Theorem 9nn 12350

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12321	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12347	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12256	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  ℕcn 12244  8c8 12312  9c9 12313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321

This theorem is used by:  9pos  12368  9nn0  12539  9p1e10  12724  10nn  12742  3dvdsdec  16407  19prm  17195  prmlem2  17197  37prm  17198  43prm  17199  83prm  17200  139prm  17201  163prm  17202  317prm  17203  631prm  17204  1259lem1  17208  1259lem2  17209  1259lem3  17210  1259lem4  17211  1259lem5  17212  2503lem3  17216  tsetndx  17422  tsetid  17423  tsetndxnn  17424  topgrpstr  17431  otpsstr  17446  odrngstr  17473  imasvalstr  17521  ipostr  18602  cnfldstr  21553  psrvalstr  22095  2logb9irr  26989  sqrt2cxp2logb9e3  26993  mcubic  27041  log2cnv  27138  log2tlbnd  27139  log2ublem2  27141  log2ub  27143  bposlem7  27483  ex-cnv  30817  ex-dm  30819  ex-gcd  30837  ex-lcm  30838  ex-prmo  30839  idlsrgstr  33815  hgt750lem2  35063  lcmineqlem23  42851  3lexlogpow2ineq1  42858  3lexlogpow2ineq2  42859  9ne0  43064  rmydioph  43774  deccarry  48081  257prm  48346  fmtno4nprmfac193  48359  139prmALT  48381  127prm  48384  8exp8mod9  48534  9fppr8  48535  nfermltl8rev  48540  wtgoldbnnsum4prm  48600  bgoldbnnsum3prm  48602  bgoldbtbndlem1  48603  tgblthelfgott  48613