MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oenfirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oenfirn 9218
Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1oenfirn ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6861 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofn 6850 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐵)
3 fnfi 9216 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
42, 3sylan 580 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
65ancoms 458 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
7 cnvfi 9215 . . . 4 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
8 f1orel 6852 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
9 dfrel2 6211 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 218 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = 𝐹)
1110eleq1d 2824 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
1211biimpac 478 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
137, 12sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
146, 13sylancom 588 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15 f1oen3g 9006 . 2 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1614, 15sylancom 588 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  ccnv 5688  Rel wrel 5694   Fn wfn 6558  1-1-ontowf1o 6562  cen 8981  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  ensymfib  9222
  Copyright terms: Public domain W3C validator