Theorem 6nn 12354

Description: 6 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
6nn	⊢ 6 ∈ ℕ

Proof of Theorem 6nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-6 12331	. 2 ⊢ 6 = (5 + 1)
2		5nn 12351	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		peano2nn 12269	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℕ → (5 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (5 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 6 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕcn 12257  5c5 12322  6c6 12323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331

This theorem is used by:  7nn  12357  6pos  12378  6nn0  12549  ef01bndlem  16272  sin01bnd  16273  cos01bnd  16274  6gcd4e2  16628  6lcm4e12  16706  83prm  17215  139prm  17216  163prm  17217  prmo6  17222  vscandx  17404  vscaid  17405  lmodstr  17410  ipsstr  17421  lt6abl  20022  psrvalstr  22131  sincos3rdpi  26754  1cubrlem  27078  quart1cl  27091  quart1lem  27092  quart1  27093  log2ub  27186  log2le1  27187  basellem5  27321  basellem8  27324  basellem9  27325  ppiublem1  27438  ppiublem2  27439  ppiub  27440  bpos1  27519  bposlem9  27528  itvndx  28778  itvid  28780  slotsinbpsd  28782  lngndxnitvndx  28784  trkgstr  28785  eengstr  29437  ex-cnv  30917  ex-dm  30919  ex-dvds  30936  ex-gcd  30937  ex-lcm  30938  hgt750lem  35159  60gcd6e6  42870  60gcd7e1  42871  12lcm5e60  42874  60lcm6e60  42875  60lcm7e420  42876  lcm6un  42884  lcmineqlem  42918  3lexlogpow5ineq1  42920  aks4d1p1p5  42941  aks4d1p1  42942  6ne0  43142  rmydioph  43855  expdiophlem2  43863  algstr  44014  goldratmolem2  47751  139prmALT  48499  31prm  48500  127prm  48502  nprmdvdsfacm1lem4  48526  nprmdvdsfacm1  48527  ppivalnnnprmge6  48529  6even  48627  gbowge7  48679  stgoldbwt  48692  sbgoldbwt  48693  mogoldbb  48701  sbgoldbo  48703  nnsum3primesle9  48710  nnsum4primeseven  48716  wtgoldbnnsum4prm  48718  bgoldbnnsum3prm  48720  zlmodzxzequa  49426  zlmodzxznm  49427  zlmodzxzequap  49429  zlmodzxzldeplem3  49432  zlmodzxzldep  49434  ldepsnlinclem2  49436  ldepsnlinc  49438  veronesev1lem  50806  veronesev2lem  50807  veronesev3lem  50808  veronesev4lem  50809  veronesev5lem  50810  veronesev6lem  50811  veronesevrowd  50812  veronesematrowd  50814  veroquadgsumlem  50816  veroquadmodzerod  50817  veroquadnolindfd  50818