Theorem edgusgrnbfin 29300

Description: The number of neighbors of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrnbfin

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbusgrf1o.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbusgrf1o 29298	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
4		f1ofo 6807	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
5		fofi 9262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
6	5	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
8	7	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
10		f1of1 6799	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
11		f1fi 9263	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin)
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
14	13	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
15	3, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
16	9, 15	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {crab 3405  –1-1→wf1 6508  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Vtxcvtx 28923  Edgcedg 28974  USGraphcusgr 29076   NeighbVtx cnbgr 29259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-edg 28975  df-upgr 29009  df-umgr 29010  df-uspgr 29077  df-usgr 29078  df-nbgr 29260

This theorem is referenced by:  nbusgrfi  29301  edgusgrclnbfin  47842