Theorem onenon 9900

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 8958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 9897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  Oncon0 6340   ≈ cen 8917  cardccrd 9886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6343  df-on 6344  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-en 8921  df-card 9890

This theorem is referenced by:  oncardval  9906  oncardid  9907  cardnn  9914  iscard  9926  carduni  9932  nnsdomel  9941  harsdom  9946  harsucnn  9949  pm54.43lem  9951  infxpenlem  9962  infxpidm2  9966  onssnum  9989  alephnbtwn  10020  alephnbtwn2  10021  alephordilem1  10022  alephord2  10025  alephsdom  10035  cardaleph  10038  infenaleph  10040  alephinit  10044  iunfictbso  10063  ficardun2  10151  pwsdompw  10152  infunsdom1  10161  ackbij2  10191  cfflb  10209  sdom2en01  10252  fin23lem22  10277  iunctb  10525  alephadd  10528  alephmul  10529  alephexp1  10530  alephsuc3  10531  canthp1lem2  10604  pwfseqlem4a  10612  pwfseqlem4  10613  pwfseqlem5  10614  gchaleph  10622  gchaleph2  10623  hargch  10624  cygctb  19922  ttac  43573  numinfctb  43640  isnumbasgrplem2  43641  isnumbasabl  43643  iscard4  44069  minregex2  44071  harval3  44074  harval3on  44075  aleph1min  44093