Theorem onenon 9873

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8933	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  Oncon0 6325   ≈ cen 8892  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-en 8896  df-card 9863

This theorem is referenced by:  oncardval  9879  oncardid  9880  cardnn  9887  iscard  9899  carduni  9905  nnsdomel  9914  harsdom  9919  harsucnn  9922  pm54.43lem  9924  infxpenlem  9935  infxpidm2  9939  onssnum  9962  alephnbtwn  9993  alephnbtwn2  9994  alephordilem1  9995  alephord2  9998  alephsdom  10008  cardaleph  10011  infenaleph  10013  alephinit  10017  iunfictbso  10036  ficardun2  10124  pwsdompw  10125  infunsdom1  10134  ackbij2  10164  cfflb  10181  sdom2en01  10224  fin23lem22  10249  iunctb  10497  alephadd  10500  alephmul  10501  alephexp1  10502  alephsuc3  10503  canthp1lem2  10576  pwfseqlem4a  10584  pwfseqlem4  10585  pwfseqlem5  10586  gchaleph  10594  gchaleph2  10595  hargch  10596  cygctb  19833  ttac  43390  numinfctb  43457  isnumbasgrplem2  43458  isnumbasabl  43460  iscard4  43886  minregex2  43888  harval3  43891  harval3on  43892  aleph1min  43910