Theorem 9nn 12260

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12232	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12257	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12174	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2828	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  1c1 11061   + caddc 11063  ℕcn 12162  8c8 12223  9c9 12224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232

This theorem is referenced by:  9nn0  12446  9p1e10  12629  10nn  12643  3dvdsdec  16225  19prm  17001  prmlem2  17003  37prm  17004  43prm  17005  83prm  17006  139prm  17007  163prm  17008  317prm  17009  631prm  17010  1259lem1  17014  1259lem2  17015  1259lem3  17016  1259lem4  17017  1259lem5  17018  2503lem3  17022  tsetndx  17247  tsetid  17248  tsetndxnn  17249  topgrpstr  17256  otpsstr  17271  odrngstr  17298  imasvalstr  17347  ipostr  18432  oppgtsetOLD  19147  mgptsetOLD  19921  sratsetOLD  20711  cnfldstr  20835  psrvalstr  21355  eltpsgOLD  22330  indistpsALTOLD  22401  2logb9irr  26182  sqrt2cxp2logb9e3  26186  mcubic  26234  log2cnv  26331  log2tlbnd  26332  log2ublem2  26334  log2ub  26336  bposlem7  26675  ex-cnv  29444  ex-dm  29446  ex-gcd  29464  ex-lcm  29465  ex-prmo  29466  idlsrgstr  32320  hgt750lem2  33354  lcmineqlem23  40581  3lexlogpow2ineq1  40588  3lexlogpow2ineq2  40589  rmydioph  41396  deccarry  45663  257prm  45873  fmtno4nprmfac193  45886  139prmALT  45908  127prm  45911  8exp8mod9  46048  9fppr8  46049  nfermltl8rev  46054  wtgoldbnnsum4prm  46114  bgoldbnnsum3prm  46116  bgoldbtbndlem1  46117  tgblthelfgott  46127