Theorem f1fi 9344

Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1fi	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem f1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6808	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6748	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		ssfi 9226	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
5		f1f1orn 6866	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 → 𝐹:𝐴⟶1-1ontoran 𝐹)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐹:𝐴⟶1-1ontoran 𝐹)
7		f1ocnv 6867	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1ontoran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴)
8		f1ofo 6862	. . 3 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹⟶1-1onto𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹⟶onto𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → ◡𝐹:ran 𝐹⟶onto𝐴)
10		fofi 9343	. 2 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ◡𝐹:ran 𝐹⟶onto𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
11	4, 9, 10	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659  ⟶1-1wf1 6563  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015

This theorem is used by:  ixpfi2  9377  chninf  18859  fsumvma  27597  edgusgrnbfin  30011  fineqvinfep  35934  fourierdlem51  47440  sinnpoly  48214  prminf2  48946