Theorem hashfac 14100

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 14099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
2	1	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3		enrefg 8727	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		f1finf1o 8975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5	3, 4	mpancom 684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
6	5	abbidv 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
7	6	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
8		hashcl 13999	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		bcnn 13954	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
11	10	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
12	8	faccld 13926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11919	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mulid1d 10923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
15	11, 14	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
16	2, 7, 15	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   class class class wbr 5070  –1-1→wf1 6415  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≈ cen 8688  Fincfn 8691  1c1 10803   · cmul 10807  ℕ₀cn0 12163  !cfa 13915  Ccbc 13944  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  symghash  18900  subfaclefac  33038  poimirlem9  35713