MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9nn 12185
Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
9nn 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn
StepHypRef Expression
1 df-9 12157 . 2 9 = (8 + 1)
2 8nn 12182 . . 3 8 ∈ ℕ
3 peano2nn 12099 . . 3 (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (8 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2835 1 9 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7350  1c1 10986   + caddc 10988  cn 12087  8c8 12148  9c9 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-1cn 11043
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157
This theorem is referenced by:  9nn0  12371  9p1e10  12553  10nn  12567  3dvdsdec  16149  19prm  16925  prmlem2  16927  37prm  16928  43prm  16929  83prm  16930  139prm  16931  163prm  16932  317prm  16933  631prm  16934  1259lem1  16938  1259lem2  16939  1259lem3  16940  1259lem4  16941  1259lem5  16942  2503lem3  16946  tsetndx  17168  tsetid  17169  tsetndxnn  17170  topgrpstr  17177  otpsstr  17192  odrngstr  17219  imasvalstr  17268  ipostr  18353  oppgtsetOLD  19065  mgptsetOLD  19836  sratsetOLD  20575  cnfldstr  20721  psrvalstr  21241  eltpsgOLD  22215  indistpsALTOLD  22286  2logb9irr  26067  sqrt2cxp2logb9e3  26071  mcubic  26119  log2cnv  26216  log2tlbnd  26217  log2ublem2  26219  log2ub  26221  bposlem7  26560  ex-cnv  29167  ex-dm  29169  ex-gcd  29187  ex-lcm  29188  ex-prmo  29189  idlsrgstr  32021  hgt750lem2  33026  lcmineqlem23  40394  3lexlogpow2ineq1  40401  3lexlogpow2ineq2  40402  rmydioph  41172  deccarry  45261  257prm  45471  fmtno4nprmfac193  45484  139prmALT  45506  127prm  45509  8exp8mod9  45646  9fppr8  45647  nfermltl8rev  45652  wtgoldbnnsum4prm  45712  bgoldbnnsum3prm  45714  bgoldbtbndlem1  45715  tgblthelfgott  45725
  Copyright terms: Public domain W3C validator