Theorem onenon 9909

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9906	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  Oncon0 6335   ≈ cen 8918  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-en 8922  df-card 9899

This theorem is referenced by:  oncardval  9915  oncardid  9916  cardnn  9923  iscard  9935  carduni  9941  nnsdomel  9950  harsdom  9955  harsucnn  9958  pm54.43lem  9960  infxpenlem  9973  infxpidm2  9977  onssnum  10000  alephnbtwn  10031  alephnbtwn2  10032  alephordilem1  10033  alephord2  10036  alephsdom  10046  cardaleph  10049  infenaleph  10051  alephinit  10055  iunfictbso  10074  ficardun2  10162  pwsdompw  10163  infunsdom1  10172  ackbij2  10202  cfflb  10219  sdom2en01  10262  fin23lem22  10287  iunctb  10534  alephadd  10537  alephmul  10538  alephexp1  10539  alephsuc3  10540  canthp1lem2  10613  pwfseqlem4a  10621  pwfseqlem4  10622  pwfseqlem5  10623  gchaleph  10631  gchaleph2  10632  hargch  10633  cygctb  19829  ttac  43032  numinfctb  43099  isnumbasgrplem2  43100  isnumbasabl  43102  iscard4  43529  minregex2  43531  harval3  43534  harval3on  43535  aleph1min  43553