Theorem onenon 9904

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  Oncon0 6342   ≈ cen 8920  cardccrd 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-en 8924  df-card 9894

This theorem is referenced by:  oncardval  9910  oncardid  9911  cardnn  9918  iscard  9930  carduni  9936  nnsdomel  9945  harsdom  9950  harsucnn  9953  pm54.43lem  9955  infxpenlem  9966  infxpidm2  9970  onssnum  9993  alephnbtwn  10024  alephnbtwn2  10025  alephordilem1  10026  alephord2  10029  alephsdom  10039  cardaleph  10042  infenaleph  10044  alephinit  10048  iunfictbso  10067  ficardun2  10155  pwsdompw  10156  infunsdom1  10165  ackbij2  10195  cfflb  10213  sdom2en01  10256  fin23lem22  10281  iunctb  10529  alephadd  10532  alephmul  10533  alephexp1  10534  alephsuc3  10535  canthp1lem2  10608  pwfseqlem4a  10616  pwfseqlem4  10617  pwfseqlem5  10618  gchaleph  10626  gchaleph2  10627  hargch  10628  cygctb  19915  ttac  43577  numinfctb  43644  isnumbasgrplem2  43645  isnumbasabl  43647  iscard4  44073  minregex2  44075  harval3  44078  harval3on  44079  aleph1min  44097