Theorem 9nn 12339

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12310	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12336	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12245	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103  ℕcn 12233  8c8 12301  9c9 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-1cn 11158

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310

This theorem is referenced by:  9pos  12357  9nn0  12528  9p1e10  12713  10nn  12731  3dvdsdec  16390  19prm  17178  prmlem2  17180  37prm  17181  43prm  17182  83prm  17183  139prm  17184  163prm  17185  317prm  17186  631prm  17187  1259lem1  17191  1259lem2  17192  1259lem3  17193  1259lem4  17194  1259lem5  17195  2503lem3  17199  tsetndx  17405  tsetid  17406  tsetndxnn  17407  topgrpstr  17414  otpsstr  17429  odrngstr  17456  imasvalstr  17504  ipostr  18585  cnfldstr  21493  psrvalstr  22035  2logb9irr  26926  sqrt2cxp2logb9e3  26930  mcubic  26978  log2cnv  27075  log2tlbnd  27076  log2ublem2  27078  log2ub  27080  bposlem7  27420  ex-cnv  30729  ex-dm  30731  ex-gcd  30749  ex-lcm  30750  ex-prmo  30751  idlsrgstr  33737  hgt750lem2  34984  lcmineqlem23  42708  3lexlogpow2ineq1  42715  3lexlogpow2ineq2  42716  9ne0  42921  rmydioph  43633  deccarry  47937  257prm  48202  fmtno4nprmfac193  48215  139prmALT  48237  127prm  48240  8exp8mod9  48390  9fppr8  48391  nfermltl8rev  48396  wtgoldbnnsum4prm  48456  bgoldbnnsum3prm  48458  bgoldbtbndlem1  48459  tgblthelfgott  48469