Theorem 9nn 12310

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12281	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12307	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12216	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  1c1 11068   + caddc 11070  ℕcn 12204  8c8 12272  9c9 12273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-1cn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281

This theorem is referenced by:  9pos  12328  9nn0  12499  9p1e10  12684  10nn  12702  3dvdsdec  16357  19prm  17145  prmlem2  17147  37prm  17148  43prm  17149  83prm  17150  139prm  17151  163prm  17152  317prm  17153  631prm  17154  1259lem1  17158  1259lem2  17159  1259lem3  17160  1259lem4  17161  1259lem5  17162  2503lem3  17166  tsetndx  17372  tsetid  17373  tsetndxnn  17374  topgrpstr  17381  otpsstr  17396  odrngstr  17423  imasvalstr  17471  ipostr  18552  cnfldstr  21414  psrvalstr  21956  2logb9irr  26848  sqrt2cxp2logb9e3  26852  mcubic  26900  log2cnv  26997  log2tlbnd  26998  log2ublem2  27000  log2ub  27002  bposlem7  27342  ex-cnv  30596  ex-dm  30598  ex-gcd  30616  ex-lcm  30617  ex-prmo  30618  idlsrgstr  33659  hgt750lem2  34907  lcmineqlem23  42629  3lexlogpow2ineq1  42636  3lexlogpow2ineq2  42637  9ne0  42840  rmydioph  43552  deccarry  47866  257prm  48131  fmtno4nprmfac193  48144  139prmALT  48166  127prm  48169  8exp8mod9  48319  9fppr8  48320  nfermltl8rev  48325  wtgoldbnnsum4prm  48385  bgoldbnnsum3prm  48387  bgoldbtbndlem1  48388  tgblthelfgott  48398