fourierdlem103 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem103 41871

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem103.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem103.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem103.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem103.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem103.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem103.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem103.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem103.fbdioo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem103.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem103.fdvbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem103.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
fourierdlem103.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem103.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem103.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem103.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem103.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem103.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem103.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem103.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem103.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem103.o	⊢ 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))
fourierdlem103.t	⊢ 𝑇 = ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
fourierdlem103.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem103.j	⊢ 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem103.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
fourierdlem103.1	⊢ 𝐶 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem103.ch	⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem103	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (𝑊 / 2))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧 𝐷,𝑖,𝑚,𝑠 𝑛,𝐸 𝑖,𝐹,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡 𝑚,𝐹,𝑘 𝑤,𝐹,𝑧,𝑘,𝑠 𝑒,𝐺,𝑘,𝑠 𝑖,𝐺,𝑡 𝑖,𝐻,𝑠 𝑘,𝐽,𝑙,𝑠 𝑓,𝐽,𝑘 𝑖,𝐽,𝑡 𝑚,𝐽 𝑤,𝐽,𝑧 𝐾,𝑠 𝐿,𝑙,𝑠,𝑡 𝑘,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑡 𝑚,𝑀,𝑝,𝑖 𝑖,𝑁,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡 𝑒,𝑁,𝑙 𝑓,𝑁 𝑚,𝑁 𝑤,𝑁,𝑧 𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,𝑘 𝑡,𝑂 𝑄,𝑙,𝑠,𝑖,𝑡 𝑄,𝑝 𝑅,𝑙,𝑠,𝑡 𝑆,𝑠 𝑇,𝑓 𝑈,𝑑,𝑘,𝑠,𝑙 𝑈,𝑛,𝑘,𝑠 𝑖,𝑉,𝑘,𝑠 𝑉,𝑝 𝑡,𝑉 𝑖,𝑊,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡 𝑚,𝑊,𝑛,𝑖 𝑤,𝑊,𝑧 𝑖,𝑋,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡 𝑚,𝑋,𝑝 𝑤,𝑋,𝑧 𝑌,𝑠 𝑛,𝑍 𝑒,𝑑 𝑖,𝑑,𝜑,𝑡,𝑘,𝑙,𝑠 𝜑,𝑒 𝜒,𝑠 𝑓,𝑑,𝜑 𝑤,𝑑,𝑧,𝜑 𝑒,𝑛,𝜑 𝜑,𝑚 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑝) 𝜒(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐵(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐶(𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝑃(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙) 𝑄(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑑) 𝑅(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑) 𝑆(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝑇(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙) 𝑈(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑚,𝑝) 𝐸(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑) 𝐺(𝑧,𝑤,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑) 𝐾(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝐿(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑) 𝑀(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑) 𝑁(𝑛,𝑝,𝑑) 𝑂(𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑) 𝑉(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑚,𝑛,𝑑,𝑙) 𝑊(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑) 𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑) 𝑌(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙) 𝑍(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem103 Dummy variables ∥ 𝑏 𝑟 𝑐 𝑢 𝑗 𝑦 𝑥 ℎ 𝑣 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2772	. . 3 ⊢ (ℤ_≥‘1) = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 11819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nfv 1873	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
4		nfmpt1 5019	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
5		nfmpt1 5019	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6		fourierdlem103.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
7		nfmpt1 5019	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
8	6, 7	nfcxfr 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nnuz 12088	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
10		pire 24737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	renegcli 10740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ ℝ)
13		elioore 12577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 ∈ ℝ)
14	13	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
15		fourierdlem103.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16		fourierdlem103.xre	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		ioossre 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
19	15, 18	fssresd 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
20		ioosscn 41146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
22		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
23		pnfxr 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
25	16	ltpnfd 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
26	22, 24, 16, 25	lptioo1cn 41304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝑋(,)+∞)))
27		fourierdlem103.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
28	19, 21, 26, 27	limcrecl 41287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
29		ioossre 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
31	15, 30	fssresd 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
32		ioosscn 41146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
34		mnfxr 10490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ^*)
36	16	mnfltd 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
37	22, 35, 16, 36	lptioo2cn 41303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(-∞(,)𝑋)))
38		fourierdlem103.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
39	31, 33, 37, 38	limcrecl 41287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
40		fourierdlem103.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
41		fourierdlem103.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
42		fourierdlem103.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
43	15, 16, 28, 39, 40, 41, 42	fourierdlem55 41823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
44		ax-resscn 10384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
46	43, 45	fssd 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
47	46	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
48	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
49	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
50	48	leidd 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≤ -π)
51		0red 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
52	11	rexri 10491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -π ∈ ℝ^*
53		0xr 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
54		iooltub 41163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 < 0)
55	52, 53, 54	mp3an12 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 < 0)
56		pipos 24739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < π
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
58	13, 51, 49, 55, 57	lttrd 10593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 < π)
59	13, 49, 58	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 ≤ π)
60		iccss 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 𝑑 ≤ π)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
61	48, 49, 50, 59, 60	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
62	61	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
63	47, 62	fssresd 6368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)):(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
64		fourierdlem103.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)))
66	65	feq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)):(-π[,]𝑑)⟶ℂ))
67	63, 66	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
68		fourierdlem103.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
69	11	elexi 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ -π ∈ V
70	69	prid1 4566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ∈ {-π, 𝑑}
71		elun1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π ∈ {-π, 𝑑} → -π ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -π ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
73		fourierdlem103.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑇 = ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
74	72, 73	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -π ∈ 𝑇
75	74	ne0ii 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑇 ≠ ∅
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
77		prfi 8580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ {-π, 𝑑} ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → {-π, 𝑑} ∈ Fin)
79		fzfi 13148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
80		fourierdlem103.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
81	80	rnmptfi 40797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin)
84		infi 8529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin)
86		unfi 8572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (({-π, 𝑑} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ∈ Fin)
87	78, 85, 86	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ∈ Fin)
88	73, 87	syl5eqel 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
89		hashnncl 13535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
91	76, 90	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
92		nnm1nn0 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ₀)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ₀)
94	68, 93	syl5eqel 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
95	94	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
96		0red 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
97		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
98	95	nn0red 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99		0lt1 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 1
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 < 1)
101		2re 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 ∈ ℝ)
103	91	nnred 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104	103	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
105		ioogtlb 41147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑑)
106	52, 53, 105	mp3an12 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑑)
107	48, 106	ltned 10568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≠ 𝑑)
108	107	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≠ 𝑑)
109		hashprg 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (-π ≠ 𝑑 ↔ (♯‘{-π, 𝑑}) = 2))
110	12, 14, 109	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π ≠ 𝑑 ↔ (♯‘{-π, 𝑑}) = 2))
111	108, 110	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘{-π, 𝑑}) = 2)
112	111	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 = (♯‘{-π, 𝑑}))
113	88	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ∈ Fin)
114		ssun1 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {-π, 𝑑} ⊆ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
115	114, 73	sseqtr4i 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {-π, 𝑑} ⊆ 𝑇
116		hashssle 40940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑇 ∈ Fin ∧ {-π, 𝑑} ⊆ 𝑇) → (♯‘{-π, 𝑑}) ≤ (♯‘𝑇))
117	113, 115, 116	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘{-π, 𝑑}) ≤ (♯‘𝑇))
118	112, 117	eqbrtrd 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
119	102, 104, 97, 118	lesub1dd 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
120		1e2m1 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 = (2 − 1)
121	119, 120, 68	3brtr4g 4957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 1 ≤ 𝑁)
122	96, 97, 98, 100, 121	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 < 𝑁)
123	122	gt0ne0d 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ≠ 0)
124	95, 123	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125		elnnne0 11716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	124, 125	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
127		fourierdlem103.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
128	50	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≤ -π)
129	48, 13, 106	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≤ 𝑑)
130	129	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≤ 𝑑)
131	12, 14, 12, 128, 130	eliccd 41156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ (-π[,]𝑑))
132	14	leidd 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
133	12, 14, 14, 130, 132	eliccd 41156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑))
134	131, 133	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π ∈ (-π[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑)))
135		vex 3412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑑 ∈ V
136	69, 135	prss 4621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π ∈ (-π[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑)) ↔ {-π, 𝑑} ⊆ (-π[,]𝑑))
137	134, 136	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → {-π, 𝑑} ⊆ (-π[,]𝑑))
138		inss2 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π(,)𝑑)
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π(,)𝑑))
140		ioossicc 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-π(,)𝑑) ⊆ (-π[,]𝑑)
141	139, 140	syl6ss 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π[,]𝑑))
142	137, 141	unssd 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ⊆ (-π[,]𝑑))
143	73, 142	syl5eqss 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ⊆ (-π[,]𝑑))
144	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ 𝑇)
145	135	prid2 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑑 ∈ {-π, 𝑑}
146		elun1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ {-π, 𝑑} → 𝑑 ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))))
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑑 ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
148	147, 73	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
150	113, 68, 127, 12, 14, 143, 144, 149	fourierdlem52 41820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑) ∧ (𝐽‘0) = -π) ∧ (𝐽‘𝑁) = 𝑑))
151	150	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑) ∧ (𝐽‘0) = -π))
152	151	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑))
153	151	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽‘0) = -π)
154	150	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽‘𝑁) = 𝑑)
155		elfzoelz 12847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
156	155	zred 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
157	156	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
158	157	ltp1d 11363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
159	48, 13	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → (-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
160	69, 135	prss 4621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ↔ {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
161	159, 160	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
162	161	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
163		ioossre 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)𝑑) ⊆ ℝ
164	138, 163	sstri 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ ℝ
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ ℝ)
166	162, 165	unssd 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ⊆ ℝ)
167	73, 166	syl5eqss 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
168	113, 167, 127, 68	fourierdlem36 41805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
169	168	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
170		elfzofz 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
171	170	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
172		fzofzp1 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
173	172	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
174		isorel 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
175	169, 171, 173, 174	syl12anc 824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
176	158, 175	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
177	43	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
178	177, 62	feqresmpt 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (𝑈‘𝑠)))
179	62	sselda 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
180	15, 16, 28, 39, 40	fourierdlem9 41778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
181	180	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
182	181, 179	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
183	41	fourierdlem43 41812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
184	183	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
185	184, 179	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
186	182, 185	remulcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
187	42	fvmpt2 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
188	179, 186, 187	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
189	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ)
190	13	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
191		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
192		eliccre 41158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
193	189, 190, 191, 192	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
194		0red 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
195	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ^*)
196	190	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
197		iccleub 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ 𝑑)
198	195, 196, 191, 197	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ 𝑑)
199	55	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 < 0)
200	193, 190, 194, 198, 199	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 < 0)
201	193, 200	ltned 10568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≠ 0)
202	201	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≠ 0)
203	202	neneqd 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 𝑠 = 0)
204	203	iffalsed 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
205	193, 194, 200	ltnsymd 10581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 0 < 𝑠)
206	205	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 0 < 𝑠)
207	206	iffalsed 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
208	207	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
209	208	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
210	204, 209	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
211	15	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
212	16	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑋 ∈ ℝ)
213		iccssre 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
214	11, 10, 213	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
215	214, 179	sseldi 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
216	212, 215	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
217	211, 216	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
218	39	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑊 ∈ ℝ)
219	217, 218	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) ∈ ℝ)
220	219, 215, 202	redivcld 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ ℝ)
221	210, 220	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
222	40	fvmpt2 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
223	179, 221, 222	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
224	223, 204, 209	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
225	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → π ∈ ℝ)
226	225	renegcld 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ)
227		iccgelb 12602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ 𝑠)
228	195, 196, 191, 227	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ 𝑠)
229	58	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 < π)
230	193, 190, 225, 198, 229	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 < π)
231	193, 225, 230	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ π)
232	226, 225, 193, 228, 231	eliccd 41156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
233	201	neneqd 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 𝑠 = 0)
234	233	iffalsed 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
235	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℝ)
236	193	rehalfcld 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
237	236	resincld 15346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
238	235, 237	remulcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
239		2cn 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ ℂ
240	239	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℂ)
241	193	recnd 10460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℂ)
242	241	halfcld 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
243	242	sincld 15333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
244		2ne0 11544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ≠ 0
245	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ≠ 0)
246		fourierdlem44 41813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
247	232, 201, 246	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
248	240, 243, 245, 247	mulne0d 11085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
249	193, 238, 248	redivcld 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
250	234, 249	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
251	41	fvmpt2 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252	232, 250, 251	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
253	252	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	224, 253	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255	203	iffalsed 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
256	255	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
257	188, 254, 256	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
258	257	mpteq2dva 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (𝑈‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
259	65, 178, 258	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
260	259	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
261	260	reseq1d 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
262	15	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
263	16	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
264		fourierdlem103.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
265		fourierdlem103.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
266	265	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑀 ∈ ℕ)
267		fourierdlem103.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
268	267	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
269		fourierdlem103.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
270	269	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
271		fourierdlem103.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
272	271	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
273		fourierdlem103.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
274	273	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
275	106	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑑)
276	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ ℝ^*)
277	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ^*)
278	55	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 < 0)
279	276, 14, 277, 278	gtnelicc 41152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ¬ 0 ∈ (-π[,]𝑑))
280	39	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑊 ∈ ℝ)
281		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
282		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
283		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2)))))
284		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘𝑙) = (𝑄‘𝑖))
285		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
286	285	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
287	284, 286	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
288	287	sseq2d 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
289	288	cbvriotav 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
290	262, 263, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 12, 14, 275, 62, 279, 280, 281, 80, 73, 68, 127, 282, 283, 289	fourierdlem86 41854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
291	290	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
292	261, 291	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
293	290	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘))))
294	293	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295	260	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
296	295	reseq1d 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
297	296	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
298	294, 297	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
299	293	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
300	296	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
301	299, 300	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
302		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
303	67	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
304	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ∈ ℝ)
305	14	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
306		elioore 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
307	306	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
308	62, 214	syl6ss 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) ⊆ ℝ)
309	308	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (-π[,]𝑑) ⊆ ℝ)
310	152	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑))
311	310, 171	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ (-π[,]𝑑))
312	309, 311	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
313	312	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
314	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ^*)
315	14	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
316	315	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
317		iccgelb 12602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘𝑘) ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ (𝐽‘𝑘))
318	314, 316, 311, 317	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ≤ (𝐽‘𝑘))
319	318	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ≤ (𝐽‘𝑘))
320	313	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^*)
321	310, 173	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (-π[,]𝑑))
322	309, 321	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
323	322	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
324	323	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
325		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
326		ioogtlb 41147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) < 𝑠)
327	320, 324, 325, 326	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) < 𝑠)
328	304, 313, 307, 319, 327	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π < 𝑠)
329	304, 307, 328	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ≤ 𝑠)
330	322	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
331		iooltub 41163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
332	320, 324, 325, 331	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
333		iccleub 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
334	314, 316, 321, 333	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
335	334	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
336	307, 330, 305, 332, 335	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < 𝑑)
337	307, 305, 336	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ 𝑑)
338	304, 305, 307, 329, 337	eliccd 41156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
339	338	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
340		dfss3 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
341	339, 340	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑))
342	303, 341	feqresmpt 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂‘𝑠)))
343		simplll 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
344		simpllr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
345	64	fveq1i 6494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠)
346	345	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠))
347		fvres 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
348	347	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
349	253, 255	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
350	224, 349	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
351	219	recnd 10460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) ∈ ℂ)
352	241	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℂ)
353	239	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℂ)
354	352	halfcld 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
355	354	sincld 15333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
356	353, 355	mulcld 10452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
357	248	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
358	351, 352, 356, 202, 357	dmdcan2d 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359	188, 350, 358	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
360	346, 348, 359	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑂‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
361	343, 344, 338, 360	syl21anc 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
362	343, 344, 338, 358	syl21anc 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
363	362	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
364		eqidd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)))
365		oveq2 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
366	365	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
367	366	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
368		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠)
369	367, 368	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
370	369	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
371		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
372		ovex 7002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ V
373	372	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ V)
374	364, 370, 371, 373	fvmptd 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
375		eqidd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
376		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
377	376	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
378	377	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
379	368, 378	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380	379	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
381		ovex 7002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
383	375, 380, 371, 382	fvmptd 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
384	374, 383	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
385	384	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
386	385	adantllr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
387	361, 363, 386	3eqtrd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂‘𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
388	387	mpteq2dva 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
389	342, 388	eqtr2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
390	389	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
392	341, 309	sstrd 3864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
393	22	tgioo2 23104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
394	22, 393	dvres 24202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ) ∧ ((-π[,]𝑑) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
395	391, 303, 309, 392, 394	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
396		ioontr 41164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
397	396	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
398	397	reseq2d 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
399	390, 395, 398	3eqtrrd 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
400	15	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
401	16	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
402	265	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
403	267	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
404		fourierdlem103.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
405	404	ad4ant14 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
406	62	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
407	341, 406	sstrd 3864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
408	312	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^*)
409	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ^*)
410		0red 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
411	55	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < 0)
412	322, 315, 410, 334, 411	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) < 0)
413	408, 322, 409, 412	gtnelicc 41152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
414	39	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℝ)
415	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
416	106	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π < 𝑑)
417		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
418		biid 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
419	401, 264, 402, 403, 415, 315, 416, 406, 80, 73, 68, 127, 417, 289, 418	fourierdlem50 41818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
420	419	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
421	419	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
422	369	cbvmptv 5022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
423	379	cbvmptv 5022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
424		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
425	400, 401, 264, 402, 403, 405, 312, 322, 176, 407, 413, 414, 80, 420, 421, 422, 423, 424	fourierdlem72 41840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
426	399, 425	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
427		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
428		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
429		fourierdlem103.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐶 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
430	429, 420	syl5eqel 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
431		simpll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
432	431, 430	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
433		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
434	433	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
435		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐶))
436		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
437	436	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
438	435, 437	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
439		raleq 3339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
440	438, 439	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
441	440	rexbidv 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
442	434, 441	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)))
443		fourierdlem103.fbdioo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
444	442, 443	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
445	430, 432, 444	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
446		nfv 1873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
447		nfra1 3163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
448	446, 447	nfan 1862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
449		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
450	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
451	450, 16	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
452	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
453	452, 16	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
454	451, 453	iccssred 41157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
455		ressxr 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
456	454, 455	syl6ss 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ^*)
457	456	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ^*)
458	264, 402, 403	fourierdlem15 41784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
459		elfzofz 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
460	430, 459	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
461	458, 460	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462	457, 461	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ^*)
463	462	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ^*)
464		fzofzp1 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
465	430, 464	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
466	458, 465	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
467	457, 466	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ^*)
468	467	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ^*)
469		elioore 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
470	469	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
471	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
472	415, 471, 401, 264, 402, 403, 460, 80	fourierdlem13 41782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘𝐶) = ((𝑉‘𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶))))
473	472	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶)))
474	473	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶)))
475	454	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476	475, 461	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ)
477	476	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ)
478	474, 477	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ∈ ℝ)
479	401, 312	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ)
480	479	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ)
481	472	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) = ((𝑉‘𝐶) − 𝑋))
482	476, 401	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
483	481, 482	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) ∈ ℝ)
484	415, 471, 401, 264, 402, 403, 465, 80	fourierdlem13 41782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
485	484	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
486	475, 466	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
487	486, 401	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
488	485, 487	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
489	429	eqcomi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
490	489	fveq2i 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄‘𝐶)
491	489	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
492	491	fveq2i 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
493	490, 492	oveq12i 6982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄‘𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
494	421, 493	syl6sseq 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
495	483, 488, 312, 322, 176, 494	fourierdlem10 41779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘𝐶) ≤ (𝐽‘𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
496	495	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) ≤ (𝐽‘𝑘))
497	483, 312, 401, 496	leadd2dd 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽‘𝑘)))
498	497	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽‘𝑘)))
499	480	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^*)
500	401, 322	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
501	500	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^*)
502	501	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^*)
503		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
504		ioogtlb 41147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) < 𝑡)
505	499, 502, 503, 504	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) < 𝑡)
506	478, 480, 470, 498, 505	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) < 𝑡)
507	474, 506	eqbrtrd 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) < 𝑡)
508	500	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
509	484	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
510	509, 486	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
511	510	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
512		iooltub 41163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
513	499, 502, 503, 512	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
514	495	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
515	322, 488, 401, 514	leadd2dd 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
516	515	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
517	470, 508, 511, 513, 516	ltletrd 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
518	509	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
519	518	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
520	517, 519	breqtrd 4949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
521	463, 468, 470, 507, 520	eliood 41150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
522	521	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
523		rspa 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
524	449, 522, 523	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
525	524	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
526	448, 525	ralrimi 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
527	526	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
528	527	reximdv 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
529	445, 528	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
530	438	raleqdv 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
531	530	rexbidv 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
532	434, 531	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
533		fourierdlem103.fdvbd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
534	532, 533	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
535	430, 432, 534	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
536		nfra1 3163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
537	446, 536	nfan 1862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
538	15, 45	fssd 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
539		ssid 3875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
540	539	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
541		ioossre 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
542	541	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
543	22, 393	dvres 24202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
544	45, 538, 540, 542, 543	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
545		ioontr 41164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
546	545	reseq2i 5685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
547	546	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
548	544, 547	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
549	548	fveq1d 6495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
550		fvres 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
551	549, 550	sylan9eq 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
552	551	ad4ant14 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
553	552	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
554	553	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
555		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556	521	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
557		rspa 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
558	555, 556, 557	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559	554, 558	eqbrtrd 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
560	559	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
561	537, 560	ralrimi 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
562	561	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
563	562	reximdv 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
564	535, 563	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
565	415	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ^*)
566	565, 316, 310, 417	fourierdlem8 41777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑))
567	126	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
568	152, 308	fssd 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
569	568	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
570		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑))
571	153	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π = (𝐽‘0))
572	154	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 = (𝐽‘𝑁))
573	571, 572	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) = ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
574	573	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → (-π[,]𝑑) = ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
575	570, 574	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
576	575	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
577		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
578		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐽‘𝑗) = (𝐽‘𝑘))
579	578	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽‘𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽‘𝑘) < 𝑟))
580	579	cbvrabv 3406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑘) < 𝑟}
581	580	supeq1i 8698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
582	567, 569, 576, 577, 581	fourierdlem25 41794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽‘𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
583	546	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584	538	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
585	539	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
586	541	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
587	391, 584, 585, 586, 543	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
588	521	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
589		dfss3 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
590	588, 589	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
591	590	resabs1d 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
592	583, 587, 591	3eqtr4rd 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
593		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
594		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
595	438	reseq2d 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
596	595, 438	feq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
597	434, 596	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
598		cncff 23194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
599	404, 598	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
600	597, 599	vtoclg 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
601	593, 594, 600	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
602	432, 601	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
603	602, 590	fssresd 6368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
604	592, 603	feq1dd 40793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
605	367, 378	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
606	605	cbvmptv 5022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
607		biid 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
608		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑡))
609	608	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
610	609	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
611	610	cbvralv 3377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
612	607, 611	anbi12i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
613		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
614	613	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
615	614	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
616	615	cbvralv 3377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
617	612, 616	anbi12i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
618	262, 263, 12, 14, 62, 279, 280, 427, 428, 529, 564, 152, 176, 566, 582, 604, 606, 617	fourierdlem80 41848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
619	358	mpteq2dva 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
620	259, 619	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621	620	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
622	621	dmeqd 5617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
623		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
624		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠ℝ
625		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠 D
626		nfmpt1 5019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
627	624, 625, 626	nfov 7000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
628	627	nfdm 5659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
629	623, 628	raleqf 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630	622, 629	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
631	621	fveq1d 6495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
632	631	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
633	632	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
634	633	ralbidv 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
635	630, 634	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
636	635	rexbidv 3236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
637	618, 636	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
638		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
639		eqeq1 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽‘𝑘)))
640		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑄‘ℎ) = (𝑄‘𝑙))
641		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (ℎ + 1) = (𝑙 + 1))
642	641	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑄‘(ℎ + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
643	640, 642	oveq12d 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))) = ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
644	643	sseq2d 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))) ↔ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
645	644	cbvriotav 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
646	645	fveq2i 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
647	646	eqeq2i 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) ↔ (𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
648	647	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) ↔ (𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
649		csbeq1 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅)
650	645, 649	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅
651	650	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅)
652	648, 651	ifbieq1d 4367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) = if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))))
653	652	mptru 1514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) = if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘))))
654	653	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) = (if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊)
655	654	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) = ((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘))
656	655	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2)))))
657	656	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))))
658		eqeq1 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
659	645	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1) = ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
660	659	fveq2i 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
661	660	eqeq2i 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
662	661	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
663		csbeq1 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿)
664	645, 663	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿
665	664	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿)
666	662, 665	ifbieq1d 4367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
667	666	mptru 1514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
668	667	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊)
669	668	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
670	669	oveq1i 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
671	670	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
672		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑂‘𝑡) = (𝑂‘𝑠))
673	658, 671, 672	ifbieq12d 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠)))
674	639, 657, 673	ifbieq12d 4371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠))))
675	674	cbvmptv 5022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠))))
676	12, 14, 67, 126, 152, 153, 154, 176, 292, 298, 301, 302, 426, 637, 638, 675	fourierdlem73 41841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
677		breq2 4927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
678	677	rexralbidv 3240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
679	678	cbvralv 3377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
680	676, 679	sylib 210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
681	680	adantlr 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
682		rphalfcl 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
683	682	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
684		breq2 4927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
685	684	rexralbidv 3240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
686	685	rspccva 3528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
687	681, 683, 686	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688	345	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠))
689	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π[,]𝑑))
690	689	sselda 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
691	690, 347	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
692	688, 691	eqtr2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = (𝑂‘𝑠))
693	692	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
694	693	itgeq2dv 24075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
695	694	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
696	695	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
697		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698	696, 697	eqbrtrd 4945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
699	698	ex 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
700	699	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
701	700	ralimdv 3122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
702	701	reximdv 3212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
703	687, 702	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
704	703	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
705		nfv 1873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0))
706		nfra1 3163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
707	705, 706	nfan 1862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708		nfv 1873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ ℕ
709	707, 708	nfan 1862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
710		nfv 1873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
711	709, 710	nfan 1862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
712		simpll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)))
713		eluznn 12125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
714	713	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
715	712, 714	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
716	715	adantllr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
717		simpllr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
718	713	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
719		rspa 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
720	717, 718, 719	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
721	716, 720	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
722	721	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
723		nnre 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
724	723	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ^*)
725	724	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ^*)
726	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → +∞ ∈ ℝ^*)
727		eluzelre 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
728		1re 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
729	728	rehalfcli 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
730	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
731	727, 730	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
732	731	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
733	723	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
734	727	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
735		eluzle 12064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
736	735	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
737		halfgt0 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < (1 / 2)
738	737	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 0 < (1 / 2))
739	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
740	739, 734	ltaddposd 11017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
741	738, 740	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
742	733, 734, 732, 736, 741	lelttrd 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
743	732	ltpnfd 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
744	725, 726, 732, 742, 743	eliood 41150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
745	744	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
746		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
747		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
748	747	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
749	748	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
750	749	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
751	750	itgeq2dv 24075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
752	751	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
753	752	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
754	753	rspcv 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
755	745, 746, 754	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
756	755	adantlll 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
757	722, 756	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
758		fourierdlem103.ch	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
759	757, 758	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝜒)
760	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → -π ∈ ℝ)
761		0red 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
762		ioossicc 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
763	758	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
764		simp-4r 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
765	763, 764	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
766	762, 765	sseldi 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ (-π[,]0))
767		simp-5l 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
768	763, 767	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
769	43	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
770	10	rexri 10491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℝ^*
771		0re 10433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℝ
772	771, 10, 56	ltleii 10555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ π
773		iooss2 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((π ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
774	770, 772, 773	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
775		ioossicc 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
776	774, 775	sstri 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
777	776	sseli 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
778	777	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
779	769, 778	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
780	768, 779	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
781		simpllr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
782	763, 781	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ)
783	782	nnred 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ)
784	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
785	783, 784	readdcld 10461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
786	785	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
787		elioore 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
788	787	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
789	786, 788	remulcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
790	789	resincld 15346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
791	780, 790	remulcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
792	791	recnd 10460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
793	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → -π ∈ ℝ^*)
794	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ^*)
795	760	leidd 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → -π ≤ -π)
796		ioossre 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-π(,)0) ⊆ ℝ
797	796, 765	sseldi 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ)
798	793, 794, 765, 54	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑑 < 0)
799	797, 761, 798	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ≤ 0)
800		ioossioo 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^*) ∧ (-π ≤ -π ∧ 𝑑 ≤ 0)) → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π(,)0))
801	793, 794, 795, 799, 800	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π(,)0))
802		ioombl 23859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-π(,)𝑑) ∈ dom vol
803	802	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (-π(,)𝑑) ∈ dom vol)
804		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
805	804	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
806		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑛 = 𝑘)
807	806	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
808	807	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
809	808	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
810	809	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
811	810	mpteq2dva 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
812	811	eleq1d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹))
813	805, 812	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)))
814	776	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
815		ioombl 23859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
816	815	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
817	43	ffvelrnda 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
818	817	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
819		nnre 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
820		readdcl 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
821	819, 729, 820	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
822	821	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
823		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
824	214, 823	sseldi 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
825	822, 824	remulcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
826	825	resincld 15346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
827	826	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
828	818, 827	remulcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
829		fourierdlem103.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
830	829	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
831		fourierdlem103.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
832	831	fvmpt2 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
833	823, 826, 832	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
834	833	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
835	834	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
836	835	mpteq2dva 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
837	830, 836	eqtr2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
838	15	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
839		fourierdlem103.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
840	839	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
841	27	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
842	38	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
843	819	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
844	265	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
845	267	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
846	269	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
847	271	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
848	273	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
849		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
850		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
851	599	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
852		fourierdlem103.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
853	852	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
854		fourierdlem103.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
855	854	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
856	264, 838, 840, 841, 842, 40, 41, 42, 843, 831, 829, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 850, 851, 853, 855	fourierdlem88 41856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿¹)
857	837, 856	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
858	814, 816, 828, 857	iblss 24098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
859	813, 858	chvarv 2325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
860	768, 782, 859	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
861	801, 803, 791, 860	iblss 24098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π(,)𝑑) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
862	765, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → -π < 𝑑)
863	760, 797, 862	ltled 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → -π ≤ 𝑑)
864	761	leidd 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 0)
865		ioossioo 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^*) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ 0 ≤ 0)) → (𝑑(,)0) ⊆ (-π(,)0))
866	793, 794, 863, 864, 865	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑑(,)0) ⊆ (-π(,)0))
867		ioombl 23859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑(,)0) ∈ dom vol
868	867	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑑(,)0) ∈ dom vol)
869	866, 868, 791, 860	iblss 24098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
870	760, 761, 766, 792, 861, 869	itgsplitioo 24131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
871	801	sselda 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
872	871, 791	syldan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
873	872, 861	itgcl 24077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
874	866	sselda 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
875	874, 791	syldan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
876	875, 869	itgcl 24077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
877	873, 876	addcomd 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
878	870, 877	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
879	878	fveq2d 6497	. . . . . . . . . . . . . . 15