Theorem 9nn 12226

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12198	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12223	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12140	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128  8c8 12189  9c9 12190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-1cn 11067

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198

This theorem is referenced by:  9nn0  12408  9p1e10  12593  10nn  12607  3dvdsdec  16243  19prm  17029  prmlem2  17031  37prm  17032  43prm  17033  83prm  17034  139prm  17035  163prm  17036  317prm  17037  631prm  17038  1259lem1  17042  1259lem2  17043  1259lem3  17044  1259lem4  17045  1259lem5  17046  2503lem3  17050  tsetndx  17256  tsetid  17257  tsetndxnn  17258  topgrpstr  17265  otpsstr  17280  odrngstr  17307  imasvalstr  17355  ipostr  18435  cnfldstr  21263  cnfldstrOLD  21278  psrvalstr  21823  2logb9irr  26703  sqrt2cxp2logb9e3  26707  mcubic  26755  log2cnv  26852  log2tlbnd  26853  log2ublem2  26855  log2ub  26857  bposlem7  27199  ex-cnv  30381  ex-dm  30383  ex-gcd  30401  ex-lcm  30402  ex-prmo  30403  idlsrgstr  33440  hgt750lem2  34626  lcmineqlem23  42034  3lexlogpow2ineq1  42041  3lexlogpow2ineq2  42042  9ne0  42247  rmydioph  42997  deccarry  47305  257prm  47555  fmtno4nprmfac193  47568  139prmALT  47590  127prm  47593  8exp8mod9  47730  9fppr8  47731  nfermltl8rev  47736  wtgoldbnnsum4prm  47796  bgoldbnnsum3prm  47798  bgoldbtbndlem1  47799  tgblthelfgott  47809