Theorem rneqdmfinf1o 9303

Description: Any function from a finite set onto the same set must be a bijection. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rneqdmfinf1o	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem rneqdmfinf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffn4 6796	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
2	1	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
4		foeq3 6788	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝐴–onto→𝐴))
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝐴–onto→𝐴))
6	3, 5	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–onto→𝐴)
7		enrefg 8993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
9		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
10		fofinf1o 9302	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ran crn 5656   Fn wfn 6528  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532   ≈ cen 8952  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959

This theorem is used by:  gausslemma2dlem1  27605