MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oenfirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oenfirn 9130
Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1oenfirn ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6797 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofn 6786 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐵)
3 fnfi 9128 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
42, 3sylan 581 . . . . 5 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
51, 4sylan 581 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
65ancoms 460 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
7 cnvfi 9127 . . . 4 (𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
8 f1orel 6788 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
9 dfrel2 6142 . . . . . . 7 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = 𝐹)
1110eleq1d 2819 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
1211biimpac 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
137, 12sylan 581 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
146, 13sylancom 589 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15 f1oen3g 8909 . 2 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1614, 15sylancom 589 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  ccnv 5633  Rel wrel 5639   Fn wfn 6492  1-1-ontowf1o 6496  cen 8883  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8887  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  ensymfib  9134
  Copyright terms: Public domain W3C validator