MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9nn 12184
Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
9nn 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn
StepHypRef Expression
1 df-9 12156 . 2 9 = (8 + 1)
2 8nn 12181 . . 3 8 ∈ ℕ
3 peano2nn 12098 . . 3 (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (8 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2834 1 9 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7349  1c1 10985   + caddc 10987  cn 12086  8c8 12147  9c9 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-1cn 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156
This theorem is referenced by:  9nn0  12370  9p1e10  12552  10nn  12566  3dvdsdec  16148  19prm  16924  prmlem2  16926  37prm  16927  43prm  16928  83prm  16929  139prm  16930  163prm  16931  317prm  16932  631prm  16933  1259lem1  16937  1259lem2  16938  1259lem3  16939  1259lem4  16940  1259lem5  16941  2503lem3  16945  tsetndx  17167  tsetid  17168  tsetndxnn  17169  topgrpstr  17176  otpsstr  17191  odrngstr  17218  imasvalstr  17267  ipostr  18352  oppgtsetOLD  19065  mgptsetOLD  19836  sratsetOLD  20575  cnfldstr  20721  psrvalstr  21241  eltpsgOLD  22215  indistpsALTOLD  22286  2logb9irr  26067  sqrt2cxp2logb9e3  26071  mcubic  26119  log2cnv  26216  log2tlbnd  26217  log2ublem2  26219  log2ub  26221  bposlem7  26560  ex-cnv  29179  ex-dm  29181  ex-gcd  29199  ex-lcm  29200  ex-prmo  29201  idlsrgstr  32033  hgt750lem2  33038  lcmineqlem23  40403  3lexlogpow2ineq1  40410  3lexlogpow2ineq2  40411  rmydioph  41203  deccarry  45292  257prm  45502  fmtno4nprmfac193  45515  139prmALT  45537  127prm  45540  8exp8mod9  45677  9fppr8  45678  nfermltl8rev  45683  wtgoldbnnsum4prm  45743  bgoldbnnsum3prm  45745  bgoldbtbndlem1  45746  tgblthelfgott  45756
  Copyright terms: Public domain W3C validator