Theorem 9nn 12481

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12452	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12478	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12387	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  8c8 12443  9c9 12444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452

This theorem is used by:  9pos  12499  9nn0  12670  9p1e10  12856  10nn  12874  3dvdsdec  16546  19prm  17340  prmlem2  17342  37prm  17343  43prm  17344  83prm  17345  139prm  17346  163prm  17347  317prm  17348  631prm  17349  1259lem1  17353  1259lem2  17354  1259lem3  17355  1259lem4  17356  1259lem5  17357  2503lem3  17361  tsetndx  17569  tsetid  17570  tsetndxnn  17571  topgrpstr  17578  otpsstr  17593  odrngstr  17620  imasvalstr  17672  ipostr  18753  cnfldstr  21731  psrvalstr  22279  2logb9irr  27180  sqrt2cxp2logb9e3  27184  mcubic  27232  log2cnv  27329  log2tlbnd  27330  log2ublem2  27332  log2ub  27334  bposlem7  27674  ex-cnv  31095  ex-dm  31097  ex-gcd  31115  ex-lcm  31116  ex-prmo  31117  idlsrgstr  34138  hgt750lem2  35392  lcmineqlem23  43367  3lexlogpow2ineq1  43374  3lexlogpow2ineq2  43375  9ne0  43595  rmydioph  44287  deccarry  48654  257prm  48919  fmtno4nprmfac193  48932  139prmALT  48954  127prm  48957  8exp8mod9  49107  9fppr8  49108  nfermltl8rev  49113  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbnnsum3prm  49175  bgoldbtbndlem1  49176  tgblthelfgott  49186