Theorem f1oenfirn 8931

Description: If the range of a one-to-one, onto function is finite, then the domain and range of the function are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1oenfirn	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oenfirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 6724	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
2		f1ofn 6713	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹 Fn 𝐵)
3		fnfi 8929	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
4	2, 3	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
5	1, 4	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ◡𝐹 ∈ Fin)
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ◡𝐹 ∈ Fin)
7		cnvfi 8928	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 ∈ Fin → ◡◡𝐹 ∈ Fin)
8		f1orel 6715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
9		dfrel2 6089	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	8, 9	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
11	10	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (◡◡𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
12	11	biimpac 478	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
13	7, 12	sylan 579	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
14	6, 13	sylancom 587	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
15		f1oen3g 8725	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
16	14, 15	sylancom 587	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ^◡ccnv 5587  Rel wrel 5593   Fn wfn 6425  –1-1-onto→wf1o 6429   ≈ cen 8704  Fincfn 8707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-om 7701  df-1o 8281  df-en 8708  df-fin 8711

This theorem is referenced by:  ensymfib  8935