Theorem 9nn 12363

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12334	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12360	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12269	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕcn 12257  8c8 12325  9c9 12326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334

This theorem is used by:  9pos  12381  9nn0  12552  9p1e10  12738  10nn  12756  3dvdsdec  16422  19prm  17210  prmlem2  17212  37prm  17213  43prm  17214  83prm  17215  139prm  17216  163prm  17217  317prm  17218  631prm  17219  1259lem1  17223  1259lem2  17224  1259lem3  17225  1259lem4  17226  1259lem5  17227  2503lem3  17231  tsetndx  17437  tsetid  17438  tsetndxnn  17439  topgrpstr  17446  otpsstr  17461  odrngstr  17488  imasvalstr  17536  ipostr  18617  cnfldstr  21587  psrvalstr  22131  2logb9irr  27032  sqrt2cxp2logb9e3  27036  mcubic  27084  log2cnv  27181  log2tlbnd  27182  log2ublem2  27184  log2ub  27186  bposlem7  27526  ex-cnv  30917  ex-dm  30919  ex-gcd  30937  ex-lcm  30938  ex-prmo  30939  idlsrgstr  33912  hgt750lem2  35160  lcmineqlem23  42917  3lexlogpow2ineq1  42924  3lexlogpow2ineq2  42925  9ne0  43145  rmydioph  43855  deccarry  48199  257prm  48464  fmtno4nprmfac193  48477  139prmALT  48499  127prm  48502  8exp8mod9  48652  9fppr8  48653  nfermltl8rev  48658  wtgoldbnnsum4prm  48718  bgoldbnnsum3prm  48720  bgoldbtbndlem1  48721  tgblthelfgott  48731