Theorem 9nn 12336

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12308	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12333	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12250	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  8c8 12299  9c9 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308

This theorem is referenced by:  9nn0  12523  9p1e10  12708  10nn  12722  3dvdsdec  16349  19prm  17135  prmlem2  17137  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  163prm  17142  317prm  17143  631prm  17144  1259lem1  17148  1259lem2  17149  1259lem3  17150  1259lem4  17151  1259lem5  17152  2503lem3  17156  tsetndx  17364  tsetid  17365  tsetndxnn  17366  topgrpstr  17373  otpsstr  17388  odrngstr  17415  imasvalstr  17463  ipostr  18537  cnfldstr  21315  cnfldstrOLD  21330  psrvalstr  21874  2logb9irr  26755  sqrt2cxp2logb9e3  26759  mcubic  26807  log2cnv  26904  log2tlbnd  26905  log2ublem2  26907  log2ub  26909  bposlem7  27251  ex-cnv  30364  ex-dm  30366  ex-gcd  30384  ex-lcm  30385  ex-prmo  30386  idlsrgstr  33463  hgt750lem2  34630  lcmineqlem23  42010  3lexlogpow2ineq1  42017  3lexlogpow2ineq2  42018  9ne0  42261  rmydioph  42985  deccarry  47288  257prm  47523  fmtno4nprmfac193  47536  139prmALT  47558  127prm  47561  8exp8mod9  47698  9fppr8  47699  nfermltl8rev  47704  wtgoldbnnsum4prm  47764  bgoldbnnsum3prm  47766  bgoldbtbndlem1  47767  tgblthelfgott  47777