MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 9843
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8882 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 9840 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 685 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  Oncon0 6315  cen 8838  cardccrd 9829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-en 8842  df-card 9833
This theorem is referenced by:  oncardval  9849  oncardid  9850  cardnn  9857  iscard  9869  carduni  9875  nnsdomel  9884  harsdom  9889  harsucnn  9892  pm54.43lem  9894  infxpenlem  9907  infxpidm2  9911  onssnum  9934  alephnbtwn  9965  alephnbtwn2  9966  alephordilem1  9967  alephord2  9970  alephsdom  9980  cardaleph  9983  infenaleph  9985  alephinit  9989  iunfictbso  10008  ficardun2  10096  ficardun2OLD  10097  pwsdompw  10098  infunsdom1  10107  ackbij2  10137  cfflb  10153  sdom2en01  10196  fin23lem22  10221  iunctb  10468  alephadd  10471  alephmul  10472  alephexp1  10473  alephsuc3  10474  canthp1lem2  10547  pwfseqlem4a  10555  pwfseqlem4  10556  pwfseqlem5  10557  gchaleph  10565  gchaleph2  10566  hargch  10567  cygctb  19622  ttac  41263  numinfctb  41333  isnumbasgrplem2  41334  isnumbasabl  41336  iscard4  41710  minregex2  41712  harval3  41715  harval3on  41716  aleph1min  41734
  Copyright terms: Public domain W3C validator