Theorem edgusgrnbfin 29372

Description: The number of neighbors of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgusgrnbfin	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrnbfin

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbusgrf1o.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbusgrf1o 29370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
4		f1ofo 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
5		fofi 9208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
6	5	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
8	7	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
10		f1of1 6770	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
11		f1fi 9209	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin)
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
14	13	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
15	3, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
16	9, 15	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {crab 3396  –1-1→wf1 6486  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  Vtxcvtx 28995  Edgcedg 29046  USGraphcusgr 29148   NeighbVtx cnbgr 29331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-hash 14245  df-edg 29047  df-upgr 29081  df-umgr 29082  df-uspgr 29149  df-usgr 29150  df-nbgr 29332

This theorem is referenced by:  nbusgrfi  29373  edgusgrclnbfin  48004