Theorem onenon 9987

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9984	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Oncon0 6386   ≈ cen 8981  cardccrd 9973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-en 8985  df-card 9977

This theorem is referenced by:  oncardval  9993  oncardid  9994  cardnn  10001  iscard  10013  carduni  10019  nnsdomel  10028  harsdom  10033  harsucnn  10036  pm54.43lem  10038  infxpenlem  10051  infxpidm2  10055  onssnum  10078  alephnbtwn  10109  alephnbtwn2  10110  alephordilem1  10111  alephord2  10114  alephsdom  10124  cardaleph  10127  infenaleph  10129  alephinit  10133  iunfictbso  10152  ficardun2  10240  pwsdompw  10241  infunsdom1  10250  ackbij2  10280  cfflb  10297  sdom2en01  10340  fin23lem22  10365  iunctb  10612  alephadd  10615  alephmul  10616  alephexp1  10617  alephsuc3  10618  canthp1lem2  10691  pwfseqlem4a  10699  pwfseqlem4  10700  pwfseqlem5  10701  gchaleph  10709  gchaleph2  10710  hargch  10711  cygctb  19925  ttac  43025  numinfctb  43092  isnumbasgrplem2  43093  isnumbasabl  43095  iscard4  43523  minregex2  43525  harval3  43528  harval3on  43529  aleph1min  43547