Theorem edgusgrnbfin 28492

Description: The number of neighbors of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrnbfin

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbusgrf1o.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbusgrf1o 28490	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
4		f1ofo 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
5		fofi 9320	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
6	5	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
8	7	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
10		f1of1 6818	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
11		f1fi 9321	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin)
12	11	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
14	13	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
15	3, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
16	9, 15	impbid 211	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {crab 3431  –1-1→wf1 6528  –onto→wfo 6529  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  Fincfn 8921  Vtxcvtx 28118  Edgcedg 28169  USGraphcusgr 28271   NeighbVtx cnbgr 28451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-2o 8448  df-oadd 8451  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9877  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12454  df-xnn0 12526  df-z 12540  df-uz 12804  df-fz 13466  df-hash 14272  df-edg 28170  df-upgr 28204  df-umgr 28205  df-uspgr 28272  df-usgr 28273  df-nbgr 28452

This theorem is referenced by:  nbusgrfi  28493