Theorem 9nn 12270

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12242	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12267	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  8c8 12233  9c9 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242

This theorem is referenced by:  9nn0  12452  9p1e10  12637  10nn  12651  3dvdsdec  16292  19prm  17079  prmlem2  17081  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  163prm  17086  317prm  17087  631prm  17088  1259lem1  17092  1259lem2  17093  1259lem3  17094  1259lem4  17095  1259lem5  17096  2503lem3  17100  tsetndx  17306  tsetid  17307  tsetndxnn  17308  topgrpstr  17315  otpsstr  17330  odrngstr  17357  imasvalstr  17405  ipostr  18486  cnfldstr  21346  cnfldstrOLD  21361  psrvalstr  21906  2logb9irr  26772  sqrt2cxp2logb9e3  26776  mcubic  26824  log2cnv  26921  log2tlbnd  26922  log2ublem2  26924  log2ub  26926  bposlem7  27267  ex-cnv  30522  ex-dm  30524  ex-gcd  30542  ex-lcm  30543  ex-prmo  30544  idlsrgstr  33577  hgt750lem2  34812  lcmineqlem23  42504  3lexlogpow2ineq1  42511  3lexlogpow2ineq2  42512  9ne0  42716  rmydioph  43460  deccarry  47771  257prm  48036  fmtno4nprmfac193  48049  139prmALT  48071  127prm  48074  8exp8mod9  48224  9fppr8  48225  nfermltl8rev  48230  wtgoldbnnsum4prm  48290  bgoldbnnsum3prm  48292  bgoldbtbndlem1  48293  tgblthelfgott  48303