Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  edgusgrnbfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem edgusgrnbfin 26852
 Description: The number of neighbors of a vertex in a simple graph is finite iff the number of edges having this vertex as endpoint is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
edgusgrnbfin ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑈,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem edgusgrnbfin
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbusgrf1o.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbusgrf1o 26850 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒})
4 f1ofo 6449 . . . . 5 (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒})
5 fofi 8601 . . . . . 6 (((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒}) → {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin)
65expcom 406 . . . . 5 (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin))
87exlimiv 1889 . . 3 (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin))
93, 8syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin))
10 f1of1 6441 . . . . 5 (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒𝐸𝑈𝑒})
11 f1fi 8602 . . . . . 6 (({𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒𝐸𝑈𝑒}) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin)
1211expcom 406 . . . . 5 (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → ({𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → ({𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
1413exlimiv 1889 . . 3 (∃𝑓 𝑓:(𝐺 NeighbVtx 𝑈)–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑈𝑒} → ({𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
153, 14syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin))
169, 15impbid 204 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∈ Fin ↔ {𝑒𝐸𝑈𝑒} ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2048  {crab 3089  –1-1→wf1 6183  –onto→wfo 6184  –1-1-onto→wf1o 6185  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974  Fincfn 8302  Vtxcvtx 26478  Edgcedg 26529  USGraphcusgr 26631   NeighbVtx cnbgr 26811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-2o 7902  df-oadd 7905  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-dju 9120  df-card 9158  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-nn 11436  df-2 11500  df-n0 11705  df-xnn0 11777  df-z 11791  df-uz 12056  df-fz 12706  df-hash 13503  df-edg 26530  df-upgr 26564  df-umgr 26565  df-uspgr 26632  df-usgr 26633  df-nbgr 26812 This theorem is referenced by:  nbusgrfi  26853
 Copyright terms: Public domain W3C validator