Theorem f1oenfirn 9195

Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1oenfirn	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6837	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1ofn 6825	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹 Fn 𝐵)
3		fnfi 9193	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
5	1, 4	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
6	5	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ◡𝐹 ∈ Fin)
7		cnvfi 9191	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 ∈ Fin → ◡◡𝐹 ∈ Fin)
8		f1orel 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
9		dfrel2 6180	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11	10	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡◡𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
12	11	biimpac 484	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
13	7, 12	sylan 592	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
14	6, 13	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15		f1oen3g 8993	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	14, 15	sylancom 600	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655   Fn wfn 6533  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8970  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-en 8974  df-fin 8977

This theorem is used by:  ensymfib  9199