MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oenfirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oenfirn 9189
Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1oenfirn ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6845 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofn 6834 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐵)
3 fnfi 9187 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
42, 3sylan 579 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
51, 4sylan 579 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
65ancoms 458 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
7 cnvfi 9186 . . . 4 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
8 f1orel 6836 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
9 dfrel2 6188 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = 𝐹)
1110eleq1d 2817 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
1211biimpac 478 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
137, 12sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
146, 13sylancom 587 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15 f1oen3g 8968 . 2 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1614, 15sylancom 587 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  ccnv 5675  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  1-1-ontowf1o 6542  cen 8942  Fincfn 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8472  df-en 8946  df-fin 8949
This theorem is referenced by:  ensymfib  9193
  Copyright terms: Public domain W3C validator