Theorem hashfac 14644

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 14643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
2	1	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3		enrefg 9049	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		f1finf1o 9302	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴⟶1-1𝐴 ↔ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴))
5	3, 4	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴⟶1-1𝐴 ↔ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴))
6	5	abbidv 2829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴})
7	6	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴}))
8		hashcl 14541	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		bcnn 14497	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
11	10	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
12	8	faccld 14469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12391	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mulridd 11365	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
15	11, 14	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
16	2, 7, 15	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   class class class wbr 5108  ⟶1-1wf1 6563  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ≈ cen 9008  Fincfn 9011  1c1 11240   · cmul 11244  ℕ₀cn0 12646  !cfa 14458  Ccbc 14487  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516

This theorem is used by:  symghash  19643  subfaclefac  36149  poimirlem9  38815