Theorem prminf2 47569

Description: The set of prime numbers is infinite. The proof of this variant of prminf 16940 is based on Goldbach's theorem goldbachth 47528 (via prmdvdsfmtnof1 47568 and prmdvdsfmtnof1lem2 47566), see Wikipedia "Fermat number", 4-Aug-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties 47566. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prminf2	⊢ ℙ ∉ Fin

Proof of Theorem prminf2

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )) = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof1 47568	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ
3		ax-1 6	. . 3 ⊢ (ℙ ∉ Fin → ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin))
4		nnel 3047	. . . 4 ⊢ (¬ ℙ ∉ Fin ↔ ℙ ∈ Fin)
5		fmtnoinf 47517	. . . . . 6 ⊢ ran FermatNo ∉ Fin
6		f1fi 9329	. . . . . 6 ⊢ ((ℙ ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ) → ran FermatNo ∈ Fin)
7		df-nel 3038	. . . . . . 7 ⊢ (ran FermatNo ∉ Fin ↔ ¬ ran FermatNo ∈ Fin)
8		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ran FermatNo ∈ Fin → (ran FermatNo ∈ Fin → ℙ ∉ Fin))
9	7, 8	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (ran FermatNo ∉ Fin → (ran FermatNo ∈ Fin → ℙ ∉ Fin))
10	5, 6, 9	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ ((ℙ ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ) → ℙ ∉ Fin)
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ (ℙ ∈ Fin → ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin))
12	4, 11	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ ℙ ∉ Fin → ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin))
13	3, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )):ran FermatNo–1-1→ℙ → ℙ ∉ Fin)
14	2, 13	ax-mp 5	1 ⊢ ℙ ∉ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3037  {crab 3420   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  –1-1→wf1 6533  Fincfn 8964  infcinf 9458  ℝcr 11133   < clt 11274   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695  FermatNocfmtno 47508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-prod 15925  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-fmtno 47509

This theorem is referenced by: (None)