Theorem onenon 9989

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Oncon0 6384   ≈ cen 8982  cardccrd 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-card 9979

This theorem is referenced by:  oncardval  9995  oncardid  9996  cardnn  10003  iscard  10015  carduni  10021  nnsdomel  10030  harsdom  10035  harsucnn  10038  pm54.43lem  10040  infxpenlem  10053  infxpidm2  10057  onssnum  10080  alephnbtwn  10111  alephnbtwn2  10112  alephordilem1  10113  alephord2  10116  alephsdom  10126  cardaleph  10129  infenaleph  10131  alephinit  10135  iunfictbso  10154  ficardun2  10242  pwsdompw  10243  infunsdom1  10252  ackbij2  10282  cfflb  10299  sdom2en01  10342  fin23lem22  10367  iunctb  10614  alephadd  10617  alephmul  10618  alephexp1  10619  alephsuc3  10620  canthp1lem2  10693  pwfseqlem4a  10701  pwfseqlem4  10702  pwfseqlem5  10703  gchaleph  10711  gchaleph2  10712  hargch  10713  cygctb  19910  ttac  43048  numinfctb  43115  isnumbasgrplem2  43116  isnumbasabl  43118  iscard4  43546  minregex2  43548  harval3  43551  harval3on  43552  aleph1min  43570