MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfisuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfisuppfi 9412
Description: The support of a function with a finite domain is always finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfisuppfi (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fdmfisuppfi
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 fdmfisuppfi.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
31, 2fexd 7247 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
4 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
5 suppimacnv 8198 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
72, 1fisuppfi 9409 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
86, 7eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8185  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  fdmfifsupp  9413  fndmfisuppfi  9415
  Copyright terms: Public domain W3C validator