Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. . 3
β’
(β€β₯β1) =
(β€β₯β1) |
2 | | 1zzd 12541 |
. . 3
β’ (π β 1 β
β€) |
3 | | nfv 1918 |
. . . . 5
β’
β²ππ |
4 | | nfmpt1 5218 |
. . . . 5
β’
β²π(π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) |
5 | | nfmpt1 5218 |
. . . . 5
β’
β²π(π β β β¦
Ο) |
6 | | fourierdlem103.e |
. . . . . 6
β’ πΈ = (π β β β¦
(β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
7 | | nfmpt1 5218 |
. . . . . 6
β’
β²π(π β β β¦
(β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
8 | 6, 7 | nfcxfr 2906 |
. . . . 5
β’
β²ππΈ |
9 | | nnuz 12813 |
. . . . 5
β’ β =
(β€β₯β1) |
10 | | pire 25831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ Ο
β β |
11 | 10 | renegcli 11469 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ -Ο
β β |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β
β) |
13 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β
β) |
14 | 13 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
15 | | fourierdlem103.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
16 | | fourierdlem103.xre |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
17 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π(,)+β) β
β |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (π(,)+β) β
β) |
19 | 15, 18 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (πΉ βΎ (π(,)+β)):(π(,)+β)βΆβ) |
20 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π(,)+β) β
β |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (π(,)+β) β
β) |
22 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(TopOpenββfld) =
(TopOpenββfld) |
23 | | pnfxr 11216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ +β
β β* |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β +β β
β*) |
25 | 16 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β π < +β) |
26 | 22, 24, 16, 25 | lptioo1cn 43961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β
((limPtβ(TopOpenββfld))β(π(,)+β))) |
27 | | fourierdlem103.y |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
28 | 19, 21, 26, 27 | limcrecl 43944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
29 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-β(,)π)
β β |
30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (-β(,)π) β
β) |
31 | 15, 30 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (πΉ βΎ (-β(,)π)):(-β(,)π)βΆβ) |
32 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(-β(,)π)
β β |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (-β(,)π) β
β) |
34 | | mnfxr 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ -β
β β* |
35 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β -β β
β*) |
36 | 16 | mnfltd 13052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β -β < π) |
37 | 22, 35, 16, 36 | lptioo2cn 43960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β
((limPtβ(TopOpenββfld))β(-β(,)π))) |
38 | | fourierdlem103.w |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
39 | 31, 33, 37, 38 | limcrecl 43944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
40 | | fourierdlem103.h |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ π» = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
41 | | fourierdlem103.k |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ πΎ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
42 | | fourierdlem103.u |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ π = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
43 | 15, 16, 28, 39, 40, 41, 42 | fourierdlem55 44476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
44 | | ax-resscn 11115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ β
β β |
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β
β) |
46 | 43, 45 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
47 | 46 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
48 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (-Ο(,)0) β -Ο
β β) |
49 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (-Ο(,)0) β Ο
β β) |
50 | 48 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (-Ο(,)0) β -Ο
β€ -Ο) |
51 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (-Ο(,)0) β 0
β β) |
52 | 11 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ -Ο
β β* |
53 | | 0xr 11209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
β* |
54 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ π β (-Ο(,)0)) β
π < 0) |
55 | 52, 53, 54 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (-Ο(,)0) β π < 0) |
56 | | pipos 25833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 <
Ο |
57 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (-Ο(,)0) β 0
< Ο) |
58 | 13, 51, 49, 55, 57 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (-Ο(,)0) β π < Ο) |
59 | 13, 49, 58 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β€ Ο) |
60 | | iccss 13339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((-Ο
β β β§ Ο β β) β§ (-Ο β€ -Ο β§ π β€ Ο)) β
(-Ο[,]π) β
(-Ο[,]Ο)) |
61 | 48, 49, 50, 59, 60 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (-Ο(,)0) β
(-Ο[,]π) β
(-Ο[,]Ο)) |
62 | 61 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (-Ο[,]π) β
(-Ο[,]Ο)) |
63 | 47, 62 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π βΎ (-Ο[,]π)):(-Ο[,]π)βΆβ) |
64 | | fourierdlem103.o |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = (π βΎ (-Ο[,]π)) |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π = (π βΎ (-Ο[,]π))) |
66 | 65 | feq1d 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π:(-Ο[,]π)βΆβ β (π βΎ (-Ο[,]π)):(-Ο[,]π)βΆβ)) |
67 | 63, 66 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π:(-Ο[,]π)βΆβ) |
68 | | fourierdlem103.n |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ π = ((β―βπ) β 1) |
69 | 11 | elexi 3467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ -Ο
β V |
70 | 69 | prid1 4728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -Ο
β {-Ο, π} |
71 | | elun1 4141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (-Ο
β {-Ο, π} β
-Ο β ({-Ο, π}
βͺ (ran π β©
(-Ο(,)π)))) |
72 | 70, 71 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ -Ο
β ({-Ο, π} βͺ
(ran π β© (-Ο(,)π))) |
73 | | fourierdlem103.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ π = ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) |
74 | 72, 73 | eleqtrri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ -Ο
β π |
75 | 74 | ne0ii 4302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ π β β
|
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β β
) |
77 | | prfi 9273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ {-Ο,
π} β
Fin |
78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β {-Ο, π} β Fin) |
79 | | fzfi 13884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(0...π) β
Fin |
80 | | fourierdlem103.q |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) |
81 | 80 | rnmptfi 43462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((0...π) β Fin
β ran π β
Fin) |
82 | 79, 81 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ran π β Fin |
83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β ran π β Fin) |
84 | | infi 9219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (ran
π β Fin β (ran
π β© (-Ο(,)π)) β Fin) |
85 | 83, 84 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (ran π β© (-Ο(,)π)) β Fin) |
86 | | unfi 9123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (({-Ο,
π} β Fin β§ (ran
π β© (-Ο(,)π)) β Fin) β ({-Ο,
π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) β Fin) |
87 | 78, 85, 86 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) β Fin) |
88 | 73, 87 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β π β Fin) |
89 | | hashnncl 14273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β Fin β
((β―βπ) β
β β π β
β
)) |
90 | 88, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β ((β―βπ) β β β π β β
)) |
91 | 76, 90 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
92 | | nnm1nn0 12461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
((β―βπ)
β β β ((β―βπ) β 1) β
β0) |
93 | 91, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β ((β―βπ) β 1) β
β0) |
94 | 68, 93 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β
β0) |
95 | 94 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β0) |
96 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 0 β
β) |
97 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 1 β
β) |
98 | 95 | nn0red 12481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
99 | | 0lt1 11684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 0 <
1 |
100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 0 <
1) |
101 | | 2re 12234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 2 β
β |
102 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 2 β
β) |
103 | 91 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
104 | 103 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
(β―βπ) β
β) |
105 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ π β (-Ο(,)0)) β
-Ο < π) |
106 | 52, 53, 105 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β (-Ο(,)0) β -Ο
< π) |
107 | 48, 106 | ltned 11298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (-Ο(,)0) β -Ο
β π) |
108 | 107 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β π) |
109 | | hashprg 14302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((-Ο
β β β§ π
β β) β (-Ο β π β (β―β{-Ο, π}) = 2)) |
110 | 12, 14, 109 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (-Ο β π β (β―β{-Ο,
π}) = 2)) |
111 | 108, 110 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
(β―β{-Ο, π})
= 2) |
112 | 111 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 2 =
(β―β{-Ο, π})) |
113 | 88 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β Fin) |
114 | | ssun1 4137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ {-Ο,
π} β ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) |
115 | 114, 73 | sseqtrri 3986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ {-Ο,
π} β π |
116 | | hashssle 43606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β Fin β§ {-Ο, π} β π) β (β―β{-Ο, π}) β€ (β―βπ)) |
117 | 113, 115,
116 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
(β―β{-Ο, π})
β€ (β―βπ)) |
118 | 112, 117 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 2 β€
(β―βπ)) |
119 | 102, 104,
97, 118 | lesub1dd 11778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (2 β 1)
β€ ((β―βπ)
β 1)) |
120 | | 1e2m1 12287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 1 = (2
β 1) |
121 | 119, 120,
68 | 3brtr4g 5144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 1 β€ π) |
122 | 96, 97, 98, 100, 121 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 0 < π) |
123 | 122 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β 0) |
124 | 95, 123 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π β β0
β§ π β
0)) |
125 | | elnnne0 12434 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (π β β0
β§ π β
0)) |
126 | 124, 125 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
127 | | fourierdlem103.j |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π½ = (β©ππ Isom < , < ((0...π), π)) |
128 | 50 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β€
-Ο) |
129 | 48, 13, 106 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (-Ο(,)0) β -Ο
β€ π) |
130 | 129 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β€ π) |
131 | 12, 14, 12, 128, 130 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β
(-Ο[,]π)) |
132 | 14 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β€ π) |
133 | 12, 14, 14, 130, 132 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β (-Ο[,]π)) |
134 | 131, 133 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (-Ο β
(-Ο[,]π) β§ π β (-Ο[,]π))) |
135 | | vex 3452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ π β V |
136 | 69, 135 | prss 4785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((-Ο
β (-Ο[,]π) β§
π β (-Ο[,]π)) β {-Ο, π} β (-Ο[,]π)) |
137 | 134, 136 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β {-Ο, π} β (-Ο[,]π)) |
138 | | inss2 4194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (ran
π β© (-Ο(,)π)) β (-Ο(,)π) |
139 | 138 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (ran π β© (-Ο(,)π)) β (-Ο(,)π)) |
140 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(-Ο(,)π) β
(-Ο[,]π) |
141 | 139, 140 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (ran π β© (-Ο(,)π)) β (-Ο[,]π)) |
142 | 137, 141 | unssd 4151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) β (-Ο[,]π)) |
143 | 73, 142 | eqsstrid 3997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β (-Ο[,]π)) |
144 | 74 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β
π) |
145 | 135 | prid2 4729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ π β {-Ο, π} |
146 | | elun1 4141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β {-Ο, π} β π β ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π)))) |
147 | 145, 146 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ π β ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) |
148 | 147, 73 | eleqtrri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ π β π |
149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β π) |
150 | 113, 68, 127, 12, 14, 143, 144, 149 | fourierdlem52 44473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((π½:(0...π)βΆ(-Ο[,]π) β§ (π½β0) = -Ο) β§ (π½βπ) = π)) |
151 | 150 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π½:(0...π)βΆ(-Ο[,]π) β§ (π½β0) = -Ο)) |
152 | 151 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π½:(0...π)βΆ(-Ο[,]π)) |
153 | 151 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π½β0) =
-Ο) |
154 | 150 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π½βπ) = π) |
155 | | elfzoelz 13579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (0..^π) β π β β€) |
156 | 155 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0..^π) β π β β) |
157 | 156 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
158 | 157 | ltp1d 12092 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π < (π + 1)) |
159 | 48, 13 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (-Ο(,)0) β
(-Ο β β β§ π β β)) |
160 | 69, 135 | prss 4785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((-Ο
β β β§ π
β β) β {-Ο, π} β β) |
161 | 159, 160 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (-Ο(,)0) β
{-Ο, π} β
β) |
162 | 161 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β {-Ο, π} β
β) |
163 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-Ο(,)π) β
β |
164 | 138, 163 | sstri 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (ran
π β© (-Ο(,)π)) β
β |
165 | 164 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (ran π β© (-Ο(,)π)) β
β) |
166 | 162, 165 | unssd 4151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ({-Ο, π} βͺ (ran π β© (-Ο(,)π))) β β) |
167 | 73, 166 | eqsstrid 3997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
168 | 113, 167,
127, 68 | fourierdlem36 44458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π½ Isom < , < ((0...π), π)) |
169 | 168 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π½ Isom < , < ((0...π), π)) |
170 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0..^π) β π β (0...π)) |
171 | 170 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β (0...π)) |
172 | | fzofzp1 13676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0..^π) β (π + 1) β (0...π)) |
173 | 172 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + 1) β (0...π)) |
174 | | isorel 7276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π½ Isom < , < ((0...π), π) β§ (π β (0...π) β§ (π + 1) β (0...π))) β (π < (π + 1) β (π½βπ) < (π½β(π + 1)))) |
175 | 169, 171,
173, 174 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π < (π + 1) β (π½βπ) < (π½β(π + 1)))) |
176 | 158, 175 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) < (π½β(π + 1))) |
177 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
178 | 177, 62 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π βΎ (-Ο[,]π)) = (π β (-Ο[,]π) β¦ (πβπ ))) |
179 | 62 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
180 | 15, 16, 28, 39, 40 | fourierdlem9 44431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π»:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
181 | 180 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π»:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
182 | 181, 179 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π»βπ ) β β) |
183 | 41 | fourierdlem43 44465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ πΎ:(-Ο[,]Ο)βΆβ |
184 | 183 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β πΎ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
185 | 184, 179 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πΎβπ ) β β) |
186 | 182, 185 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) β β) |
187 | 42 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) β β) β (πβπ ) = ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
188 | 179, 186,
187 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πβπ ) = ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
189 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β -Ο β
β) |
190 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
191 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β (-Ο[,]π)) |
192 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((-Ο
β β β§ π
β β β§ π
β (-Ο[,]π)) β
π β
β) |
193 | 189, 190,
191, 192 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
194 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β 0 β
β) |
195 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β -Ο β
β*) |
196 | 190 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β*) |
197 | | iccleub 13326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((-Ο
β β* β§ π β β* β§ π β (-Ο[,]π)) β π β€ π) |
198 | 195, 196,
191, 197 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β€ π) |
199 | 55 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π < 0) |
200 | 193, 190,
194, 198, 199 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π < 0) |
201 | 193, 200 | ltned 11298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β 0) |
202 | 201 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β 0) |
203 | 202 | neneqd 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β Β¬ π = 0) |
204 | 203 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) = (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) |
205 | 193, 194,
200 | ltnsymd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β Β¬ 0 < π ) |
206 | 205 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β Β¬ 0 < π ) |
207 | 206 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(0 < π , π, π) = π) |
208 | 207 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) = ((πΉβ(π + π )) β π)) |
209 | 208 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
210 | 204, 209 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
211 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β πΉ:ββΆβ) |
212 | 16 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
213 | | iccssre 13353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((-Ο
β β β§ Ο β β) β (-Ο[,]Ο) β
β) |
214 | 11, 10, 213 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(-Ο[,]Ο) β β |
215 | 214, 179 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
216 | 212, 215 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π + π ) β β) |
217 | 211, 216 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
218 | 39 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
219 | 217, 218 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((πΉβ(π + π )) β π) β β) |
220 | 219, 215,
202 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (((πΉβ(π + π )) β π) / π ) β β) |
221 | 210, 220 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) β β) |
222 | 40 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) β β) β (π»βπ ) = if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
223 | 179, 221,
222 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π»βπ ) = if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
224 | 223, 204,
209 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π»βπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
225 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β Ο β
β) |
226 | 225 | renegcld 11589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β -Ο β
β) |
227 | | iccgelb 13327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((-Ο
β β* β§ π β β* β§ π β (-Ο[,]π)) β -Ο β€ π ) |
228 | 195, 196,
191, 227 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β -Ο β€ π ) |
229 | 58 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π < Ο) |
230 | 193, 190,
225, 198, 229 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π < Ο) |
231 | 193, 225,
230 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β€ Ο) |
232 | 226, 225,
193, 228, 231 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
233 | 201 | neneqd 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β Β¬ π = 0) |
234 | 233 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
235 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β 2 β
β) |
236 | 193 | rehalfcld 12407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π / 2) β β) |
237 | 236 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (sinβ(π / 2)) β
β) |
238 | 235, 237 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (2 Β·
(sinβ(π / 2))) β
β) |
239 | | 2cn 12235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ 2 β
β |
240 | 239 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β 2 β
β) |
241 | 193 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
242 | 241 | halfcld 12405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π / 2) β β) |
243 | 242 | sincld 16019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (sinβ(π / 2)) β
β) |
244 | | 2ne0 12264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ 2 β
0 |
245 | 244 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β 2 β
0) |
246 | | fourierdlem44 44466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
π β 0) β
(sinβ(π / 2)) β
0) |
247 | 232, 201,
246 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (sinβ(π / 2)) β 0) |
248 | 240, 243,
245, 247 | mulne0d 11814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (2 Β·
(sinβ(π / 2))) β
0) |
249 | 193, 238,
248 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) β β) |
250 | 234, 249 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) β β) |
251 | 41 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) β β) β
(πΎβπ ) = if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
252 | 232, 250,
251 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β (-Ο(,)0) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πΎβπ ) = if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
253 | 252 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πΎβπ ) = if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
254 | 224, 253 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
255 | 203 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
256 | 255 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
257 | 188, 254,
256 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πβπ ) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
258 | 257 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π β (-Ο[,]π) β¦ (πβπ )) = (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
259 | 65, 178, 258 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π = (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
260 | 259 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π = (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
261 | 260 | reseq1d 5941 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = ((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
262 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β πΉ:ββΆβ) |
263 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
264 | | fourierdlem103.p |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
265 | | fourierdlem103.m |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β β) |
266 | 265 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
267 | | fourierdlem103.v |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β (πβπ)) |
268 | 267 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β (πβπ)) |
269 | | fourierdlem103.fcn |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
270 | 269 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
271 | | fourierdlem103.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
272 | 271 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
273 | | fourierdlem103.l |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
274 | 273 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
275 | 106 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο < π) |
276 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο β
β*) |
277 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 0 β
β*) |
278 | 55 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π < 0) |
279 | 276, 14, 277, 278 | gtnelicc 43812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β Β¬ 0 β
(-Ο[,]π)) |
280 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
281 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
282 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) = (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) |
283 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) = (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) |
284 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
285 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (π + 1) = (π + 1)) |
286 | 285 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (πβ(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
287 | 284, 286 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
288 | 287 | sseq2d 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
289 | 288 | cbvriotavw 7328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(β©π
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
290 | 262, 263,
264, 266, 268, 270, 272, 274, 12, 14, 275, 62, 279, 280, 281, 80, 73, 68, 127, 282, 283, 289 | fourierdlem86 44507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1))) β§ (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) β§ ((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ))) |
291 | 290 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
292 | 261, 291 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
293 | 290 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1))) β§ (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ)))) |
294 | 293 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1)))) |
295 | 260 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = π) |
296 | 295 | reseq1d 5941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
297 | 296 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1))) = ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1)))) |
298 | 294, 297 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1)))) |
299 | 293 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) |
300 | 296 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ)) = ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) |
301 | 299, 300 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) |
302 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (β
D π) = (β D π) |
303 | 67 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π:(-Ο[,]π)βΆβ) |
304 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β -Ο β
β) |
305 | 14 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β β) |
306 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β π β β) |
307 | 306 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β β) |
308 | 62, 214 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (-Ο[,]π) β
β) |
309 | 308 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (-Ο[,]π) β β) |
310 | 152 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π½:(0...π)βΆ(-Ο[,]π)) |
311 | 310, 171 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) β (-Ο[,]π)) |
312 | 309, 311 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) β β) |
313 | 312 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) β β) |
314 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β -Ο β
β*) |
315 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
316 | 315 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β β*) |
317 | | iccgelb 13327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((-Ο
β β* β§ π β β* β§ (π½βπ) β (-Ο[,]π)) β -Ο β€ (π½βπ)) |
318 | 314, 316,
311, 317 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β -Ο β€ (π½βπ)) |
319 | 318 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β -Ο β€ (π½βπ)) |
320 | 313 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) β
β*) |
321 | 310, 173 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β (-Ο[,]π)) |
322 | 309, 321 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β β) |
323 | 322 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β
β*) |
324 | 323 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½β(π + 1)) β
β*) |
325 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
326 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π½βπ) β β* β§ (π½β(π + 1)) β β* β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) < π ) |
327 | 320, 324,
325, 326 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) < π ) |
328 | 304, 313,
307, 319, 327 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β -Ο < π ) |
329 | 304, 307,
328 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β -Ο β€ π ) |
330 | 322 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½β(π + 1)) β β) |
331 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π½βπ) β β* β§ (π½β(π + 1)) β β* β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < (π½β(π + 1))) |
332 | 320, 324,
325, 331 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < (π½β(π + 1))) |
333 | | iccleub 13326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((-Ο
β β* β§ π β β* β§ (π½β(π + 1)) β (-Ο[,]π)) β (π½β(π + 1)) β€ π) |
334 | 314, 316,
321, 333 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β€ π) |
335 | 334 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½β(π + 1)) β€ π) |
336 | 307, 330,
305, 332, 335 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < π) |
337 | 307, 305,
336 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β€ π) |
338 | 304, 305,
307, 329, 337 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β (-Ο[,]π)) |
339 | 338 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β βπ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))π β (-Ο[,]π)) |
340 | | dfss3 3937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β (-Ο[,]π) β βπ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))π β (-Ο[,]π)) |
341 | 339, 340 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β (-Ο[,]π)) |
342 | 303, 341 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (πβπ ))) |
343 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π) |
344 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β (-Ο(,)0)) |
345 | 64 | fveq1i 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (πβπ ) = ((π βΎ (-Ο[,]π))βπ ) |
346 | 345 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πβπ ) = ((π βΎ (-Ο[,]π))βπ )) |
347 | | fvres 6866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (-Ο[,]π) β ((π βΎ (-Ο[,]π))βπ ) = (πβπ )) |
348 | 347 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((π βΎ (-Ο[,]π))βπ ) = (πβπ )) |
349 | 253, 255 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πΎβπ ) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
350 | 224, 349 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
351 | 219 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((πΉβ(π + π )) β π) β β) |
352 | 241 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β β) |
353 | 239 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β 2 β β) |
354 | 352 | halfcld 12405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (π / 2) β β) |
355 | 354 | sincld 16019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (sinβ(π / 2)) β β) |
356 | 353, 355 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (2 Β· (sinβ(π / 2))) β
β) |
357 | 248 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (2 Β· (sinβ(π / 2))) β 0) |
358 | 351, 352,
356, 202, 357 | dmdcan2d 11968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
359 | 188, 350,
358 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πβπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
360 | 346, 348,
359 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (πβπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
361 | 343, 344,
338, 360 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (πβπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
362 | 343, 344,
338, 358 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
363 | 362 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
364 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘)) = (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))) |
365 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π‘ = π β (π + π‘) = (π + π )) |
366 | 365 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π‘ = π β (πΉβ(π + π‘)) = (πΉβ(π + π ))) |
367 | 366 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ = π β ((πΉβ(π + π‘)) β π) = ((πΉβ(π + π )) β π)) |
368 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ = π β π‘ = π ) |
369 | 367, 368 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π‘ = π β (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
370 | 369 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β§ π‘ = π ) β (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
371 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
372 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((πΉβ(π + π )) β π) / π ) β V |
373 | 372 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((πΉβ(π + π )) β π) / π ) β V) |
374 | 364, 370,
371, 373 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
375 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))))) = (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))) |
376 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π‘ = π β (π‘ / 2) = (π / 2)) |
377 | 376 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π‘ = π β (sinβ(π‘ / 2)) = (sinβ(π / 2))) |
378 | 377 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ = π β (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))) = (2 Β·
(sinβ(π /
2)))) |
379 | 368, 378 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π‘ = π β (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
380 | 379 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β§ π‘ = π ) β (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
381 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) β
V |
382 | 381 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) β V) |
383 | 375, 380,
371, 382 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
384 | 374, 383 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
385 | 384 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
386 | 385 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
387 | 361, 363,
386 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (πβπ ) = (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
388 | 387 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (πβπ )) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )))) |
389 | 342, 388 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) = (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
390 | 389 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (β D (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )))) = (β D (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))))) |
391 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β β β
β) |
392 | 341, 309 | sstrd 3959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β β) |
393 | 22 | tgioo2 24182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(topGenβran (,)) = ((TopOpenββfld)
βΎt β) |
394 | 22, 393 | dvres 25291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((β β β β§ π:(-Ο[,]π)βΆβ) β§ ((-Ο[,]π) β β β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β β)) β (β D
(π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) = ((β D π) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))))) |
395 | 391, 303,
309, 392, 394 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (β D (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) = ((β D π) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))))) |
396 | | ioontr 43823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((intβ(topGenβran (,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) |
397 | 396 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
398 | 397 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((β D π) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) = ((β D π) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
399 | 390, 395,
398 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((β D π) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = (β D (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))))) |
400 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
401 | 16 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
402 | 265 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
403 | 267 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β (πβπ)) |
404 | | fourierdlem103.fdvcn |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
405 | 404 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
406 | 62 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (-Ο[,]π) β (-Ο[,]Ο)) |
407 | 341, 406 | sstrd 3959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β
(-Ο[,]Ο)) |
408 | 312 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) β
β*) |
409 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β 0 β
β*) |
410 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β 0 β β) |
411 | 55 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π < 0) |
412 | 322, 315,
410, 334, 411 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) < 0) |
413 | 408, 322,
409, 412 | gtnelicc 43812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β Β¬ 0 β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1)))) |
414 | 39 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
415 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β -Ο β
β) |
416 | 106 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β -Ο < π) |
417 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π β (0..^π)) |
418 | | biid 261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β§ π£ β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ£)(,)(πβ(π£ + 1)))) β ((((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β§ π£ β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ£)(,)(πβ(π£ + 1))))) |
419 | 401, 264,
402, 403, 415, 315, 416, 406, 80, 73, 68, 127, 417, 289, 418 | fourierdlem50 44471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (0..^π) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))(,)(πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1))))) |
420 | 419 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (0..^π)) |
421 | 419 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))(,)(πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)))) |
422 | 369 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘)) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
423 | 379 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
424 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
425 | 400, 401,
264, 402, 403, 405, 312, 322, 176, 407, 413, 414, 80, 420, 421, 422, 423, 424 | fourierdlem72 44493 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (β D (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
426 | 399, 425 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((β D π) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
427 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
428 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) = ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) |
429 | | fourierdlem103.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ πΆ = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
430 | 429, 420 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β πΆ β (0..^π)) |
431 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π) |
432 | 431, 430 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π β§ πΆ β (0..^π))) |
433 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (π β (0..^π) β πΆ β (0..^π))) |
434 | 433 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = πΆ β ((π β§ π β (0..^π)) β (π β§ πΆ β (0..^π)))) |
435 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = πΆ β (πβπ) = (πβπΆ)) |
436 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = πΆ β (π + 1) = (πΆ + 1)) |
437 | 436 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = πΆ β (πβ(π + 1)) = (πβ(πΆ + 1))) |
438 | 435, 437 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = πΆ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
439 | | raleq 3312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) β (βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
440 | 438, 439 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
441 | 440 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = πΆ β (βπ€ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
442 | 434, 441 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = πΆ β (((π β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€))) |
443 | | fourierdlem103.fbdioo |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
444 | 442, 443 | vtoclg 3528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (πΆ β (0..^π) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
445 | 430, 432,
444 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
446 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π‘((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) |
447 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π‘βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ |
448 | 446, 447 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π‘(((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
449 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
450 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β -Ο β
β) |
451 | 450, 16 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β (-Ο + π) β β) |
452 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β Ο β
β) |
453 | 452, 16 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β (Ο + π) β β) |
454 | 451, 453 | iccssred 13358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β β) |
455 | | ressxr 11206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ β
β β* |
456 | 454, 455 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β
β*) |
457 | 456 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β
β*) |
458 | 264, 402,
403 | fourierdlem15 44437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆ((-Ο + π)[,](Ο + π))) |
459 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (πΆ β (0..^π) β πΆ β (0...π)) |
460 | 430, 459 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β πΆ β (0...π)) |
461 | 458, 460 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β ((-Ο + π)[,](Ο + π))) |
462 | 457, 461 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β
β*) |
463 | 462 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) β
β*) |
464 | | fzofzp1 13676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (πΆ β (0..^π) β (πΆ + 1) β (0...π)) |
465 | 430, 464 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πΆ + 1) β (0...π)) |
466 | 458, 465 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β ((-Ο + π)[,](Ο + π))) |
467 | 457, 466 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β
β*) |
468 | 467 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβ(πΆ + 1)) β
β*) |
469 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β π‘ β β) |
470 | 469 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β β) |
471 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β Ο β
β) |
472 | 415, 471,
401, 264, 402, 403, 460, 80 | fourierdlem13 44435 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((πβπΆ) = ((πβπΆ) β π) β§ (πβπΆ) = (π + (πβπΆ)))) |
473 | 472 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) = (π + (πβπΆ))) |
474 | 473 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) = (π + (πβπΆ))) |
475 | 454 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β β) |
476 | 475, 461 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β β) |
477 | 476 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) β β) |
478 | 474, 477 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβπΆ)) β β) |
479 | 401, 312 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½βπ)) β β) |
480 | 479 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) β β) |
481 | 472 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) = ((πβπΆ) β π)) |
482 | 476, 401 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((πβπΆ) β π) β β) |
483 | 481, 482 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β β) |
484 | 415, 471,
401, 264, 402, 403, 465, 80 | fourierdlem13 44435 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((πβ(πΆ + 1)) = ((πβ(πΆ + 1)) β π) β§ (πβ(πΆ + 1)) = (π + (πβ(πΆ + 1))))) |
485 | 484 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) = ((πβ(πΆ + 1)) β π)) |
486 | 475, 466 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β β) |
487 | 486, 401 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((πβ(πΆ + 1)) β π) β β) |
488 | 485, 487 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β β) |
489 | 429 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(β©π
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = πΆ |
490 | 489 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) = (πβπΆ) |
491 | 489 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((β©π
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1) = (πΆ + 1) |
492 | 491 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)) = (πβ(πΆ + 1)) |
493 | 490, 492 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))(,)(πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1))) = ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) |
494 | 421, 493 | sseqtrdi 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
495 | 483, 488,
312, 322, 176, 494 | fourierdlem10 44432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((πβπΆ) β€ (π½βπ) β§ (π½β(π + 1)) β€ (πβ(πΆ + 1)))) |
496 | 495 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β€ (π½βπ)) |
497 | 483, 312,
401, 496 | leadd2dd 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (πβπΆ)) β€ (π + (π½βπ))) |
498 | 497 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβπΆ)) β€ (π + (π½βπ))) |
499 | 480 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) β
β*) |
500 | 401, 322 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½β(π + 1))) β β) |
501 | 500 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½β(π + 1))) β
β*) |
502 | 501 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½β(π + 1))) β
β*) |
503 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) |
504 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π + (π½βπ)) β β* β§ (π + (π½β(π + 1))) β β* β§
π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) < π‘) |
505 | 499, 502,
503, 504 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) < π‘) |
506 | 478, 480,
470, 498, 505 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβπΆ)) < π‘) |
507 | 474, 506 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) < π‘) |
508 | 500 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½β(π + 1))) β β) |
509 | 484 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) = (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
510 | 509, 486 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (πβ(πΆ + 1))) β β) |
511 | 510 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβ(πΆ + 1))) β β) |
512 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π + (π½βπ)) β β* β§ (π + (π½β(π + 1))) β β* β§
π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (π + (π½β(π + 1)))) |
513 | 499, 502,
503, 512 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (π + (π½β(π + 1)))) |
514 | 495 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β€ (πβ(πΆ + 1))) |
515 | 322, 488,
401, 514 | leadd2dd 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½β(π + 1))) β€ (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
516 | 515 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½β(π + 1))) β€ (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
517 | 470, 508,
511, 513, 516 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
518 | 509 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (π + (πβ(πΆ + 1))) = (πβ(πΆ + 1))) |
519 | 518 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβ(πΆ + 1))) = (πβ(πΆ + 1))) |
520 | 517, 519 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (πβ(πΆ + 1))) |
521 | 463, 468,
470, 507, 520 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
522 | 521 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
523 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((βπ‘ β
((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β§ π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
524 | 449, 522,
523 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
525 | 524 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
526 | 448, 525 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
527 | 526 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
528 | 527 | reximdv 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ€ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
529 | 445, 528 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
530 | 438 | raleqdv 3316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§)) |
531 | 530 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = πΆ β (βπ§ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§)) |
532 | 434, 531 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = πΆ β (((π β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§))) |
533 | | fourierdlem103.fdvbd |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
534 | 532, 533 | vtoclg 3528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (πΆ β (0..^π) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§)) |
535 | 430, 432,
534 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
536 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π‘βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ |
537 | 446, 536 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π‘(((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
538 | 15, 45 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
539 | | ssid 3971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ β
β β |
540 | 539 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β β β
β) |
541 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β |
542 | 541 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β) |
543 | 22, 393 | dvres 25291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((β β β β§ πΉ:ββΆβ) β§ (β
β β β§ ((π +
(π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β)) β (β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
544 | 45, 538, 540, 542, 543 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
545 | | ioontr 43823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
((intβ(topGenβran (,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) |
546 | 545 | reseq2i 5939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((β
D πΉ) βΎ
((intβ(topGenβran (,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) |
547 | 546 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β ((β D πΉ) βΎ
((intβ(topGenβran (,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
548 | 544, 547 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
549 | 548 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘) = (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))βπ‘)) |
550 | | fvres 6866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))βπ‘) = ((β D πΉ)βπ‘)) |
551 | 549, 550 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘) = ((β D πΉ)βπ‘)) |
552 | 551 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘) = ((β D πΉ)βπ‘)) |
553 | 552 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) = (absβ((β D πΉ)βπ‘))) |
554 | 553 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) = (absβ((β D πΉ)βπ‘))) |
555 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
556 | 521 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
557 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((βπ‘ β
((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β§ π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) β (absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
558 | 555, 556,
557 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
559 | 554, 558 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
560 | 559 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
561 | 537, 560 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
562 | 561 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
563 | 562 | reximdv 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ§ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
564 | 535, 563 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
565 | 415 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β -Ο β
β*) |
566 | 565, 316,
310, 417 | fourierdlem8 44430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1))) β (-Ο[,]π)) |
567 | 126 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β§ Β¬ π β ran π½) β π β β) |
568 | 152, 308 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π½:(0...π)βΆβ) |
569 | 568 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β§ Β¬ π β ran π½) β π½:(0...π)βΆβ) |
570 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β (-Ο[,]π)) |
571 | 153 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β -Ο = (π½β0)) |
572 | 154 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π = (π½βπ)) |
573 | 571, 572 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (-Ο[,]π) = ((π½β0)[,](π½βπ))) |
574 | 573 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β (-Ο[,]π) = ((π½β0)[,](π½βπ))) |
575 | 570, 574 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β π β ((π½β0)[,](π½βπ))) |
576 | 575 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β§ Β¬ π β ran π½) β π β ((π½β0)[,](π½βπ))) |
577 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β§ Β¬ π β ran π½) β Β¬ π β ran π½) |
578 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (π½βπ) = (π½βπ)) |
579 | 578 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β ((π½βπ) < π β (π½βπ) < π)) |
580 | 579 | cbvrabv 3420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ {π β (0..^π) β£ (π½βπ) < π} = {π β (0..^π) β£ (π½βπ) < π} |
581 | 580 | supeq1i 9390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
sup({π β
(0..^π) β£ (π½βπ) < π}, β, < ) = sup({π β (0..^π) β£ (π½βπ) < π}, β, < ) |
582 | 567, 569,
576, 577, 581 | fourierdlem25 44447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο[,]π)) β§ Β¬ π β ran π½) β βπ β (0..^π)π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
583 | 546 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
584 | 538 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
585 | 539 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β β β
β) |
586 | 541 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β) |
587 | 391, 584,
585, 586, 543 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
588 | 521 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
589 | | dfss3 3937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
590 | 588, 589 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
591 | 590 | resabs1d 5973 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
592 | 583, 587,
591 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
593 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ πΆ β (0..^π)) β πΆ β (0..^π)) |
594 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ πΆ β (0..^π)) β (π β§ πΆ β (0..^π))) |
595 | 438 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = πΆ β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))))) |
596 | 595, 438 | feq12d 6661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = πΆ β (((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β ((β D
πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ)) |
597 | 434, 596 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ))) |
598 | | cncff 24272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
599 | 404, 598 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
600 | 597, 599 | vtoclg 3528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (πΆ β (0..^π) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ)) |
601 | 593, 594,
600 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ πΆ β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ) |
602 | 432, 601 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ) |
603 | 602, 590 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))):((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))βΆβ) |
604 | 592, 603 | feq1dd 43458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))):((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))βΆβ) |
605 | 367, 378 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (((πΉβ(π + π‘)) β π) / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
606 | 605 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
607 | | biid 261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β ((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β)) |
608 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π‘ β (πΉβπ) = (πΉβπ‘)) |
609 | 608 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π‘ β (absβ(πΉβπ)) = (absβ(πΉβπ‘))) |
610 | 609 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π‘ β ((absβ(πΉβπ)) β€ π€ β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
611 | 610 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(βπ β
((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ)) β€ π€ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
612 | 607, 611 | anbi12i 628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ)) β€ π€) β (((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
613 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π‘ β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ) = ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) |
614 | 613 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π‘ β (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) = (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘))) |
615 | 614 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π‘ β ((absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) β€ π§ β (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
616 | 615 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(βπ β
((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) β€ π§ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
617 | 612, 616 | anbi12i 628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ)) β€ π€) β§ βπ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) β€ π§) β ((((((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
618 | 262, 263,
12, 14, 62, 279, 280, 427, 428, 529, 564, 152, 176, 566, 582, 604, 606, 617 | fourierdlem80 44501 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β βπ β β βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π) |
619 | 358 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π β (-Ο[,]π) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
620 | 259, 619 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π = (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
621 | 620 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (β D π) = (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
622 | 621 | dmeqd 5866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β dom (β D
π) = dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
623 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π dom
(β D π) |
624 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π β |
625 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π
D |
626 | | nfmpt1 5218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
627 | 624, 625,
626 | nfov 7392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
628 | 627 | nfdm 5911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π dom
(β D (π β
(-Ο[,]π) β¦
(((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
629 | 623, 628 | raleqf 3331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (dom
(β D π) = dom
(β D (π β
(-Ο[,]π) β¦
(((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) β (βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
π)βπ )) β€ π)) |
630 | 622, 629 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
π)βπ )) β€ π)) |
631 | 621 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((β D π)βπ ) = ((β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) |
632 | 631 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
(absβ((β D π)βπ )) = (absβ((β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ ))) |
633 | 632 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
((absβ((β D π)βπ )) β€ π β (absβ((β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
634 | 633 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
635 | 630, 634 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
636 | 635 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (βπ β β βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β β βπ β dom (β D (π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (-Ο[,]π) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
637 | 618, 636 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β βπ β β βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π) |
638 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β+
β¦ β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) = (π β β+ β¦
β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) |
639 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (π‘ = (π½βπ) β π = (π½βπ))) |
640 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (β = π β (πββ) = (πβπ)) |
641 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (β = π β (β + 1) = (π + 1)) |
642 | 641 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (β = π β (πβ(β + 1)) = (πβ(π + 1))) |
643 | 640, 642 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (β = π β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
644 | 643 | sseq2d 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (β = π β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
645 | 644 | cbvriotavw 7328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
646 | 645 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
647 | 646 | eqeq2i 2750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))) β (π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))) |
648 | 647 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β ((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))) β (π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))))) |
649 | | csbeq1 3863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
= β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
) |
650 | 645, 649 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
= β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
|
651 | 650 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
= β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
) |
652 | 648, 651 | ifbieq1d 4515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (β€
β if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) = if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ))))) |
653 | 652 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) = if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) |
654 | 653 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) = (if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) |
655 | 654 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) = ((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) |
656 | 655 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) = (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) |
657 | 656 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) = (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2)))))) |
658 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (π‘ = (π½β(π + 1)) β π = (π½β(π + 1)))) |
659 | 645 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1) = ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1) |
660 | 659 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)) |
661 | 660 | eqeq2i 2750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)) β (π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1))) |
662 | 661 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β ((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)) β (π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)))) |
663 | | csbeq1 3863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ = β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ) |
664 | 645, 663 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ = β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ |
665 | 664 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ = β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ) |
666 | 662, 665 | ifbieq1d 4515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) = if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1)))))) |
667 | 666 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) = if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) |
668 | 667 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) = (if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) |
669 | 668 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) = ((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) |
670 | 669 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) = (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) |
671 | 670 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) = (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2)))))) |
672 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (πβπ‘) = (πβπ )) |
673 | 658, 671,
672 | ifbieq12d 4519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β if(π‘ = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ‘)) = if(π = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ ))) |
674 | 639, 657,
673 | ifbieq12d 4519 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π‘ = π β if(π‘ = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π‘ = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ‘))) = if(π = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ )))) |
675 | 674 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π‘ β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1))) β¦ if(π‘ = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π‘ = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ‘)))) = (π β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1))) β¦ if(π = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ )))) |
676 | 12, 14, 67, 126, 152, 153, 154, 176, 292, 298, 301, 302, 426, 637, 638, 675 | fourierdlem73 44494 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β βπ β β+
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
677 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β ((absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π)) |
678 | 677 | rexralbidv 3215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π)) |
679 | 678 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(βπ β
β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β βπ β β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
680 | 676, 679 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β βπ β β+
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
681 | 680 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
βπ β
β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
682 | | rphalfcl 12949 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β+
β (π / 2) β
β+) |
683 | 682 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(π / 2) β
β+) |
684 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = (π / 2) β ((absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
685 | 684 | rexralbidv 3215 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = (π / 2) β (βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
686 | 685 | rspccva 3583 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((βπ β
β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β§ (π / 2) β β+) β
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
687 | 681, 683,
686 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
688 | 345 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο(,)π)) β (πβπ ) = ((π βΎ (-Ο[,]π))βπ )) |
689 | 140 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (-Ο(,)π) β (-Ο[,]π)) |
690 | 689 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο(,)π)) β π β (-Ο[,]π)) |
691 | 690, 347 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο(,)π)) β ((π βΎ (-Ο[,]π))βπ ) = (πβπ )) |
692 | 688, 691 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο(,)π)) β (πβπ ) = (πβπ )) |
693 | 692 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β (-Ο(,)π)) β ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π )))) |
694 | 693 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ = β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) |
695 | 694 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ = β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) |
696 | 695 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) = (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ )) |
697 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
698 | 696, 697 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (-Ο(,)0)) β§
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
699 | 698 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
((absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
700 | 699 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
((absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
701 | 700 | ralimdv 3167 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
702 | 701 | reximdv 3168 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
703 | 687, 702 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
704 | 703 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§
βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
705 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²π((π β§ π β β+) β§ π β
(-Ο(,)0)) |
706 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²πβπ β β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) |
707 | 705, 706 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π(((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§
βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
708 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π π β β |
709 | 707, 708 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²π((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§
βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) |
710 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²πβπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) |
711 | 709, 710 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π(((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§
βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
712 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ π β
(β€β₯βπ)) β ((π β§ π β β+) β§ π β
(-Ο(,)0))) |
713 | | eluznn 12850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
714 | 713 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
715 | 712, 714 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ π β
(β€β₯βπ)) β (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β
β)) |
716 | 715 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β
β)) |
717 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
718 | 713 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β) |
719 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β§ π β β) β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
720 | 717, 718,
719 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
721 | 716, 720 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β β) β§
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
722 | 721 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β β) β§
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
723 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β π β
β) |
724 | 723 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β π β
β*) |
725 | 724 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β*) |
726 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β +β β
β*) |
727 | | eluzelre 12781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β) |
728 | | 1re 11162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ 1 β
β |
729 | 728 | rehalfcli 12409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (1 / 2)
β β |
730 | 729 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (1 / 2) β
β) |
731 | 727, 730 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π + (1 / 2)) β β) |
732 | 731 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) β β) |
733 | 723 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
734 | 727 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
735 | | eluzle 12783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β€ π) |
736 | 735 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β€ π) |
737 | | halfgt0 12376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ 0 < (1
/ 2) |
738 | 737 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β 0 < (1 / 2)) |
739 | 729 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (1 / 2) β
β) |
740 | 739, 734 | ltaddposd 11746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (0 < (1 / 2) β π < (π + (1 / 2)))) |
741 | 738, 740 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π < (π + (1 / 2))) |
742 | 733, 734,
732, 736, 741 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π < (π + (1 / 2))) |
743 | 732 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) < +β) |
744 | 725, 726,
732, 742, 743 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) β (π(,)+β)) |
745 | 744 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β β β§
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) β (π(,)+β)) |
746 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β β β§
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
747 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = (π + (1 / 2)) β (π Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
748 | 747 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = (π + (1 / 2)) β (sinβ(π Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
749 | 748 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = (π + (1 / 2)) β ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
750 | 749 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π = (π + (1 / 2)) β§ π β (-Ο(,)π)) β ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
751 | 750 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = (π + (1 / 2)) β β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ = β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
752 | 751 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = (π + (1 / 2)) β
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) = (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
753 | 752 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = (π + (1 / 2)) β
((absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
754 | 753 | rspcv 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π + (1 / 2)) β (π(,)+β) β
(βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
755 | 745, 746,
754 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§
βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
756 | 755 | adantlll 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
757 | 722, 756 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β β) β§
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
758 | | fourierdlem103.ch |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β β) β§
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
759 | 757, 758 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β π) |
760 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β -Ο β
β) |
761 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β 0 β
β) |
762 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(-Ο(,)0) β (-Ο[,]0) |
763 | 758 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§ π β β) β§
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
764 | | simp-4r 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π β (-Ο(,)0)) |
765 | 763, 764 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β (-Ο(,)0)) |
766 | 762, 765 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β (-Ο[,]0)) |
767 | | simp-5l 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π) |
768 | 763, 767 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π) |
769 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
770 | 10 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ Ο
β β* |
771 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ 0 β
β |
772 | 771, 10, 56 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ 0 β€
Ο |
773 | | iooss2 13307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((Ο
β β* β§ 0 β€ Ο) β (-Ο(,)0) β
(-Ο(,)Ο)) |
774 | 770, 772,
773 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(-Ο(,)0) β (-Ο(,)Ο) |
775 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(-Ο(,)Ο) β (-Ο[,]Ο) |
776 | 774, 775 | sstri 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(-Ο(,)0) β (-Ο[,]Ο) |
777 | 776 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
778 | 777 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
779 | 769, 778 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) β β) |
780 | 768, 779 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) β β) |
781 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π β β) |
782 | 763, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π β β) |
783 | 782 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π β β) |
784 | 729 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (1 / 2) β
β) |
785 | 783, 784 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (π + (1 / 2)) β β) |
786 | 785 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π + (1 / 2)) β
β) |
787 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β
β) |
788 | 787 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
789 | 786, 788 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
790 | 789 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
791 | 780, 790 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
792 | 791 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
793 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β -Ο β
β*) |
794 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β 0 β
β*) |
795 | 760 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β -Ο β€
-Ο) |
796 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(-Ο(,)0) β β |
797 | 796, 765 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β β) |
798 | 793, 794,
765, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π < 0) |
799 | 797, 761,
798 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β€ 0) |
800 | | ioossioo 13365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((-Ο
β β* β§ 0 β β*) β§ (-Ο
β€ -Ο β§ π β€ 0))
β (-Ο(,)π) β
(-Ο(,)0)) |
801 | 793, 794,
795, 799, 800 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (-Ο(,)π) β
(-Ο(,)0)) |
802 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(-Ο(,)π) β
dom vol |
803 | 802 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (-Ο(,)π) β dom
vol) |
804 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π β (π β β β π β β)) |
805 | 804 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β ((π β§ π β β) β (π β§ π β β))) |
806 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π = π β§ π β (-Ο(,)0)) β π = π) |
807 | 806 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π = π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π + (1 / 2)) = (π + (1 / 2))) |
808 | 807 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π = π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
809 | 808 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π = π β§ π β (-Ο(,)0)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) =
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π ))) |
810 | 809 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π = π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
811 | 810 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) = (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
812 | 811 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β ((π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β πΏ1 β
(π β (-Ο(,)0)
β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1)) |
813 | 805, 812 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (((π β§ π β β) β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β πΏ1) β
((π β§ π β β) β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1))) |
814 | 776 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β β) β (-Ο(,)0) β
(-Ο[,]Ο)) |
815 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-Ο(,)0) β dom vol |
816 | 815 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β β) β (-Ο(,)0) β
dom vol) |
817 | 43 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
818 | 817 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
819 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β β β π β
β) |
820 | | readdcl 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β β β§ (1 / 2)
β β) β (π +
(1 / 2)) β β) |
821 | 819, 729,
820 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β β β (π + (1 / 2)) β
β) |
822 | 821 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(π + (1 / 2)) β
β) |
823 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
π β
(-Ο[,]Ο)) |
824 | 214, 823 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
π β
β) |
825 | 822, 824 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((π + (1 / 2)) Β·
π ) β
β) |
826 | 825 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
827 | 826 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
828 | 818, 827 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
829 | | fourierdlem103.g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
830 | 829 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (πβπ )))) |
831 | | fourierdlem103.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ π = (π β (-Ο[,]Ο) β¦
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π ))) |
832 | 831 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
833 | 823, 826,
832 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
834 | 833 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
835 | 834 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
836 | 835 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (πβπ ))) = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
837 | 830, 836 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) = πΊ) |
838 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β πΉ:ββΆβ) |
839 | | fourierdlem103.x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π β ran π) |
840 | 839 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π β ran π) |
841 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
842 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
843 | 819 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
844 | 265 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
845 | 267 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π β (πβπ)) |
846 | 269 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
847 | 271 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
848 | 273 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
849 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β β β¦ {π β (β
βm (0...π))
β£ (((πβ0) =
-Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
850 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β
D πΉ) = (β D πΉ) |
851 | 599 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
852 | | fourierdlem103.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π΄ β (((β D πΉ) βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
853 | 852 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π΄ β (((β D πΉ) βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
854 | | fourierdlem103.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π΅ β (((β D πΉ) βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
855 | 854 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β β) β π΅ β (((β D πΉ) βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
856 | 264, 838,
840, 841, 842, 40, 41, 42, 843, 831, 829, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 850, 851, 853, 855 | fourierdlem88 44509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β πΊ β
πΏ1) |
857 | 837, 856 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
858 | 814, 816,
828, 857 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
859 | 813, 858 | chvarvv 2003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
860 | 768, 782,
859 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
861 | 801, 803,
791, 860 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π β (-Ο(,)π) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
862 | 765, 106 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β -Ο < π) |
863 | 760, 797,
862 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β -Ο β€ π) |
864 | 761 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β 0 β€ 0) |
865 | | ioossioo 13365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((-Ο
β β* β§ 0 β β*) β§ (-Ο
β€ π β§ 0 β€ 0))
β (π(,)0) β
(-Ο(,)0)) |
866 | 793, 794,
863, 864, 865 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (π(,)0) β (-Ο(,)0)) |
867 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π(,)0) β dom
vol |
868 | 867 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (π(,)0) β dom vol) |
869 | 866, 868,
791, 860 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π β (π(,)0) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
870 | 760, 761,
766, 792, 861, 869 | itgsplitioo 25218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = (β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
871 | 801 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)π)) β π β (-Ο(,)0)) |
872 | 871, 791 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)π)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
873 | 872, 861 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
874 | 866 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (π(,)0)) β π β (-Ο(,)0)) |
875 | 874, 791 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (π(,)0)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
876 | 875, 869 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
877 | 873, 876 | addcomd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
878 | 870, 877 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = (β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
879 | 878 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β
(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absβ(β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ))) |
880 | 876, 873 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) β β) |
881 | 880 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (absβ(β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) β β) |
882 | 876 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) β β) |
883 | 873 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) β β) |
884 | 882, 883 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) + (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) β β) |
885 | | simp-5r 785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π β β+) |
886 | 763, 885 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β β+) |
887 | 886 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
888 | 876, 873 | abstrid 15348 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (absβ(β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) β€ ((absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) + (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ))) |
889 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ π β β)
β§ (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
890 | 763, 889 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
891 | 763 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
892 | 882, 883,
887, 890, 891 | lt2halvesd 12408 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) + (absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) < π) |
893 | 881, 884,
887, 888, 892 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (absβ(β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) < π) |
894 | 879, 893 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β
(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
895 | 759, 894 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
896 | 895 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (π β (β€β₯βπ) β
(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
897 | 711, 896 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
898 | 897 | ex 414 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (-Ο(,)0))
β§ βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β (βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
899 | 898 | reximdva 3166 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§
βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(-Ο(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
900 | 704, 899 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β (-Ο(,)0)) β§
βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
901 | | negpilt0 43588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ -Ο
< 0 |
902 | 11, 771, 10 | lttri 11288 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((-Ο
< 0 β§ 0 < Ο) β -Ο < Ο) |
903 | 901, 56, 902 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ -Ο
< Ο |
904 | 11, 10, 903 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ -Ο
β€ Ο |
905 | 904 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β -Ο β€
Ο) |
906 | 264 | fourierdlem2 44424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π β (πβπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
907 | 265, 906 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π β (πβπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
908 | 267, 907 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))))) |
909 | 908 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β (β βm
(0...π))) |
910 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (β
βm (0...π))
β π:(0...π)βΆβ) |
911 | 909, 910 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π:(0...π)βΆβ) |
912 | 911 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0...π)) β (πβπ) β β) |
913 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0...π)) β π β β) |
914 | 912, 913 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0...π)) β ((πβπ) β π) β β) |
915 | 914, 80 | fmptd 7067 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π:(0...π)βΆβ) |
916 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π))) |
917 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 0 β (πβπ) = (πβ0)) |
918 | 917 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = 0 β ((πβπ) β π) = ((πβ0) β π)) |
919 | 918 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π = 0) β ((πβπ) β π) = ((πβ0) β π)) |
920 | 265 | nnnn0d 12480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β
β0) |
921 | | nn0uz 12812 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β0 = (β€β₯β0) |
922 | 920, 921 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β
(β€β₯β0)) |
923 | | eluzfz1 13455 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β
(β€β₯β0) β 0 β (0...π)) |
924 | 922, 923 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 β (0...π)) |
925 | 911, 924 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (πβ0) β β) |
926 | 925, 16 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β ((πβ0) β π) β β) |
927 | 916, 919,
924, 926 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πβ0) = ((πβ0) β π)) |
928 | 908 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
929 | 928 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π))) |
930 | 929 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (πβ0) = (-Ο + π)) |
931 | 930 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((πβ0) β π) = ((-Ο + π) β π)) |
932 | 450 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β -Ο β
β) |
933 | 16 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β β) |
934 | 932, 933 | pncand 11520 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((-Ο + π) β π) = -Ο) |
935 | 927, 931,
934 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πβ0) = -Ο) |
936 | 450, 452,
16, 264, 849, 265, 267, 80 | fourierdlem14 44436 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β ((π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))})βπ)) |
937 | 849 | fourierdlem2 44424 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (π β ((π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))})βπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
938 | 265, 937 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π β ((π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))})βπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
939 | 936, 938 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))))) |
940 | 939 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
941 | 940 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο)) |
942 | 941 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πβπ) = Ο) |
943 | 940 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))) |
944 | 943 | r19.21bi 3237 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) < (πβ(π + 1))) |
945 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
946 | 849, 265,
936 | fourierdlem15 44437 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π:(0...π)βΆ(-Ο[,]Ο)) |
947 | 946 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆ(-Ο[,]Ο)) |
948 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (0..^π) β π β (0...π)) |
949 | 948 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (0...π)) |
950 | 947, 949 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β (-Ο[,]Ο)) |
951 | | fzofzp1 13676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (0..^π) β (π + 1) β (0...π)) |
952 | 951 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π + 1) β (0...π)) |
953 | 947, 952 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β
(-Ο[,]Ο)) |
954 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
955 | | ffn 6673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π:(0...π)βΆβ β π Fn (0...π)) |
956 | 909, 910,
955 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π Fn (0...π)) |
957 | | fvelrnb 6908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π Fn (0...π) β (π β ran π β βπ β (0...π)(πβπ) = π)) |
958 | 956, 957 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π β ran π β βπ β (0...π)(πβπ) = π)) |
959 | 839, 958 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β βπ β (0...π)(πβπ) = π) |
960 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πβπ) = π β ((πβπ) β π) = (π β π)) |
961 | 960 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0...π)) β§ (πβπ) = π) β ((πβπ) β π) = (π β π)) |
962 | 933 | subidd 11507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (π β π) = 0) |
963 | 962 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0...π)) β§ (πβπ) = π) β (π β π) = 0) |
964 | 961, 963 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0...π)) β§ (πβπ) = π) β 0 = ((πβπ) β π)) |
965 | 964 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0...π)) β ((πβπ) = π β 0 = ((πβπ) β π))) |
966 | 965 | reximdva 3166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (βπ β (0...π)(πβπ) = π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π))) |
967 | 959, 966 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π)) |
968 | 80 | elrnmpt 5916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (0 β
β β (0 β ran π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π))) |
969 | 771, 968 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (0 β
ran π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π)) |
970 | 967, 969 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 β ran π) |
971 | 849, 265,
936, 970 | fourierdlem12 44434 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β Β¬ 0 β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
972 | 911 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆβ) |
973 | 972, 949 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
974 | 973, 954 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) β π) β β) |
975 | 80 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β (0...π) β§ ((πβπ) β π) β β) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
976 | 949, 974,
975 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
977 | 976 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) = (((πβπ) β π) + π)) |
978 | 973 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
979 | 933 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
980 | 978, 979 | npcand 11523 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβπ) β π) + π) = (πβπ)) |
981 | 977, 980 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) = (πβπ)) |
982 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
983 | 982 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β ((πβπ) β π) = ((πβπ) β π)) |
984 | 983 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) |
985 | 80, 984 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) |
986 | 985 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π))) |
987 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = (π + 1) β (πβπ) = (πβ(π + 1))) |
988 | 987 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = (π + 1) β ((πβπ) β π) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
989 | 988 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π = (π + 1)) β ((πβπ) β π) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
990 | 972, 952 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
991 | 990, 954 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) β π) β β) |
992 | 986, 989,
952, 991 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
993 | 992 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) + π) = (((πβ(π + 1)) β π) + π)) |
994 | 990 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
995 | 994, 979 | npcand 11523 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβ(π + 1)) β π) + π) = (πβ(π + 1))) |
996 | 993, 995 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) + π) = (πβ(π + 1))) |
997 | 981, 996 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π)) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
998 | 997 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ (((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))) = (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
999 | 997 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))βcnββ) = (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
1000 | 269, 998,
999 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ (((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))) β ((((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))βcnββ)) |
1001 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
1002 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
1003 | 945, 950,
953, 954, 971, 1000, 1001, 1002, 40 | fourierdlem40 44462 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π» βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
1004 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β ((β D
πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
1005 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β β β
β) |
1006 | 1004, 1005 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β ((β D
πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
1007 | 404, 598,
1006 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
1008 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ if((πβπ) = π, π΅, ((π
β if((πβπ) < π, π, π)) / (πβπ))) = if((πβπ) = π, π΅, ((π
β if((πβπ) < π, π, π)) / (πβπ))) |
1009 | 16, 264,
15, 839, 27, 39, 40, 265, 267, 271, 80, 849, 850, 1007, 854, 1008 | fourierdlem75 44496 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πβπ) = π, π΅, ((π
β if((πβπ) < π, π, π)) / (πβπ))) β ((π» βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
1010 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ if((πβ(π + 1)) = π, π΄, ((πΏ β if((πβ(π + 1)) < π, π, π)) / (πβ(π + 1)))) = if((πβ(π + 1)) = π, π΄, ((πΏ β if((πβ(π + 1)) < π, π, π)) / (πβ(π + 1)))) |
1011 | 16, 264,
15, 839, 28, 38, 40, 265, 267, 273, 80, 849, 850, 599, 852, 1010 | fourierdlem74 44495 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πβ(π + 1)) = π, π΄, ((πΏ β if((πβ(π + 1)) < π, π, π)) / (πβ(π + 1)))) β ((π» βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
1012 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
1013 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β (π + 1) = (π + 1)) |
1014 | 1013 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πβ(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
1015 | 1012, 1014 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
1016 | 1015 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (0..^π) β¦ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (π β (0..^π) β¦ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
1017 | 450, 452,
905, 180, 265, 915, 935, 942, 944, 1003, 1009, 1011, 1016 | fourierdlem70 44491 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β βπ₯ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(π»βπ )) β€ π₯) |
1018 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π / 3) / π¦) = ((π / 3) / π¦) |
1019 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (πΊβπ‘) = (πΊβπ )) |
1020 | 1019 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (absβ(πΊβπ‘)) = (absβ(πΊβπ ))) |
1021 | 1020 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π‘ = π β ((absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦ β (absβ(πΊβπ )) β€ π¦)) |
1022 | 1021 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦ β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) |
1023 | 1022 | ralbii 3097 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(βπ β
β βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦ β βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) |
1024 | 1023 | 3anbi3i 1160 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β ((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦)) |
1025 | 1024 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β (((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) β§ π’ β dom vol)) |
1026 | 1025 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π¦ β
β+ β§ βπ β β βπ‘ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦))) β ((((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦)))) |
1027 | 1026 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π¦ β
β+ β§ βπ β β βπ‘ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦))) β§ π β β) β (((((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦))) β§ π β β)) |
1028 | 15, 16, 28, 39, 40, 41, 42, 831, 829, 1017, 856, 1018, 1027 | fourierdlem87 44508 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1029 | | iftrue 4497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β€ (Ο / 2) β if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) = π) |
1030 | 1029 | negeqd 11402 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β€ (Ο / 2) β
-if(π β€ (Ο / 2),
π, (Ο / 2)) = -π) |
1031 | 1030 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) = -π) |
1032 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -Ο β β*) |
1033 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β 0 β β*) |
1034 | | rpre 12930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β π β
β) |
1035 | 1034 | renegcld 11589 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β -π β
β) |
1036 | 1035 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -π β
β) |
1037 | 1034 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π β
β) |
1038 | 10 | rehalfcli 12409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (Ο /
2) β β |
1039 | 1038 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β (Ο / 2) β β) |
1040 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β Ο β β) |
1041 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π β€ (Ο /
2)) |
1042 | | halfpos 12390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Ο
β β β (0 < Ο β (Ο / 2) <
Ο)) |
1043 | 10, 1042 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (0 <
Ο β (Ο / 2) < Ο) |
1044 | 56, 1043 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (Ο /
2) < Ο |
1045 | 1044 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β (Ο / 2) < Ο) |
1046 | 1037, 1039, 1040, 1041, 1045 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π <
Ο) |
1047 | 1037, 1040 | ltnegd 11740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β (π < Ο β
-Ο < -π)) |
1048 | 1046, 1047 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -Ο < -π) |
1049 | | rpgt0 12934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β 0 < π) |
1050 | 1034 | lt0neg2d 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β (0 < π β
-π <
0)) |
1051 | 1049, 1050 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β -π <
0) |
1052 | 1051 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -π <
0) |
1053 | 1032, 1033, 1036, 1048, 1052 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -π β
(-Ο(,)0)) |
1054 | 1031, 1053 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
(-Ο(,)0)) |
1055 | | iffalse 4500 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) = (Ο /
2)) |
1056 | 1055 | negeqd 11402 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
-if(π β€ (Ο / 2),
π, (Ο / 2)) = -(Ο /
2)) |
1057 | 1038 | renegcli 11469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ -(Ο /
2) β β |
1058 | 1057 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ -(Ο /
2) β β* |
1059 | 52, 53, 1058 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ -(Ο / 2)
β β*) |
1060 | 1038, 10 | ltnegi 11706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Ο /
2) < Ο β -Ο < -(Ο / 2)) |
1061 | 1044, 1060 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ -Ο
< -(Ο / 2) |
1062 | | 2pos 12263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 0 <
2 |
1063 | 10, 101,
56, 1062 | divgt0ii 12079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 0 <
(Ο / 2) |
1064 | | lt0neg2 11669 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((Ο /
2) β β β (0 < (Ο / 2) β -(Ο / 2) <
0)) |
1065 | 1038, 1064 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (0 <
(Ο / 2) β -(Ο / 2) < 0) |
1066 | 1063, 1065 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ -(Ο /
2) < 0 |
1067 | 1061, 1066 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (-Ο
< -(Ο / 2) β§ -(Ο / 2) < 0) |
1068 | | elioo3g 13300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (-(Ο /
2) β (-Ο(,)0) β ((-Ο β β* β§ 0 β
β* β§ -(Ο / 2) β β*) β§ (-Ο
< -(Ο / 2) β§ -(Ο / 2) < 0))) |
1069 | 1059, 1067, 1068 | mpbir2an 710 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ -(Ο /
2) β (-Ο(,)0) |
1070 | 1069 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
-(Ο / 2) β (-Ο(,)0)) |
1071 | 1056, 1070 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
-if(π β€ (Ο / 2),
π, (Ο / 2)) β
(-Ο(,)0)) |
1072 | 1071 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β -if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)) β
(-Ο(,)0)) |
1073 | 1054, 1072 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β+
β -if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
(-Ο(,)0)) |
1074 | 1073 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β
(-Ο(,)0)) |
1075 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2))(,)0)
β dom vol |
1076 | 1075 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β dom
vol) |
1077 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1078 | 1076, 1077 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β ((-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β dom vol β§
βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
1079 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2))(,)0)
β (-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο /
2))[,]0) |
1080 | 1079 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β (-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2))(,)0)
β (-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο /
2))[,]0)) |
1081 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β -Ο β β) |
1082 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β Ο β β) |
1083 | 1037, 1040, 1046 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π β€
Ο) |
1084 | 1037, 1040 | lenegd 11741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β (π β€ Ο β
-Ο β€ -π)) |
1085 | 1083, 1084 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -Ο β€ -π) |
1086 | 1030 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β€ (Ο / 2) β -π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) |
1087 | 1086 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) |
1088 | 1085, 1087 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β -Ο β€ -if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1089 | 11, 1057,
1061 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ -Ο
β€ -(Ο / 2) |
1090 | 1089 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β -Ο β€ -(Ο / 2)) |
1091 | 1056 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
-(Ο / 2) = -if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1092 | 1091 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β -(Ο / 2) = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) |
1093 | 1090, 1092 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β -Ο β€ -if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1094 | 1088, 1093 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β -Ο β€ -if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1095 | 772 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β 0 β€ Ο) |
1096 | | iccss 13339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((-Ο
β β β§ Ο β β) β§ (-Ο β€ -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β§ 0 β€
Ο)) β (-if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))[,]0) β (-Ο[,]Ο)) |
1097 | 1081, 1082, 1094, 1095, 1096 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β (-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2))[,]0)
β (-Ο[,]Ο)) |
1098 | 1080, 1097 | sstrd 3959 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β+
β (-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2))(,)0)
β (-Ο[,]Ο)) |
1099 | 796, 1073 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β -if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
β) |
1100 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β 0 β β) |
1101 | | rpge0 12935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β+
β 0 β€ π) |
1102 | 1101 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β 0 β€ π) |
1103 | 1041 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) = π) |
1104 | 1102, 1103 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β 0 β€ if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1105 | 771, 1038, 1063 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ 0 β€
(Ο / 2) |
1106 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β Β¬ π β€
(Ο / 2)) |
1107 | 1106 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)) =
(Ο / 2)) |
1108 | 1105, 1107 | breqtrrid 5148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β 0 β€ if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1109 | 1104, 1108 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β+
β 0 β€ if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1110 | 1038 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β+
β (Ο / 2) β β) |
1111 | 1034, 1110 | ifcld 4537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
β) |
1112 | 1111 | le0neg2d 11734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β+
β (0 β€ if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο / 2))
β -if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β€
0)) |
1113 | 1109, 1112 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β -if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β€
0) |
1114 | | volioo 24949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
β β§ 0 β β β§ -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β€ 0) β
(volβ(-if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) = (0 β -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))) |
1115 | 1099, 1100, 1113, 1114 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β (volβ(-if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) = (0 β -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))) |
1116 | | 0cn 11154 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 0 β
β |
1117 | 1116 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β 0 β β) |
1118 | 1111 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
β) |
1119 | 1117, 1118 | subnegd 11526 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β (0 β -if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))) = (0 + if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο /
2)))) |
1120 | 1118 | addid2d 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β (0 + if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2))) =
if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) |
1121 | 1115, 1119, 1120 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β (volβ(-if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) = if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο /
2))) |
1122 | | min1 13115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ (Ο / 2)
β β) β if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)) β€ π) |
1123 | 1034, 1038, 1122 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β€
π) |
1124 | 1121, 1123 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β+
β (volβ(-if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) β€ π) |
1125 | 1098, 1124 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β+
β ((-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2))(,)0)
β (-Ο[,]Ο) β§ (volβ(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)) β€ π)) |
1126 | 1125 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β ((-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (-Ο[,]Ο)
β§ (volβ(-if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) β€ π)) |
1127 | | sseq1 3974 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (π’ β (-Ο[,]Ο) β (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β
(-Ο[,]Ο))) |
1128 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (volβπ’) = (volβ(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0))) |
1129 | 1128 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β ((volβπ’) β€ π β (volβ(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)) β€ π)) |
1130 | 1127, 1129 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β ((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β ((-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβ(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)) β€ π))) |
1131 | | itgeq1 25153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β β«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1132 | 1131 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
1133 | 1132 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β
((absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1134 | 1133 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1135 | 1130, 1134 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π’ = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (((-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (-Ο[,]Ο)
β§ (volβ(-if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) β€ π) β
βπ β β
(absββ«(-if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
1136 | 1135 | rspcva 3582 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((-if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2))(,)0)
β dom vol β§ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β (((-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0) β (-Ο[,]Ο)
β§ (volβ(-if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)) β€ π) β
βπ β β
(absββ«(-if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1137 | 1078, 1126, 1136 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ β β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1138 | 1137 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ β β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1139 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β (π(,)0) = (-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)) |
1140 | 1139 | itgeq1d 44272 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β β«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1141 | 1140 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
1142 | 1141 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β ((absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1143 | 1142 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = -if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β (βπ β β
(absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1144 | 1143 | rspcev 3584 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((-if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
(-Ο(,)0) β§ βπ
β β (absββ«(-if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β (-Ο(,)0)βπ β β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1145 | 1074, 1138, 1144 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ β (-Ο(,)0)βπ β β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1146 | 1145 | rexlimdv3a 3157 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β (-Ο(,)0)βπ β β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1147 | 1028, 1146 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
(-Ο(,)0)βπ β
β (absββ«(π(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1148 | 900, 1147 | r19.29a 3160 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β β
βπ β
(β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
1149 | 1148 | ralrimiva 3144 |
. . . . . 6
β’ (π β βπ β β+ βπ β β βπ β
(β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
1150 | | nnex 12166 |
. . . . . . . . 9
β’ β
β V |
1151 | 1150 | mptex 7178 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) β V |
1152 | 1151 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) β V) |
1153 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) = (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )) |
1154 | 777 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
1155 | 779 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) β β) |
1156 | 777 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
1157 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π = π) β π = π) |
1158 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π = π) β π β β) |
1159 | 1157, 1158 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π = π) β π β β) |
1160 | 1159 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π = π) β π β β) |
1161 | 729 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π = π) β (1 / 2) β
β) |
1162 | 1160, 1161 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ π = π) β (π + (1 / 2)) β β) |
1163 | 1162 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (π + (1 / 2)) β
β) |
1164 | 214, 1156 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
1165 | 1163, 1164 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
1166 | 1165 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
1167 | 1156, 1166, 832 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1168 | 1167 | adantlll 717 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1169 | 1160 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π = π) β π β β) |
1170 | 1169 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
1171 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β 1 β
β) |
1172 | 1171 | rehalfcld 12407 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (1 / 2) β
β) |
1173 | 1170, 1172 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (π + (1 / 2)) β
β) |
1174 | 214, 1154 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
1175 | 1173, 1174 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
1176 | 1175 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
1177 | 1168, 1176 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) β β) |
1178 | 1155, 1177 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) β β) |
1179 | 829 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
((πβπ ) Β· (πβπ )) β β) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
1180 | 1154, 1178, 1179 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
1181 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (π + (1 / 2)) = (π + (1 / 2))) |
1182 | 1181 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β ((π + (1 / 2)) Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
1183 | 1182 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1184 | 1183 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) =
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π ))) |
1185 | 1168, 1184 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1186 | 1185 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
1187 | 1180, 1186 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
1188 | 1187 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π = π) β β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ = β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1189 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1190 | 810 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1191 | 1190 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β β
β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β)) |
1192 | 805, 1191 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) β ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β))) |
1193 | 779 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πβπ ) β β) |
1194 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1195 | 1194, 777, 826 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
1196 | 1193, 1195 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
1197 | 1196, 858 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
1198 | 1192, 1197 | chvarvv 2003 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
1199 | 1153, 1188, 1189, 1198 | fvmptd 6960 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ) = β«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1200 | 9, 2, 1152, 1199, 1198 | clim0c 15396 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) β 0 β βπ β β+ βπ β β βπ β
(β€β₯βπ)(absββ«(-Ο(,)0)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
1201 | 1149, 1200 | mpbird 257 |
. . . . 5
β’ (π β (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) β 0) |
1202 | 1150 | mptex 7178 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β¦
(β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο)) β V |
1203 | 6, 1202 | eqeltri 2834 |
. . . . . 6
β’ πΈ β V |
1204 | 1203 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β πΈ β V) |
1205 | 1150 | mptex 7178 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β¦ Ο)
β V |
1206 | 1205 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β β β¦ Ο) β
V) |
1207 | | picn 25832 |
. . . . . . 7
β’ Ο
β β |
1208 | 1207 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β Ο β
β) |
1209 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β (π β β β¦ Ο) =
(π β β β¦
Ο)) |
1210 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§ π = π) β Ο = Ο) |
1211 | | id 22 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β π β
β) |
1212 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β Ο
β β) |
1213 | 1209, 1210, 1211, 1212 | fvmptd 6960 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β ((π β β β¦
Ο)βπ) =
Ο) |
1214 | 1213 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ Ο)βπ) = Ο) |
1215 | 9, 2, 1206, 1208, 1214 | climconst 15432 |
. . . . 5
β’ (π β (π β β β¦ Ο) β
Ο) |
1216 | 771, 56 | gtneii 11274 |
. . . . . 6
β’ Ο β
0 |
1217 | 1216 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β Ο β
0) |
1218 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1219 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1220 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1221 | 838, 1218, 1219, 1220, 40, 41, 42, 843, 831, 829 | fourierdlem67 44488 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β πΊ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
1222 | 1221 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β πΊ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
1223 | 814 | sselda 3949 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
1224 | 1222, 1223 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πΊβπ ) β β) |
1225 | 1221 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΊβπ ) β β) |
1226 | 1221 | feqmptd 6915 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ (πΊβπ ))) |
1227 | 1226, 856 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ (πΊβπ )) β
πΏ1) |
1228 | 814, 816,
1225, 1227 | iblss 25185 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο(,)0) β¦ (πΊβπ )) β
πΏ1) |
1229 | 1224, 1228 | itgcl 25164 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ β β) |
1230 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) = (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) |
1231 | 1230 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β β§
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ β β) β ((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ) = β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) |
1232 | 1194, 1229, 1231 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ) = β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ ) |
1233 | 1232, 1229 | eqeltrd 2838 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ) β β) |
1234 | | id 22 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β π β
β) |
1235 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β¦ Ο) =
(π β β β¦
Ο) |
1236 | 1235 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β ((π
β β β¦ Ο)βπ) = Ο) |
1237 | 1234, 10,
1236 | sylancl 587 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β ((π β β β¦
Ο)βπ) =
Ο) |
1238 | 1207 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β Ο
β β) |
1239 | 1216 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β Ο β
0) |
1240 | 1238, 1239 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β (Ο
β β β§ Ο β 0)) |
1241 | | eldifsn 4752 |
. . . . . . . 8
β’ (Ο
β (β β {0}) β (Ο β β β§ Ο β
0)) |
1242 | 1240, 1241 | sylibr 233 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β Ο
β (β β {0})) |
1243 | 1237, 1242 | eqeltrd 2838 |
. . . . . 6
β’ (π β β β ((π β β β¦
Ο)βπ) β
(β β {0})) |
1244 | 1243 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ Ο)βπ) β (β β
{0})) |
1245 | 1207 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
β) |
1246 | 1216 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
0) |
1247 | 1229, 1245, 1246 | divcld 11938 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
(β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο) β β) |
1248 | 6 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β β§
(β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο) β β) β (πΈβπ) = (β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
1249 | 1194, 1247, 1248 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (πΈβπ) = (β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
1250 | 1232 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ = ((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ)) |
1251 | 1237 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β Ο =
((π β β β¦
Ο)βπ)) |
1252 | 1251 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β Ο = ((π β β β¦
Ο)βπ)) |
1253 | 1250, 1252 | oveq12d 7380 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β
(β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ / Ο) = (((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ) / ((π β β β¦ Ο)βπ))) |
1254 | 1249, 1253 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β (πΈβπ) = (((π β β β¦
β«(-Ο(,)0)(πΊβπ ) dπ )βπ) / ((π β β β¦ Ο)βπ))) |
1255 | 3, 4, 5, 8, 9, 2, 1201, 1204, 1215, 1217, 1233, 1244, 1254 | climdivf 43927 |
. . . 4
β’ (π β πΈ β (0 / Ο)) |
1256 | 1207, 1216 | div0i 11896 |
. . . . 5
β’ (0 /
Ο) = 0 |
1257 | 1256 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (π β (0 / Ο) =
0) |
1258 | 1255, 1257 | breqtrd 5136 |
. . 3
β’ (π β πΈ β 0) |
1259 | | fourierdlem103.z |
. . . . 5
β’ π = (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1260 | 1150 | mptex 7178 |
. . . . 5
β’ (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) β V |
1261 | 1259, 1260 | eqeltri 2834 |
. . . 4
β’ π β V |
1262 | 1261 | a1i 11 |
. . 3
β’ (π β π β V) |
1263 | 1150 | mptex 7178 |
. . . . 5
β’ (π β β β¦ (π / 2)) β V |
1264 | 1263 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (π β (π β β β¦ (π / 2)) β V) |
1265 | | limccl 25255 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) β
β |
1266 | 1265, 38 | sselid 3947 |
. . . . 5
β’ (π β π β β) |
1267 | 1266 | halfcld 12405 |
. . . 4
β’ (π β (π / 2) β β) |
1268 | | eqidd 2738 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (π β β
β¦ (π / 2)) = (π β β β¦ (π / 2))) |
1269 | | eqidd 2738 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (β€β₯β1))
β§ π = π) β (π / 2) = (π / 2)) |
1270 | 9 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . 8
β’
(β€β₯β1) = β |
1271 | 1270 | eleq2i 2830 |
. . . . . . 7
β’ (π β
(β€β₯β1) β π β β) |
1272 | 1271 | biimpi 215 |
. . . . . 6
β’ (π β
(β€β₯β1) β π β β) |
1273 | 1272 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β π β
β) |
1274 | 1267 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (π / 2) β
β) |
1275 | 1268, 1269, 1273, 1274 | fvmptd 6960 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((π β β
β¦ (π /
2))βπ) = (π / 2)) |
1276 | 1, 2, 1264, 1267, 1275 | climconst 15432 |
. . 3
β’ (π β (π β β β¦ (π / 2)) β (π / 2)) |
1277 | 1247, 6 | fmptd 7067 |
. . . . 5
β’ (π β πΈ:ββΆβ) |
1278 | 1277 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β πΈ:ββΆβ) |
1279 | 1278, 1273 | ffvelcdmd 7041 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (πΈβπ) β
β) |
1280 | 1275, 1274 | eqeltrd 2838 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((π β β
β¦ (π /
2))βπ) β
β) |
1281 | 1275 | oveq2d 7378 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((πΈβπ) + ((π β β β¦ (π / 2))βπ)) = ((πΈβπ) + (π / 2))) |
1282 | 815 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (-Ο(,)0) β dom
vol) |
1283 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (-Ο(,)0) β -Ο
β β*) |
1284 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (-Ο(,)0) β 0
β β) |
1285 | 1284 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (-Ο(,)0) β 0
β β*) |
1286 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β
(-Ο(,)0)) |
1287 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ π β (-Ο(,)0)) β
π < 0) |
1288 | 1283, 1285, 1286, 1287 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (-Ο(,)0) β π < 0) |
1289 | 787, 1288 | ltned 11298 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β 0) |
1290 | 1289 | neneqd 2949 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (-Ο(,)0) β Β¬
π = 0) |
1291 | | velsn 4607 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β {0} β π = 0) |
1292 | 1290, 1291 | sylnibr 329 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (-Ο(,)0) β Β¬
π β
{0}) |
1293 | 777, 1292 | eldifd 3926 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β ((-Ο[,]Ο) β
{0})) |
1294 | 1293 | ssriv 3953 |
. . . . . . 7
β’
(-Ο(,)0) β ((-Ο[,]Ο) β {0}) |
1295 | 1294 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (-Ο(,)0) β
((-Ο[,]Ο) β {0})) |
1296 | | fourierdlem103.d |
. . . . . 6
β’ π· = (π β β β¦ (π β β β¦ if((π mod (2 Β· Ο)) = 0,
(((2 Β· π) + 1) / (2
Β· Ο)), ((sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) / ((2 Β· Ο) Β·
(sinβ(π /
2))))))) |
1297 | 787 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
1298 | | 0red 11165 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β 0 β
β) |
1299 | 787, 1284, 1288 | ltled 11310 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (-Ο(,)0) β π β€ 0) |
1300 | 1299 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β€ 0) |
1301 | 1297, 1298, 1300 | lensymd 11313 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β Β¬ 0 <
π ) |
1302 | 1301 | iffalsed 4502 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β if(0 < π , π, π) = π) |
1303 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π·βπ) = (π·βπ) |
1304 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β -Ο β
β) |
1305 | | 0red 11165 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β 0 β
β) |
1306 | 11, 771,
901 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . 9
β’ -Ο
β€ 0 |
1307 | 1306 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β -Ο β€
0) |
1308 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο)) = (π β (-Ο[,]0) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο)) |
1309 | 1296, 1194, 1303, 1304, 1305, 1307, 1308 | dirkeritg 44417 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((π·βπ)βπ ) dπ = (((π β (-Ο[,]0) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) β ((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β-Ο))) |
1310 | | ubicc2 13389 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ -Ο β€
0) β 0 β (-Ο[,]0)) |
1311 | 52, 53, 1306, 1310 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . 10
β’ 0 β
(-Ο[,]0) |
1312 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = 0 β (π / 2) = (0 / 2)) |
1313 | 239, 244 | div0i 11896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (0 / 2) =
0 |
1314 | 1313 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = 0 β (0 / 2) =
0) |
1315 | 1312, 1314 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 0 β (π / 2) = 0) |
1316 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = 0 β (π Β· π ) = (π Β· 0)) |
1317 | | elfzelz 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (1...π) β π β β€) |
1318 | 1317 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (1...π) β π β β) |
1319 | 1318 | mul01d 11361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β (π Β· 0) = 0) |
1320 | 1316, 1319 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (π Β· π ) = 0) |
1321 | 1320 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (sinβ(π Β· π )) = (sinβ0)) |
1322 | | sin0 16038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(sinβ0) = 0 |
1323 | 1322 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (sinβ0) = 0) |
1324 | 1321, 1323 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (sinβ(π Β· π )) = 0) |
1325 | 1324 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β ((sinβ(π Β· π )) / π) = (0 / π)) |
1326 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β 0 β β) |
1327 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β 1 β β) |
1328 | 1317 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β π β β) |
1329 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β 0 < 1) |
1330 | | elfzle1 13451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β 1 β€ π) |
1331 | 1326, 1327, 1328, 1329, 1330 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1...π) β 0 < π) |
1332 | 1331 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β π β 0) |
1333 | 1318, 1332 | div0d 11937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β (0 / π) = 0) |
1334 | 1333 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (0 / π) = 0) |
1335 | 1325, 1334 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β ((sinβ(π Β· π )) / π) = 0) |
1336 | 1335 | sumeq2dv 15595 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = 0 β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = Ξ£π β (1...π)0) |
1337 | | fzfi 13884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(1...π) β
Fin |
1338 | 1337 | olci 865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((1...π) β
(β€β₯β β₯ ) β¨ (1...π) β Fin) |
1339 | | sumz 15614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((1...π) β
(β€β₯β β₯ ) β¨ (1...π) β Fin) β
Ξ£π β (1...π)0 = 0) |
1340 | 1338, 1339 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
Ξ£π β
(1...π)0 =
0 |
1341 | 1340 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = 0 β Ξ£π β (1...π)0 = 0) |
1342 | 1336, 1341 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 0 β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = 0) |
1343 | 1315, 1342 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = 0 β ((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) = (0 + 0)) |
1344 | | 00id 11337 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (0 + 0) =
0 |
1345 | 1344 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = 0 β (0 + 0) =
0) |
1346 | 1343, 1345 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = 0 β ((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) = 0) |
1347 | 1346 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 0 β (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο) = (0 / Ο)) |
1348 | 1256 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 0 β (0 / Ο) =
0) |
1349 | 1347, 1348 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = 0 β (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο) = 0) |
1350 | 771 | elexi 3467 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 0 β
V |
1351 | 1349, 1308, 1350 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . 10
β’ (0 β
(-Ο[,]0) β ((π
β (-Ο[,]0) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) = 0) |
1352 | 1311, 1351 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) = 0 |
1353 | | lbicc2 13388 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ -Ο β€
0) β -Ο β (-Ο[,]0)) |
1354 | 52, 53, 1306, 1353 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . 11
β’ -Ο
β (-Ο[,]0) |
1355 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = -Ο β (π / 2) = (-Ο /
2)) |
1356 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = -Ο β (π Β· π ) = (π Β· -Ο)) |
1357 | 1356 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = -Ο β
(sinβ(π Β·
π )) = (sinβ(π Β·
-Ο))) |
1358 | 1357 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = -Ο β
((sinβ(π Β·
π )) / π) = ((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) |
1359 | 1358 | sumeq2sdv 15596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = -Ο β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) |
1360 | 1355, 1359 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = -Ο β ((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) = ((-Ο / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π))) |
1361 | 1360 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = -Ο β (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο) = (((-Ο / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) / Ο)) |
1362 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((-Ο
/ 2) + Ξ£π β
(1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) / Ο) β
V |
1363 | 1361, 1308, 1362 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (-Ο
β (-Ο[,]0) β ((π β (-Ο[,]0) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β-Ο) = (((-Ο / 2) +
Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) / Ο)) |
1364 | 1354, 1363 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β-Ο) = (((-Ο / 2) +
Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) / Ο) |
1365 | | mulneg12 11600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β (-π
Β· Ο) = (π
Β· -Ο)) |
1366 | 1318, 1207, 1365 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1...π) β (-π Β· Ο) = (π Β· -Ο)) |
1367 | 1366 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β (π Β· -Ο) = (-π Β· Ο)) |
1368 | 1367 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β ((π Β· -Ο) / Ο) = ((-π Β· Ο) /
Ο)) |
1369 | 1318 | negcld 11506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β -π β β) |
1370 | 1207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β Ο β
β) |
1371 | 1216 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β Ο β 0) |
1372 | 1369, 1370, 1371 | divcan4d 11944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β ((-π Β· Ο) / Ο) = -π) |
1373 | 1368, 1372 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (1...π) β ((π Β· -Ο) / Ο) = -π) |
1374 | 1317 | znegcld 12616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (1...π) β -π β β€) |
1375 | 1373, 1374 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (1...π) β ((π Β· -Ο) / Ο) β
β€) |
1376 | | negpicn 25835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ -Ο
β β |
1377 | 1376 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β -Ο β
β) |
1378 | 1318, 1377 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (1...π) β (π Β· -Ο) β
β) |
1379 | | sineq0 25896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π Β· -Ο) β β
β ((sinβ(π
Β· -Ο)) = 0 β ((π Β· -Ο) / Ο) β
β€)) |
1380 | 1378, 1379 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (1...π) β ((sinβ(π Β· -Ο)) = 0 β ((π Β· -Ο) / Ο) β
β€)) |
1381 | 1375, 1380 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (1...π) β (sinβ(π Β· -Ο)) = 0) |
1382 | 1381 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (1...π) β ((sinβ(π Β· -Ο)) / π) = (0 / π)) |
1383 | 1382, 1333 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (1...π) β ((sinβ(π Β· -Ο)) / π) = 0) |
1384 | 1383 | sumeq2i 15591 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
Ξ£π β
(1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π) = Ξ£π β (1...π)0 |
1385 | 1384, 1340 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
Ξ£π β
(1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π) = 0 |
1386 | 1385 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((-Ο /
2) + Ξ£π β
(1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) = ((-Ο / 2) +
0) |
1387 | 1386 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((-Ο
/ 2) + Ξ£π β
(1...π)((sinβ(π Β· -Ο)) / π)) / Ο) = (((-Ο / 2) + 0)
/ Ο) |
1388 | 1376, 239, 244 | divcli 11904 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (-Ο /
2) β β |
1389 | 1388 | addid1i 11349 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((-Ο /
2) + 0) = (-Ο / 2) |
1390 | | divneg 11854 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((Ο
β β β§ 2 β β β§ 2 β 0) β -(Ο / 2) =
(-Ο / 2)) |
1391 | 1207, 239, 244, 1390 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ -(Ο /
2) = (-Ο / 2) |
1392 | 1389, 1391 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((-Ο /
2) + 0) = -(Ο / 2) |
1393 | 1392 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((-Ο
/ 2) + 0) / Ο) = (-(Ο / 2) / Ο) |
1394 | 1038 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (Ο /
2) β β |
1395 | | divneg 11854 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((Ο /
2) β β β§ Ο β β β§ Ο β 0) β -((Ο /
2) / Ο) = (-(Ο / 2) / Ο)) |
1396 | 1394, 1207, 1216, 1395 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ -((Ο /
2) / Ο) = (-(Ο / 2) / Ο) |
1397 | 1396 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (-(Ο /
2) / Ο) = -((Ο / 2) / Ο) |
1398 | 1207, 239, 1207, 244, 1216 | divdiv32i 11917 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((Ο /
2) / Ο) = ((Ο / Ο) / 2) |
1399 | 1207, 1216 | dividi 11895 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (Ο /
Ο) = 1 |
1400 | 1399 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((Ο /
Ο) / 2) = (1 / 2) |
1401 | 1398, 1400 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((Ο /
2) / Ο) = (1 / 2) |
1402 | 1401 | negeqi 11401 |
. . . . . . . . . . 11
β’ -((Ο /
2) / Ο) = -(1 / 2) |
1403 | 1393, 1397, 1402 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((-Ο
/ 2) + 0) / Ο) = -(1 / 2) |
1404 | 1364, 1387, 1403 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β-Ο) = -(1 /
2) |
1405 | 1352, 1404 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) β ((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β-Ο)) = (0 β -(1 /
2)) |
1406 | 1405 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (((π β (-Ο[,]0) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) β ((π β (-Ο[,]0) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β-Ο)) = (0 β -(1 /
2))) |
1407 | | halfcn 12375 |
. . . . . . . . . 10
β’ (1 / 2)
β β |
1408 | 1116, 1407 | subnegi 11487 |
. . . . . . . . 9
β’ (0
β -(1 / 2)) = (0 + (1 / 2)) |
1409 | 1407 | addid2i 11350 |
. . . . . . . . 9
β’ (0 + (1 /
2)) = (1 / 2) |
1410 | 1408, 1409 | eqtri 2765 |
. . . . . . . 8
β’ (0
β -(1 / 2)) = (1 / 2) |
1411 | 1410 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (0 β -(1 / 2))
= (1 / 2)) |
1412 | 1309, 1406, 1411 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((π·βπ)βπ ) dπ = (1 / 2)) |
1413 | 15, 16, 264, 265, 267, 839, 269, 271, 273, 40, 41, 42, 831, 829, 850, 599, 852, 854, 27, 38, 1282, 1295, 6, 1296, 39, 1302, 1412 | fourierdlem95 44516 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ((πΈβπ) + (π / 2)) = β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1414 | 1273, 1413 | syldan 592 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((πΈβπ) + (π / 2)) = β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1415 | 1259 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β π = (π β β β¦
β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ )) |
1416 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π·βπ) = (π·βπ)) |
1417 | 1416 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β ((π·βπ)βπ ) = ((π·βπ)βπ )) |
1418 | 1417 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) = ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) |
1419 | 1418 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π = π β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) = ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) |
1420 | 1419 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1421 | 1420 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π = π) β β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1422 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β πΉ:ββΆβ) |
1423 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β π β β) |
1424 | 1423, 1297 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (π + π ) β β) |
1425 | 1422, 1424 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (-Ο(,)0)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1426 | 1425 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1427 | 1296 | dirkerf 44412 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β (π·βπ):ββΆβ) |
1428 | 1427 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β (π·βπ):ββΆβ) |
1429 | 787 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β π β
β) |
1430 | 1428, 1429 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((π·βπ)βπ ) β β) |
1431 | 1426, 1430 | remulcld 11192 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο(,)0)) β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) β β) |
1432 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β πΉ:ββΆβ) |
1433 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
1434 | 214 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (-Ο[,]Ο) β
π β
β) |
1435 | 1434 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
1436 | 1433, 1435 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (π + π ) β β) |
1437 | 1432, 1436 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1438 | 1437 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1439 | 1427 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (π·βπ):ββΆβ) |
1440 | 1434 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
1441 | 1439, 1440 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((π·βπ)βπ ) β β) |
1442 | 1438, 1441 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) β β) |
1443 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
β) |
1444 | 1296 | dirkercncf 44422 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β (π·βπ) β (ββcnββ)) |
1445 | 1444 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (π·βπ) β (ββcnββ)) |
1446 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (-Ο[,]Ο) β¦
((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) |
1447 | 1304, 1443, 838, 1218, 264, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 1445, 1446 | fourierdlem84 44505 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) β
πΏ1) |
1448 | 814, 816,
1442, 1447 | iblss 25185 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο(,)0) β¦ ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) β
πΏ1) |
1449 | 1431, 1448 | itgrecl 25178 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ β β) |
1450 | 1415, 1421, 1194, 1449 | fvmptd 6960 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (πβπ) = β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1451 | 1450 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β
β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = (πβπ)) |
1452 | 1273, 1451 | syldan 592 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β β«(-Ο(,)0)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = (πβπ)) |
1453 | 1281, 1414, 1452 | 3eqtrrd 2782 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (πβπ) = ((πΈβπ) + ((π β β β¦ (π / 2))βπ))) |
1454 | 1, 2, 1258, 1262, 1276, 1279, 1280, 1453 | climadd 15521 |
. 2
β’ (π β π β (0 + (π / 2))) |
1455 | 1267 | addid2d 11363 |
. 2
β’ (π β (0 + (π / 2)) = (π / 2)) |
1456 | 1454, 1455 | breqtrd 5136 |
1
β’ (π β π β (π / 2)) |