Theorem onenon 9936

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  Oncon0 6362   ≈ cen 8941  cardccrd 9922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8945  df-card 9926

This theorem is referenced by:  oncardval  9942  oncardid  9943  cardnn  9950  iscard  9962  carduni  9968  nnsdomel  9977  harsdom  9982  harsucnn  9985  pm54.43lem  9987  infxpenlem  9998  infxpidm2  10002  onssnum  10025  alephnbtwn  10056  alephnbtwn2  10057  alephordilem1  10058  alephord2  10061  alephsdom  10071  cardaleph  10074  infenaleph  10076  alephinit  10080  iunfictbso  10099  ficardun2  10186  pwsdompw  10187  infunsdom1  10196  ackbij2  10226  cfflb  10244  sdom2en01  10287  fin23lem22  10312  iunctb  10560  alephadd  10563  alephmul  10564  alephexp1  10565  alephsuc3  10566  canthp1lem2  10639  pwfseqlem4a  10647  pwfseqlem4  10648  pwfseqlem5  10649  gchaleph  10657  gchaleph2  10658  hargch  10659  cygctb  19963  ttac  43746  numinfctb  43813  isnumbasgrplem2  43814  isnumbasabl  43816  iscard4  44242  minregex2  44244  harval3  44247  harval3on  44248  aleph1min  44266