MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfisuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfisuppfi 9415
Description: The support of a function with a finite domain is always finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfisuppfi (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fdmfisuppfi
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 fdmfisuppfi.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
31, 2fexd 7248 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
4 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
5 suppimacnv 8200 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
72, 1fisuppfi 9412 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
86, 7eqeltrd 2840 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cdif 3947  {csn 4625  ccnv 5683  cima 5687  wf 6556  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-supp 8187  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  fdmfifsupp  9416  fndmfisuppfi  9418
  Copyright terms: Public domain W3C validator