Theorem 9nn 12279

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12251	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12276	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12186	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  8c8 12242  9c9 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251

This theorem is referenced by:  9nn0  12461  9p1e10  12646  10nn  12660  3dvdsdec  16301  19prm  17088  prmlem2  17090  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259lem1  17101  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  1259lem5  17105  2503lem3  17109  tsetndx  17315  tsetid  17316  tsetndxnn  17317  topgrpstr  17324  otpsstr  17339  odrngstr  17366  imasvalstr  17414  ipostr  18495  cnfldstr  21354  psrvalstr  21896  2logb9irr  26759  sqrt2cxp2logb9e3  26763  mcubic  26811  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  log2ublem2  26911  log2ub  26913  bposlem7  27253  ex-cnv  30507  ex-dm  30509  ex-gcd  30527  ex-lcm  30528  ex-prmo  30529  idlsrgstr  33562  hgt750lem2  34796  lcmineqlem23  42490  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  9ne0  42702  rmydioph  43442  deccarry  47759  257prm  48024  fmtno4nprmfac193  48037  139prmALT  48059  127prm  48062  8exp8mod9  48212  9fppr8  48213  nfermltl8rev  48218  wtgoldbnnsum4prm  48278  bgoldbnnsum3prm  48280  bgoldbtbndlem1  48281  tgblthelfgott  48291