MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfisuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfisuppfi 8553
Description: The support of a function with a finite domain is always finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfisuppfi (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fdmfisuppfi
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 fdmfisuppfi.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
3 fex 6745 . . . 4 ((𝐹:𝐷𝑅𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 581 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
5 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
6 suppimacnv 7570 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
74, 5, 6syl2anc 581 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
82, 1fisuppfi 8552 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
97, 8eqeltrd 2906 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3414  cdif 3795  {csn 4397  ccnv 5341  cima 5345  wf 6119  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  Fincfn 8222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-supp 7560  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226
This theorem is referenced by:  fdmfifsupp  8554  fndmfisuppfi  8556
  Copyright terms: Public domain W3C validator