Theorem onenon 9638

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 683	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  Oncon0 6251   ≈ cen 8688  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-en 8692  df-card 9628

This theorem is referenced by:  oncardval  9644  oncardid  9645  cardnn  9652  iscard  9664  carduni  9670  nnsdomel  9679  harsdom  9684  harsucnn  9687  pm54.43lem  9689  infxpenlem  9700  infxpidm2  9704  onssnum  9727  alephnbtwn  9758  alephnbtwn2  9759  alephordilem1  9760  alephord2  9763  alephsdom  9773  cardaleph  9776  infenaleph  9778  alephinit  9782  iunfictbso  9801  ficardun2  9889  ficardun2OLD  9890  pwsdompw  9891  infunsdom1  9900  ackbij2  9930  cfflb  9946  sdom2en01  9989  fin23lem22  10014  iunctb  10261  alephadd  10264  alephmul  10265  alephexp1  10266  alephsuc3  10267  canthp1lem2  10340  pwfseqlem4a  10348  pwfseqlem4  10349  pwfseqlem5  10350  gchaleph  10358  gchaleph2  10359  hargch  10360  cygctb  19408  ttac  40774  numinfctb  40844  isnumbasgrplem2  40845  isnumbasabl  40847  iscard4  41038  harval3  41041  harval3on  41042  aleph1min  41053