Theorem 9nn 12001

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 11973	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 11998	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 11915	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  8c8 11964  9c9 11965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973

This theorem is referenced by:  9nn0  12187  9p1e10  12368  10nn  12382  3dvdsdec  15969  19prm  16747  prmlem2  16749  37prm  16750  43prm  16751  83prm  16752  139prm  16753  163prm  16754  317prm  16755  631prm  16756  1259lem1  16760  1259lem2  16761  1259lem3  16762  1259lem4  16763  1259lem5  16764  2503lem3  16768  tsetndx  16987  tsetid  16988  tsetndxnn  16989  topgrpstr  16995  otpsstr  17009  odrngstr  17032  imasvalstr  17079  ipostr  18162  oppgtsetOLD  18874  mgptsetOLD  19646  sratsetOLD  20366  cnfldstr  20512  psrvalstr  21029  eltpsgOLD  22001  indistpsALTOLD  22072  2logb9irr  25850  sqrt2cxp2logb9e3  25854  mcubic  25902  log2cnv  25999  log2tlbnd  26000  log2ublem2  26002  log2ub  26004  bposlem7  26343  ex-cnv  28702  ex-dm  28704  ex-gcd  28722  ex-lcm  28723  ex-prmo  28724  idlsrgstr  31549  hgt750lem2  32532  lcmineqlem23  39987  3lexlogpow2ineq1  39994  3lexlogpow2ineq2  39995  rmydioph  40752  deccarry  44691  257prm  44901  fmtno4nprmfac193  44914  139prmALT  44936  127prm  44939  8exp8mod9  45076  9fppr8  45077  nfermltl8rev  45082  wtgoldbnnsum4prm  45142  bgoldbnnsum3prm  45144  bgoldbtbndlem1  45145  tgblthelfgott  45155