MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfac 14415
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfac (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด}) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘“

Proof of Theorem hashfac
StepHypRef Expression
1 hashf1 14414 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))))
21anidms 567 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))))
3 enrefg 8976 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ๐ด โ‰ˆ ๐ด)
4 f1finf1o 9267 . . . . 5 ((๐ด โ‰ˆ ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด โ†” ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
53, 4mpancom 686 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด โ†” ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
65abbidv 2801 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด} = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด})
76fveq2d 6892 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1โ†’๐ด}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด}))
8 hashcl 14312 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
9 bcnn 14268 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
108, 9syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
1110oveq2d 7421 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท 1))
128faccld 14240 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
1312nncnd 12224 . . . 4 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1413mulridd 11227 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท 1) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
1511, 14eqtrd 2772 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด)C(โ™ฏโ€˜๐ด))) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
162, 7, 153eqtr3d 2780 1 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด}) = (!โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   class class class wbr 5147  โ€“1-1โ†’wf1 6537  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6539  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935  1c1 11107   ยท cmul 11111  โ„•0cn0 12468  !cfa 14229  Ccbc 14258  โ™ฏchash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  symghash  19239  subfaclefac  34155  poimirlem9  36485
  Copyright terms: Public domain W3C validator