Theorem fdmfisuppfi 9391

Description: The support of a function with a finite domain is always finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfisuppfi	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fdmfisuppfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2		fdmfisuppfi.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
3	1, 2	fexd 7224	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		suppimacnv 8178	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
7	2, 1	fisuppfi 9388	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
8	6, 7	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   supp csupp 8164  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-supp 8165  df-1o 8485  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  fdmfifsupp  9392  fndmfisuppfi  9394