Theorem 9nn 11723

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 11695	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 11720	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 11637	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2886	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  8c8 11686  9c9 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695

This theorem is referenced by:  9nn0  11909  9p1e10  12088  10nn  12102  3dvdsdec  15673  19prm  16443  prmlem2  16445  37prm  16446  43prm  16447  83prm  16448  139prm  16449  163prm  16450  317prm  16451  631prm  16452  1259lem1  16456  1259lem2  16457  1259lem3  16458  1259lem4  16459  1259lem5  16460  2503lem3  16464  tsetndx  16651  tsetid  16652  topgrpstr  16653  resstset  16657  otpsstr  16660  odrngstr  16671  imasvalstr  16717  ipostr  17755  oppgtset  18472  mgptset  19240  sratset  19949  cnfldstr  20093  psrvalstr  20601  eltpsg  21548  indistpsALT  21618  2logb9irr  25381  sqrt2cxp2logb9e3  25385  mcubic  25433  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  log2ublem2  25533  log2ub  25535  bposlem7  25874  ex-cnv  28222  ex-dm  28224  ex-gcd  28242  ex-lcm  28243  ex-prmo  28244  idlsrgstr  31055  hgt750lem2  32033  lcmineqlem23  39339  rmydioph  39955  deccarry  43868  257prm  44078  fmtno4nprmfac193  44091  139prmALT  44113  127prm  44116  8exp8mod9  44254  9fppr8  44255  nfermltl8rev  44260  wtgoldbnnsum4prm  44320  bgoldbnnsum3prm  44322  bgoldbtbndlem1  44323  tgblthelfgott  44333