MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjf 19108
Description: The 𝑋-th index projection is a function from the direct product to the 𝑋-th factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjf.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dpjf (𝜑 → (𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋))

Proof of Theorem dpjf
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2 eqid 2818 . . 3 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3 eqid 2818 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2818 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
6 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
75, 6dprdf2 19058 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8 dpjf.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
97, 8ffvelrnd 6844 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 difssd 4106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
115, 6, 10dprdres 19079 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1211simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dprdsubg 19075 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
155, 6, 8, 3dpjdisj 19104 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
165, 6, 8, 4dpjcntz 19103 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17 eqid 2818 . . 3 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1f 18752 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))):((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))⟶(𝑆𝑋))
19 dpjfval.p . . . 4 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
205, 6, 19, 17, 8dpjval 19107 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
215, 6, 8, 2dpjlsm 19105 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
2220, 21feq12d 6495 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋) ↔ ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))):((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))⟶(𝑆𝑋)))
2318, 22mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑃𝑋):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383  LSSumclsm 18688  proj1cpj1 18689   DProd cdprd 19044  dProjcdpj 19045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-pj1 18691  df-cmn 18837  df-dprd 19046  df-dpj 19047
This theorem is referenced by:  dpjidcl  19109  dpjghm2  19115  dchrptlem2  25768
  Copyright terms: Public domain W3C validator