Theorem f1fi 9285

Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1fi	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem f1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6772	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6712	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		ssfi 9168	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → ran 𝐹 ∈ Fin)
5		f1f1orn 6830	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
7		f1ocnv 6831	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹 → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴)
8		f1ofo 6826	. . 3 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
9	6, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴)
10		fofi 9284	. 2 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ◡𝐹:ran 𝐹–onto→𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
11	4, 9, 10	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  –1-1→wf1 6530  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  Fincfn 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8456  df-en 8954  df-dom 8955  df-fin 8957

This theorem is used by:  ixpfi2  9318  chninf  18724  fsumvma  27450  edgusgrnbfin  29834  fineqvinfep  35652  fourierdlem51  46986  sinnpoly  47760  prminf2  48492