Theorem 9nn 12361

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12333	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12358	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12275	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2834	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  8c8 12324  9c9 12325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-1cn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333

This theorem is referenced by:  9nn0  12547  9p1e10  12732  10nn  12746  3dvdsdec  16365  19prm  17151  prmlem2  17153  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  163prm  17158  317prm  17159  631prm  17160  1259lem1  17164  1259lem2  17165  1259lem3  17166  1259lem4  17167  1259lem5  17168  2503lem3  17172  tsetndx  17397  tsetid  17398  tsetndxnn  17399  topgrpstr  17406  otpsstr  17421  odrngstr  17448  imasvalstr  17497  ipostr  18586  oppgtsetOLD  19385  mgptsetOLD  20162  sratsetOLD  21206  cnfldstr  21383  cnfldstrOLD  21398  psrvalstr  21953  eltpsgOLD  22965  indistpsALTOLD  23036  2logb9irr  26852  sqrt2cxp2logb9e3  26856  mcubic  26904  log2cnv  27001  log2tlbnd  27002  log2ublem2  27004  log2ub  27006  bposlem7  27348  ex-cnv  30465  ex-dm  30467  ex-gcd  30485  ex-lcm  30486  ex-prmo  30487  idlsrgstr  33509  hgt750lem2  34645  lcmineqlem23  42032  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  rmydioph  43002  deccarry  47260  257prm  47485  fmtno4nprmfac193  47498  139prmALT  47520  127prm  47523  8exp8mod9  47660  9fppr8  47661  nfermltl8rev  47666  wtgoldbnnsum4prm  47726  bgoldbnnsum3prm  47728  bgoldbtbndlem1  47729  tgblthelfgott  47739