Theorem hashfac 14369

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 14368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
2	1	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3		enrefg 8915	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		f1finf1o 9166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5	3, 4	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
6	5	abbidv 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
7	6	fveq2d 6834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
8		hashcl 14267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		bcnn 14223	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
11	10	oveq2d 7370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
12	8	faccld 14195	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mulridd 11138	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
15	11, 14	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
16	2, 7, 15	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711   class class class wbr 5095  –1-1→wf1 6485  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ≈ cen 8874  Fincfn 8877  1c1 11016   · cmul 11020  ℕ₀cn0 12390  !cfa 14184  Ccbc 14213  ♯chash 14241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-dju 9803  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-seq 13913  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242

This theorem is referenced by:  symghash  19294  subfaclefac  35243  poimirlem9  37692