Theorem prminf2 48672

Description: The set of prime numbers is infinite. The proof of this variant of prminf 17093 is based on Goldbach's theorem goldbachth 48631 (via prmdvdsfmtnof1 48671 and prmdvdsfmtnof1lem2 48669), see Wikipedia "Fermat number", 4-Aug-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties 48669. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prminf2	⊢ ℙ ∉ Fin

Proof of Theorem prminf2

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )) = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof1 48671	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ
3		ax-1 6	. . 3 ⊢ (ℙ ∉ Fin → ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin))
4		nnel 3072	. . . 4 ⊢ (¬ ℙ ∉ Fin ↔ ℙ ∈ Fin)
5		fmtnoinf 48620	. . . . . 6 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin
6		f1fi 9306	. . . . . 6 ⊢ ((ℙ ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ) → ran FermatNo ∈ Fin)
7		df-nel 3063	. . . . . . 7 ⊢ (ran FermatNo ∉ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
8		pm2.21 124	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ran FermatNo ∈ Fin → (ran FermatNo ∈ Fin → ℙ ∉ Fin))
9	7, 8	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (ran FermatNo ∉ Fin → (ran FermatNo ∈ Fin → ℙ ∉ Fin))
10	5, 6, 9	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ ((ℙ ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ) → ℙ ∉ Fin)
11	10	ex 418	. . . 4 ⊢ (ℙ ∈ Fin → ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin))
12	4, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ ℙ ∉ Fin → ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin))
13	3, 12	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin)
14	2, 13	ax-mp 5	1 ⊢ ℙ ∉ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  {crab 3413   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  –1-1→wf1 6535  Fincfn 8973  infcinf 9433  ℝcr 11199   < clt 11343   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846  FermatNocfmtno 48611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-prod 16073  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-fmtno 48612

This theorem is used by: (None)