Theorem hashfac 14172

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 14171	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
2	1	anidms 567	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3		enrefg 8772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		f1finf1o 9046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5	3, 4	mpancom 685	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
6	5	abbidv 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
7	6	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
8		hashcl 14071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		bcnn 14026	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
11	10	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
12	8	faccld 13998	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mulid1d 10992	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
15	11, 14	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
16	2, 7, 15	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   class class class wbr 5074  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ≈ cen 8730  Fincfn 8733  1c1 10872   · cmul 10876  ℕ₀cn0 12233  !cfa 13987  Ccbc 14016  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  symghash  18985  subfaclefac  33138  poimirlem9  35786