MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvfi 8642
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5919 . . 3 𝐴𝐴
2 ssfi 8574 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 relcnv 5835 . . 3 Rel 𝐴
5 cnvexg 7476 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
6 cnven 8423 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
74, 5, 6sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
8 enfii 8571 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
93, 7, 8syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2079  Vcvv 3432  wss 3854   class class class wbr 4956  ccnv 5434  Rel wrel 5440  cen 8344  Fincfn 8347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-er 8130  df-en 8348  df-fin 8351
This theorem is referenced by:  rnfi  8643  fsumcnv  14949  fprodcnv  15158  gsumcom3  20680  gsummpt2co  30453
  Copyright terms: Public domain W3C validator