Theorem 9nn 12255

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12227	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12252	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12169	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  8c8 12218  9c9 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227

This theorem is referenced by:  9nn0  12437  9p1e10  12621  10nn  12635  3dvdsdec  16271  19prm  17057  prmlem2  17059  37prm  17060  43prm  17061  83prm  17062  139prm  17063  163prm  17064  317prm  17065  631prm  17066  1259lem1  17070  1259lem2  17071  1259lem3  17072  1259lem4  17073  1259lem5  17074  2503lem3  17078  tsetndx  17284  tsetid  17285  tsetndxnn  17286  topgrpstr  17293  otpsstr  17308  odrngstr  17335  imasvalstr  17383  ipostr  18464  cnfldstr  21323  cnfldstrOLD  21338  psrvalstr  21884  2logb9irr  26773  sqrt2cxp2logb9e3  26777  mcubic  26825  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  log2ublem2  26925  log2ub  26927  bposlem7  27269  ex-cnv  30524  ex-dm  30526  ex-gcd  30544  ex-lcm  30545  ex-prmo  30546  idlsrgstr  33594  hgt750lem2  34829  lcmineqlem23  42418  3lexlogpow2ineq1  42425  3lexlogpow2ineq2  42426  9ne0  42631  rmydioph  43368  deccarry  47668  257prm  47918  fmtno4nprmfac193  47931  139prmALT  47953  127prm  47956  8exp8mod9  48093  9fppr8  48094  nfermltl8rev  48099  wtgoldbnnsum4prm  48159  bgoldbnnsum3prm  48161  bgoldbtbndlem1  48162  tgblthelfgott  48172