Theorem f1oenfirn 9220

Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1oenfirn	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6856	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴)
2		f1ofn 6844	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴 → ◡𝐹 Fn 𝐵)
3		fnfi 9218	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
5	1, 4	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
6	5	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → ◡𝐹 ∈ Fin)
7		cnvfi 9216	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 ∈ Fin → ◡◡𝐹 ∈ Fin)
8		f1orel 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → Rel 𝐹)
9		dfrel2 6192	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11	10	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → (◡◡𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
12	11	biimpac 484	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
13	7, 12	sylan 592	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
14	6, 13	sylancom 600	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15		f1oen3g 9018	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	14, 15	sylancom 600	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660   Fn wfn 6550  ⟶1-1ontowf1o 6554   ≈ cen 8995  Fincfn 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-om 7899  df-1o 8501  df-en 8999  df-fin 9002

This theorem is used by:  ensymfib  9224