Theorem edgusgrnbfin 29723

Description: The number of neighbors of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrnbfin

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbusgrf1o.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbusgrf1o 29721	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
4		f1ofo 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
5		fofi 9269	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
6	5	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
8	7	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
9	3, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
10		f1of1 6819	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
11		f1fi 9270	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin)
12	11	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
13	10, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
14	13	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
15	3, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
16	9, 15	impbid 215	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {crab 3416  –1-1→wf1 6533  –onto→wfo 6534  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Vtxcvtx 29346  Edgcedg 29397  USGraphcusgr 29499   NeighbVtx cnbgr 29682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-edg 29398  df-upgr 29432  df-umgr 29433  df-uspgr 29500  df-usgr 29501  df-nbgr 29683

This theorem is referenced by:  nbusgrfi  29724  edgusgrclnbfin  48607