Theorem rneqdmfinf1o 9336

Description: Any function from a finite set onto the same set must be a bijection. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rneqdmfinf1o	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem rneqdmfinf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffn4 6813	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
2	1	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
4		foeq3 6805	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝐴–onto→𝐴))
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:𝐴–onto→𝐴))
6	3, 5	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–onto→𝐴)
7		enrefg 9025	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
9		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
10		fofinf1o 9335	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ran crn 5656   Fn wfn 6542  –onto→wfo 6545  –1-1-onto→wf1o 6546   ≈ cen 8984  Fincfn 8987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-om 7888  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991

This theorem is used by:  gausslemma2dlem1  27708