Theorem onenon 9851

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  Oncon0 6313   ≈ cen 8874  cardccrd 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-en 8878  df-card 9841

This theorem is referenced by:  oncardval  9857  oncardid  9858  cardnn  9865  iscard  9877  carduni  9883  nnsdomel  9892  harsdom  9897  harsucnn  9900  pm54.43lem  9902  infxpenlem  9913  infxpidm2  9917  onssnum  9940  alephnbtwn  9971  alephnbtwn2  9972  alephordilem1  9973  alephord2  9976  alephsdom  9986  cardaleph  9989  infenaleph  9991  alephinit  9995  iunfictbso  10014  ficardun2  10102  pwsdompw  10103  infunsdom1  10112  ackbij2  10142  cfflb  10159  sdom2en01  10202  fin23lem22  10227  iunctb  10474  alephadd  10477  alephmul  10478  alephexp1  10479  alephsuc3  10480  canthp1lem2  10553  pwfseqlem4a  10561  pwfseqlem4  10562  pwfseqlem5  10563  gchaleph  10571  gchaleph2  10572  hargch  10573  cygctb  19808  ttac  43156  numinfctb  43223  isnumbasgrplem2  43224  isnumbasabl  43226  iscard4  43653  minregex2  43655  harval3  43658  harval3on  43659  aleph1min  43677