Theorem 9nn 12270

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12242	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12267	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  8c8 12233  9c9 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242

This theorem is referenced by:  9nn0  12452  9p1e10  12637  10nn  12651  3dvdsdec  16292  19prm  17079  prmlem2  17081  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  163prm  17086  317prm  17087  631prm  17088  1259lem1  17092  1259lem2  17093  1259lem3  17094  1259lem4  17095  1259lem5  17096  2503lem3  17100  tsetndx  17306  tsetid  17307  tsetndxnn  17308  topgrpstr  17315  otpsstr  17330  odrngstr  17357  imasvalstr  17405  ipostr  18486  cnfldstr  21349  psrvalstr  21891  2logb9irr  26777  sqrt2cxp2logb9e3  26781  mcubic  26829  log2cnv  26926  log2tlbnd  26927  log2ublem2  26929  log2ub  26931  bposlem7  27271  ex-cnv  30525  ex-dm  30527  ex-gcd  30545  ex-lcm  30546  ex-prmo  30547  idlsrgstr  33585  hgt750lem2  34836  lcmineqlem23  42536  3lexlogpow2ineq1  42543  3lexlogpow2ineq2  42544  9ne0  42747  rmydioph  43459  deccarry  47774  257prm  48039  fmtno4nprmfac193  48052  139prmALT  48074  127prm  48077  8exp8mod9  48227  9fppr8  48228  nfermltl8rev  48233  wtgoldbnnsum4prm  48293  bgoldbnnsum3prm  48295  bgoldbtbndlem1  48296  tgblthelfgott  48306