Theorem 6nn 12331

Description: 6 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
6nn	⊢ 6 ∈ ℕ

Proof of Theorem 6nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-6 12308	. 2 ⊢ 6 = (5 + 1)
2		5nn 12328	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℕ → (5 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (5 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 6 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  5c5 12299  6c6 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308

This theorem is referenced by:  7nn  12334  6pos  12355  6nn0  12526  ef01bndlem  16241  sin01bnd  16242  cos01bnd  16243  6gcd4e2  16597  6lcm4e12  16675  83prm  17184  139prm  17185  163prm  17186  prmo6  17191  vscandx  17373  vscaid  17374  lmodstr  17379  ipsstr  17390  lt6abl  19966  psrvalstr  22047  sincos3rdpi  26663  1cubrlem  26987  quart1cl  27000  quart1lem  27001  quart1  27002  log2ub  27095  log2le1  27096  basellem5  27230  basellem8  27233  basellem9  27234  ppiublem1  27347  ppiublem2  27348  ppiub  27349  bpos1  27428  bposlem9  27437  itvndx  28687  itvid  28689  slotsinbpsd  28691  lngndxnitvndx  28693  trkgstr  28694  eengstr  29311  ex-cnv  30769  ex-dm  30771  ex-dvds  30788  ex-gcd  30789  ex-lcm  30790  hgt750lem  35019  60gcd6e6  42752  60gcd7e1  42753  12lcm5e60  42756  60lcm6e60  42757  60lcm7e420  42758  lcm6un  42766  lcmineqlem  42800  3lexlogpow5ineq1  42802  aks4d1p1p5  42823  aks4d1p1  42824  6ne0  43009  rmydioph  43724  expdiophlem2  43732  algstr  43883  goldratmolem2  47606  139prmALT  48331  31prm  48332  127prm  48334  nprmdvdsfacm1lem4  48358  nprmdvdsfacm1  48359  ppivalnnnprmge6  48361  6even  48459  gbowge7  48511  stgoldbwt  48524  sbgoldbwt  48525  mogoldbb  48533  sbgoldbo  48535  nnsum3primesle9  48542  nnsum4primeseven  48548  wtgoldbnnsum4prm  48550  bgoldbnnsum3prm  48552  zlmodzxzequa  49259  zlmodzxznm  49260  zlmodzxzequap  49262  zlmodzxzldeplem3  49265  zlmodzxzldep  49267  ldepsnlinclem2  49269  ldepsnlinc  49271