Theorem onenon 10060

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 9042	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 10057	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  Oncon0 6383   ≈ cen 9001  cardccrd 10046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 9005  df-card 10050

This theorem is used by:  oncardval  10066  oncardid  10067  cardnn  10074  iscard  10086  carduni  10092  nnsdomel  10101  harsdom  10106  harsucnn  10109  pm54.43lem  10111  infxpenlem  10122  infxpidm2  10126  onssnum  10149  alephnbtwn  10180  alephnbtwn2  10181  alephordilem1  10182  alephord2  10185  alephsdom  10195  cardaleph  10198  infenaleph  10200  alephinit  10204  iunfictbso  10223  ficardun2  10310  pwsdompw  10311  infunsdom1  10320  ackbij2  10350  cfflb  10367  sdom2en01  10410  fin23lem22  10435  iunctb  10689  alephadd  10692  alephmul  10693  alephexp1  10694  alephsuc3  10695  canthp1lem2  10768  pwfseqlem4a  10776  pwfseqlem4  10777  pwfseqlem5  10778  gchaleph  10786  gchaleph2  10787  hargch  10788  cygctb  20139  j0ltaleph  36021  jltalephlem  36038  jltaleph  36039  ttac  44247  numinfctb  44308  isnumbasgrplem2  44309  isnumbasabl  44311  iscard4  44737  minregex2  44739  harval3  44742  harval3on  44743  aleph1min  44761