Theorem 9nn 12218

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12190	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12215	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12132	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004  ℕcn 12120  8c8 12181  9c9 12182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-1cn 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190

This theorem is referenced by:  9nn0  12400  9p1e10  12585  10nn  12599  3dvdsdec  16238  19prm  17024  prmlem2  17026  37prm  17027  43prm  17028  83prm  17029  139prm  17030  163prm  17031  317prm  17032  631prm  17033  1259lem1  17037  1259lem2  17038  1259lem3  17039  1259lem4  17040  1259lem5  17041  2503lem3  17045  tsetndx  17251  tsetid  17252  tsetndxnn  17253  topgrpstr  17260  otpsstr  17275  odrngstr  17302  imasvalstr  17350  ipostr  18430  cnfldstr  21288  cnfldstrOLD  21303  psrvalstr  21848  2logb9irr  26727  sqrt2cxp2logb9e3  26731  mcubic  26779  log2cnv  26876  log2tlbnd  26877  log2ublem2  26879  log2ub  26881  bposlem7  27223  ex-cnv  30409  ex-dm  30411  ex-gcd  30429  ex-lcm  30430  ex-prmo  30431  idlsrgstr  33459  hgt750lem2  34657  lcmineqlem23  42084  3lexlogpow2ineq1  42091  3lexlogpow2ineq2  42092  9ne0  42297  rmydioph  43047  deccarry  47342  257prm  47592  fmtno4nprmfac193  47605  139prmALT  47627  127prm  47630  8exp8mod9  47767  9fppr8  47768  nfermltl8rev  47773  wtgoldbnnsum4prm  47833  bgoldbnnsum3prm  47835  bgoldbtbndlem1  47836  tgblthelfgott  47846