Theorem 9nn 12391

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12363	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12388	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  8c8 12354  9c9 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363

This theorem is referenced by:  9nn0  12577  9p1e10  12760  10nn  12774  3dvdsdec  16380  19prm  17165  prmlem2  17167  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259lem1  17178  1259lem2  17179  1259lem3  17180  1259lem4  17181  1259lem5  17182  2503lem3  17186  tsetndx  17411  tsetid  17412  tsetndxnn  17413  topgrpstr  17420  otpsstr  17435  odrngstr  17462  imasvalstr  17511  ipostr  18599  oppgtsetOLD  19395  mgptsetOLD  20172  sratsetOLD  21212  cnfldstr  21389  cnfldstrOLD  21404  psrvalstr  21959  eltpsgOLD  22971  indistpsALTOLD  23042  2logb9irr  26856  sqrt2cxp2logb9e3  26860  mcubic  26908  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ublem2  27008  log2ub  27010  bposlem7  27352  ex-cnv  30469  ex-dm  30471  ex-gcd  30489  ex-lcm  30490  ex-prmo  30491  idlsrgstr  33495  hgt750lem2  34629  lcmineqlem23  42008  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  rmydioph  42971  deccarry  47226  257prm  47435  fmtno4nprmfac193  47448  139prmALT  47470  127prm  47473  8exp8mod9  47610  9fppr8  47611  nfermltl8rev  47616  wtgoldbnnsum4prm  47676  bgoldbnnsum3prm  47678  bgoldbtbndlem1  47679  tgblthelfgott  47689