Theorem onenon 9849

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  Oncon0 6311   ≈ cen 8872  cardccrd 9835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-en 8876  df-card 9839

This theorem is referenced by:  oncardval  9855  oncardid  9856  cardnn  9863  iscard  9875  carduni  9881  nnsdomel  9890  harsdom  9895  harsucnn  9898  pm54.43lem  9900  infxpenlem  9911  infxpidm2  9915  onssnum  9938  alephnbtwn  9969  alephnbtwn2  9970  alephordilem1  9971  alephord2  9974  alephsdom  9984  cardaleph  9987  infenaleph  9989  alephinit  9993  iunfictbso  10012  ficardun2  10100  pwsdompw  10101  infunsdom1  10110  ackbij2  10140  cfflb  10157  sdom2en01  10200  fin23lem22  10225  iunctb  10472  alephadd  10475  alephmul  10476  alephexp1  10477  alephsuc3  10478  canthp1lem2  10551  pwfseqlem4a  10559  pwfseqlem4  10560  pwfseqlem5  10561  gchaleph  10569  gchaleph2  10570  hargch  10571  cygctb  19806  ttac  43153  numinfctb  43220  isnumbasgrplem2  43221  isnumbasabl  43223  iscard4  43650  minregex2  43652  harval3  43655  harval3on  43656  aleph1min  43674