Theorem 9nn 11729

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 11701	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 11726	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 11644	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2909	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534  ℕcn 11632  8c8 11692  9c9 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-1cn 10589

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701

This theorem is referenced by:  9nn0  11915  9p1e10  12094  10nn  12108  3dvdsdec  15675  19prm  16445  prmlem2  16447  37prm  16448  43prm  16449  83prm  16450  139prm  16451  163prm  16452  317prm  16453  631prm  16454  1259lem1  16458  1259lem2  16459  1259lem3  16460  1259lem4  16461  1259lem5  16462  2503lem3  16466  tsetndx  16653  tsetid  16654  topgrpstr  16655  resstset  16659  otpsstr  16662  odrngstr  16673  imasvalstr  16719  ipostr  17757  oppgtset  18474  mgptset  19241  sratset  19950  psrvalstr  20137  cnfldstr  20541  eltpsg  21545  indistpsALT  21615  2logb9irr  25367  sqrt2cxp2logb9e3  25371  mcubic  25419  log2cnv  25516  log2tlbnd  25517  log2ublem2  25519  log2ub  25521  bposlem7  25860  ex-cnv  28210  ex-dm  28212  ex-gcd  28230  ex-lcm  28231  ex-prmo  28232  hgt750lem2  31918  rmydioph  39604  deccarry  43504  257prm  43716  fmtno4nprmfac193  43729  139prmALT  43752  127prm  43756  8exp8mod9  43894  9fppr8  43895  nfermltl8rev  43900  wtgoldbnnsum4prm  43960  bgoldbnnsum3prm  43962  bgoldbtbndlem1  43963  tgblthelfgott  43973