Theorem onenon 9873

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8931	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Oncon0 6323   ≈ cen 8890  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-en 8894  df-card 9863

This theorem is referenced by:  oncardval  9879  oncardid  9880  cardnn  9887  iscard  9899  carduni  9905  nnsdomel  9914  harsdom  9919  harsucnn  9922  pm54.43lem  9924  infxpenlem  9935  infxpidm2  9939  onssnum  9962  alephnbtwn  9993  alephnbtwn2  9994  alephordilem1  9995  alephord2  9998  alephsdom  10008  cardaleph  10011  infenaleph  10013  alephinit  10017  iunfictbso  10036  ficardun2  10124  pwsdompw  10125  infunsdom1  10134  ackbij2  10164  cfflb  10181  sdom2en01  10224  fin23lem22  10249  iunctb  10497  alephadd  10500  alephmul  10501  alephexp1  10502  alephsuc3  10503  canthp1lem2  10576  pwfseqlem4a  10584  pwfseqlem4  10585  pwfseqlem5  10586  gchaleph  10594  gchaleph2  10595  hargch  10596  cygctb  19867  ttac  43464  numinfctb  43531  isnumbasgrplem2  43532  isnumbasabl  43534  iscard4  43960  minregex2  43962  harval3  43965  harval3on  43966  aleph1min  43984