Theorem 9nn 12291

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12263	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12288	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12205	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  8c8 12254  9c9 12255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-1cn 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263

This theorem is referenced by:  9nn0  12473  9p1e10  12658  10nn  12672  3dvdsdec  16309  19prm  17095  prmlem2  17097  37prm  17098  43prm  17099  83prm  17100  139prm  17101  163prm  17102  317prm  17103  631prm  17104  1259lem1  17108  1259lem2  17109  1259lem3  17110  1259lem4  17111  1259lem5  17112  2503lem3  17116  tsetndx  17322  tsetid  17323  tsetndxnn  17324  topgrpstr  17331  otpsstr  17346  odrngstr  17373  imasvalstr  17421  ipostr  18495  cnfldstr  21273  cnfldstrOLD  21288  psrvalstr  21832  2logb9irr  26712  sqrt2cxp2logb9e3  26716  mcubic  26764  log2cnv  26861  log2tlbnd  26862  log2ublem2  26864  log2ub  26866  bposlem7  27208  ex-cnv  30373  ex-dm  30375  ex-gcd  30393  ex-lcm  30394  ex-prmo  30395  idlsrgstr  33480  hgt750lem2  34650  lcmineqlem23  42046  3lexlogpow2ineq1  42053  3lexlogpow2ineq2  42054  9ne0  42259  rmydioph  43010  deccarry  47316  257prm  47566  fmtno4nprmfac193  47579  139prmALT  47601  127prm  47604  8exp8mod9  47741  9fppr8  47742  nfermltl8rev  47747  wtgoldbnnsum4prm  47807  bgoldbnnsum3prm  47809  bgoldbtbndlem1  47810  tgblthelfgott  47820