Theorem onenon 9530

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8638	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  dom cdm 5536  Oncon0 6191   ≈ cen 8601  cardccrd 9516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-en 8605  df-card 9520

This theorem is referenced by:  oncardval  9536  oncardid  9537  cardnn  9544  iscard  9556  carduni  9562  nnsdomel  9571  harsdom  9576  harsucnn  9579  pm54.43lem  9581  infxpenlem  9592  infxpidm2  9596  onssnum  9619  alephnbtwn  9650  alephnbtwn2  9651  alephordilem1  9652  alephord2  9655  alephsdom  9665  cardaleph  9668  infenaleph  9670  alephinit  9674  iunfictbso  9693  ficardun2  9781  ficardun2OLD  9782  pwsdompw  9783  infunsdom1  9792  ackbij2  9822  cfflb  9838  sdom2en01  9881  fin23lem22  9906  iunctb  10153  alephadd  10156  alephmul  10157  alephexp1  10158  alephsuc3  10159  canthp1lem2  10232  pwfseqlem4a  10240  pwfseqlem4  10241  pwfseqlem5  10242  gchaleph  10250  gchaleph2  10251  hargch  10252  cygctb  19231  ttac  40502  numinfctb  40572  isnumbasgrplem2  40573  isnumbasabl  40575  iscard4  40766  harval3  40769  harval3on  40770  aleph1min  40781