Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem103 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem103 44911
Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem103.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem103.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem103.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem103.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem103.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem103.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem103.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem103.fbdioo ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
fourierdlem103.fdvcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem103.fdvbd ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
fourierdlem103.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem103.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem103.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem103.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem103.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem103.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem103.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem103.z 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)
fourierdlem103.e 𝐸 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
fourierdlem103.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem103.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem103.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem103.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem103.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem103.o 𝑂 = (π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))
fourierdlem103.t 𝑇 = ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)))
fourierdlem103.n 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
fourierdlem103.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem103.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem103.1 𝐢 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
fourierdlem103.ch (πœ’ ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem103 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ (π‘Š / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑖,𝑑,𝑀,𝑧   𝐷,𝑖,π‘š,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝐹,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   π‘š,𝐹,π‘˜   𝑀,𝐹,𝑧,π‘˜,𝑠   𝑒,𝐺,π‘˜,𝑠   𝑖,𝐺,𝑑   𝑖,𝐻,𝑠   π‘˜,𝐽,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,π‘˜   𝑖,𝐽,𝑑   π‘š,𝐽   𝑀,𝐽,𝑧   𝐾,𝑠   𝐿,𝑙,𝑠,𝑑   π‘˜,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑑   π‘š,𝑀,𝑝,𝑖   𝑖,𝑁,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   𝑒,𝑁,𝑙   𝑓,𝑁   π‘š,𝑁   𝑀,𝑁,𝑧   𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,π‘˜   𝑑,𝑂   𝑄,𝑙,𝑠,𝑖,𝑑   𝑄,𝑝   𝑅,𝑙,𝑠,𝑑   𝑆,𝑠   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑑,π‘˜,𝑠,𝑙   π‘ˆ,𝑛,π‘˜,𝑠   𝑖,𝑉,π‘˜,𝑠   𝑉,𝑝   𝑑,𝑉   𝑖,π‘Š,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   π‘š,π‘Š,𝑛,𝑖   𝑀,π‘Š,𝑧   𝑖,𝑋,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   π‘š,𝑋,𝑝   𝑀,𝑋,𝑧   π‘Œ,𝑠   𝑛,𝑍   𝑒,𝑑   𝑖,𝑑,πœ‘,𝑑,π‘˜,𝑙,𝑠   πœ‘,𝑒   πœ’,𝑠   𝑓,𝑑,πœ‘   𝑀,𝑑,𝑧,πœ‘   𝑒,𝑛,πœ‘   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   πœ’(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐡(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐢(𝑒,𝑓,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,π‘˜,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   π‘ˆ(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘š,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑀,𝑓,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑀,𝑓,𝑖,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,π‘š,𝑛,𝑑,𝑙)   π‘Š(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   π‘Œ(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem103
Dummy variables βˆ₯ 𝑏 π‘Ÿ 𝑐 𝑒 𝑗 𝑦 π‘₯ β„Ž 𝑣 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘›πœ‘
4 nfmpt1 5255 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
5 nfmpt1 5255 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)
6 fourierdlem103.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
7 nfmpt1 5255 . . . . . 6 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
86, 7nfcxfr 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑛𝐸
9 nnuz 12861 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 pire 25959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ ∈ ℝ
1110renegcli 11517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -Ο€ ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
13 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
15 fourierdlem103.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
16 fourierdlem103.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
17 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
1915, 18fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
20 ioosscn 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
22 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
23 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2516ltpnfd 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
2622, 24, 16, 25lptioo1cn 44348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
27 fourierdlem103.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
2819, 21, 26, 27limcrecl 44331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
29 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ)
3115, 30fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)βŸΆβ„)
32 ioosscn 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚)
34 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3616mnfltd 13100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑋)
3722, 35, 16, 36lptioo2cn 44347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(-∞(,)𝑋)))
38 fourierdlem103.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
3931, 33, 37, 38limcrecl 44331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
40 fourierdlem103.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
41 fourierdlem103.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
42 fourierdlem103.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
4315, 16, 28, 39, 40, 41, 42fourierdlem55 44863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
44 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† β„‚
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4643, 45fssd 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
4811a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
4910a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5048leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ≀ -Ο€)
51 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
5211rexri 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -Ο€ ∈ ℝ*
53 0xr 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
54 iooltub 44209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 < 0)
5552, 53, 54mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑑 < 0)
56 pipos 25961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < Ο€
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < Ο€)
5813, 51, 49, 55, 57lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑑 < Ο€)
5913, 49, 58ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑑 ≀ Ο€)
60 iccss 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ∧ (-Ο€ ≀ -Ο€ ∧ 𝑑 ≀ Ο€)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
6148, 49, 50, 59, 60syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€[,]𝑑) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
6347, 62fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑)):(-Ο€[,]𝑑)βŸΆβ„‚)
64 fourierdlem103.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑂 = (π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑)))
6665feq1d 6699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑂:(-Ο€[,]𝑑)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑)):(-Ο€[,]𝑑)βŸΆβ„‚))
6763, 66mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑂:(-Ο€[,]𝑑)βŸΆβ„‚)
68 fourierdlem103.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
6911elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -Ο€ ∈ V
7069prid1 4765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -Ο€ ∈ {-Ο€, 𝑑}
71 elun1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-Ο€ ∈ {-Ο€, 𝑑} β†’ -Ο€ ∈ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -Ο€ ∈ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)))
73 fourierdlem103.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 = ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)))
7472, 73eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -Ο€ ∈ 𝑇
7574ne0ii 4336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 β‰  βˆ…
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
77 prfi 9318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 {-Ο€, 𝑑} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ {-Ο€, 𝑑} ∈ Fin)
79 fzfi 13933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem103.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
8180rnmptfi 43852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0...𝑀) ∈ Fin β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ran 𝑄 ∈ Fin
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
84 infi 9264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑄 ∈ Fin β†’ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) ∈ Fin)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) ∈ Fin)
86 unfi 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({-Ο€, 𝑑} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) ∈ Fin) β†’ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑))) ∈ Fin)
8778, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑))) ∈ Fin)
8873, 87eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
89 hashnncl 14322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑇 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‡) ∈ β„• ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‡) ∈ β„• ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
9176, 90mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) ∈ β„•)
92 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘‡) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
9468, 93eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
96 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
97 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 1 ∈ ℝ)
9895nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
99 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 0 < 1)
101 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 2 ∈ ℝ)
10391nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (β™―β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
105 ioogtlb 44194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ < 𝑑)
10652, 53, 105mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ < 𝑑)
10748, 106ltned 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ β‰  𝑑)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ β‰  𝑑)
109 hashprg 14351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ β‰  𝑑 ↔ (β™―β€˜{-Ο€, 𝑑}) = 2))
11012, 14, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-Ο€ β‰  𝑑 ↔ (β™―β€˜{-Ο€, 𝑑}) = 2))
111108, 110mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (β™―β€˜{-Ο€, 𝑑}) = 2)
112111eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 2 = (β™―β€˜{-Ο€, 𝑑}))
11388adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑇 ∈ Fin)
114 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {-Ο€, 𝑑} βŠ† ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)))
115114, 73sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {-Ο€, 𝑑} βŠ† 𝑇
116 hashssle 43994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {-Ο€, 𝑑} βŠ† 𝑇) β†’ (β™―β€˜{-Ο€, 𝑑}) ≀ (β™―β€˜π‘‡))
117113, 115, 116sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (β™―β€˜{-Ο€, 𝑑}) ≀ (β™―β€˜π‘‡))
118112, 117eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘‡))
119102, 104, 97, 118lesub1dd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (2 βˆ’ 1) ≀ ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1))
120 1e2m1 12335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 = (2 βˆ’ 1)
121119, 120, 683brtr4g 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 1 ≀ 𝑁)
12296, 97, 98, 100, 121ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 0 < 𝑁)
123122gt0ne0d 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 β‰  0)
12495, 123jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 β‰  0))
125 elnnne0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 β‰  0))
126124, 125sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
127 fourierdlem103.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12850adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ ≀ -Ο€)
12948, 13, 106ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ≀ 𝑑)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑑)
13112, 14, 12, 128, 130eliccd 44203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]𝑑))
13214leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑑)
13312, 14, 14, 130, 132eliccd 44203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
134131, 133jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-Ο€ ∈ (-Ο€[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]𝑑)))
135 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑑 ∈ V
13669, 135prss 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-Ο€ ∈ (-Ο€[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) ↔ {-Ο€, 𝑑} βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
137134, 136sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ {-Ο€, 𝑑} βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
138 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) βŠ† (-Ο€(,)𝑑)
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) βŠ† (-Ο€(,)𝑑))
140 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-Ο€(,)𝑑) βŠ† (-Ο€[,]𝑑)
141139, 140sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
142137, 141unssd 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑))) βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
14373, 142eqsstrid 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑇 βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
14474a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ ∈ 𝑇)
145135prid2 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ {-Ο€, 𝑑}
146 elun1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ {-Ο€, 𝑑} β†’ 𝑑 ∈ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑))))
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)))
148147, 73eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ 𝑇
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
150113, 68, 127, 12, 14, 143, 144, 149fourierdlem52 44860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((𝐽:(0...𝑁)⟢(-Ο€[,]𝑑) ∧ (π½β€˜0) = -Ο€) ∧ (π½β€˜π‘) = 𝑑))
151150simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝐽:(0...𝑁)⟢(-Ο€[,]𝑑) ∧ (π½β€˜0) = -Ο€))
152151simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝐽:(0...𝑁)⟢(-Ο€[,]𝑑))
153151simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π½β€˜0) = -Ο€)
154150simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π½β€˜π‘) = 𝑑)
155 elfzoelz 13628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
156155zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
157156adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
158157ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ < (π‘˜ + 1))
15948, 13jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
16069, 135prss 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ↔ {-Ο€, 𝑑} βŠ† ℝ)
161159, 160sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ {-Ο€, 𝑑} βŠ† ℝ)
162161adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ {-Ο€, 𝑑} βŠ† ℝ)
163 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-Ο€(,)𝑑) βŠ† ℝ
164138, 163sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) βŠ† ℝ
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑)) βŠ† ℝ)
166162, 165unssd 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ({-Ο€, 𝑑} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (-Ο€(,)𝑑))) βŠ† ℝ)
16773, 166eqsstrid 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
168113, 167, 127, 68fourierdlem36 44845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
169168adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
170 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
171170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
172 fzofzp1 13725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))
173172adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))
174 isorel 7319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ < (π‘˜ + 1) ↔ (π½β€˜π‘˜) < (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
175169, 171, 173, 174syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ < (π‘˜ + 1) ↔ (π½β€˜π‘˜) < (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
176158, 175mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) < (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
17743adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
178177, 62feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑)) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )))
17962sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
18015, 16, 28, 39, 40fourierdlem9 44818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
181180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
182181, 179ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
18341fourierdlem43 44852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
185184, 179ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
186182, 185remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
18742fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
188179, 186, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
18911a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
19013adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
191 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
192 eliccre 44204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
193189, 190, 191, 192syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
194 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 0 ∈ ℝ)
19552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
196190rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
197 iccleub 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ≀ 𝑑)
198195, 196, 191, 197syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ≀ 𝑑)
19955adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑑 < 0)
200193, 190, 194, 198, 199lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 < 0)
201193, 200ltned 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 β‰  0)
202201adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 β‰  0)
203202neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
204203iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
205193, 194, 200ltnsymd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
206205adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
207206iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
208207oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š))
209208oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
210204, 209eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
21115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21216ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
213 iccssre 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
21411, 10, 213mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
215214, 179sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
216212, 215readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
217211, 216ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21839ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
219217, 218resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) ∈ ℝ)
220219, 215, 202redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) ∈ ℝ)
221210, 220eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
22240fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
223179, 221, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
224223, 204, 2093eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π»β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
22510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
226225renegcld 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
227 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
228195, 196, 191, 227syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
22958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑑 < Ο€)
230193, 190, 225, 198, 229lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 < Ο€)
231193, 225, 230ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
232226, 225, 193, 228, 231eliccd 44203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
233201neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
234233iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
235101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 2 ∈ ℝ)
236193rehalfcld 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
237236resincld 16082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
238235, 237remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
239 2cn 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ∈ β„‚
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 2 ∈ β„‚)
241193recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
242241halfcld 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
243242sincld 16069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
244 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 β‰  0
245244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 2 β‰  0)
246 fourierdlem44 44853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
247232, 201, 246syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
248240, 243, 245, 247mulne0d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
249193, 238, 248redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
250234, 249eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
25141fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
252232, 250, 251syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (-Ο€(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
253252adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
254224, 253oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
255203iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
256255oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
257188, 254, 2563eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
258257mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
25965, 178, 2583eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
260259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
261260reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
26215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
26316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
264 fourierdlem103.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
265 fourierdlem103.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
266265adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
267 fourierdlem103.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
268267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
269 fourierdlem103.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
270269adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
271 fourierdlem103.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
272271adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
273 fourierdlem103.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
274273adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
275106adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ < 𝑑)
27652a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
27753a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
27855adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 < 0)
279276, 14, 277, 278gtnelicc 44199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ Β¬ 0 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
28039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
281 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
282 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) = (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2)))))
283 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) = (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2)))))
284 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘™) = (π‘„β€˜π‘–))
285 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
286285fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜(𝑙 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
287284, 286oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
288287sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 β†’ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))) ↔ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
289288cbvriotavw 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
290262, 263, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 12, 14, 275, 62, 279, 280, 281, 80, 73, 68, 127, 282, 283, 289fourierdlem86 44894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∧ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚)))
291290simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
292261, 291eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
293290simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∧ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜))))
294293simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
295260eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
296295reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
297296oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
298294, 297eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
299293simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)))
300296oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)) = ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)))
301299, 300eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)))
302 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
30367adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑂:(-Ο€[,]𝑑)βŸΆβ„‚)
30411a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
30514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
306 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
307306adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
30862, 214sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) βŠ† ℝ)
309308adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) βŠ† ℝ)
310152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐽:(0...𝑁)⟢(-Ο€[,]𝑑))
311310, 171ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ (-Ο€[,]𝑑))
312309, 311sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
313312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
31452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
31514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
316315rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
317 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜π‘˜) ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ -Ο€ ≀ (π½β€˜π‘˜))
318314, 316, 311, 317syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ ≀ (π½β€˜π‘˜))
319318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ -Ο€ ≀ (π½β€˜π‘˜))
320313rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
321310, 173ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (-Ο€[,]𝑑))
322309, 321sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
323322rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ*)
324323adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ*)
325 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))
326 ioogtlb 44194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) < 𝑠)
327320, 324, 325, 326syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) < 𝑠)
328304, 313, 307, 319, 327lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ -Ο€ < 𝑠)
329304, 307, 328ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
330322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
331 iooltub 44209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 < (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
332320, 324, 325, 331syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 < (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
333 iccleub 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 𝑑)
334314, 316, 321, 333syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 𝑑)
335334adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ 𝑑)
336307, 330, 305, 332, 335ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 < 𝑑)
337307, 305, 336ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ≀ 𝑑)
338304, 305, 307, 329, 337eliccd 44203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
339338ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
340 dfss3 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (-Ο€[,]𝑑) ↔ βˆ€π‘  ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
341339, 340sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
342303, 341feqresmpt 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (π‘‚β€˜π‘ )))
343 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ πœ‘)
344 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0))
34564fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘‚β€˜π‘ ) = ((π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))β€˜π‘ )
346345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = ((π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))β€˜π‘ ))
347 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))β€˜π‘ ) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
348347adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))β€˜π‘ ) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
349253, 255eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
350224, 349oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
351219recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) ∈ β„‚)
352241adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
353239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ 2 ∈ β„‚)
354352halfcld 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
355354sincld 16069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
356353, 355mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
357248adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
358351, 352, 356, 202, 357dmdcan2d 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
359188, 350, 3583eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
360346, 348, 3593eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
361343, 344, 338, 360syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
362343, 344, 338, 358syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
363362eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
364 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑)) = (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑)))
365 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑋 + 𝑑) = (𝑋 + 𝑠))
366365fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
367366oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š))
368 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑠 β†’ 𝑑 = 𝑠)
369367, 368oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
370369adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∧ 𝑑 = 𝑠) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
371 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))
372 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) ∈ V
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) ∈ V)
374364, 370, 371, 373fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
375 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))))
376 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 / 2) = (𝑠 / 2))
377376fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
378377oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑠 β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
379368, 378oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
380379adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∧ 𝑑 = 𝑠) β†’ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
381 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ V
382381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ V)
383375, 380, 371, 382fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
384374, 383oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
385384eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
386385adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
387361, 363, 3863eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
388387mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (π‘‚β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ))))
389342, 388eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ))) = (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
390389oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))) = (ℝ D (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
39144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
392341, 309sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ℝ)
39322tgioo2 24310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
39422, 393dvres 25419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝑂:(-Ο€[,]𝑑)βŸΆβ„‚) ∧ ((-Ο€[,]𝑑) βŠ† ℝ ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
395391, 303, 309, 392, 394syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
396 ioontr 44210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))
398397reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
399390, 395, 3983eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))))
40015ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
40116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
402265ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
403267ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
404 fourierdlem103.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
405404ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40662adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
407341, 406sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
408312rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
40953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
410 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
41155ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 < 0)
412322, 315, 410, 334, 411lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) < 0)
413408, 322, 409, 412gtnelicc 44199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))))
41439ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
41511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
416106ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ < 𝑑)
417 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
418 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘£)(,)(π‘„β€˜(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘£)(,)(π‘„β€˜(𝑣 + 1)))))
419401, 264, 402, 403, 415, 315, 416, 406, 80, 73, 68, 127, 417, 289, 418fourierdlem50 44858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))(,)(π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)))))
420419simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
421419simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))(,)(π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))))
422369cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑)) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠))
423379cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
424 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
425400, 401, 264, 402, 403, 405, 312, 322, 176, 407, 413, 414, 80, 420, 421, 422, 423, 424fourierdlem72 44880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
426399, 425eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
427 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
428 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
429 fourierdlem103.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐢 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
430429, 420eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (0..^𝑀))
431 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ πœ‘)
432431, 430jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)))
433 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)))
434433anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐢 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀))))
435 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐢 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜πΆ))
436 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐢 β†’ (𝑖 + 1) = (𝐢 + 1))
437436fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐢 β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
438435, 437oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐢 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
439 raleq 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
440438, 439syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
441440rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
442434, 441imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)))
443 fourierdlem103.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
444442, 443vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
445430, 432, 444sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
446 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
447 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀
448446, 447nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑑(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
449 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
45011a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
451450, 16readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
45210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
453452, 16readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
454451, 453iccssred 13407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
455 ressxr 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ βŠ† ℝ*
456454, 455sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ*)
457456ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ*)
458264, 402, 403fourierdlem15 44824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
459 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐢 ∈ (0...𝑀))
460430, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (0...𝑀))
461458, 460ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
462457, 461sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ*)
463462adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ*)
464 fzofzp1 13725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐢 + 1) ∈ (0...𝑀))
465430, 464syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐢 + 1) ∈ (0...𝑀))
466458, 465ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
467457, 466sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ*)
468467adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ*)
469 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
470469adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
47110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
472415, 471, 401, 264, 402, 403, 460, 80fourierdlem13 44822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜πΆ) = ((π‘‰β€˜πΆ) βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜πΆ) = (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ))))
473472simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) = (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)))
474473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) = (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)))
475454ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
476475, 461sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ)
477476adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ)
478474, 477eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) ∈ ℝ)
479401, 312readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
480479adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
481472simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜πΆ) = ((π‘‰β€˜πΆ) βˆ’ 𝑋))
482476, 401resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘‰β€˜πΆ) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
483481, 482eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜πΆ) ∈ ℝ)
484415, 471, 401, 264, 402, 403, 465, 80fourierdlem13 44822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝐢 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1)))))
485484simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝐢 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) βˆ’ 𝑋))
486475, 466sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ)
487486, 401resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
488485, 487eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ)
489429eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) = 𝐢
490489fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))) = (π‘„β€˜πΆ)
491489oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐢 + 1)
492491fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)) = (π‘„β€˜(𝐢 + 1))
493490, 492oveq12i 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))(,)(π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((π‘„β€˜πΆ)(,)(π‘„β€˜(𝐢 + 1)))
494421, 493sseqtrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜πΆ)(,)(π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
495483, 488, 312, 322, 176, 494fourierdlem10 44819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜πΆ) ≀ (π½β€˜π‘˜) ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
496495simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜πΆ) ≀ (π½β€˜π‘˜))
497483, 312, 401, 496leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) ≀ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))
498497adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) ≀ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))
499480rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ*)
500401, 322readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
501500rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ*)
502501adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ*)
503 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
504 ioogtlb 44194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) < 𝑑)
505499, 502, 503, 504syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) < 𝑑)
506478, 480, 470, 498, 505lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) < 𝑑)
507474, 506eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) < 𝑑)
508500adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
509484simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
510509, 486eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) ∈ ℝ)
511510adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) ∈ ℝ)
512 iooltub 44209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
513499, 502, 503, 512syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
514495simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐢 + 1)))
515322, 488, 401, 514leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
516515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
517470, 508, 511, 513, 516ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
518509eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
519518adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
520517, 519breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
521463, 468, 470, 507, 520eliood 44197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
522521adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
523 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
524449, 522, 523syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
525524ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
526448, 525ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
527526ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
528527reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
529445, 528mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
530438raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
531530rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
532434, 531imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)))
533 fourierdlem103.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
534532, 533vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
535430, 432, 534sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
536 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧
537446, 536nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑑(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
53815, 45fssd 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
539 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ βŠ† ℝ
540539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
541 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ
542541a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ)
54322, 393dvres 25419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
54445, 538, 540, 542, 543syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
545 ioontr 44210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
546545reseq2i 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
547546a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
548544, 547eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
549548fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))β€˜π‘‘))
550 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
551549, 550sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
552551ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
553552fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
554553adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
555 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
556521adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
557 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
558555, 556, 557syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
559554, 558eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
560559ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
561537, 560ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
562561ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
563562reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
564535, 563mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
565415rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
566565, 316, 310, 417fourierdlem8 44817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
567126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
568152, 308fssd 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝐽:(0...𝑁)βŸΆβ„)
569568ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ 𝐽:(0...𝑁)βŸΆβ„)
570 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑))
571153eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ -Ο€ = (π½β€˜0))
572154eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑑 = (π½β€˜π‘))
573571, 572oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) = ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
574573adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ (-Ο€[,]𝑑) = ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
575570, 574eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
576575adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ π‘Ÿ ∈ ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
577 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽)
578 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π½β€˜π‘—) = (π½β€˜π‘˜))
579578breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π½β€˜π‘—) < π‘Ÿ ↔ (π½β€˜π‘˜) < π‘Ÿ))
580579cbvrabv 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘—) < π‘Ÿ} = {π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘˜) < π‘Ÿ}
581580supeq1i 9438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘—) < π‘Ÿ}, ℝ, < ) = sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘˜) < π‘Ÿ}, ℝ, < )
582567, 569, 576, 577, 581fourierdlem25 44834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘Ÿ ∈ (-Ο€[,]𝑑)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)π‘Ÿ ∈ ((π½β€˜π‘š)(,)(π½β€˜(π‘š + 1))))
583546a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
584538ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
585539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† ℝ)
586541a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ)
587391, 584, 585, 586, 543syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
588521ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
589 dfss3 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
590588, 589sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
591590resabs1d 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
592583, 587, 5913eqtr4rd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
593 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐢 ∈ (0..^𝑀))
594 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)))
595438reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐢 β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))))
596595, 438feq12d 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„))
597434, 596imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„)))
598 cncff 24400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
599404, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
600597, 599vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„))
601593, 594, 600sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„)
602432, 601syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„)
603602, 590fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))):((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))βŸΆβ„)
604592, 603feq1dd 43848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))):((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))βŸΆβ„)
605367, 378oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
606605cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
607 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
608 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘‘))
609608fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
610609breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
611610cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
612607, 611anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
613 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘))
614613fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) = (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)))
615614breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑧 ↔ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
616615cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
617612, 616anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑧) ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
618262, 263, 12, 14, 62, 279, 280, 427, 428, 529, 564, 152, 176, 566, 582, 604, 606, 617fourierdlem80 44888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
619358mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
620259, 619eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
621620oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
622621dmeqd 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
623 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
624 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑠ℝ
625 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑠 D
626 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
627624, 625, 626nfov 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
628627nfdm 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
629623, 628raleqf 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
630622, 629syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
631621fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ ) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ ))
632631fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) = (absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )))
633632breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
634633ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
635630, 634bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
636635rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
637618, 636mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
638 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠)
639 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 = (π½β€˜π‘˜) ↔ 𝑠 = (π½β€˜π‘˜)))
640 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (β„Ž = 𝑙 β†’ (π‘„β€˜β„Ž) = (π‘„β€˜π‘™))
641 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (β„Ž = 𝑙 β†’ (β„Ž + 1) = (𝑙 + 1))
642641fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (β„Ž = 𝑙 β†’ (π‘„β€˜(β„Ž + 1)) = (π‘„β€˜(𝑙 + 1)))
643640, 642oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (β„Ž = 𝑙 β†’ ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))) = ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
644643sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (β„Ž = 𝑙 β†’ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))) ↔ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))
645644cbvriotavw 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
646645fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))
647646eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))) ↔ (π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))))
648647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ ((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))) ↔ (π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))))
649 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘… = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…)
650645, 649ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘… = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…
651650a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘… = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…)
652648, 651ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊀ β†’ if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) = if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))))
653652mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) = if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜))))
654653oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) = (if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š)
655654oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) = ((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜))
656655oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) = (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2)))))
657656a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) = (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))))
658 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ 𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
659645oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1) = ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)
660659fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))
661660eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)) ↔ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)) ↔ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))))
663 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ)
664645, 663ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ
665664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ)
666662, 665ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
667666mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
668667oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) = (if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š)
669668oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) = ((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
670669oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) = (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2)))))
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) = (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))))
672 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (π‘‚β€˜π‘‘) = (π‘‚β€˜π‘ ))
673658, 671, 672ifbieq12d 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ if(𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘‘)) = if(𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘ )))
674639, 657, 673ifbieq12d 4555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑠 β†’ if(𝑑 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘‘))) = if(𝑠 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘ ))))
675674cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ if(𝑑 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘‘)))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ if(𝑠 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Š) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘ ))))
67612, 14, 67, 126, 152, 153, 154, 176, 292, 298, 301, 302, 426, 637, 638, 675fourierdlem73 44881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
677 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = π‘Ž β†’ ((absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž))
678677rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž))
679678cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž)
680676, 679sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž)
681680adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž)
682 rphalfcl 12997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
683682ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
684 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑒 / 2) β†’ ((absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž ↔ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
685684rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑒 / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
686685rspccva 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
687681, 683, 686syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = ((π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))β€˜π‘ ))
689140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (-Ο€(,)𝑑) βŠ† (-Ο€[,]𝑑))
690689sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]𝑑))
691690, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ (-Ο€[,]𝑑))β€˜π‘ ) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
692688, 691eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = (π‘‚β€˜π‘ ))
693692oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) = ((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))))
694693itgeq2dv 25290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠)
695694adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠)
696695fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠))
697 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698696, 697eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
699698ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
700699adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
701700ralimdv 3169 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
702701reximdv 3170 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
703687, 702mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
704703adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
705 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0))
706 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
707705, 706nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ β„•
709707, 708nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•)
710 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
711709, 710nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
712 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)))
713 eluznn 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
714713adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
715712, 714jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
716715adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
717 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
718713adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
719 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
720717, 718, 719syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
721716, 720jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
722721adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
723 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
724723rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
725724adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
72623a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
727 eluzelre 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
728 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
729728rehalfcli 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 2) ∈ ℝ
730729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
731727, 730readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
732731adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
733723adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
734727adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
735 eluzle 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ 𝑗 ≀ π‘˜)
736735adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ≀ π‘˜)
737 halfgt0 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < (1 / 2)
738737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 < (1 / 2))
739729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
740739, 734ltaddposd 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (0 < (1 / 2) ↔ π‘˜ < (π‘˜ + (1 / 2))))
741738, 740mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ < (π‘˜ + (1 / 2)))
742733, 734, 732, 736, 741lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 < (π‘˜ + (1 / 2)))
743732ltpnfd 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) < +∞)
744725, 726, 732, 742, 743eliood 44197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
745744adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
746 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
747 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ (𝑙 Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
748747fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
749748oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
750749adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
751750itgeq2dv 25290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
752751fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
753752breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
754753rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
755745, 746, 754sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
756755adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
757722, 756jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
758 fourierdlem103.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
759757, 758sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ’)
76011a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
761 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ 0 ∈ ℝ)
762 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
763758biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
764 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0))
765763, 764syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0))
766762, 765sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]0))
767 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ πœ‘)
768763, 767syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ’ β†’ πœ‘)
76943adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
77010rexri 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ο€ ∈ ℝ*
771 0re 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
772771, 10, 56ltleii 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≀ Ο€
773 iooss2 13356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
774770, 772, 773mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)Ο€)
775 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
776774, 775sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
777776sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
778777adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
779769, 778ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
780768, 779sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
781 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
782763, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ’ β†’ π‘˜ ∈ β„•)
783782nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ’ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
784729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ’ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
785783, 784readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ’ β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
786785adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
787 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
788787adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
789786, 788remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
790789resincld 16082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
791780, 790remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
792791recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
79352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
79453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ 0 ∈ ℝ*)
795760leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ -Ο€ ≀ -Ο€)
796 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-Ο€(,)0) βŠ† ℝ
797796, 765sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ’ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
798793, 794, 765, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ’ β†’ 𝑑 < 0)
799797, 761, 798ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ 𝑑 ≀ 0)
800 ioossioo 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (-Ο€ ≀ -Ο€ ∧ 𝑑 ≀ 0)) β†’ (-Ο€(,)𝑑) βŠ† (-Ο€(,)0))
801793, 794, 795, 799, 800syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ (-Ο€(,)𝑑) βŠ† (-Ο€(,)0))
802 ioombl 25073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-Ο€(,)𝑑) ∈ dom vol
803802a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ (-Ο€(,)𝑑) ∈ dom vol)
804 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ β„•))
805804anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•)))
806 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑛 = π‘˜)
807806oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
808807oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
809808fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
810809oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
811810mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
812811eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
813805, 812imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
814776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
815 ioombl 25073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
816815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
81743ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
818817adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
819 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
820 readdcl 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
821819, 729, 820sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
822821adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
823 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
824214, 823sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
825822, 824remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
826825resincld 16082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
827826adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
828818, 827remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
829 fourierdlem103.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
830829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))))
831 fourierdlem103.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
832831fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
833823, 826, 832syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
834833adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
835834oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
836835mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
837830, 836eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) = 𝐺)
83815adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
839 fourierdlem103.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
840839adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
84127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
84238adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
843819adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
844265adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
845267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
846269adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
847271adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
848273adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
849 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
850 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
851599adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
852 fourierdlem103.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
853852adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
854 fourierdlem103.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
855854adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
856264, 838, 840, 841, 842, 40, 41, 42, 843, 831, 829, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 850, 851, 853, 855fourierdlem88 44896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
857837, 856eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
858814, 816, 828, 857iblss 25313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
859813, 858chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
860768, 782, 859syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
861801, 803, 791, 860iblss 25313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
862765, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ’ β†’ -Ο€ < 𝑑)
863760, 797, 862ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ -Ο€ ≀ 𝑑)
864761leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ 0 ≀ 0)
865 ioossioo 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (-Ο€ ≀ 𝑑 ∧ 0 ≀ 0)) β†’ (𝑑(,)0) βŠ† (-Ο€(,)0))
866793, 794, 863, 864, 865syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ (𝑑(,)0) βŠ† (-Ο€(,)0))
867 ioombl 25073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)0) ∈ dom vol
868867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ (𝑑(,)0) ∈ dom vol)
869866, 868, 791, 860iblss 25313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (𝑑(,)0) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
870760, 761, 766, 792, 861, 869itgsplitioo 25346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = (∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
871801sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0))
872871, 791syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)𝑑)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
873872, 861itgcl 25292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
874866sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0))
875874, 791syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
876875, 869itgcl 25292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ ∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
877873, 876addcomd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
878870, 877eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = (∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
879878fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜(∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)))
880876, 873addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) ∈ β„‚)
881880abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (absβ€˜(∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
882876abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
883873abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
884882, 883readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) + (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
885 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
886763, 885syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
887886rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
888876, 873abstrid 15399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (absβ€˜(∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) ≀ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) + (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)))
889 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
890763, 889syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
891763simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
892882, 883, 887, 890, 891lt2halvesd 12456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) + (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
893881, 884, 887, 888, 892lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (absβ€˜(∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
894879, 893eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
895759, 894syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
896895ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
897711, 896ralrimi 3254 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
898897ex 413 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
899898reximdva 3168 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
900704, 899mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)0)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
901 negpilt0 43976 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ < 0
90211, 771, 10lttri 11336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ < 0 ∧ 0 < Ο€) β†’ -Ο€ < Ο€)
903901, 56, 902mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ < Ο€
90411, 10, 903ltleii 11333 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ ≀ Ο€
905904a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ Ο€)
906264fourierdlem2 44811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
907265, 906syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
908267, 907mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
909908simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
910 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
911909, 910syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
912911ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
91316adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
914912, 913resubcld 11638 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
915914, 80fmptd 7110 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
91680a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
917 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜0))
918917oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋))
919918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋))
920265nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
921 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
922920, 921eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
923 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
924922, 923syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
925911, 924ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜0) ∈ ℝ)
926925, 16resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
927916, 919, 924, 926fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋))
928908simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
929928simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)))
930929simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋))
931930oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋) = ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
932450recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
93316recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
934932, 933pncand 11568 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) = -Ο€)
935927, 931, 9343eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
936450, 452, 16, 264, 849, 265, 267, 80fourierdlem14 44823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ((π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€))
937849fourierdlem2 44811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ ((π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
938265, 937syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ ((π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
939936, 938mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
940939simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
941940simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€))
942941simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
943940simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
944943r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
94515adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
946849, 265, 936fourierdlem15 44824 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
947946adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
948 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
949948adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
950947, 949ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
951 fzofzp1 13725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
952951adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
953947, 952ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
95416adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
955 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ 𝑉 Fn (0...𝑀))
956909, 910, 9553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn (0...𝑀))
957 fvelrnb 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
958956, 957syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
959839, 958mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋)
960 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
961960adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
962933subidd 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0)
963962ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0)
964961, 963eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
965964ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
966965reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
967959, 966mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
96880elrnmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
969771, 968ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
970967, 969sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran 𝑄)
971849, 265, 936, 970fourierdlem12 44821 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
972911adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
973972, 949ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
974973, 954resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
97580fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
976949, 974, 975syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
977976oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
978973recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
979933adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
980978, 979npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
981977, 980eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
982 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜π‘–))
983982oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
984983cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
98580, 984eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
986985a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
987 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
988987oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
989988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
990972, 952ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
991990, 954resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
992986, 989, 952, 991fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
993992oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
994990recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
995994, 979npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
996993, 995eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
997981, 996oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
998997reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
999997oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚) = (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
1000269, 998, 9993eltr4d 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
100128adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
100239adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
1003945, 950, 953, 954, 971, 1000, 1001, 1002, 40fourierdlem40 44849 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
1004 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
100544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
10061004, 1005fssd 6732 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
1007404, 598, 10063syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
1008 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐡, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐡, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
100916, 264, 15, 839, 27, 39, 40, 265, 267, 271, 80, 849, 850, 1007, 854, 1008fourierdlem75 44883 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐡, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
1010 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
101116, 264, 15, 839, 28, 38, 40, 265, 267, 273, 80, 849, 850, 599, 852, 1010fourierdlem74 44882 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1012 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–))
1013 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
10141013fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
10151012, 1014oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
10161015cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1017450, 452, 905, 180, 265, 915, 935, 942, 944, 1003, 1009, 1011, 1016fourierdlem70 44878 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π»β€˜π‘ )) ≀ π‘₯)
1018 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1019 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘ ))
10201019fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
10211020breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦))
10221021cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦)
10231022ralbii 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦)
102410233anbi3i 1159 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦))
10251024anbi1i 624 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol))
10261025anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
10271026anbi1i 624 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ β„•))
102815, 16, 28, 39, 40, 41, 42, 831, 829, 1017, 856, 1018, 1027fourierdlem87 44895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1029 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = 𝑐)
10301029negeqd 11450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = -𝑐)
10311030adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = -𝑐)
103252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
103353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
1034 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
10351034renegcld 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -𝑐 ∈ ℝ)
10361035adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -𝑐 ∈ ℝ)
10371034adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
103810rehalfcli 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
104010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1041 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2))
1042 halfpos 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (0 < Ο€ ↔ (Ο€ / 2) < Ο€))
104310, 1042ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < Ο€ ↔ (Ο€ / 2) < Ο€)
104456, 1043mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ / 2) < Ο€
10451044a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
10461037, 1039, 1040, 1041, 1045lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 < Ο€)
10471037, 1040ltnegd 11788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ (𝑐 < Ο€ ↔ -Ο€ < -𝑐))
10481046, 1047mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -Ο€ < -𝑐)
1049 rpgt0 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑐)
10501034lt0neg2d 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (0 < 𝑐 ↔ -𝑐 < 0))
10511049, 1050mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -𝑐 < 0)
10521051adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -𝑐 < 0)
10531032, 1033, 1036, 1048, 1052eliood 44197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -𝑐 ∈ (-Ο€(,)0))
10541031, 1053eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (-Ο€(,)0))
1055 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2))
10561055negeqd 11450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = -(Ο€ / 2))
10571038renegcli 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ
10581057rexri 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
105952, 53, 10583pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*)
10601038, 10ltnegi 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ο€ / 2) < Ο€ ↔ -Ο€ < -(Ο€ / 2))
10611044, 1060mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -Ο€ < -(Ο€ / 2)
1062 2pos 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
106310, 101, 56, 1062divgt0ii 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < (Ο€ / 2)
1064 lt0neg2 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Ο€ / 2) ∈ ℝ β†’ (0 < (Ο€ / 2) ↔ -(Ο€ / 2) < 0))
10651038, 1064ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < (Ο€ / 2) ↔ -(Ο€ / 2) < 0)
10661063, 1065mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(Ο€ / 2) < 0
10671061, 1066pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€ < -(Ο€ / 2) ∧ -(Ο€ / 2) < 0)
1068 elioo3g 13349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-(Ο€ / 2) ∈ (-Ο€(,)0) ↔ ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-Ο€ < -(Ο€ / 2) ∧ -(Ο€ / 2) < 0)))
10691059, 1067, 1068mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(Ο€ / 2) ∈ (-Ο€(,)0)
10701069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ -(Ο€ / 2) ∈ (-Ο€(,)0))
10711056, 1070eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (-Ο€(,)0))
10721071adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (-Ο€(,)0))
10731054, 1072pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (-Ο€(,)0))
107410733ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (-Ο€(,)0))
1075 ioombl 25073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) ∈ dom vol
10761075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) ∈ dom vol)
1077 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10781076, 1077jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ ((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1079 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))[,]0)
10801079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))[,]0))
108111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
108210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
10831037, 1040, 1046ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 ≀ Ο€)
10841037, 1040lenegd 11789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ (𝑐 ≀ Ο€ ↔ -Ο€ ≀ -𝑐))
10851083, 1084mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -Ο€ ≀ -𝑐)
10861030eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ -𝑐 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10871086adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -𝑐 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10881085, 1087breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -Ο€ ≀ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
108911, 1057, 1061ltleii 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -Ο€ ≀ -(Ο€ / 2)
10901089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -Ο€ ≀ -(Ο€ / 2))
10911056eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ -(Ο€ / 2) = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10921091adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10931090, 1092breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ -Ο€ ≀ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10941088, 1093pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -Ο€ ≀ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
1095772a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ Ο€)
1096 iccss 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ∧ (-Ο€ ≀ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∧ 0 ≀ Ο€)) β†’ (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))[,]0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
10971081, 1082, 1094, 1095, 1096syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))[,]0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
10981080, 1097sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
1099796, 1073sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
1100 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
1101 rpge0 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑐)
11021101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ 𝑐)
11031041iftrued 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = 𝑐)
11041102, 1103breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
1105771, 1038, 1063ltleii 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≀ (Ο€ / 2)
1106 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2))
11071106iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2))
11081105, 1107breqtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
11091104, 1108pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
11101038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
11111034, 1110ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
11121111le0neg2d 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (0 ≀ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ↔ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 0))
11131109, 1112mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 0)
1114 volioo 25077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 0) β†’ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) = (0 βˆ’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))))
11151099, 1100, 1113, 1114syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) = (0 βˆ’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))))
1116 0cn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„‚
11171116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ β„‚)
11181111recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
11191117, 1118subnegd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (0 βˆ’ -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) = (0 + if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))))
11201118addlidd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (0 + if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
11211115, 1119, 11203eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
1122 min1 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 𝑐)
11231034, 1038, 1122sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 𝑐)
11241121, 1123eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐)
11251098, 1124jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐))
11261125adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ ((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐))
1127 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ↔ (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)))
1128 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ (volβ€˜π‘’) = (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)))
11291128breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ ((volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐 ↔ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐))
11301127, 1129anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ ((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) ↔ ((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐)))
1131 itgeq1 25281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
11321131fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
11331132breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ ((absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11341133ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11351130, 1134imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) β†’ (((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
11361135rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . 13 (((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ (((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11371078, 1126, 1136sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
113811373adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1139 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ (𝑑(,)0) = (-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0))
11401139itgeq1d 44659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ ∫(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
11411140fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
11421141breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11431142ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = -if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11441143rspcev 3612 . . . . . . . . . . 11 ((-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (-Ο€(,)0) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(-if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (-Ο€(,)0)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
11451074, 1138, 1144syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (-Ο€(,)0)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
11461145rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (-Ο€(,)0)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11471028, 1146mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (-Ο€(,)0)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1148900, 1147r19.29a 3162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
11491148ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1150 nnex 12214 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
11511150mptex 7221 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ∈ V
11521151a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ∈ V)
1153 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠))
1154777adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1155779ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1156777adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1157 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
1158 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11591157, 1158eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
11601159nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1161729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11621160, 1161readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11631162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1164214, 1156sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
11651163, 1164remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
11661165resincld 16082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
11671156, 1166, 832syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11681167adantlll 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11691160adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
11701169adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1171 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 1 ∈ ℝ)
11721171rehalfcld 12455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11731170, 1172readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1174214, 1154sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
11751173, 1174remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
11761175resincld 16082 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
11771168, 1176eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
11781155, 1177remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
1179829fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
11801154, 1178, 1179syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
1181 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
11821181oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
11831182fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11841183ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11851168, 1184eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11861185oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
11871180, 1186eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
11881187itgeq2dv 25290 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
1189 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1190810itgeq2dv 25290 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
11911190eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚ ↔ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚))
1192805, 1191imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)))
1193779adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1194 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
11951194, 777, 826syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
11961193, 1195remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
11971196, 858itgcl 25292 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
11981192, 1197chvarvv 2002 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
11991153, 1188, 1189, 1198fvmptd 7002 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘˜) = ∫(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
12009, 2, 1152, 1199, 1198clim0c 15447 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ⇝ 0 ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(-Ο€(,)0)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
12011149, 1200mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ⇝ 0)
12021150mptex 7221 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€)) ∈ V
12036, 1202eqeltri 2829 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
12041203a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
12051150mptex 7221 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) ∈ V
12061205a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) ∈ V)
1207 picn 25960 . . . . . . 7 Ο€ ∈ β„‚
12081207a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
1209 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€))
1210 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘š) β†’ Ο€ = Ο€)
1211 id 22 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•)
121210a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ ℝ)
12131209, 1210, 1211, 1212fvmptd 7002 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘š) = Ο€)
12141213adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘š) = Ο€)
12159, 2, 1206, 1208, 1214climconst 15483 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) ⇝ Ο€)
1216771, 56gtneii 11322 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
12171216a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
121816adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
121928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
122039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
1221838, 1218, 1219, 1220, 40, 41, 42, 843, 831, 829fourierdlem67 44875 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
12221221adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
1223814sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
12241222, 1223ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
12251221ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
12261221feqmptd 6957 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
12271226, 856eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
1228814, 816, 1225, 1227iblss 25313 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
12291224, 1228itgcl 25292 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 ∈ β„‚)
1230 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
12311230fvmpt2 7006 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
12321194, 1229, 1231syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
12331232, 1229eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
1234 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1235 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)
12361235fvmpt2 7006 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) = Ο€)
12371234, 10, 1236sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) = Ο€)
12381207a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
12391216a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
12401238, 1239jca 512 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0))
1241 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 (Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0))
12421240, 1241sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
12431237, 1242eqeltrd 2833 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
12441243adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
12451207a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
12461216a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ β‰  0)
12471229, 1245, 1246divcld 11986 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) ∈ β„‚)
12486fvmpt2 7006 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) ∈ β„‚) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
12491194, 1247, 1248syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
12501232eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›))
12511237eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›))
12521251adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›))
12531250, 1252oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) / ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›)))
12541249, 1253eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) / ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›)))
12553, 4, 5, 8, 9, 2, 1201, 1204, 1215, 1217, 1233, 1244, 1254climdivf 44314 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ⇝ (0 / Ο€))
12561207, 1216div0i 11944 . . . . 5 (0 / Ο€) = 0
12571256a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 / Ο€) = 0)
12581255, 1257breqtrd 5173 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ⇝ 0)
1259 fourierdlem103.z . . . . 5 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)
12601150mptex 7221 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) ∈ V
12611259, 1260eqeltri 2829 . . . 4 𝑍 ∈ V
12621261a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
12631150mptex 7221 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2)) ∈ V
12641263a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2)) ∈ V)
1265 limccl 25383 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
12661265, 38sselid 3979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
12671266halfcld 12453 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š / 2) ∈ β„‚)
1268 eqidd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2)))
1269 eqidd 2733 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ (π‘Š / 2) = (π‘Š / 2))
12709eqcomi 2741 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜1) = β„•
12711270eleq2i 2825 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ 𝑛 ∈ β„•)
12721271biimpi 215 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
12731272adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
12741267adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (π‘Š / 2) ∈ β„‚)
12751268, 1269, 1273, 1274fvmptd 7002 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2))β€˜π‘›) = (π‘Š / 2))
12761, 2, 1264, 1267, 1275climconst 15483 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2)) ⇝ (π‘Š / 2))
12771247, 6fmptd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„•βŸΆβ„‚)
12781277adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐸:β„•βŸΆβ„‚)
12791278, 1273ffvelcdmd 7084 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
12801275, 1274eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
12811275oveq2d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2))β€˜π‘›)) = ((πΈβ€˜π‘›) + (π‘Š / 2)))
1282815a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
128352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
1284 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
12851284rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
1286 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0))
1287 iooltub 44209 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 < 0)
12881283, 1285, 1286, 1287syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 < 0)
1289787, 1288ltned 11346 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 β‰  0)
12901289neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
1291 velsn 4643 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
12921290, 1291sylnibr 328 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
1293777, 1292eldifd 3958 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 ∈ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
12941293ssriv 3985 . . . . . . 7 (-Ο€(,)0) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0})
12951294a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
1296 fourierdlem103.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
1297787adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1298 0red 11213 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
1299787, 1284, 1288ltled 11358 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑠 ≀ 0)
13001299adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ≀ 0)
13011297, 1298, 1300lensymd 11361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
13021301iffalsed 4538 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
1303 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π·β€˜π‘›) = (π·β€˜π‘›)
130411a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
1305 0red 11213 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
130611, 771, 901ltleii 11333 . . . . . . . . 9 -Ο€ ≀ 0
13071306a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ≀ 0)
1308 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€)) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))
13091296, 1194, 1303, 1304, 1305, 1307, 1308dirkeritg 44804 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) βˆ’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜-Ο€)))
1310 ubicc2 13438 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ 0) β†’ 0 ∈ (-Ο€[,]0))
131152, 53, 1306, 1310mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (-Ο€[,]0)
1312 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1313239, 244div0i 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 / 2) = 0
13141313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 β†’ (0 / 2) = 0)
13151312, 1314eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 / 2) = 0)
1316 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 0 β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = (π‘˜ Β· 0))
1317 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
13181317zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
13191318mul01d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
13201316, 1319sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = 0)
13211320fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = (sinβ€˜0))
1322 sin0 16088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (sinβ€˜0) = 0
13231322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (sinβ€˜0) = 0)
13241321, 1323eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 0)
13251324oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = (0 / π‘˜))
1326 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ∈ ℝ)
1327 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 1 ∈ ℝ)
13281317zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
132999a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 0 < 1)
1330 elfzle1 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 1 ≀ π‘˜)
13311326, 1327, 1328, 1329, 1330ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 0 < π‘˜)
13321331gt0ne0d 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ β‰  0)
13331318, 1332div0d 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (0 / π‘˜) = 0)
13341333adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (0 / π‘˜) = 0)
13351325, 1334eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = 0)
13361335sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0)
1337 fzfi 13933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑛) ∈ Fin
13381337olci 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1...𝑛) βŠ† (β„€β‰₯β€˜ βˆ₯ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1339 sumz 15664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1...𝑛) βŠ† (β„€β‰₯β€˜ βˆ₯ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0 = 0)
13401338, 1339ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0 = 0
13411340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0 = 0)
13421336, 1341eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = 0)
13431315, 1342oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) = (0 + 0))
1344 00id 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
13451344a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 β†’ (0 + 0) = 0)
13461343, 1345eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) = 0)
13471346oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) = (0 / Ο€))
13481256a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 β†’ (0 / Ο€) = 0)
13491347, 1348eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) = 0)
1350771elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13511349, 1308, 1350fvmpt 6995 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (-Ο€[,]0) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) = 0)
13521311, 1351ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) = 0
1353 lbicc2 13437 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ 0) β†’ -Ο€ ∈ (-Ο€[,]0))
135452, 53, 1306, 1353mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ (-Ο€[,]0)
1355 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = -Ο€ β†’ (𝑠 / 2) = (-Ο€ / 2))
1356 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = -Ο€ β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = (π‘˜ Β· -Ο€))
13571356fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = -Ο€ β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)))
13581357oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = -Ο€ β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜))
13591358sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = -Ο€ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜))
13601355, 1359oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = -Ο€ β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) = ((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)))
13611360oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = -Ο€ β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) = (((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)) / Ο€))
1362 ovex 7438 . . . . . . . . . . . 12 (((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)) / Ο€) ∈ V
13631361, 1308, 1362fvmpt 6995 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€ ∈ (-Ο€[,]0) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜-Ο€) = (((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)) / Ο€))
13641354, 1363ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜-Ο€) = (((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)) / Ο€)
1365 mulneg12 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚) β†’ (-π‘˜ Β· Ο€) = (π‘˜ Β· -Ο€))
13661318, 1207, 1365sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (-π‘˜ Β· Ο€) = (π‘˜ Β· -Ο€))
13671366eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (π‘˜ Β· -Ο€) = (-π‘˜ Β· Ο€))
13681367oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· -Ο€) / Ο€) = ((-π‘˜ Β· Ο€) / Ο€))
13691318negcld 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ -π‘˜ ∈ β„‚)
13701207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
13711216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ Ο€ β‰  0)
13721369, 1370, 1371divcan4d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((-π‘˜ Β· Ο€) / Ο€) = -π‘˜)
13731368, 1372eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· -Ο€) / Ο€) = -π‘˜)
13741317znegcld 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ -π‘˜ ∈ β„€)
13751373, 1374eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· -Ο€) / Ο€) ∈ β„€)
1376 negpicn 25963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -Ο€ ∈ β„‚
13771376a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
13781318, 1377mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (π‘˜ Β· -Ο€) ∈ β„‚)
1379 sineq0 26024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ Β· -Ο€) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) = 0 ↔ ((π‘˜ Β· -Ο€) / Ο€) ∈ β„€))
13801378, 1379syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) = 0 ↔ ((π‘˜ Β· -Ο€) / Ο€) ∈ β„€))
13811375, 1380mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) = 0)
13821381oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜) = (0 / π‘˜))
13831382, 1333eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜) = 0)
13841383sumeq2i 15641 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0
13851384, 1340eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜) = 0
13861385oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)) = ((-Ο€ / 2) + 0)
13871386oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (((-Ο€ / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· -Ο€)) / π‘˜)) / Ο€) = (((-Ο€ / 2) + 0) / Ο€)
13881376, 239, 244divcli 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€ / 2) ∈ β„‚
13891388addridi 11397 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ / 2) + 0) = (-Ο€ / 2)
1390 divneg 11902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2))
13911207, 239, 244, 1390mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2)
13921389, 1391eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ / 2) + 0) = -(Ο€ / 2)
13931392oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 (((-Ο€ / 2) + 0) / Ο€) = (-(Ο€ / 2) / Ο€)
13941038recni 11224 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
1395 divneg 11902 . . . . . . . . . . . . 13 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0) β†’ -((Ο€ / 2) / Ο€) = (-(Ο€ / 2) / Ο€))
13961394, 1207, 1216, 1395mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 -((Ο€ / 2) / Ο€) = (-(Ο€ / 2) / Ο€)
13971396eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (-(Ο€ / 2) / Ο€) = -((Ο€ / 2) / Ο€)
13981207, 239, 1207, 244, 1216divdiv32i 11965 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο€ / 2) / Ο€) = ((Ο€ / Ο€) / 2)
13991207, 1216dividi 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ο€ / Ο€) = 1
14001399oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο€ / Ο€) / 2) = (1 / 2)
14011398, 1400eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο€ / 2) / Ο€) = (1 / 2)
14021401negeqi 11449 . . . . . . . . . . 11 -((Ο€ / 2) / Ο€) = -(1 / 2)
14031393, 1397, 14023eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (((-Ο€ / 2) + 0) / Ο€) = -(1 / 2)
14041364, 1387, 14033eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜-Ο€) = -(1 / 2)
14051352, 1404oveq12i 7417 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) βˆ’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜-Ο€)) = (0 βˆ’ -(1 / 2))
14061405a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) βˆ’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜-Ο€)) = (0 βˆ’ -(1 / 2)))
1407 halfcn 12423 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ β„‚
14081116, 1407subnegi 11535 . . . . . . . . 9 (0 βˆ’ -(1 / 2)) = (0 + (1 / 2))
14091407addlidi 11398 . . . . . . . . 9 (0 + (1 / 2)) = (1 / 2)
14101408, 1409eqtri 2760 . . . . . . . 8 (0 βˆ’ -(1 / 2)) = (1 / 2)
14111410a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0 βˆ’ -(1 / 2)) = (1 / 2))
14121309, 1406, 14113eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠 = (1 / 2))
141315, 16, 264, 265, 267, 839, 269, 271, 273, 40, 41, 42, 831, 829, 850, 599, 852, 854, 27, 38, 1282, 1295, 6, 1296, 39, 1302, 1412fourierdlem95 44903 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (π‘Š / 2)) = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
14141273, 1413syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (π‘Š / 2)) = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
14151259a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠))
1416 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘š) = (π·β€˜π‘›))
14171416fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
14181417oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
14191418adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
14201419itgeq2dv 25290 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
14211420adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
142215adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
142316adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
14241423, 1297readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
14251422, 1424ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14261425adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14271296dirkerf 44799 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
14281427ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
1429787adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
14301428, 1429ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
14311426, 1430remulcld 11240 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
143215adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
143316adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1434214sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
14351434adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
14361433, 1435readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
14371432, 1436ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14381437adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14391427ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
14401434adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
14411439, 1440ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
14421438, 1441remulcld 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
144310a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14441296dirkercncf 44809 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
14451444adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1446 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
14471304, 1443, 838, 1218, 264, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 1445, 1446fourierdlem84 44892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
1448814, 816, 1442, 1447iblss 25313 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
14491431, 1448itgrecl 25306 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 ∈ ℝ)
14501415, 1421, 1194, 1449fvmptd 7002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
14511450eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = (π‘β€˜π‘›))
14521273, 1451syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = (π‘β€˜π‘›))
14531281, 1414, 14523eqtrrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (π‘β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘›) + ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Š / 2))β€˜π‘›)))
14541, 2, 1258, 1262, 1276, 1279, 1280, 1453climadd 15572 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ (0 + (π‘Š / 2)))
14551267addlidd 11411 . 2 (πœ‘ β†’ (0 + (π‘Š / 2)) = (π‘Š / 2))
14561454, 1455breqtrd 5173 1 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ (π‘Š / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  β„©cio 6490   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540   Isom wiso 6541  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  supcsup 9431  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830  β™―chash 14286  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  Ξ£csu 15628  sincsin 16003  Ο€cpi 16006  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936  intcnt 22512  β€“cnβ†’ccncf 24383  volcvol 24971  πΏ1cibl 25125  βˆ«citg 25126   limβ„‚ climc 25370   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-t1 22809  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  44920
  Copyright terms: Public domain W3C validator