MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1fi 8803
Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1fi ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem f1fi
StepHypRef Expression
1 f1f 6568 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21frnd 6514 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ran 𝐹𝐵)
3 ssfi 8730 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
42, 3sylan2 594 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
5 f1f1orn 6619 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
65adantl 484 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
7 f1ocnv 6620 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
8 f1ofo 6615 . . 3 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
96, 7, 83syl 18 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:ran 𝐹onto𝐴)
10 fofi 8802 . 2 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:ran 𝐹onto𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
114, 9, 10syl2anc 586 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2108  wss 3934  ccnv 5547  ran crn 5549  1-1wf1 6345  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  Fincfn 8501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-fin 8505
This theorem is referenced by:  ixpfi2  8814  fsumvma  25781  edgusgrnbfin  27147  fourierdlem51  42432  prminf2  43740
  Copyright terms: Public domain W3C validator