MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 8975
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8141 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 8972 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 659 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  Oncon0 5866  cen 8106  cardccrd 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-en 8110  df-card 8965
This theorem is referenced by:  oncardval  8981  oncardid  8982  cardnn  8989  iscard  9001  carduni  9007  nnsdomel  9016  harsdom  9021  pm54.43lem  9025  infxpenlem  9036  infxpidm2  9040  onssnum  9063  alephnbtwn  9094  alephnbtwn2  9095  alephordilem1  9096  alephord2  9099  alephsdom  9109  cardaleph  9112  infenaleph  9114  alephinit  9118  iunfictbso  9137  ficardun2  9227  pwsdompw  9228  infunsdom1  9237  ackbij2  9267  cfflb  9283  sdom2en01  9326  fin23lem22  9351  iunctb  9598  alephadd  9601  alephmul  9602  alephexp1  9603  alephsuc3  9604  canthp1lem2  9677  pwfseqlem4a  9685  pwfseqlem4  9686  pwfseqlem5  9687  gchaleph  9695  gchaleph2  9696  hargch  9697  cygctb  18500  ttac  38129  numinfctb  38199  isnumbasgrplem2  38200  isnumbasabl  38202
  Copyright terms: Public domain W3C validator