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Theorem iswlk 29132
Description: Properties of a pair of functions to be a walk. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wksfval.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wksfval.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
iswlk ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem iswlk
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5150 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ))
2 wksfval.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 wksfval.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3wksfval 29131 . . . . 5 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (Walksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))})
543ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (Walksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))})
65eleq2d 2817 . . 3 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))}))
71, 6bitrid 282 . 2 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))}))
8 eleq1 2819 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼))
98adantr 479 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼))
10 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ 𝑝 = 𝑃)
11 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™―β€˜π‘“) = (β™―β€˜πΉ))
1211oveq2d 7429 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (0...(β™―β€˜π‘“)) = (0...(β™―β€˜πΉ)))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (0...(β™―β€˜π‘“)) = (0...(β™―β€˜πΉ)))
1410, 13feq12d 6706 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ↔ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰))
1511oveq2d 7429 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘“)) = (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1615adantr 479 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘“)) = (0..^(β™―β€˜πΉ)))
17 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
18 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1917, 18eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
21 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2221fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
2317sneqd 4641 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ {(π‘β€˜π‘˜)} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)})
2422, 23eqeqan12d 2744 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)} ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
2517, 18preq12d 4746 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 β†’ {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
2625adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
2722adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
2826, 27sseq12d 4016 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ({(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
2920, 24, 28ifpbi123d 1076 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
3016, 29raleqbidv 3340 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
319, 14, 303anbi123d 1434 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
3231opelopabga 5534 . . 3 ((𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
33323adant1 1128 . 2 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑝:(0...(β™―β€˜π‘“))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“))if-((π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = {(π‘β€˜π‘˜)}, {(π‘β€˜π‘˜), (π‘β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
347, 33bitrd 278 1 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  if-wif 1059   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14296  Word cword 14470  Vtxcvtx 28521  iEdgciedg 28522  Walkscwlks 29118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-wlks 29121
This theorem is referenced by:  wlkprop  29133  iswlkg  29135  wlkvtxeledg  29146  wlk1walk  29161  redwlk  29194  wlkp1  29203  wlkd  29208  lfgrwlkprop  29209  crctcshwlkn0  29340  upwlkwlk  46817  upgrwlkupwlk  46818
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