MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfisuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfisuppfi 9367
Description: The support of a function with a finite domain is always finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfisuppfi (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fdmfisuppfi
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 fdmfisuppfi.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
31, 2fexd 7223 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
4 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
5 suppimacnv 8153 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
63, 4, 5syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
72, 1fisuppfi 9365 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
86, 7eqeltrd 2834 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3943  {csn 4626  ccnv 5673  cima 5677  wf 6535  (class class class)co 7403   supp csupp 8140  Fincfn 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pr 5425  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-supp 8141  df-1o 8460  df-en 8935  df-fin 8938
This theorem is referenced by:  fdmfifsupp  9368  fndmfisuppfi  9370
  Copyright terms: Public domain W3C validator