Theorem onenon 9954

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9951	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  Oncon0 6367   ≈ cen 8949  cardccrd 9940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8953  df-card 9944

This theorem is used by:  oncardval  9960  oncardid  9961  cardnn  9968  iscard  9980  carduni  9986  nnsdomel  9995  harsdom  10000  harsucnn  10003  pm54.43lem  10005  infxpenlem  10016  infxpidm2  10020  onssnum  10043  alephnbtwn  10074  alephnbtwn2  10075  alephordilem1  10076  alephord2  10079  alephsdom  10089  cardaleph  10092  infenaleph  10094  alephinit  10098  iunfictbso  10117  ficardun2  10204  pwsdompw  10205  infunsdom1  10214  ackbij2  10244  cfflb  10261  sdom2en01  10304  fin23lem22  10329  iunctb  10577  alephadd  10580  alephmul  10581  alephexp1  10582  alephsuc3  10583  canthp1lem2  10656  pwfseqlem4a  10664  pwfseqlem4  10665  pwfseqlem5  10666  gchaleph  10674  gchaleph2  10675  hargch  10676  cygctb  19993  ttac  43804  numinfctb  43871  isnumbasgrplem2  43872  isnumbasabl  43874  iscard4  44300  minregex2  44302  harval3  44305  harval3on  44306  aleph1min  44324