Theorem 9nn 12434

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12405	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12431	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12340	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328  8c8 12396  9c9 12397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405

This theorem is used by:  9pos  12452  9nn0  12623  9p1e10  12809  10nn  12827  3dvdsdec  16495  19prm  17289  prmlem2  17291  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  163prm  17296  317prm  17297  631prm  17298  1259lem1  17302  1259lem2  17303  1259lem3  17304  1259lem4  17305  1259lem5  17306  2503lem3  17310  tsetndx  17516  tsetid  17517  tsetndxnn  17518  topgrpstr  17525  otpsstr  17540  odrngstr  17567  imasvalstr  17615  ipostr  18696  cnfldstr  21673  psrvalstr  22217  2logb9irr  27116  sqrt2cxp2logb9e3  27120  mcubic  27168  log2cnv  27265  log2tlbnd  27266  log2ublem2  27268  log2ub  27270  bposlem7  27610  ex-cnv  31031  ex-dm  31033  ex-gcd  31051  ex-lcm  31052  ex-prmo  31053  idlsrgstr  34027  hgt750lem2  35274  lcmineqlem23  43081  3lexlogpow2ineq1  43088  3lexlogpow2ineq2  43089  9ne0  43309  rmydioph  44000  deccarry  48350  257prm  48615  fmtno4nprmfac193  48628  139prmALT  48650  127prm  48653  8exp8mod9  48803  9fppr8  48804  nfermltl8rev  48809  wtgoldbnnsum4prm  48869  bgoldbnnsum3prm  48871  bgoldbtbndlem1  48872  tgblthelfgott  48882