Theorem f1fi 9258

Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1fi	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem f1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6760	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6700	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		ssfi 9141	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
5		f1f1orn 6818	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
6	5	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
7		f1ocnv 6819	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
8		f1ofo 6814	. . 3 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
10		fofi 9257	. 2 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
11	4, 9, 10	syl2anc 593	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648  –1-1→wf1 6518  –onto→wfo 6519  –1-1-onto→wf1o 6520  Fincfn 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437  df-en 8928  df-dom 8929  df-fin 8931

This theorem is referenced by:  ixpfi2  9293  chninf  18667  fsumvma  27277  edgusgrnbfin  29574  fineqvinfep  35421  fourierdlem51  46731  sinnpoly  47485  prminf2  48197