Theorem hashfac 14422

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 14421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
2	1	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3		enrefg 8979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		f1finf1o 9270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5	3, 4	mpancom 685	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
6	5	abbidv 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
7	6	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
8		hashcl 14318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		bcnn 14274	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
11	10	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
12	8	faccld 14246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12229	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mulridd 11232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
15	11, 14	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
16	2, 7, 15	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   class class class wbr 5141  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ≈ cen 8935  Fincfn 8938  1c1 11110   · cmul 11114  ℕ₀cn0 12473  !cfa 14235  Ccbc 14264  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  symghash  19294  subfaclefac  34694  poimirlem9  37009