MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oenfirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oenfirn 9185
Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1oenfirn ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6839 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofn 6828 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐵)
3 fnfi 9183 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
42, 3sylan 579 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
51, 4sylan 579 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
65ancoms 458 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
7 cnvfi 9182 . . . 4 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
8 f1orel 6830 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
9 dfrel2 6182 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = 𝐹)
1110eleq1d 2812 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
1211biimpac 478 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
137, 12sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
146, 13sylancom 587 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15 f1oen3g 8964 . 2 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1614, 15sylancom 587 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  ccnv 5668  Rel wrel 5674   Fn wfn 6532  1-1-ontowf1o 6536  cen 8938  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  ensymfib  9189
  Copyright terms: Public domain W3C validator