Theorem 9nn 12340

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12311	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12337	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  8c8 12302  9c9 12303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311

This theorem is referenced by:  9pos  12358  9nn0  12529  9p1e10  12714  10nn  12732  3dvdsdec  16391  19prm  17179  prmlem2  17181  37prm  17182  43prm  17183  83prm  17184  139prm  17185  163prm  17186  317prm  17187  631prm  17188  1259lem1  17192  1259lem2  17193  1259lem3  17194  1259lem4  17195  1259lem5  17196  2503lem3  17200  tsetndx  17406  tsetid  17407  tsetndxnn  17408  topgrpstr  17415  otpsstr  17430  odrngstr  17457  imasvalstr  17505  ipostr  18586  cnfldstr  21505  psrvalstr  22047  2logb9irr  26941  sqrt2cxp2logb9e3  26945  mcubic  26993  log2cnv  27090  log2tlbnd  27091  log2ublem2  27093  log2ub  27095  bposlem7  27435  ex-cnv  30769  ex-dm  30771  ex-gcd  30789  ex-lcm  30790  ex-prmo  30791  idlsrgstr  33773  hgt750lem2  35020  lcmineqlem23  42799  3lexlogpow2ineq1  42806  3lexlogpow2ineq2  42807  9ne0  43012  rmydioph  43724  deccarry  48031  257prm  48296  fmtno4nprmfac193  48309  139prmALT  48331  127prm  48334  8exp8mod9  48484  9fppr8  48485  nfermltl8rev  48490  wtgoldbnnsum4prm  48550  bgoldbnnsum3prm  48552  bgoldbtbndlem1  48553  tgblthelfgott  48563