MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfac 13487
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfac (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac
StepHypRef Expression
1 hashf1 13486 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
21anidms 563 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3 enrefg 8225 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
4 f1finf1o 8427 . . . . 5 ((𝐴𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐴))
53, 4mpancom 680 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐴))
65abbidv 2916 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})
76fveq2d 6413 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴}) = (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}))
8 hashcl 13393 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9 bcnn 13348 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
1110oveq2d 6892 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
12 faccl 13319 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
1413nncnd 11328 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
1514mulid1d 10344 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
1611, 15eqtrd 2831 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
172, 7, 163eqtr3d 2839 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  {cab 2783   class class class wbr 4841  1-1wf1 6096  1-1-ontowf1o 6098  cfv 6099  (class class class)co 6876  cen 8190  Fincfn 8193  1c1 10223   · cmul 10227  cn 11310  0cn0 11576  !cfa 13309  Ccbc 13338  chash 13366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-n0 11577  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-seq 13052  df-fac 13310  df-bc 13339  df-hash 13367
This theorem is referenced by:  symghash  18114  subfaclefac  31667  poimirlem9  33899
  Copyright terms: Public domain W3C validator