Theorem 9nn 12310

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12282	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12307	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12224	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  8c8 12273  9c9 12274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282

This theorem is referenced by:  9nn0  12496  9p1e10  12679  10nn  12693  3dvdsdec  16275  19prm  17051  prmlem2  17053  37prm  17054  43prm  17055  83prm  17056  139prm  17057  163prm  17058  317prm  17059  631prm  17060  1259lem1  17064  1259lem2  17065  1259lem3  17066  1259lem4  17067  1259lem5  17068  2503lem3  17072  tsetndx  17297  tsetid  17298  tsetndxnn  17299  topgrpstr  17306  otpsstr  17321  odrngstr  17348  imasvalstr  17397  ipostr  18482  oppgtsetOLD  19219  mgptsetOLD  19998  sratsetOLD  20804  cnfldstr  20946  psrvalstr  21469  eltpsgOLD  22446  indistpsALTOLD  22517  2logb9irr  26300  sqrt2cxp2logb9e3  26304  mcubic  26352  log2cnv  26449  log2tlbnd  26450  log2ublem2  26452  log2ub  26454  bposlem7  26793  ex-cnv  29690  ex-dm  29692  ex-gcd  29710  ex-lcm  29711  ex-prmo  29712  idlsrgstr  32616  hgt750lem2  33664  lcmineqlem23  40916  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  rmydioph  41753  deccarry  46019  257prm  46229  fmtno4nprmfac193  46242  139prmALT  46264  127prm  46267  8exp8mod9  46404  9fppr8  46405  nfermltl8rev  46410  wtgoldbnnsum4prm  46470  bgoldbnnsum3prm  46472  bgoldbtbndlem1  46473  tgblthelfgott  46483