MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjf 19172
Description: The 𝑋-th index projection is a function from the direct product to the 𝑋-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjf.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dpjf (𝜑 → (𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋))

Proof of Theorem dpjf
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2 eqid 2798 . . 3 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3 eqid 2798 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2798 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
6 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
75, 6dprdf2 19122 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8 dpjf.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
97, 8ffvelrnd 6829 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 difssd 4060 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
115, 6, 10dprdres 19143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1211simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dprdsubg 19139 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
155, 6, 8, 3dpjdisj 19168 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
165, 6, 8, 4dpjcntz 19167 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17 eqid 2798 . . 3 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1f 18815 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))):((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))⟶(𝑆𝑋))
19 dpjfval.p . . . 4 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
205, 6, 19, 17, 8dpjval 19171 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
215, 6, 8, 2dpjlsm 19169 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
2220, 21feq12d 6475 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋) ↔ ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))):((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))⟶(𝑆𝑋)))
2318, 22mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  cdif 3878  wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  cres 5521  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  Cntzccntz 18437  LSSumclsm 18751  proj1cpj1 18752   DProd cdprd 19108  dProjcdpj 19109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-pj1 18754  df-cmn 18900  df-dprd 19110  df-dpj 19111
This theorem is referenced by:  dpjidcl  19173  dpjghm2  19179  dchrptlem2  25849
  Copyright terms: Public domain W3C validator