Theorem 9nn 12071

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12043	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12068	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 11985	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  8c8 12034  9c9 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043

This theorem is referenced by:  9nn0  12257  9p1e10  12439  10nn  12453  3dvdsdec  16041  19prm  16819  prmlem2  16821  37prm  16822  43prm  16823  83prm  16824  139prm  16825  163prm  16826  317prm  16827  631prm  16828  1259lem1  16832  1259lem2  16833  1259lem3  16834  1259lem4  16835  1259lem5  16836  2503lem3  16840  tsetndx  17062  tsetid  17063  tsetndxnn  17064  topgrpstr  17071  otpsstr  17086  odrngstr  17113  imasvalstr  17162  ipostr  18247  oppgtsetOLD  18959  mgptsetOLD  19731  sratsetOLD  20453  cnfldstr  20599  psrvalstr  21119  eltpsgOLD  22093  indistpsALTOLD  22164  2logb9irr  25945  sqrt2cxp2logb9e3  25949  mcubic  25997  log2cnv  26094  log2tlbnd  26095  log2ublem2  26097  log2ub  26099  bposlem7  26438  ex-cnv  28801  ex-dm  28803  ex-gcd  28821  ex-lcm  28822  ex-prmo  28823  idlsrgstr  31647  hgt750lem2  32632  lcmineqlem23  40059  3lexlogpow2ineq1  40066  3lexlogpow2ineq2  40067  rmydioph  40836  deccarry  44803  257prm  45013  fmtno4nprmfac193  45026  139prmALT  45048  127prm  45051  8exp8mod9  45188  9fppr8  45189  nfermltl8rev  45194  wtgoldbnnsum4prm  45254  bgoldbnnsum3prm  45256  bgoldbtbndlem1  45257  tgblthelfgott  45267