![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > hashfac | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
hashfac | โข (๐ด โ Fin โ (โฏโ{๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด}) = (!โ(โฏโ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hashf1 14458 | . . 3 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ด โ Fin) โ (โฏโ{๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1โ๐ด}) = ((!โ(โฏโ๐ด)) ยท ((โฏโ๐ด)C(โฏโ๐ด)))) | |
2 | 1 | anidms 565 | . 2 โข (๐ด โ Fin โ (โฏโ{๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1โ๐ด}) = ((!โ(โฏโ๐ด)) ยท ((โฏโ๐ด)C(โฏโ๐ด)))) |
3 | enrefg 9011 | . . . . 5 โข (๐ด โ Fin โ ๐ด โ ๐ด) | |
4 | f1finf1o 9302 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ด โง ๐ด โ Fin) โ (๐:๐ดโ1-1โ๐ด โ ๐:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด)) | |
5 | 3, 4 | mpancom 686 | . . . 4 โข (๐ด โ Fin โ (๐:๐ดโ1-1โ๐ด โ ๐:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด)) |
6 | 5 | abbidv 2797 | . . 3 โข (๐ด โ Fin โ {๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1โ๐ด} = {๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด}) |
7 | 6 | fveq2d 6906 | . 2 โข (๐ด โ Fin โ (โฏโ{๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1โ๐ด}) = (โฏโ{๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด})) |
8 | hashcl 14355 | . . . . 5 โข (๐ด โ Fin โ (โฏโ๐ด) โ โ0) | |
9 | bcnn 14311 | . . . . 5 โข ((โฏโ๐ด) โ โ0 โ ((โฏโ๐ด)C(โฏโ๐ด)) = 1) | |
10 | 8, 9 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ด โ Fin โ ((โฏโ๐ด)C(โฏโ๐ด)) = 1) |
11 | 10 | oveq2d 7442 | . . 3 โข (๐ด โ Fin โ ((!โ(โฏโ๐ด)) ยท ((โฏโ๐ด)C(โฏโ๐ด))) = ((!โ(โฏโ๐ด)) ยท 1)) |
12 | 8 | faccld 14283 | . . . . 5 โข (๐ด โ Fin โ (!โ(โฏโ๐ด)) โ โ) |
13 | 12 | nncnd 12266 | . . . 4 โข (๐ด โ Fin โ (!โ(โฏโ๐ด)) โ โ) |
14 | 13 | mulridd 11269 | . . 3 โข (๐ด โ Fin โ ((!โ(โฏโ๐ด)) ยท 1) = (!โ(โฏโ๐ด))) |
15 | 11, 14 | eqtrd 2768 | . 2 โข (๐ด โ Fin โ ((!โ(โฏโ๐ด)) ยท ((โฏโ๐ด)C(โฏโ๐ด))) = (!โ(โฏโ๐ด))) |
16 | 2, 7, 15 | 3eqtr3d 2776 | 1 โข (๐ด โ Fin โ (โฏโ{๐ โฃ ๐:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด}) = (!โ(โฏโ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 {cab 2705 class class class wbr 5152 โ1-1โwf1 6550 โ1-1-ontoโwf1o 6552 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โ cen 8967 Fincfn 8970 1c1 11147 ยท cmul 11151 โ0cn0 12510 !cfa 14272 Ccbc 14301 โฏchash 14329 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-oadd 8497 df-er 8731 df-map 8853 df-pm 8854 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-dju 9932 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-n0 12511 df-xnn0 12583 df-z 12597 df-uz 12861 df-fz 13525 df-seq 14007 df-fac 14273 df-bc 14302 df-hash 14330 |
This theorem is referenced by: symghash 19339 subfaclefac 34819 poimirlem9 37135 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |