Theorem 6nn 12209

Description: 6 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
6nn	⊢ 6 ∈ ℕ

Proof of Theorem 6nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-6 12187	. 2 ⊢ 6 = (5 + 1)
2		5nn 12206	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		peano2nn 12132	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℕ → (5 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (5 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ 6 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004  ℕcn 12120  5c5 12178  6c6 12179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-1cn 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187

This theorem is referenced by:  7nn  12212  6nn0  12397  ef01bndlem  16088  sin01bnd  16089  cos01bnd  16090  6gcd4e2  16444  6lcm4e12  16522  83prm  17029  139prm  17030  163prm  17031  prmo6  17036  vscandx  17218  vscaid  17219  lmodstr  17224  ipsstr  17235  lt6abl  19802  psrvalstr  21848  sincos3rdpi  26448  1cubrlem  26773  quart1cl  26786  quart1lem  26787  quart1  26788  log2ub  26881  log2le1  26882  basellem5  27017  basellem8  27020  basellem9  27021  ppiublem1  27135  ppiublem2  27136  ppiub  27137  bpos1  27216  bposlem9  27225  itvndx  28410  itvid  28412  slotsinbpsd  28414  lngndxnitvndx  28416  trkgstr  28417  eengstr  28953  ex-cnv  30409  ex-dm  30411  ex-dvds  30428  ex-gcd  30429  ex-lcm  30430  hgt750lem  34656  60gcd6e6  42037  60gcd7e1  42038  12lcm5e60  42041  60lcm6e60  42042  60lcm7e420  42043  lcm6un  42051  lcmineqlem  42085  3lexlogpow5ineq1  42087  aks4d1p1p5  42108  aks4d1p1  42109  6ne0  42294  rmydioph  43047  expdiophlem2  43055  algstr  43206  139prmALT  47627  31prm  47628  127prm  47630  6even  47742  gbowge7  47794  stgoldbwt  47807  sbgoldbwt  47808  mogoldbb  47816  sbgoldbo  47818  nnsum3primesle9  47825  nnsum4primeseven  47831  wtgoldbnnsum4prm  47833  bgoldbnnsum3prm  47835  zlmodzxzequa  48528  zlmodzxznm  48529  zlmodzxzequap  48531  zlmodzxzldeplem3  48534  zlmodzxzldep  48536  ldepsnlinclem2  48538  ldepsnlinc  48540