Theorem 9nn 12244

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12216	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12241	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12158	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12146  8c8 12207  9c9 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216

This theorem is referenced by:  9nn0  12426  9p1e10  12611  10nn  12625  3dvdsdec  16261  19prm  17047  prmlem2  17049  37prm  17050  43prm  17051  83prm  17052  139prm  17053  163prm  17054  317prm  17055  631prm  17056  1259lem1  17060  1259lem2  17061  1259lem3  17062  1259lem4  17063  1259lem5  17064  2503lem3  17068  tsetndx  17274  tsetid  17275  tsetndxnn  17276  topgrpstr  17283  otpsstr  17298  odrngstr  17325  imasvalstr  17373  ipostr  18453  cnfldstr  21281  cnfldstrOLD  21296  psrvalstr  21841  2logb9irr  26721  sqrt2cxp2logb9e3  26725  mcubic  26773  log2cnv  26870  log2tlbnd  26871  log2ublem2  26873  log2ub  26875  bposlem7  27217  ex-cnv  30399  ex-dm  30401  ex-gcd  30419  ex-lcm  30420  ex-prmo  30421  idlsrgstr  33452  hgt750lem2  34622  lcmineqlem23  42027  3lexlogpow2ineq1  42034  3lexlogpow2ineq2  42035  9ne0  42240  rmydioph  42990  deccarry  47299  257prm  47549  fmtno4nprmfac193  47562  139prmALT  47584  127prm  47587  8exp8mod9  47724  9fppr8  47725  nfermltl8rev  47730  wtgoldbnnsum4prm  47790  bgoldbnnsum3prm  47792  bgoldbtbndlem1  47793  tgblthelfgott  47803