Theorem 9nn 12364

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12336	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12361	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12278	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℕcn 12266  8c8 12327  9c9 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336

This theorem is referenced by:  9nn0  12550  9p1e10  12735  10nn  12749  3dvdsdec  16369  19prm  17155  prmlem2  17157  37prm  17158  43prm  17159  83prm  17160  139prm  17161  163prm  17162  317prm  17163  631prm  17164  1259lem1  17168  1259lem2  17169  1259lem3  17170  1259lem4  17171  1259lem5  17172  2503lem3  17176  tsetndx  17396  tsetid  17397  tsetndxnn  17398  topgrpstr  17405  otpsstr  17420  odrngstr  17447  imasvalstr  17496  ipostr  18574  sratsetOLD  21189  cnfldstr  21366  cnfldstrOLD  21381  psrvalstr  21936  eltpsgOLD  22950  indistpsALTOLD  23021  2logb9irr  26838  sqrt2cxp2logb9e3  26842  mcubic  26890  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  log2ublem2  26990  log2ub  26992  bposlem7  27334  ex-cnv  30456  ex-dm  30458  ex-gcd  30476  ex-lcm  30477  ex-prmo  30478  idlsrgstr  33530  hgt750lem2  34667  lcmineqlem23  42052  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  rmydioph  43026  deccarry  47323  257prm  47548  fmtno4nprmfac193  47561  139prmALT  47583  127prm  47586  8exp8mod9  47723  9fppr8  47724  nfermltl8rev  47729  wtgoldbnnsum4prm  47789  bgoldbnnsum3prm  47791  bgoldbtbndlem1  47792  tgblthelfgott  47802