MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfac 14459
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfac (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด}) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘“

Proof of Theorem hashfac
StepHypRef Expression
1 hashf1 14458 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))))
21anidms 565 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))))
3 enrefg 9011 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ๐ด โ‰ˆ ๐ด)
4 f1finf1o 9302 . . . . 5 ((๐ด โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด โ†” ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
53, 4mpancom 686 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด โ†” ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
65abbidv 2797 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด} = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด})
76fveq2d 6906 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด}))
8 hashcl 14355 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
9 bcnn 14311 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
108, 9syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
1110oveq2d 7442 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท 1))
128faccld 14283 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
1312nncnd 12266 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1413mulridd 11269 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท 1) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
1511, 14eqtrd 2768 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
162, 7, 153eqtr3d 2776 1 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด}) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2705   class class class wbr 5152  โ€“1-1โ†’wf1 6550  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โ‰ˆ cen 8967  Fincfn 8970  1c1 11147   ยท cmul 11151  โ„•0cn0 12510  !cfa 14272  Ccbc 14301  โ™ฏchash 14329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330
This theorem is referenced by:  symghash  19339  subfaclefac  34819  poimirlem9  37135
  Copyright terms: Public domain W3C validator