Theorem 9nn 12243

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12215	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12240	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12157	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  8c8 12206  9c9 12207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215

This theorem is referenced by:  9nn0  12425  9p1e10  12609  10nn  12623  3dvdsdec  16259  19prm  17045  prmlem2  17047  37prm  17048  43prm  17049  83prm  17050  139prm  17051  163prm  17052  317prm  17053  631prm  17054  1259lem1  17058  1259lem2  17059  1259lem3  17060  1259lem4  17061  1259lem5  17062  2503lem3  17066  tsetndx  17272  tsetid  17273  tsetndxnn  17274  topgrpstr  17281  otpsstr  17296  odrngstr  17323  imasvalstr  17371  ipostr  18452  cnfldstr  21311  cnfldstrOLD  21326  psrvalstr  21872  2logb9irr  26761  sqrt2cxp2logb9e3  26765  mcubic  26813  log2cnv  26910  log2tlbnd  26911  log2ublem2  26913  log2ub  26915  bposlem7  27257  ex-cnv  30512  ex-dm  30514  ex-gcd  30532  ex-lcm  30533  ex-prmo  30534  idlsrgstr  33583  hgt750lem2  34809  lcmineqlem23  42305  3lexlogpow2ineq1  42312  3lexlogpow2ineq2  42313  9ne0  42519  rmydioph  43256  deccarry  47557  257prm  47807  fmtno4nprmfac193  47820  139prmALT  47842  127prm  47845  8exp8mod9  47982  9fppr8  47983  nfermltl8rev  47988  wtgoldbnnsum4prm  48048  bgoldbnnsum3prm  48050  bgoldbtbndlem1  48051  tgblthelfgott  48061