Theorem f1oenfirn 9194

Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1oenfirn	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6830	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1ofn 6819	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹 Fn 𝐵)
3		fnfi 9192	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
5	1, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ◡𝐹 ∈ Fin)
7		cnvfi 9190	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 ∈ Fin → ◡◡𝐹 ∈ Fin)
8		f1orel 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
9		dfrel2 6178	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11	10	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡◡𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
12	11	biimpac 478	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
13	7, 12	sylan 580	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
14	6, 13	sylancom 588	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15		f1oen3g 8981	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	14, 15	sylancom 588	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653  Rel wrel 5659   Fn wfn 6526  –1-1-onto→wf1o 6530   ≈ cen 8956  Fincfn 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-en 8960  df-fin 8963

This theorem is referenced by:  ensymfib  9198