsuc3  10579  canthp1lem2  10652  pwfseqlem4a  10660  pwfseqlem4  10661  pwfseqlem5  10662  gchaleph  10670  gchaleph2  10671  hargch  10672  cygctb  19803  ttac  42079  numinfctb  42149  isnumbasgrplem2  42150  isnumbasabl  42152  iscard4  42588  minregex2  42590  harval3  42593  harval3on  42594  aleph1min  42612