MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9nn 12209
Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
9nn 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn
StepHypRef Expression
1 df-9 12181 . 2 9 = (8 + 1)
2 8nn 12206 . . 3 8 ∈ ℕ
3 peano2nn 12123 . . 3 (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (8 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2834 1 9 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7351  1c1 11010   + caddc 11012  cn 12111  8c8 12172  9c9 12173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-1cn 11067
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181
This theorem is referenced by:  9nn0  12395  9p1e10  12578  10nn  12592  3dvdsdec  16174  19prm  16950  prmlem2  16952  37prm  16953  43prm  16954  83prm  16955  139prm  16956  163prm  16957  317prm  16958  631prm  16959  1259lem1  16963  1259lem2  16964  1259lem3  16965  1259lem4  16966  1259lem5  16967  2503lem3  16971  tsetndx  17193  tsetid  17194  tsetndxnn  17195  topgrpstr  17202  otpsstr  17217  odrngstr  17244  imasvalstr  17293  ipostr  18378  oppgtsetOLD  19092  mgptsetOLD  19866  sratsetOLD  20605  cnfldstr  20751  psrvalstr  21271  eltpsgOLD  22245  indistpsALTOLD  22316  2logb9irr  26097  sqrt2cxp2logb9e3  26101  mcubic  26149  log2cnv  26246  log2tlbnd  26247  log2ublem2  26249  log2ub  26251  bposlem7  26590  ex-cnv  29210  ex-dm  29212  ex-gcd  29230  ex-lcm  29231  ex-prmo  29232  idlsrgstr  32066  hgt750lem2  33077  lcmineqlem23  40446  3lexlogpow2ineq1  40453  3lexlogpow2ineq2  40454  rmydioph  41247  deccarry  45444  257prm  45654  fmtno4nprmfac193  45667  139prmALT  45689  127prm  45692  8exp8mod9  45829  9fppr8  45830  nfermltl8rev  45835  wtgoldbnnsum4prm  45895  bgoldbnnsum3prm  45897  bgoldbtbndlem1  45898  tgblthelfgott  45908
  Copyright terms: Public domain W3C validator