Theorem 6nn 12341

Description: 6 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
6nn	⊢ 6 ∈ ℕ

Proof of Theorem 6nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-6 12318	. 2 ⊢ 6 = (5 + 1)
2		5nn 12338	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		peano2nn 12256	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℕ → (5 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (5 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 6 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  ℕcn 12244  5c5 12309  6c6 12310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318

This theorem is used by:  7nn  12344  6pos  12365  6nn0  12536  ef01bndlem  16257  sin01bnd  16258  cos01bnd  16259  6gcd4e2  16613  6lcm4e12  16691  83prm  17200  139prm  17201  163prm  17202  prmo6  17207  vscandx  17389  vscaid  17390  lmodstr  17395  ipsstr  17406  lt6abl  19988  psrvalstr  22095  sincos3rdpi  26711  1cubrlem  27035  quart1cl  27048  quart1lem  27049  quart1  27050  log2ub  27143  log2le1  27144  basellem5  27278  basellem8  27281  basellem9  27282  ppiublem1  27395  ppiublem2  27396  ppiub  27397  bpos1  27476  bposlem9  27485  itvndx  28735  itvid  28737  slotsinbpsd  28739  lngndxnitvndx  28741  trkgstr  28742  eengstr  29359  ex-cnv  30817  ex-dm  30819  ex-dvds  30836  ex-gcd  30837  ex-lcm  30838  hgt750lem  35062  60gcd6e6  42804  60gcd7e1  42805  12lcm5e60  42808  60lcm6e60  42809  60lcm7e420  42810  lcm6un  42818  lcmineqlem  42852  3lexlogpow5ineq1  42854  aks4d1p1p5  42875  aks4d1p1  42876  6ne0  43061  rmydioph  43774  expdiophlem2  43782  algstr  43933  goldratmolem2  47656  139prmALT  48381  31prm  48382  127prm  48384  nprmdvdsfacm1lem4  48408  nprmdvdsfacm1  48409  ppivalnnnprmge6  48411  6even  48509  gbowge7  48561  stgoldbwt  48574  sbgoldbwt  48575  mogoldbb  48583  sbgoldbo  48585  nnsum3primesle9  48592  nnsum4primeseven  48598  wtgoldbnnsum4prm  48600  bgoldbnnsum3prm  48602  zlmodzxzequa  49309  zlmodzxznm  49310  zlmodzxzequap  49312  zlmodzxzldeplem3  49315  zlmodzxzldep  49317  ldepsnlinclem2  49319  ldepsnlinc  49321