Theorem 9nn 12445

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12416	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12442	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12351	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  1c1 11205   + caddc 11207  ℕcn 12339  8c8 12407  9c9 12408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416

This theorem is used by:  9pos  12463  9nn0  12634  9p1e10  12820  10nn  12838  3dvdsdec  16508  19prm  17302  prmlem2  17304  37prm  17305  43prm  17306  83prm  17307  139prm  17308  163prm  17309  317prm  17310  631prm  17311  1259lem1  17315  1259lem2  17316  1259lem3  17317  1259lem4  17318  1259lem5  17319  2503lem3  17323  tsetndx  17529  tsetid  17530  tsetndxnn  17531  topgrpstr  17538  otpsstr  17553  odrngstr  17580  imasvalstr  17628  ipostr  18709  cnfldstr  21686  psrvalstr  22230  2logb9irr  27129  sqrt2cxp2logb9e3  27133  mcubic  27181  log2cnv  27278  log2tlbnd  27279  log2ublem2  27281  log2ub  27283  bposlem7  27623  ex-cnv  31044  ex-dm  31046  ex-gcd  31064  ex-lcm  31065  ex-prmo  31066  idlsrgstr  34081  hgt750lem2  35328  lcmineqlem23  43195  3lexlogpow2ineq1  43202  3lexlogpow2ineq2  43203  9ne0  43423  rmydioph  44115  deccarry  48475  257prm  48740  fmtno4nprmfac193  48753  139prmALT  48775  127prm  48778  8exp8mod9  48928  9fppr8  48929  nfermltl8rev  48934  wtgoldbnnsum4prm  48994  bgoldbnnsum3prm  48996  bgoldbtbndlem1  48997  tgblthelfgott  49007