Theorem 9nn 12335

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12306	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12332	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12241	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  8c8 12297  9c9 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306

This theorem is referenced by:  9pos  12353  9nn0  12524  9p1e10  12709  10nn  12727  3dvdsdec  16386  19prm  17174  prmlem2  17176  37prm  17177  43prm  17178  83prm  17179  139prm  17180  163prm  17181  317prm  17182  631prm  17183  1259lem1  17187  1259lem2  17188  1259lem3  17189  1259lem4  17190  1259lem5  17191  2503lem3  17195  tsetndx  17401  tsetid  17402  tsetndxnn  17403  topgrpstr  17410  otpsstr  17425  odrngstr  17452  imasvalstr  17500  ipostr  18581  cnfldstr  21489  psrvalstr  22031  2logb9irr  26922  sqrt2cxp2logb9e3  26926  mcubic  26974  log2cnv  27071  log2tlbnd  27072  log2ublem2  27074  log2ub  27076  bposlem7  27416  ex-cnv  30725  ex-dm  30727  ex-gcd  30745  ex-lcm  30746  ex-prmo  30747  idlsrgstr  33733  hgt750lem2  34980  lcmineqlem23  42703  3lexlogpow2ineq1  42710  3lexlogpow2ineq2  42711  9ne0  42914  rmydioph  43626  deccarry  47930  257prm  48195  fmtno4nprmfac193  48208  139prmALT  48230  127prm  48233  8exp8mod9  48383  9fppr8  48384  nfermltl8rev  48389  wtgoldbnnsum4prm  48449  bgoldbnnsum3prm  48451  bgoldbtbndlem1  48452  tgblthelfgott  48462