Theorem onenon 9958

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Oncon0 6361   ≈ cen 8953  cardccrd 9944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-en 8957  df-card 9948

This theorem is used by:  oncardval  9964  oncardid  9965  cardnn  9972  iscard  9984  carduni  9990  nnsdomel  9999  harsdom  10004  harsucnn  10007  pm54.43lem  10009  infxpenlem  10020  infxpidm2  10024  onssnum  10047  alephnbtwn  10078  alephnbtwn2  10079  alephordilem1  10080  alephord2  10083  alephsdom  10093  cardaleph  10096  infenaleph  10098  alephinit  10102  iunfictbso  10121  ficardun2  10208  pwsdompw  10209  infunsdom1  10218  ackbij2  10248  cfflb  10265  sdom2en01  10308  fin23lem22  10333  iunctb  10587  alephadd  10590  alephmul  10591  alephexp1  10592  alephsuc3  10593  canthp1lem2  10666  pwfseqlem4a  10674  pwfseqlem4  10675  pwfseqlem5  10676  gchaleph  10684  gchaleph2  10685  hargch  10686  cygctb  20025  ttac  43885  numinfctb  43952  isnumbasgrplem2  43953  isnumbasabl  43955  iscard4  44381  minregex2  44383  harval3  44386  harval3on  44387  aleph1min  44405