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Theorem fourierdlem103 46224
Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem103.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem103.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem103.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem103.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem103.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem103.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem103.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem103.fbdioo ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem103.fdvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem103.fdvbd ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem103.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem103.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem103.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem103.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem103.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem103.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem103.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem103.z 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem103.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem103.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem103.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem103.a (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem103.b (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem103.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem103.o 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))
fourierdlem103.t 𝑇 = ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
fourierdlem103.n 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem103.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem103.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem103.1 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem103.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem103 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑊 / 2))
Distinct variable groups:   𝜒,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠   𝑅,𝑙,𝑠,𝑡   𝑒,𝑛,𝜑   𝑘,𝑊,𝑚,𝑠   𝑈,𝑘,𝑛   𝑘,𝑀   𝑈,𝑑,𝑙,𝑠   𝑊,𝑙,𝑡   𝑚,𝑛,𝜑   𝐷,𝑖,𝑚,𝑠   𝑚,𝑀,𝑝   𝐾,𝑠   𝜑,𝑑   𝑘,𝑋,𝑚   𝑋,𝑝   𝐿,𝑙,𝑠,𝑡   𝑖,𝑉,𝑝   𝑄,𝑝   𝑘,𝑉,𝑠,𝑡   𝑇,𝑓   𝑒,𝑂,𝑙   𝑤,𝐹,𝑧,𝑖   𝐹,𝑙,𝑡,𝑖   𝑒,𝑑,𝑠   𝑘,𝐹,𝑚,𝑠   𝑘,𝑂,𝑠,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡   𝑡,𝑄   𝑓,𝑁   𝑡,𝑑,𝑤,𝑧,𝜑   𝑖,𝑊,𝑛,𝑠   𝑤,𝑁,𝑧   𝑄,𝑖   𝑀,𝑙   𝑡,𝑁   𝑆,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝑋,𝑙   𝑓,𝑑,𝜑   𝐵,𝑠   𝐴,𝑠   𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝑖,𝐺,𝑘   𝑒,𝐺,𝑠   𝑖,𝐻   𝑛,𝑍   𝑖,𝑑,𝑘,𝜑,𝑙   𝑀,𝑠   𝑡,𝐺   𝑒,𝑁,𝑘   𝑖,𝑁,𝑙,𝑠   𝑤,𝑊,𝑧   𝑋,𝑠,𝑡,𝑤,𝑧   𝑚,𝑁   𝐻,𝑠   𝑘,𝐽,𝑡,𝑤,𝑧   𝑚,𝐽,𝑠   𝐽,𝑙   𝑄,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,𝑘   𝑖,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜒(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐵(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐶(𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑈(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑤,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑚,𝑛,𝑑,𝑙)   𝑊(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑌(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑍(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem103
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑏 𝑐 𝑢 𝑟 𝑣 𝑗 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nfv 1914 . . . . 5 𝑛𝜑
4 nfmpt1 5250 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)
5 nfmpt1 5250 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6 fourierdlem103.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
7 nfmpt1 5250 . . . . . 6 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86, 7nfcxfr 2903 . . . . 5 𝑛𝐸
9 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 pire 26500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
1110renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ ℝ)
13 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
15 fourierdlem103.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
16 fourierdlem103.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
17 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
1915, 18fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
20 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2516ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 < +∞)
2622, 24, 16, 25lptioo1cn 45661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
27 fourierdlem103.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2819, 21, 26, 27limcrecl 45644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
29 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3115, 30fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
32 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
34 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3616mnfltd 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3722, 35, 16, 36lptioo2cn 45660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
38 fourierdlem103.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3931, 33, 37, 38limcrecl 45644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
40 fourierdlem103.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
41 fourierdlem103.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
42 fourierdlem103.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4315, 16, 28, 39, 40, 41, 42fourierdlem55 46176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
44 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4643, 45fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4811a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
4910a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
5048leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≤ -π)
51 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
5211rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -π ∈ ℝ*
53 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
54 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 < 0)
5552, 53, 54mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 < 0)
56 pipos 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
5813, 51, 49, 55, 57lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 < π)
5913, 49, 58ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 ≤ π)
60 iccss 13455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 𝑑 ≤ π)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
6148, 49, 50, 59, 60syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
6347, 62fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)):(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
64 fourierdlem103.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)))
6665feq1d 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)):(-π[,]𝑑)⟶ℂ))
6763, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
68 fourierdlem103.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
6911elexi 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -π ∈ V
7069prid1 4762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ {-π, 𝑑}
71 elun1 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π ∈ {-π, 𝑑} → -π ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -π ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
73 fourierdlem103.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 = ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
7472, 73eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -π ∈ 𝑇
7574ne0ii 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ≠ ∅
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
77 prfi 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 {-π, 𝑑} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → {-π, 𝑑} ∈ Fin)
79 fzfi 14013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem103.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8180rnmptfi 45176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ran 𝑄 ∈ Fin
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin)
84 infi 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin)
86 unfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({-π, 𝑑} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ∈ Fin)
8778, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ∈ Fin)
8873, 87eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
89 hashnncl 14405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
9176, 90mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
92 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9468, 93eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
96 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
97 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
9895nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 < 1)
101 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 ∈ ℝ)
10391nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
105 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑑)
10652, 53, 105mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑑)
10748, 106ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≠ 𝑑)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≠ 𝑑)
109 hashprg 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (-π ≠ 𝑑 ↔ (♯‘{-π, 𝑑}) = 2))
11012, 14, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π ≠ 𝑑 ↔ (♯‘{-π, 𝑑}) = 2))
111108, 110mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘{-π, 𝑑}) = 2)
112111eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 = (♯‘{-π, 𝑑}))
11388adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ∈ Fin)
114 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {-π, 𝑑} ⊆ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
115114, 73sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {-π, 𝑑} ⊆ 𝑇
116 hashssle 45310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {-π, 𝑑} ⊆ 𝑇) → (♯‘{-π, 𝑑}) ≤ (♯‘𝑇))
117113, 115, 116sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘{-π, 𝑑}) ≤ (♯‘𝑇))
118112, 117eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
119102, 104, 97, 118lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
120 1e2m1 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 = (2 − 1)
121119, 120, 683brtr4g 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 1 ≤ 𝑁)
12296, 97, 98, 100, 121ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 < 𝑁)
123122gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ≠ 0)
12495, 123jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
125 elnnne0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
126124, 125sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
127 fourierdlem103.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12850adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≤ -π)
12948, 13, 106ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≤ 𝑑)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≤ 𝑑)
13112, 14, 12, 128, 130eliccd 45517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ (-π[,]𝑑))
13214leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑𝑑)
13312, 14, 14, 130, 132eliccd 45517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑))
134131, 133jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π ∈ (-π[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑)))
135 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑑 ∈ V
13669, 135prss 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π ∈ (-π[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑)) ↔ {-π, 𝑑} ⊆ (-π[,]𝑑))
137134, 136sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → {-π, 𝑑} ⊆ (-π[,]𝑑))
138 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π(,)𝑑)
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π(,)𝑑))
140 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)𝑑) ⊆ (-π[,]𝑑)
141139, 140sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π[,]𝑑))
142137, 141unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ⊆ (-π[,]𝑑))
14373, 142eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ⊆ (-π[,]𝑑))
14474a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ 𝑇)
145135prid2 4763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ {-π, 𝑑}
146 elun1 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ {-π, 𝑑} → 𝑑 ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))))
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
148147, 73eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑𝑇
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑𝑇)
150113, 68, 127, 12, 14, 143, 144, 149fourierdlem52 46173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑) ∧ (𝐽‘0) = -π) ∧ (𝐽𝑁) = 𝑑))
151150simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑) ∧ (𝐽‘0) = -π))
152151simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑))
153151simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽‘0) = -π)
154150simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽𝑁) = 𝑑)
155 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
156155zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
158157ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
15948, 13jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → (-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
16069, 135prss 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ↔ {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
161159, 160sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (-π(,)0) → {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
163 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)𝑑) ⊆ ℝ
164138, 163sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ ℝ
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ ℝ)
166162, 165unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ⊆ ℝ)
16773, 166eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
168113, 167, 127, 68fourierdlem36 46158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
170 elfzofz 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
171170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
172 fzofzp1 13803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
173172adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
174 isorel 7346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
175169, 171, 173, 174syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
176158, 175mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
17743adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
178177, 62feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (𝑈𝑠)))
17962sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
18015, 16, 28, 39, 40fourierdlem9 46131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
181180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 179ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
18341fourierdlem43 46165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
185184, 179ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
186182, 185remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
18742fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
188179, 186, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
18911a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ)
19013adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
191 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
192 eliccre 45518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
193189, 190, 191, 192syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
194 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
19552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ*)
196190rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
197 iccleub 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((-π ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠𝑑)
198195, 196, 191, 197syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠𝑑)
19955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 < 0)
200193, 190, 194, 198, 199lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 < 0)
201193, 200ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≠ 0)
202201adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≠ 0)
203202neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 𝑠 = 0)
204203iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
205193, 194, 200ltnsymd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 0 < 𝑠)
206205adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 0 < 𝑠)
207206iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
208207oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
209208oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
210204, 209eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
21115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
21216ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑋 ∈ ℝ)
213 iccssre 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
21411, 10, 213mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-π[,]π) ⊆ ℝ
215214, 179sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
216212, 215readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
217211, 216ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21839ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑊 ∈ ℝ)
219217, 218resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) ∈ ℝ)
220219, 215, 202redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ ℝ)
221210, 220eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
22240fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
223179, 221, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
224223, 204, 2093eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
22510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → π ∈ ℝ)
226225renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ)
227 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ 𝑠)
228195, 196, 191, 227syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ 𝑠)
22958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 < π)
230193, 190, 225, 198, 229lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 < π)
231193, 225, 230ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ π)
232226, 225, 193, 228, 231eliccd 45517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
233201neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 𝑠 = 0)
234233iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
235101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℝ)
236193rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
237236resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
238235, 237remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
239 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ∈ ℂ
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℂ)
241193recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℂ)
242241halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
243242sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
244 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ≠ 0
245244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ≠ 0)
246 fourierdlem44 46166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
247232, 201, 246syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
248240, 243, 245, 247mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
249193, 238, 248redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
250234, 249eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
25141fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252232, 250, 251syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
253252adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254224, 253oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255203iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
256255oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
257188, 254, 2563eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
258257mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
25965, 178, 2583eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
260259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
261260reseq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
26215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
26316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
264 fourierdlem103.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
265 fourierdlem103.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
266265adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑀 ∈ ℕ)
267 fourierdlem103.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
268267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
269 fourierdlem103.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
270269adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
271 fourierdlem103.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
272271adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
273 fourierdlem103.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
274273adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
275106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑑)
27652a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ ℝ*)
27753a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
27855adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 < 0)
279276, 14, 277, 278gtnelicc 45513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ¬ 0 ∈ (-π[,]𝑑))
28039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑊 ∈ ℝ)
281 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
282 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
283 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
284 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄𝑙) = (𝑄𝑖))
285 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
286285fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
287284, 286oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
288287sseq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
289288cbvriotavw 7398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
290262, 263, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 12, 14, 275, 62, 279, 280, 281, 80, 73, 68, 127, 282, 283, 289fourierdlem86 46207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
291290simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
292261, 291eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
293290simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘))))
294293simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295260eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
296295reseq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
297296oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
298294, 297eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
299293simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
300296oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
301299, 300eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
302 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
30367adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
30411a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ∈ ℝ)
30514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
306 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
307306adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
30862, 214sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) ⊆ ℝ)
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (-π[,]𝑑) ⊆ ℝ)
310152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑))
311310, 171ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ (-π[,]𝑑))
312309, 311sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
313312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
31452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ*)
31514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
316315rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
317 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ* ∧ (𝐽𝑘) ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ (𝐽𝑘))
318314, 316, 311, 317syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ≤ (𝐽𝑘))
319318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ≤ (𝐽𝑘))
320313rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ*)
321310, 173ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (-π[,]𝑑))
322309, 321sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
323322rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
324323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
325 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
326 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
327320, 324, 325, 326syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
328304, 313, 307, 319, 327lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π < 𝑠)
329304, 307, 328ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ≤ 𝑠)
330322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
331 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
332320, 324, 325, 331syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
333 iccleub 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
334314, 316, 321, 333syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
335334adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
336307, 330, 305, 332, 335ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < 𝑑)
337307, 305, 336ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠𝑑)
338304, 305, 307, 329, 337eliccd 45517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
339338ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
340 dfss3 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
341339, 340sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑))
342303, 341feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)))
343 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
344 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
34564fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠)
346345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠))
347 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
348347adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
349253, 255eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
350224, 349oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
351219recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) ∈ ℂ)
352241adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℂ)
353239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℂ)
354352halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
355354sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
356353, 355mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
357248adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
358351, 352, 356, 202, 357dmdcan2d 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359188, 350, 3583eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
360346, 348, 3593eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
361343, 344, 338, 360syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
362343, 344, 338, 358syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
363362eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
364 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)))
365 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
366365fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
367366oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
368 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠𝑡 = 𝑠)
369367, 368oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
370369adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
371 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
372 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ V
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ V)
374364, 370, 371, 373fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
375 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
376 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
377376fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
378377oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
379368, 378oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380379adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
381 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
382381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
383375, 380, 371, 382fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
384374, 383oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
385384eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
386385adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
387361, 363, 3863eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
388387mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
389342, 388eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
390389oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
39144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
392341, 309sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
393 tgioo4 24826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39422, 393dvres 25946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ) ∧ ((-π[,]𝑑) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
395391, 303, 309, 392, 394syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
396 ioontr 45524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
398397reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
399390, 395, 3983eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
40015ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
40116ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
402265ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
403267ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
404 fourierdlem103.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
405404ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40662adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
407341, 406sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
408312rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ*)
40953a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
410 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
41155ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < 0)
412322, 315, 410, 334, 411lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) < 0)
413408, 322, 409, 412gtnelicc 45513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
41439ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℝ)
41511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
416106ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π < 𝑑)
417 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
418 biid 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
419401, 264, 402, 403, 415, 315, 416, 406, 80, 73, 68, 127, 417, 289, 418fourierdlem50 46171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
420419simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
421419simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
422369cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
423379cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
424 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
425400, 401, 264, 402, 403, 405, 312, 322, 176, 407, 413, 414, 80, 420, 421, 422, 423, 424fourierdlem72 46193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
426399, 425eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
427 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
428 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
429 fourierdlem103.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
430429, 420eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
431 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
432431, 430jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
433 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
434433anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
435 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐶))
436 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
437436fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
438435, 437oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
439 raleq 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
440438, 439syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
441440rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
442434, 441imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)))
443 fourierdlem103.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
444442, 443vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
445430, 432, 444sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
446 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
447 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤
448446, 447nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
449 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
45011a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
451450, 16readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
45210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → π ∈ ℝ)
453452, 16readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
454451, 453iccssred 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
455 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ ⊆ ℝ*
456454, 455sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
457456ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
458264, 402, 403fourierdlem15 46137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
459 elfzofz 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
460430, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
461458, 460ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462457, 461sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
463462adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
464 fzofzp1 13803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
465430, 464syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
466458, 465ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
467457, 466sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
468467adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
469 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
470469adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
47110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
472415, 471, 401, 264, 402, 403, 460, 80fourierdlem13 46135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶))))
473472simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
474473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
475454ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476475, 461sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
477476adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
478474, 477eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ∈ ℝ)
479401, 312readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
480479adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
481472simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋))
482476, 401resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
483481, 482eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ∈ ℝ)
484415, 471, 401, 264, 402, 403, 465, 80fourierdlem13 46135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
485484simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
486475, 466sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
487486, 401resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
488485, 487eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
489429eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
490489fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄𝐶)
491489oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
492491fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
493490, 492oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
494421, 493sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
495483, 488, 312, 322, 176, 494fourierdlem10 46132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
496495simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘))
497483, 312, 401, 496leadd2dd 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
498497adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
499480rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ*)
500401, 322readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
501500rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
502501adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
503 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
504 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
505499, 502, 503, 504syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
506478, 480, 470, 498, 505lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) < 𝑡)
507474, 506eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) < 𝑡)
508500adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
509484simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
510509, 486eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
511510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
512 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
513499, 502, 503, 512syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
514495simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
515322, 488, 401, 514leadd2dd 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
516515adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
517470, 508, 511, 513, 516ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
518509eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
519518adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
520517, 519breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
521463, 468, 470, 507, 520eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
522521adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
523 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
524449, 522, 523syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
525524ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
526448, 525ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
527526ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
528527reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
529445, 528mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
530438raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
531530rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
532434, 531imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
533 fourierdlem103.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
534532, 533vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
535430, 432, 534sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
536 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
537446, 536nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
53815, 45fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
539 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℝ
540539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
541 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
542541a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
54322, 393dvres 25946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
54445, 538, 540, 542, 543syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
545 ioontr 45524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
546545reseq2i 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
547546a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
548544, 547eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
549548fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
550 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
551549, 550sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
552551ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
553552fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
554553adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
555 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556521adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
557 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
558555, 556, 557syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559554, 558eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
560559ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
561537, 560ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
562561ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
563562reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
564535, 563mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
565415rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ*)
566565, 316, 310, 417fourierdlem8 46130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑))
567126ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
568152, 308fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
569568ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
570 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑))
571153eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π = (𝐽‘0))
572154eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 = (𝐽𝑁))
573571, 572oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
574573adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → (-π[,]𝑑) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
575570, 574eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
576575adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
577 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
578 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
579578breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽𝑘) < 𝑟))
580579cbvrabv 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}
581580supeq1i 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
582567, 569, 576, 577, 581fourierdlem25 46147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
583546a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584538ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
585539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
586541a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
587391, 584, 585, 586, 543syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
588521ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
589 dfss3 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
590588, 589sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
591590resabs1d 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
592583, 587, 5913eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
593 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
594 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
595438reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
596595, 438feq12d 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
597434, 596imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
598 cncff 24919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
599404, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
600597, 599vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
601593, 594, 600sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
602432, 601syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
603602, 590fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
604592, 603feq1dd 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
605367, 378oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
606605cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
607 biid 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ ((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
608 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑡 → (𝐹𝑟) = (𝐹𝑡))
609608fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑟)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
610609breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
611610cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
612607, 611anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
613 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
614613fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
615614breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
616615cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
617612, 616anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
618262, 263, 12, 14, 62, 279, 280, 427, 428, 529, 564, 152, 176, 566, 582, 604, 606, 617fourierdlem80 46201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
619358mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
620259, 619eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621620oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
622621dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
623 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D 𝑂)
624 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠
625 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 D
626 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠(𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
627624, 625, 626nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
628627nfdm 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
629623, 628raleqf 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630622, 629syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
631621fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
632631fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
633632breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
634633ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
635630, 634bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
636635rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
637618, 636mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
638 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
639 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽𝑘)))
640 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄) = (𝑄𝑙))
641 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ( = 𝑙 → ( + 1) = (𝑙 + 1))
642641fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄‘( + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
643640, 642oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( = 𝑙 → ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) = ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
644643sseq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑙 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
645644cbvriotavw 7398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
646645fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
647646eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
648647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
649 csbeq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
650645, 649ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅
651650a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
652648, 651ifbieq1d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))))
653652mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘))))
654653oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) = (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊)
655654oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) = ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘))
656655oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
657656a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))))
658 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
659645oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1) = ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
660659fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
661660eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
663 csbeq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
664645, 663ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿
665664a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
666662, 665ifbieq1d 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
667666mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
668667oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊)
669668oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
670669oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
672 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑂𝑡) = (𝑂𝑠))
673658, 671, 672ifbieq12d 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠)))
674639, 657, 673ifbieq12d 4554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
675674cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
67612, 14, 67, 126, 152, 153, 154, 176, 292, 298, 301, 302, 426, 637, 638, 675fourierdlem73 46194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
677 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
678677rexralbidv 3223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
679678cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
680676, 679sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
681680adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
682 rphalfcl 13062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
683682ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
684 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
685684rexralbidv 3223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
686685rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
687681, 683, 686syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠))
689140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π[,]𝑑))
690689sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
691690, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
692688, 691eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → (𝑈𝑠) = (𝑂𝑠))
693692oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
694693itgeq2dv 25817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
695694adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
696695fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
697 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698696, 697eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
699698ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
700699adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
701700ralimdv 3169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
702701reximdv 3170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
703687, 702mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
704703adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
705 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0))
706 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
707705, 706nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
709707, 708nfan 1899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
710 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
711709, 710nfan 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
712 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)))
713 eluznn 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
714713adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
715712, 714jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
716715adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
717 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
718713adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
719 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
720717, 718, 719syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
721716, 720jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
722721adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
723 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
724723rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
725724adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
72623a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → +∞ ∈ ℝ*)
727 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
728 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
729728rehalfcli 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 2) ∈ ℝ
730729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
731727, 730readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
732731adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
733723adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
734727adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
735 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
736735adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
737 halfgt0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < (1 / 2)
738737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < (1 / 2))
739729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
740739, 734ltaddposd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
741738, 740mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
742733, 734, 732, 736, 741lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
743732ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
744725, 726, 732, 742, 743eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
745744adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
746 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
747 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
748747fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
749748oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
750749adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
751750itgeq2dv 25817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
752751fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
753752breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
754753rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
755745, 746, 754sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
756755adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
757722, 756jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
758 fourierdlem103.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
759757, 758sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜒)
76011a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → -π ∈ ℝ)
761 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
762 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
763758biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
764 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
765763, 764syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑑 ∈ (-π(,)0))
766762, 765sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑑 ∈ (-π[,]0))
767 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
768763, 767syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝜑)
76943adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
77010rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π ∈ ℝ*
771 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
772771, 10, 56ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ π
773 iooss2 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
774770, 772, 773mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
775 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
776774, 775sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
777776sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
778777adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
779769, 778ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
780768, 779sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
781 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
782763, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑘 ∈ ℕ)
783782nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
784729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
785783, 784readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
786785adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
787 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
788787adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
789786, 788remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
790789resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
791780, 790remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
792791recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
79352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → -π ∈ ℝ*)
79453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
795760leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → -π ≤ -π)
796 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-π(,)0) ⊆ ℝ
797796, 765sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑑 ∈ ℝ)
798793, 794, 765, 54syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑑 < 0)
799797, 761, 798ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 ≤ 0)
800 ioossioo 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (-π ≤ -π ∧ 𝑑 ≤ 0)) → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π(,)0))
801793, 794, 795, 799, 800syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π(,)0))
802 ioombl 25600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π(,)𝑑) ∈ dom vol
803802a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (-π(,)𝑑) ∈ dom vol)
804 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
805804anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
806 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑛 = 𝑘)
807806oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
808807oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
809808fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
810809oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
811810mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
812811eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
813805, 812imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
814776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
815 ioombl 25600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)0) ∈ dom vol
816815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
81743ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
818817adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
819 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
820 readdcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
821819, 729, 820sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
822821adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
823 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
824214, 823sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
825822, 824remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
826825resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
827826adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
828818, 827remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
829 fourierdlem103.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
830829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
831 fourierdlem103.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
832831fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
833823, 826, 832syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
834833adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
835834oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
836835mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
837830, 836eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
83815adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
839 fourierdlem103.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
840839adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
84127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
84238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
843819adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
844265adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
845267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
846269adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
847271adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
848273adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
849 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
850 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
851599adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
852 fourierdlem103.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
853852adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
854 fourierdlem103.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
855854adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
856264, 838, 840, 841, 842, 40, 41, 42, 843, 831, 829, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 850, 851, 853, 855fourierdlem88 46209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
857837, 856eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
858814, 816, 828, 857iblss 25840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
859813, 858chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
860768, 782, 859syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
861801, 803, 791, 860iblss 25840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π(,)𝑑) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
862765, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → -π < 𝑑)
863760, 797, 862ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → -π ≤ 𝑑)
864761leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 ≤ 0)
865 ioossioo 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ 0 ≤ 0)) → (𝑑(,)0) ⊆ (-π(,)0))
866793, 794, 863, 864, 865syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑑(,)0) ⊆ (-π(,)0))
867 ioombl 25600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)0) ∈ dom vol
868867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑑(,)0) ∈ dom vol)
869866, 868, 791, 860iblss 25840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)0) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
870760, 761, 766, 792, 861, 869itgsplitioo 25873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
871801sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
872871, 791syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
873872, 861itgcl 25819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
874866sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
875874, 791syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
876875, 869itgcl 25819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
877873, 876addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
878870, 877eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
879878fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
880876, 873addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
881880abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
882876abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
883873abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
884882, 883readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
885 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
886763, 885syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
887886rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
888876, 873abstrid 15495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
889 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
890763, 889syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
891763simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
892882, 883, 887, 890, 891lt2halvesd 12514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
893881, 884, 887, 888, 892lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
894879, 893eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
895759, 894syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
896895ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
897711, 896ralrimi 3257 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
898897ex 412 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
899898reximdva 3168 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
900704, 899mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
901 negpilt0 45292 . . . . . . . . . . . . . 14 -π < 0
90211, 771, 10lttri 11387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
903901, 56, 902mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 -π < π
90411, 10, 903ltleii 11384 . . . . . . . . . . . 12 -π ≤ π
905904a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ≤ π)
906264fourierdlem2 46124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
907265, 906syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
908267, 907mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
909908simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
910 elmapi 8889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
911909, 910syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
912911ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
91316adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
914912, 913resubcld 11691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
915914, 80fmptd 7134 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
91680a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
917 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑉𝑖) = (𝑉‘0))
918917oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
919918adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
920265nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
921 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
922920, 921eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
923 eluzfz1 13571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
924922, 923syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
925911, 924ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
926925, 16resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
927916, 919, 924, 926fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
928908simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
929928simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)))
930929simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
931930oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
932450recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
93316recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
934932, 933pncand 11621 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
935927, 931, 9343eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
936450, 452, 16, 264, 849, 265, 267, 80fourierdlem14 46136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀))
937849fourierdlem2 46124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
938265, 937syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
939936, 938mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
940939simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
941940simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π))
942941simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
943940simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
944943r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
94515adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
946849, 265, 936fourierdlem15 46137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
947946adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
948 elfzofz 13715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
949948adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
950947, 949ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
951 fzofzp1 13803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
952951adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
953947, 952ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
95416adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
955 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑉 Fn (0...𝑀))
956909, 910, 9553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 Fn (0...𝑀))
957 fvelrnb 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
958956, 957syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
959839, 958mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋)
960 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
961960adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
962933subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋𝑋) = 0)
963962ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑋𝑋) = 0)
964961, 963eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
965964ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) = 𝑋 → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
966965reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
967959, 966mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
96880elrnmpt 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
969771, 968ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
970967, 969sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
971849, 265, 936, 970fourierdlem12 46134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
972911adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
973972, 949ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
974973, 954resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
97580fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
976949, 974, 975syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
977976oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
978973recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
979933adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
980978, 979npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
981977, 980eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
982 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑉𝑗) = (𝑉𝑖))
983982oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
984983cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
98580, 984eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
986985a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
987 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
988987oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
989988adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
990972, 952ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
991990, 954resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
992986, 989, 952, 991fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
993992oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
994990recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
995994, 979npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
996993, 995eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
997981, 996oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
998997reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
999997oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
1000269, 998, 9993eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
100128adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
100239adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
1003945, 950, 953, 954, 971, 1000, 1001, 1002, 40fourierdlem40 46162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
1004 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
100544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
10061004, 1005fssd 6753 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
1007404, 598, 10063syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
1008 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
100916, 264, 15, 839, 27, 39, 40, 265, 267, 271, 80, 849, 850, 1007, 854, 1008fourierdlem75 46196 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
1010 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
101116, 264, 15, 839, 28, 38, 40, 265, 267, 273, 80, 849, 850, 599, 852, 1010fourierdlem74 46195 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1012 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
1013 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
10141013fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
10151012, 1014oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
10161015cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
1017450, 452, 905, 180, 265, 915, 935, 942, 944, 1003, 1009, 1011, 1016fourierdlem70 46191 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
1018 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1019 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑠))
10201019fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(𝐺𝑡)) = (abs‘(𝐺𝑠)))
10211020breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → ((abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10221021cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
10231022ralbii 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
102410233anbi3i 1160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ↔ ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10251024anbi1i 624 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ↔ (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol))
10261025anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
10271026anbi1i 624 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
102815, 16, 28, 39, 40, 41, 42, 831, 829, 1017, 856, 1018, 1027fourierdlem87 46208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1029 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
10301029negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ≤ (π / 2) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = -𝑐)
10311030adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = -𝑐)
103252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ∈ ℝ*)
103353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ∈ ℝ*)
1034 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ)
10351034renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → -𝑐 ∈ ℝ)
10361035adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 ∈ ℝ)
10371034adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
103810rehalfcli 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π / 2) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
104010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ)
1041 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ (π / 2))
1042 halfpos 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ (π / 2) < π))
104310, 1042ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < π ↔ (π / 2) < π)
104456, 1043mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π / 2) < π
10451044a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) < π)
10461037, 1039, 1040, 1041, 1045lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 < π)
10471037, 1040ltnegd 11841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (𝑐 < π ↔ -π < -𝑐))
10481046, 1047mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -π < -𝑐)
1049 rpgt0 13047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐)
10501034lt0neg2d 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑐 ↔ -𝑐 < 0))
10511049, 1050mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → -𝑐 < 0)
10521051adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 < 0)
10531032, 1033, 1036, 1048, 1052eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 ∈ (-π(,)0))
10541031, 1053eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1055 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
10561055negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = -(π / 2))
10571038renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(π / 2) ∈ ℝ
10581057rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(π / 2) ∈ ℝ*
105952, 53, 10583pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ∈ ℝ*)
10601038, 10ltnegi 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π / 2) < π ↔ -π < -(π / 2))
10611044, 1060mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -π < -(π / 2)
1062 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
106310, 101, 56, 1062divgt0ii 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < (π / 2)
1064 lt0neg2 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
10651038, 1064ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
10661063, 1065mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(π / 2) < 0
10671061, 1066pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π < -(π / 2) ∧ -(π / 2) < 0)
1068 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-(π / 2) ∈ (-π(,)0) ↔ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-π < -(π / 2) ∧ -(π / 2) < 0)))
10691059, 1067, 1068mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(π / 2) ∈ (-π(,)0)
10701069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → -(π / 2) ∈ (-π(,)0))
10711056, 1070eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ≤ (π / 2) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
10721071adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
10731054, 1072pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
107410733ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1075 ioombl 25600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol
10761075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol)
1077 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10781076, 1077jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1079 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0)
10801079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0))
108111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
108210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
10831037, 1040, 1046ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ π)
10841037, 1040lenegd 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (𝑐 ≤ π ↔ -π ≤ -𝑐))
10851083, 1084mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -𝑐)
10861030eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ≤ (π / 2) → -𝑐 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10871086adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10881085, 1087breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
108911, 1057, 1061ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -π ≤ -(π / 2)
10901089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -(π / 2))
10911056eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 ≤ (π / 2) → -(π / 2) = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10921091adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -(π / 2) = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10931090, 1092breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10941088, 1093pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1095772a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ π)
1096 iccss 13455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∧ 0 ≤ π)) → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0) ⊆ (-π[,]π))
10971081, 1082, 1094, 1095, 1096syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0) ⊆ (-π[,]π))
10981080, 1097sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π))
1099796, 1073sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
1100 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
1101 rpge0 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑐)
11021101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ≤ 𝑐)
11031041iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
11041102, 1103breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1105771, 1038, 1063ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ (π / 2)
1106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → ¬ 𝑐 ≤ (π / 2))
11071106iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
11081105, 1107breqtrrid 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
11091104, 1108pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
11101038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ)
11111034, 1110ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
11121111le0neg2d 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ↔ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 0))
11131109, 1112mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 0)
1114 volioo 25604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 0) → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) = (0 − -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
11151099, 1100, 1113, 1114syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) = (0 − -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
1116 0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
11171116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℂ)
11181111recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℂ)
11191117, 1118subnegd 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0 − -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) = (0 + if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
11201118addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0 + if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
11211115, 1119, 11203eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1122 min1 13231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
11231034, 1038, 1122sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
11241121, 1123eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐)
11251098, 1124jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ → ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐))
11261125adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐))
1127 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ↔ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π)))
1128 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (vol‘𝑢) = (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)))
11291128breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑐 ↔ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐))
11301127, 1129anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) ↔ ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐)))
1131 itgeq1 25808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11321131fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
11331132breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ((abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11341133ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11351130, 1134imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
11361135rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . 13 (((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11371078, 1126, 1136sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
113811373adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1139 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (𝑑(,)0) = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0))
11401139itgeq1d 45972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11411140fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
11421141breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11431142ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11441143rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
11451074, 1138, 1144syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
11461145rexlimdv3a 3159 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
11471028, 1146mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1148900, 1147r19.29a 3162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
11491148ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1150 nnex 12272 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
11511150mptex 7243 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V
11521151a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V)
1153 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠))
1154777adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1155779ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1156777adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1157 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1158 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
11591157, 1158eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
11601159nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1161729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11621160, 1161readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11631162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1164214, 1156sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11651163, 1164remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11661165resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11671156, 1166, 832syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11681167adantlll 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11691160adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
11701169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1171 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
11721171rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11731170, 1172readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1174214, 1154sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11751173, 1174remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11761175resincld 16179 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11771168, 1176eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
11781155, 1177remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
1179829fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
11801154, 1178, 1179syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1181 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
11821181oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
11831182fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11841183ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11851168, 1184eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11861185oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11871180, 1186eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11881187itgeq2dv 25817 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1189 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1190810itgeq2dv 25817 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11911190eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ))
1192805, 1191imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)))
1193779adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1194 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
11951194, 777, 826syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11961193, 1195remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
11971196, 858itgcl 25819 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11981192, 1197chvarvv 1998 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11991153, 1188, 1189, 1198fvmptd 7023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑘) = ∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
12009, 2, 1152, 1199, 1198clim0c 15543 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
12011149, 1200mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0)
12021150mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π)) ∈ V
12036, 1202eqeltri 2837 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
12041203a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ V)
12051150mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V
12061205a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V)
1207 picn 26501 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
12081207a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1209 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π))
1210 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚) → π = π)
1211 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ)
121210a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
12131209, 1210, 1211, 1212fvmptd 7023 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
12141213adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
12159, 2, 1206, 1208, 1214climconst 15579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ⇝ π)
1216771, 56gtneii 11373 . . . . . 6 π ≠ 0
12171216a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ≠ 0)
121816adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
121928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
122039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
1221838, 1218, 1219, 1220, 40, 41, 42, 843, 831, 829fourierdlem67 46188 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
12221221adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1223814sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
12241222, 1223ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
12251221ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
12261221feqmptd 6977 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
12271226, 856eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
1228814, 816, 1225, 1227iblss 25840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
12291224, 1228itgcl 25819 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
1230 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)
12311230fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)
12321194, 1229, 1231syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)
12331232, 1229eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
1234 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1235 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
12361235fvmpt2 7027 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
12371234, 10, 1236sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
12381207a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
12391216a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
12401238, 1239jca 511 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
1241 eldifsn 4786 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
12421240, 1241sylibr 234 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
12431237, 1242eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
12441243adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
12451207a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
12461216a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
12471229, 1245, 1246divcld 12043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ)
12486fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ) → (𝐸𝑛) = (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
12491194, 1247, 1248syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
12501232eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛))
12511237eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
12521251adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
12531250, 1252oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12541249, 1253eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12553, 4, 5, 8, 9, 2, 1201, 1204, 1215, 1217, 1233, 1244, 1254climdivf 45627 . . . 4 (𝜑𝐸 ⇝ (0 / π))
12561207, 1216div0i 12001 . . . . 5 (0 / π) = 0
12571256a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 / π) = 0)
12581255, 1257breqtrd 5169 . . 3 (𝜑𝐸 ⇝ 0)
1259 fourierdlem103.z . . . . 5 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
12601150mptex 7243 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ∈ V
12611259, 1260eqeltri 2837 . . . 4 𝑍 ∈ V
12621261a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
12631150mptex 7243 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) ∈ V
12641263a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) ∈ V)
1265 limccl 25910 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ⊆ ℂ
12661265, 38sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
12671266halfcld 12511 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℂ)
1268 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)))
1269 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑊 / 2) = (𝑊 / 2))
12709eqcomi 2746 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ℕ
12711270eleq2i 2833 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑛 ∈ ℕ)
12721271biimpi 216 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
12731272adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
12741267adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑊 / 2) ∈ ℂ)
12751268, 1269, 1273, 1274fvmptd 7023 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛) = (𝑊 / 2))
12761, 2, 1264, 1267, 1275climconst 15579 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) ⇝ (𝑊 / 2))
12771247, 6fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℕ⟶ℂ)
12781277adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
12791278, 1273ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
12801275, 1274eqeltrd 2841 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛) ∈ ℂ)
12811275oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛)) = ((𝐸𝑛) + (𝑊 / 2)))
1282815a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
128352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
1284 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
12851284rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
1286 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
1287 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 < 0)
12881283, 1285, 1286, 1287syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 < 0)
1289787, 1288ltned 11397 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ≠ 0)
12901289neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → ¬ 𝑠 = 0)
1291 velsn 4642 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
12921290, 1291sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
1293777, 1292eldifd 3962 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
12941293ssriv 3987 . . . . . . 7 (-π(,)0) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
12951294a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1296 fourierdlem103.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1297787adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1298 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
1299787, 1284, 1288ltled 11409 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ≤ 0)
13001299adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ≤ 0)
13011297, 1298, 1300lensymd 11412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ¬ 0 < 𝑠)
13021301iffalsed 4536 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
1303 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝐷𝑛) = (𝐷𝑛)
130411a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
1305 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
130611, 771, 901ltleii 11384 . . . . . . . . 9 -π ≤ 0
13071306a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ≤ 0)
1308 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
13091296, 1194, 1303, 1304, 1305, 1307, 1308dirkeritg 46117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) − ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π)))
1310 ubicc2 13505 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → 0 ∈ (-π[,]0))
131152, 53, 1306, 1310mp3an 1463 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (-π[,]0)
1312 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1313239, 244div0i 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 / 2) = 0
13141313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (0 / 2) = 0)
13151312, 1314eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
1316 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 0 → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · 0))
1317 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
13181317zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℂ)
13191318mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · 0) = 0)
13201316, 1319sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘 · 𝑠) = 0)
13211320fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘0))
1322 sin0 16185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (sin‘0) = 0
13231322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘0) = 0)
13241321, 1323eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = 0)
13251324oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1326 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 ∈ ℝ)
1327 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
13281317zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℝ)
132999a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 1)
1330 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑘)
13311326, 1327, 1328, 1329, 1330ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 𝑘)
13321331gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ≠ 0)
13331318, 1332div0d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (0 / 𝑘) = 0)
13341333adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (0 / 𝑘) = 0)
13351325, 1334eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13361335sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1337 fzfi 14013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑛) ∈ Fin
13381337olci 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1339 sumz 15758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
13401338, 1339ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0
13411340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
13421336, 1341eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13431315, 1342oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = (0 + 0))
1344 00id 11436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
13451344a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 → (0 + 0) = 0)
13461343, 1345eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = 0)
13471346oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (0 / π))
13481256a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → (0 / π) = 0)
13491347, 1348eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = 0)
1350771elexi 3503 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13511349, 1308, 1350fvmpt 7016 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (-π[,]0) → ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0)
13521311, 1351ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0
1353 lbicc2 13504 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → -π ∈ (-π[,]0))
135452, 53, 1306, 1353mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ (-π[,]0)
1355 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = -π → (𝑠 / 2) = (-π / 2))
1356 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = -π → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · -π))
13571356fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = -π → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘(𝑘 · -π)))
13581357oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = -π → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘))
13591358sumeq2sdv 15739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = -π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘))
13601355, 1359oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = -π → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = ((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)))
13611360oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = -π → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π))
1362 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π) ∈ V
13631361, 1308, 1362fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (-π ∈ (-π[,]0) → ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π) = (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π))
13641354, 1363ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π) = (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π)
1365 mulneg12 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-𝑘 · π) = (𝑘 · -π))
13661318, 1207, 1365sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (-𝑘 · π) = (𝑘 · -π))
13671366eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · -π) = (-𝑘 · π))
13681367oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · -π) / π) = ((-𝑘 · π) / π))
13691318negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → -𝑘 ∈ ℂ)
13701207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ∈ ℂ)
13711216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ≠ 0)
13721369, 1370, 1371divcan4d 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((-𝑘 · π) / π) = -𝑘)
13731368, 1372eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · -π) / π) = -𝑘)
13741317znegcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → -𝑘 ∈ ℤ)
13751373, 1374eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · -π) / π) ∈ ℤ)
1376 negpicn 26504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -π ∈ ℂ
13771376a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → -π ∈ ℂ)
13781318, 1377mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · -π) ∈ ℂ)
1379 sineq0 26566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · -π) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑘 · -π)) = 0 ↔ ((𝑘 · -π) / π) ∈ ℤ))
13801378, 1379syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · -π)) = 0 ↔ ((𝑘 · -π) / π) ∈ ℤ))
13811375, 1380mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (sin‘(𝑘 · -π)) = 0)
13821381oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
13831382, 1333eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = 0)
13841383sumeq2i 15734 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0
13851384, 1340eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = 0
13861385oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) = ((-π / 2) + 0)
13871386oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π) = (((-π / 2) + 0) / π)
13881376, 239, 244divcli 12009 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π / 2) ∈ ℂ
13891388addridi 11448 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π / 2) + 0) = (-π / 2)
1390 divneg 11959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
13911207, 239, 244, 1390mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) = (-π / 2)
13921389, 1391eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((-π / 2) + 0) = -(π / 2)
13931392oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 (((-π / 2) + 0) / π) = (-(π / 2) / π)
13941038recni 11275 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
1395 divneg 11959 . . . . . . . . . . . . 13 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → -((π / 2) / π) = (-(π / 2) / π))
13961394, 1207, 1216, 1395mp3an 1463 . . . . . . . . . . . 12 -((π / 2) / π) = (-(π / 2) / π)
13971396eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (-(π / 2) / π) = -((π / 2) / π)
13981207, 239, 1207, 244, 1216divdiv32i 12022 . . . . . . . . . . . . 13 ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2)
13991207, 1216dividi 12000 . . . . . . . . . . . . . 14 (π / π) = 1
14001399oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
14011398, 1400eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) / π) = (1 / 2)
14021401negeqi 11501 . . . . . . . . . . 11 -((π / 2) / π) = -(1 / 2)
14031393, 1397, 14023eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 (((-π / 2) + 0) / π) = -(1 / 2)
14041364, 1387, 14033eqtri 2769 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π) = -(1 / 2)
14051352, 1404oveq12i 7443 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) − ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π)) = (0 − -(1 / 2))
14061405a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) − ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π)) = (0 − -(1 / 2)))
1407 halfcn 12481 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
14081116, 1407subnegi 11588 . . . . . . . . 9 (0 − -(1 / 2)) = (0 + (1 / 2))
14091407addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + (1 / 2)) = (1 / 2)
14101408, 1409eqtri 2765 . . . . . . . 8 (0 − -(1 / 2)) = (1 / 2)
14111410a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 − -(1 / 2)) = (1 / 2))
14121309, 1406, 14113eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
141315, 16, 264, 265, 267, 839, 269, 271, 273, 40, 41, 42, 831, 829, 850, 599, 852, 854, 27, 38, 1282, 1295, 6, 1296, 39, 1302, 1412fourierdlem95 46216 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑊 / 2)) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
14141273, 1413syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + (𝑊 / 2)) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
14151259a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
1416 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝐷𝑚) = (𝐷𝑛))
14171416fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷𝑚)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
14181417oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
14191418adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝑛𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
14201419itgeq2dv 25817 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
14211420adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
142215adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
142316adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
14241423, 1297readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
14251422, 1424ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14261425adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14271296dirkerf 46112 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
14281427ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
1429787adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
14301428, 1429ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
14311426, 1430remulcld 11291 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
143215adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
143316adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1434214sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
14351434adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
14361433, 1435readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
14371432, 1436ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14381437adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14391427ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
14401434adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
14411439, 1440ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
14421438, 1441remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
144310a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
14441296dirkercncf 46122 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
14451444adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1446 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
14471304, 1443, 838, 1218, 264, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 1445, 1446fourierdlem84 46205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
1448814, 816, 1442, 1447iblss 25840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
14491431, 1448itgrecl 25833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
14501415, 1421, 1194, 1449fvmptd 7023 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
14511450eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
14521273, 1451syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
14531281, 1414, 14523eqtrrd 2782 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑍𝑛) = ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛)))
14541, 2, 1258, 1262, 1276, 1279, 1280, 1453climadd 15668 . 2 (𝜑𝑍 ⇝ (0 + (𝑊 / 2)))
14551267addlidd 11462 . 2 (𝜑 → (0 + (𝑊 / 2)) = (𝑊 / 2))
14561454, 1455breqtrd 5169 1 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑊 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  csb 3899  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cio 6512   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561   Isom wiso 6562  crio 7387  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722  sincsin 16099  πcpi 16102  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  intcnt 23025  cnccncf 24902  volcvol 25498  𝐿1cibl 25652  citg 25653   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
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