Theorem 9nn 12284

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12256	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 12281	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 12198	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186  8c8 12247  9c9 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256

This theorem is referenced by:  9nn0  12466  9p1e10  12651  10nn  12665  3dvdsdec  16302  19prm  17088  prmlem2  17090  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259lem1  17101  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  1259lem5  17105  2503lem3  17109  tsetndx  17315  tsetid  17316  tsetndxnn  17317  topgrpstr  17324  otpsstr  17339  odrngstr  17366  imasvalstr  17414  ipostr  18488  cnfldstr  21266  cnfldstrOLD  21281  psrvalstr  21825  2logb9irr  26705  sqrt2cxp2logb9e3  26709  mcubic  26757  log2cnv  26854  log2tlbnd  26855  log2ublem2  26857  log2ub  26859  bposlem7  27201  ex-cnv  30366  ex-dm  30368  ex-gcd  30386  ex-lcm  30387  ex-prmo  30388  idlsrgstr  33473  hgt750lem2  34643  lcmineqlem23  42039  3lexlogpow2ineq1  42046  3lexlogpow2ineq2  42047  9ne0  42252  rmydioph  43003  deccarry  47312  257prm  47562  fmtno4nprmfac193  47575  139prmALT  47597  127prm  47600  8exp8mod9  47737  9fppr8  47738  nfermltl8rev  47743  wtgoldbnnsum4prm  47803  bgoldbnnsum3prm  47805  bgoldbtbndlem1  47806  tgblthelfgott  47816