fourierdlem103 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem103 47037

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem103.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem103.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem103.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem103.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem103.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem103.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem103.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem103.fbdioo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem103.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem103.fdvbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem103.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
fourierdlem103.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem103.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem103.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem103.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem103.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem103.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem103.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem103.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem103.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem103.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem103.o	⊢ 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))
fourierdlem103.t	⊢ 𝑇 = ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
fourierdlem103.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem103.j	⊢ 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem103.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
fourierdlem103.1	⊢ 𝐶 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem103.ch	⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem103	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (𝑊 / 2))

Distinct variable groups: 𝜒,𝑠 𝑌,𝑠 𝜑,𝑠 𝑅,𝑙,𝑠,𝑡 𝑒,𝑛,𝜑 𝑘,𝑊,𝑚,𝑠 𝑈,𝑘,𝑛 𝑘,𝑀 𝑈,𝑑,𝑙,𝑠 𝑊,𝑙,𝑡 𝑚,𝑛,𝜑 𝐷,𝑖,𝑚,𝑠 𝑚,𝑀,𝑝 𝐾,𝑠 𝜑,𝑑 𝑘,𝑋,𝑚 𝑋,𝑝 𝐿,𝑙,𝑠,𝑡 𝑖,𝑉,𝑝 𝑄,𝑝 𝑘,𝑉,𝑠,𝑡 𝑇,𝑓 𝑒,𝑂,𝑙 𝑤,𝐹,𝑧,𝑖 𝐹,𝑙,𝑡,𝑖 𝑒,𝑑,𝑠 𝑘,𝐹,𝑚,𝑠 𝑘,𝑂,𝑠,𝑡 𝑖,𝑀,𝑡 𝑡,𝑄 𝑓,𝑁 𝑡,𝑑,𝑤,𝑧,𝜑 𝑖,𝑊,𝑛,𝑠 𝑤,𝑁,𝑧 𝑄,𝑖 𝑀,𝑙 𝑡,𝑁 𝑆,𝑠 𝑛,𝐸 𝑖,𝑋,𝑙 𝑓,𝑑,𝜑 𝐵,𝑠 𝐴,𝑠 𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧 𝑖,𝐺,𝑘 𝑒,𝐺,𝑠 𝑖,𝐻 𝑛,𝑍 𝑖,𝑑,𝑘,𝜑,𝑙 𝑀,𝑠 𝑡,𝐺 𝑒,𝑁,𝑘 𝑖,𝑁,𝑙,𝑠 𝑤,𝑊,𝑧 𝑋,𝑠,𝑡,𝑤,𝑧 𝑚,𝑁 𝐻,𝑠 𝑘,𝐽,𝑡,𝑤,𝑧 𝑚,𝐽,𝑠 𝐽,𝑙 𝑄,𝑙,𝑠 𝑓,𝐽,𝑘 𝑖,𝐽 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑝) 𝜒(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐴(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐵(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐶(𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐷(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑃(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑄(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑑) 𝑅(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑆(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑇(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑈(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑝) 𝐸(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐹(𝑒, 𝑓, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝐺(𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐻(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐽(𝑒, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝐾(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐿(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑀(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑛, 𝑑) 𝑁(𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑂(𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑉(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑑, 𝑙) 𝑊(𝑒, 𝑓, 𝑝, 𝑑) 𝑋(𝑒, 𝑓, 𝑛, 𝑑) 𝑌(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑍(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem103 Dummy variables ∥ 𝑥 𝑦 𝑏 𝑐 𝑢 𝑟 𝑣 𝑗 𝑎 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℤ_≥‘1) = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12649	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
4		nfmpt1 5204	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
5		nfmpt1 5204	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6		fourierdlem103.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
7		nfmpt1 5204	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
8	6, 7	nfcxfr 2920	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nnuz 12926	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
10		pire 26692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	renegcli 11543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ ℝ)
13		elioore 13428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
15		fourierdlem103.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16		fourierdlem103.xre	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		ioossre 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
19	15, 18	fssresd 6742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
20		ioosscn 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
22		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
23		pnfxr 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
25	16	ltpnfd 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
26	22, 24, 16, 25	lptioo1cn 46474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝑋(,)+∞)))
27		fourierdlem103.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
28	19, 21, 26, 27	limcrecl 46459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
29		ioossre 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
31	15, 30	fssresd 6742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
32		ioosscn 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
34		mnfxr 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ^*)
36	16	mnfltd 13175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
37	22, 35, 16, 36	lptioo2cn 46473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(-∞(,)𝑋)))
38		fourierdlem103.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
39	31, 33, 37, 38	limcrecl 46459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
40		fourierdlem103.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
41		fourierdlem103.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
42		fourierdlem103.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
43	15, 16, 28, 39, 40, 41, 42	fourierdlem55 46989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
44		ax-resscn 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
46	43, 45	fssd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
48	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
49	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
50	48	leidd 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≤ -π)
51		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
52	11	rexri 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -π ∈ ℝ^*
53		0xr 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
54		iooltub 46340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 < 0)
55	52, 53, 54	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 < 0)
56		pipos 26696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < π
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
58	13, 51, 49, 55, 57	lttrd 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 < π)
59	13, 49, 58	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → 𝑑 ≤ π)
60		iccss 13467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -π ∧ 𝑑 ≤ π)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
61	48, 49, 50, 59, 60	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
62	61	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
63	47, 62	fssresd 6742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)):(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
64		fourierdlem103.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)))
66	65	feq1d 6684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)):(-π[,]𝑑)⟶ℂ))
67	63, 66	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
68		fourierdlem103.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
69	11	elexi 3472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ -π ∈ V
70	69	prid1 4723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ∈ {-π, 𝑑}
71		elun1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π ∈ {-π, 𝑑} → -π ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -π ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
73		fourierdlem103.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑇 = ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
74	72, 73	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -π ∈ 𝑇
75	74	ne0ii 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑇 ≠ ∅
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
77		prfi 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ {-π, 𝑑} ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → {-π, 𝑑} ∈ Fin)
79		fzfi 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
80		fourierdlem103.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
81	80	rnmptfi 46003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin)
84		infi 9240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin)
85	83, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin)
86		unfi 9165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (({-π, 𝑑} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ∈ Fin) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ∈ Fin)
87	78, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ∈ Fin)
88	73, 87	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
89		hashnncl 14430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
90	88, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
91	76, 90	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
92		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ₀)
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ₀)
94	68, 93	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
96		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
97		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
98	95	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99		0lt1 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 1
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 < 1)
101		2re 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 ∈ ℝ)
103	91	nnred 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104	103	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
105		ioogtlb 46325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑑)
106	52, 53, 105	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑑)
107	48, 106	ltned 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≠ 𝑑)
108	107	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≠ 𝑑)
109		hashprg 14459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (-π ≠ 𝑑 ↔ (♯‘{-π, 𝑑}) = 2))
110	12, 14, 109	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π ≠ 𝑑 ↔ (♯‘{-π, 𝑑}) = 2))
111	108, 110	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘{-π, 𝑑}) = 2)
112	111	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 = (♯‘{-π, 𝑑}))
113	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ∈ Fin)
114		ssun1 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {-π, 𝑑} ⊆ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
115	114, 73	sseqtrri 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {-π, 𝑑} ⊆ 𝑇
116		hashssle 46131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑇 ∈ Fin ∧ {-π, 𝑑} ⊆ 𝑇) → (♯‘{-π, 𝑑}) ≤ (♯‘𝑇))
117	113, 115, 116	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (♯‘{-π, 𝑑}) ≤ (♯‘𝑇))
118	112, 117	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
119	102, 104, 97, 118	lesub1dd 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
120		1e2m1 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 = (2 − 1)
121	119, 120, 68	3brtr4g 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 1 ≤ 𝑁)
122	96, 97, 98, 100, 121	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 < 𝑁)
123	122	gt0ne0d 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ≠ 0)
124	95, 123	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≠ 0))
125		elnnne0 12542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≠ 0))
126	124, 125	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
127		fourierdlem103.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
128	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≤ -π)
129	48, 13, 106	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → -π ≤ 𝑑)
130	129	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ≤ 𝑑)
131	12, 14, 12, 128, 130	eliccd 46334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ (-π[,]𝑑))
132	14	leidd 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
133	12, 14, 14, 130, 132	eliccd 46334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑))
134	131, 133	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π ∈ (-π[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑)))
135		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑑 ∈ V
136	69, 135	prss 4781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π ∈ (-π[,]𝑑) ∧ 𝑑 ∈ (-π[,]𝑑)) ↔ {-π, 𝑑} ⊆ (-π[,]𝑑))
137	134, 136	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → {-π, 𝑑} ⊆ (-π[,]𝑑))
138		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π(,)𝑑)
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π(,)𝑑))
140		ioossicc 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-π(,)𝑑) ⊆ (-π[,]𝑑)
141	139, 140	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ (-π[,]𝑑))
142	137, 141	unssd 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ⊆ (-π[,]𝑑))
143	73, 142	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ⊆ (-π[,]𝑑))
144	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ 𝑇)
145	135	prid2 4724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑑 ∈ {-π, 𝑑}
146		elun1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ {-π, 𝑑} → 𝑑 ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))))
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑑 ∈ ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)))
148	147, 73	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
150	113, 68, 127, 12, 14, 143, 144, 149	fourierdlem52 46986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑) ∧ (𝐽‘0) = -π) ∧ (𝐽‘𝑁) = 𝑑))
151	150	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑) ∧ (𝐽‘0) = -π))
152	151	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑))
153	151	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽‘0) = -π)
154	150	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝐽‘𝑁) = 𝑑)
155		elfzoelz 13714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
156	155	zred 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
157	156	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
158	157	ltp1d 12169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
159	48, 13	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → (-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
160	69, 135	prss 4781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ↔ {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
161	159, 160	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ (-π(,)0) → {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
162	161	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → {-π, 𝑑} ⊆ ℝ)
163		ioossre 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)𝑑) ⊆ ℝ
164	138, 163	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ ℝ
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑)) ⊆ ℝ)
166	162, 165	unssd 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ({-π, 𝑑} ∪ (ran 𝑄 ∩ (-π(,)𝑑))) ⊆ ℝ)
167	73, 166	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
168	113, 167, 127, 68	fourierdlem36 46971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
169	168	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
170		elfzofz 13731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
171	170	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
172		fzofzp1 13820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
173	172	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
174		isorel 7327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
175	169, 171, 173, 174	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
176	158, 175	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
177	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
178	177, 62	feqresmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈 ↾ (-π[,]𝑑)) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (𝑈‘𝑠)))
179	62	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
180	15, 16, 28, 39, 40	fourierdlem9 46944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
181	180	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
182	181, 179	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
183	41	fourierdlem43 46978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
184	183	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
185	184, 179	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
186	182, 185	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
187	42	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
188	179, 186, 187	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
189	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ)
190	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
191		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
192		eliccre 46335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
193	189, 190, 191, 192	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
194		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
195	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ^*)
196	190	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
197		iccleub 13454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ 𝑑)
198	195, 196, 191, 197	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ 𝑑)
199	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 < 0)
200	193, 190, 194, 198, 199	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 < 0)
201	193, 200	ltned 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≠ 0)
202	201	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≠ 0)
203	202	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 𝑠 = 0)
204	203	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
205	193, 194, 200	ltnsymd 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 0 < 𝑠)
206	205	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 0 < 𝑠)
207	206	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
208	207	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
209	208	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
210	204, 209	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
211	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
212	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑋 ∈ ℝ)
213		iccssre 13482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
214	11, 10, 213	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
215	214, 179	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℝ)
216	212, 215	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
217	211, 216	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
218	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑊 ∈ ℝ)
219	217, 218	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) ∈ ℝ)
220	219, 215, 202	redivcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ ℝ)
221	210, 220	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
222	40	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
223	179, 221, 222	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
224	223, 204, 209	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐻‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
225	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → π ∈ ℝ)
226	225	renegcld 11665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ∈ ℝ)
227		iccgelb 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ 𝑠)
228	195, 196, 191, 227	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ 𝑠)
229	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑑 < π)
230	193, 190, 225, 198, 229	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 < π)
231	193, 225, 230	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ≤ π)
232	226, 225, 193, 228, 231	eliccd 46334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
233	201	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ¬ 𝑠 = 0)
234	233	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
235	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℝ)
236	193	rehalfcld 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
237	236	resincld 16231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
238	235, 237	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
239		2cn 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ ℂ
240	239	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℂ)
241	193	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℂ)
242	241	halfcld 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
243	242	sincld 16218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
244		2ne0 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ≠ 0
245	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ≠ 0)
246		fourierdlem44 46979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
247	232, 201, 246	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
248	240, 243, 245, 247	mulne0d 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
249	193, 238, 248	redivcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
250	234, 249	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
251	41	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252	232, 250, 251	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ (-π(,)0) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
253	252	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
254	224, 253	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255	203	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
256	255	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
257	188, 254, 256	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
258	257	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (𝑈‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
259	65, 178, 258	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
260	259	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
261	260	reseq1d 5971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
262	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
263	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
264		fourierdlem103.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
265		fourierdlem103.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
266	265	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑀 ∈ ℕ)
267		fourierdlem103.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
268	267	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
269		fourierdlem103.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
270	269	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
271		fourierdlem103.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
272	271	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
273		fourierdlem103.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
274	273	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
275	106	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑑)
276	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π ∈ ℝ^*)
277	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ^*)
278	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 < 0)
279	276, 14, 277, 278	gtnelicc 46330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ¬ 0 ∈ (-π[,]𝑑))
280	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑊 ∈ ℝ)
281		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
282		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
283		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2)))))
284		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘𝑙) = (𝑄‘𝑖))
285		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
286	285	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
287	284, 286	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
288	287	sseq2d 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
289	288	cbvriotavw 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
290	262, 263, 264, 266, 268, 270, 272, 274, 12, 14, 275, 62, 279, 280, 281, 80, 73, 68, 127, 282, 283, 289	fourierdlem86 47020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
291	290	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
292	261, 291	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
293	290	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘))))
294	293	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295	260	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
296	295	reseq1d 5971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
297	296	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
298	294, 297	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
299	293	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
300	296	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
301	299, 300	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
302		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
303	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ)
304	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ∈ ℝ)
305	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
306		elioore 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
307	306	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
308	62, 214	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) ⊆ ℝ)
309	308	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (-π[,]𝑑) ⊆ ℝ)
310	152	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(-π[,]𝑑))
311	310, 171	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ (-π[,]𝑑))
312	309, 311	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
313	312	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
314	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ^*)
315	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
316	315	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
317		iccgelb 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘𝑘) ∈ (-π[,]𝑑)) → -π ≤ (𝐽‘𝑘))
318	314, 316, 311, 317	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ≤ (𝐽‘𝑘))
319	318	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ≤ (𝐽‘𝑘))
320	313	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^*)
321	310, 173	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (-π[,]𝑑))
322	309, 321	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
323	322	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
324	323	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
325		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
326		ioogtlb 46325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) < 𝑠)
327	320, 324, 325, 326	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) < 𝑠)
328	304, 313, 307, 319, 327	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π < 𝑠)
329	304, 307, 328	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → -π ≤ 𝑠)
330	322	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
331		iooltub 46340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
332	320, 324, 325, 331	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
333		iccleub 13454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
334	314, 316, 321, 333	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
335	334	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ 𝑑)
336	307, 330, 305, 332, 335	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < 𝑑)
337	307, 305, 336	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ 𝑑)
338	304, 305, 307, 329, 337	eliccd 46334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
339	338	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
340		dfss3 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
341	339, 340	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑))
342	303, 341	feqresmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂‘𝑠)))
343		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
344		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
345	64	fveq1i 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠)
346	345	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠))
347		fvres 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
348	347	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
349	253, 255	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝐾‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
350	224, 349	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
351	219	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) ∈ ℂ)
352	241	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑠 ∈ ℂ)
353	239	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → 2 ∈ ℂ)
354	352	halfcld 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
355	354	sincld 16218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
356	353, 355	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
357	248	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
358	351, 352, 356, 202, 357	dmdcan2d 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359	188, 350, 358	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
360	346, 348, 359	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑)) → (𝑂‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
361	343, 344, 338, 360	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
362	343, 344, 338, 358	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
363	362	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
364		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)))
365		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
366	365	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
367	366	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
368		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠)
369	367, 368	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
370	369	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
371		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
372		ovex 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ V
373	372	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) ∈ V)
374	364, 370, 371, 373	fvmptd 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
375		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
376		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
377	376	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
378	377	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
379	368, 378	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380	379	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
381		ovex 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
382	381	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
383	375, 380, 371, 382	fvmptd 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
384	374, 383	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
385	384	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
386	385	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
387	361, 363, 386	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂‘𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
388	387	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
389	342, 388	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
390	389	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
392	341, 309	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
393		tgioo4 25031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
394	22, 393	dvres 26138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(-π[,]𝑑)⟶ℂ) ∧ ((-π[,]𝑑) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
395	391, 303, 309, 392, 394	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
396		ioontr 46341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
397	396	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
398	397	reseq2d 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
399	390, 395, 398	3eqtrrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
400	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
401	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
402	265	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
403	267	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
404		fourierdlem103.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
405	404	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
406	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (-π[,]𝑑) ⊆ (-π[,]π))
407	341, 406	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
408	312	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^*)
409	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ^*)
410		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
411	55	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < 0)
412	322, 315, 410, 334, 411	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) < 0)
413	408, 322, 409, 412	gtnelicc 46330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
414	39	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℝ)
415	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
416	106	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π < 𝑑)
417		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
418		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
419	401, 264, 402, 403, 415, 315, 416, 406, 80, 73, 68, 127, 417, 289, 418	fourierdlem50 46984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
420	419	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
421	419	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
422	369	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠))
423	379	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
424		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
425	400, 401, 264, 402, 403, 405, 312, 322, 176, 407, 413, 414, 80, 420, 421, 422, 423, 424	fourierdlem72 47006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
426	399, 425	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
427		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
428		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
429		fourierdlem103.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐶 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
430	429, 420	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
431		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
432	431, 430	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
433		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
434	433	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
435		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐶))
436		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
437	436	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
438	435, 437	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
439		raleq 3316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
440	438, 439	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
441	440	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
442	434, 441	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)))
443		fourierdlem103.fbdioo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
444	442, 443	vtoclg 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
445	430, 432, 444	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
446		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
447		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
448	446, 447	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
449		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
450	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
451	450, 16	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
452	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
453	452, 16	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
454	451, 453	iccssred 13487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
455		ressxr 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
456	454, 455	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ^*)
457	456	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ^*)
458	264, 402, 403	fourierdlem15 46950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
459		elfzofz 13731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
460	430, 459	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
461	458, 460	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462	457, 461	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ^*)
463	462	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ^*)
464		fzofzp1 13820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
465	430, 464	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
466	458, 465	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
467	457, 466	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ^*)
468	467	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ^*)
469		elioore 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
470	469	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
471	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
472	415, 471, 401, 264, 402, 403, 460, 80	fourierdlem13 46948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘𝐶) = ((𝑉‘𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶))))
473	472	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶)))
474	473	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶)))
475	454	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476	475, 461	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ)
477	476	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ)
478	474, 477	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ∈ ℝ)
479	401, 312	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ)
480	479	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ)
481	472	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) = ((𝑉‘𝐶) − 𝑋))
482	476, 401	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
483	481, 482	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) ∈ ℝ)
484	415, 471, 401, 264, 402, 403, 465, 80	fourierdlem13 46948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
485	484	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
486	475, 466	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
487	486, 401	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
488	485, 487	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
489	429	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
490	489	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄‘𝐶)
491	489	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
492	491	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
493	490, 492	oveq12i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄‘𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
494	421, 493	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
495	483, 488, 312, 322, 176, 494	fourierdlem10 46945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘𝐶) ≤ (𝐽‘𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
496	495	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) ≤ (𝐽‘𝑘))
497	483, 312, 401, 496	leadd2dd 11853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽‘𝑘)))
498	497	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽‘𝑘)))
499	480	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^*)
500	401, 322	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
501	500	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^*)
502	501	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^*)
503		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
504		ioogtlb 46325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) < 𝑡)
505	499, 502, 503, 504	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) < 𝑡)
506	478, 480, 470, 498, 505	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) < 𝑡)
507	474, 506	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) < 𝑡)
508	500	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
509	484	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
510	509, 486	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
511	510	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
512		iooltub 46340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
513	499, 502, 503, 512	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
514	495	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
515	322, 488, 401, 514	leadd2dd 11853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
516	515	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
517	470, 508, 511, 513, 516	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
518	509	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
519	518	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
520	517, 519	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
521	463, 468, 470, 507, 520	eliood 46328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
522	521	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
523		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
524	449, 522, 523	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
525	524	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
526	448, 525	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
527	526	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
528	527	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
529	445, 528	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
530	438	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
531	530	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
532	434, 531	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
533		fourierdlem103.fdvbd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
534	532, 533	vtoclg 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
535	430, 432, 534	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
536		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
537	446, 536	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
538	15, 45	fssd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
539		ssid 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
540	539	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
541		ioossre 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
542	541	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
543	22, 393	dvres 26138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
544	45, 538, 540, 542, 543	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
545		ioontr 46341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
546	545	reseq2i 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
547	546	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
548	544, 547	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
549	548	fveq1d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
550		fvres 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
551	549, 550	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
552	551	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
553	552	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
554	553	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
555		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556	521	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
557		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
558	555, 556, 557	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559	554, 558	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
560	559	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
561	537, 560	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
562	561	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
563	562	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
564	535, 563	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
565	415	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ^*)
566	565, 316, 310, 417	fourierdlem8 46943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]𝑑))
567	126	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
568	152, 308	fssd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
569	568	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
570		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑))
571	153	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → -π = (𝐽‘0))
572	154	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑑 = (𝐽‘𝑁))
573	571, 572	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π[,]𝑑) = ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
574	573	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → (-π[,]𝑑) = ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
575	570, 574	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
576	575	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
577		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
578		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐽‘𝑗) = (𝐽‘𝑘))
579	578	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽‘𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽‘𝑘) < 𝑟))
580	579	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑘) < 𝑟}
581	580	supeq1i 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
582	567, 569, 576, 577, 581	fourierdlem25 46960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑟 ∈ (-π[,]𝑑)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽‘𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
583	546	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584	538	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
585	539	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
586	541	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
587	391, 584, 585, 586, 543	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
588	521	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
589		dfss3 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
590	588, 589	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
591	590	resabs1d 6001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
592	583, 587, 591	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
593		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
594		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
595	438	reseq2d 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
596	595, 438	feq12d 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
597	434, 596	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
598		cncff 25121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
599	404, 598	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
600	597, 599	vtoclg 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
601	593, 594, 600	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
602	432, 601	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
603	602, 590	fssresd 6742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
604	592, 603	feq1dd 6685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
605	367, 378	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
606	605	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
607		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
608		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑡))
609	608	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
610	609	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
611	610	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
612	607, 611	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
613		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
614	613	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
615	614	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
616	615	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
617	612, 616	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
618	262, 263, 12, 14, 62, 279, 280, 427, 428, 529, 564, 152, 176, 566, 582, 604, 606, 617	fourierdlem80 47014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
619	358	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
620	259, 619	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621	620	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
622	621	dmeqd 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
623		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
624		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠ℝ
625		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠 D
626		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
627	624, 625, 626	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
628	627	nfdm 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
629	623, 628	raleqf 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630	622, 629	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
631	621	fveq1d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
632	631	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
633	632	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
634	633	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
635	630, 634	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
636	635	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (-π[,]𝑑) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
637	618, 636	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
638		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
639		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽‘𝑘)))
640		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑄‘ℎ) = (𝑄‘𝑙))
641		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (ℎ + 1) = (𝑙 + 1))
642	641	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑄‘(ℎ + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
643	640, 642	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))) = ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
644	643	sseq2d 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))) ↔ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
645	644	cbvriotavw 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
646	645	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
647	646	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) ↔ (𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
648	647	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) ↔ (𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
649		csbeq1 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅)
650	645, 649	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅
651	650	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅)
652	648, 651	ifbieq1d 4507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) = if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))))
653	652	mptru 1577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) = if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘))))
654	653	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) = (if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊)
655	654	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) = ((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘))
656	655	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2)))))
657	656	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))))
658		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
659	645	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1) = ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
660	659	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
661	660	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
662	661	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
663		csbeq1 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿)
664	645, 663	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿
665	664	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿)
666	662, 665	ifbieq1d 4507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
667	666	mptru 1577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
668	667	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊)
669	668	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
670	669	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
671	670	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
672		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑂‘𝑡) = (𝑂‘𝑠))
673	658, 671, 672	ifbieq12d 4511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠)))
674	639, 657, 673	ifbieq12d 4511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠))))
675	674	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑊) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑊) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠))))
676	12, 14, 67, 126, 152, 153, 154, 176, 292, 298, 301, 302, 426, 637, 638, 675	fourierdlem73 47007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
677		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
678	677	rexralbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
679	678	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
680	676, 679	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
681	680	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
682		rphalfcl 13071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
683	682	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
684		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
685	684	rexralbidv 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
686	685	rspccva 3575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
687	681, 683, 686	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688	345	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠))
689	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π[,]𝑑))
690	689	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π[,]𝑑))
691	690, 347	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈 ↾ (-π[,]𝑑))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
692	688, 691	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → (𝑈‘𝑠) = (𝑂‘𝑠))
693	692	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
694	693	itgeq2dv 26009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
695	694	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
696	695	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
697		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698	696, 697	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
699	698	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
700	699	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
701	700	ralimdv 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
702	701	reximdv 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
703	687, 702	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
704	703	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
705		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0))
706		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
707	705, 706	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ ℕ
709	707, 708	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
710		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
711	709, 710	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
712		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)))
713		eluznn 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
714	713	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
715	712, 714	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
716	715	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
717		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
718	713	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
719		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
720	717, 718, 719	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
721	716, 720	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
722	721	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
723		nnre 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
724	723	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ^*)
725	724	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ^*)
726	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → +∞ ∈ ℝ^*)
727		eluzelre 12898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
728		1re 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
729	728	rehalfcli 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
730	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
731	727, 730	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
732	731	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
733	723	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
734	727	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
735		eluzle 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
736	735	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
737		halfgt0 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < (1 / 2)
738	737	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 0 < (1 / 2))
739	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
740	739, 734	ltaddposd 11822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
741	738, 740	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
742	733, 734, 732, 736, 741	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
743	732	ltpnfd 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
744	725, 726, 732, 742, 743	eliood 46328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
745	744	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
746		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
747		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
748	747	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
749	748	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
750	749	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
751	750	itgeq2dv 26009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
752	751	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
753	752	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
754	753	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
755	745, 746, 754	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
756	755	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
757	722, 756	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
758		fourierdlem103.ch	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
759	757, 758	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝜒)
760	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → -π ∈ ℝ)
761		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
762		ioossicc 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
763	758	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
764		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
765	763, 764	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ (-π(,)0))
766	762, 765	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ (-π[,]0))
767		simp-5l 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
768	763, 767	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
769	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
770	10	rexri 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℝ^*
771		0re 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℝ
772	771, 10, 56	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ π
773		iooss2 13434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((π ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
774	770, 772, 773	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
775		ioossicc 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
776	774, 775	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π)
777	776	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
778	777	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
779	769, 778	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
780	768, 779	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
781		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
782	763, 781	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ)
783	782	nnred 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ)
784	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
785	783, 784	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
786	785	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
787		elioore 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
788	787	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
789	786, 788	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
790	789	resincld 16231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
791	780, 790	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
792	791	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
793	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → -π ∈ ℝ^*)
794	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ^*)
795	760	leidd 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → -π ≤ -π)
796		ioossre 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-π(,)0) ⊆ ℝ
797	796, 765	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ)
798	793, 794, 765, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑑 < 0)
799	797, 761, 798	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ≤ 0)
800		ioossioo 13494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^*) ∧ (-π ≤ -π ∧ 𝑑 ≤ 0)) → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π(,)0))
801	793, 794, 795, 799, 800	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (-π(,)𝑑) ⊆ (-π(,)0))
802		ioombl 25793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-π(,)𝑑) ∈ dom vol
803	802	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (-π(,)𝑑) ∈ dom vol)
804		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
805	804	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
806		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑛 = 𝑘)
807	806	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
808	807	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
809	808	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
810	809	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
811	810	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
812	811	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹))
813	805, 812	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)))
814	776	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]π))
815		ioombl 25793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
816	815	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
817	43	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
818	817	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
819		nnre 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
820		readdcl 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
821	819, 729, 820	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
822	821	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
823		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
824	214, 823	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
825	822, 824	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
826	825	resincld 16231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
827	826	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
828	818, 827	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
829		fourierdlem103.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
830	829	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
831		fourierdlem103.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
832	831	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
833	823, 826, 832	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
834	833	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
835	834	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
836	835	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
837	830, 836	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
838	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
839		fourierdlem103.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
840	839	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
841	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
842	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
843	819	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
844	265	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
845	267	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
846	269	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
847	271	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
848	273	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
849		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
850		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
851	599	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
852		fourierdlem103.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
853	852	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
854		fourierdlem103.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
855	854	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
856	264, 838, 840, 841, 842, 40, 41, 42, 843, 831, 829, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 850, 851, 853, 855	fourierdlem88 47022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿¹)
857	837, 856	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
858	814, 816, 828, 857	iblss 26032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
859	813, 858	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
860	768, 782, 859	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
861	801, 803, 791, 860	iblss 26032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π(,)𝑑) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
862	765, 106	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → -π < 𝑑)
863	760, 797, 862	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → -π ≤ 𝑑)
864	761	leidd 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 0)
865		ioossioo 13494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^*) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ 0 ≤ 0)) → (𝑑(,)0) ⊆ (-π(,)0))
866	793, 794, 863, 864, 865	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑑(,)0) ⊆ (-π(,)0))
867		ioombl 25793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑(,)0) ∈ dom vol
868	867	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑑(,)0) ∈ dom vol)
869	866, 868, 791, 860	iblss 26032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)0) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
870	760, 761, 766, 792, 861, 869	itgsplitioo 26065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
871	801	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
872	871, 791	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
873	872, 861	itgcl 26011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
874	866	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
875	874, 791	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
876	875, 869	itgcl 26011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
877	873, 876	addcomd 11436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
878	870, 877	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
879	878	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
880	876, 873	addcld 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
881	880	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
882	876	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
883	873	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
884	882, 883	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
885		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
886	763, 885	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
887	886	rpred 13086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ)
888	876, 873	abstrid 15546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
889		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
890	763, 889	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
891	763	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
892	882, 883, 887, 890, 891	lt2halvesd 12516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
893	881, 884, 887, 888, 892	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (abs‘(∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
894	879, 893	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
895	759, 894	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
896	895	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
897	711, 896	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
898	897	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
899	898	reximdva 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(-π(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
900	704, 899	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (-π(,)0)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
901		negpilt0 46114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -π < 0
902	11, 771, 10	lttri 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
903	901, 56, 902	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
904	11, 10, 903	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ≤ π
905	904	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π ≤ π)
906	264	fourierdlem2 46937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
907	265, 906	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
908	267, 907	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
909	908	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)))
910		elmapi 8848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
911	909, 910	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
912	911	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
913	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
914	912, 913	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
915	914, 80	fmptd 7107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
916	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
917		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘0))
918	917	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
919	918	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
920	265	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
921		nn0uz 12925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
922	920, 921	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
923		eluzfz1 13585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
924	922, 923	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
925	911, 924	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
926	925, 16	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
927	916, 919, 924, 926	fvmptd 6994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
928	908	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
929	928	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)))
930	929	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
931	930	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
932	450	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℂ)
933	16	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
934	932, 933	pncand 11594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
935	927, 931, 934	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
936	450, 452, 16, 264, 849, 265, 267, 80	fourierdlem14 46949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀))
937	849	fourierdlem2 46937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
938	265, 937	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
939	936, 938	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
940	939	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
941	940	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π))
942	941	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = π)
943	940	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
944	943	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
945	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
946	849, 265, 936	fourierdlem15 46950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
947	946	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
948		elfzofz 13731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
949	948	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
950	947, 949	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (-π[,]π))
951		fzofzp1 13820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
952	951	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
953	947, 952	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
954	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
955		ffn 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑉 Fn (0...𝑀))
956	909, 910, 955	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0...𝑀))
957		fvelrnb 6938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋))
958	956, 957	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋))
959	839, 958	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋)
960		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑉‘𝑖) = 𝑋 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = (𝑋 − 𝑋))
961	960	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) = 𝑋) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = (𝑋 − 𝑋))
962	933	subidd 11581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = 0)
963	962	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) = 𝑋) → (𝑋 − 𝑋) = 0)
964	961, 963	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) = 𝑋) → 0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
965	964	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) = 𝑋 → 0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
966	965	reximdva 3175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
967	959, 966	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
968	80	elrnmpt 5942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
969	771, 968	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
970	967, 969	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
971	849, 265, 936, 970	fourierdlem12 46947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
972	911	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
973	972, 949	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
974	973, 954	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
975	80	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
976	949, 974, 975	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
977	976	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + 𝑋) = (((𝑉‘𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
978	973	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℂ)
979	933	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
980	978, 979	npcand 11597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘𝑖))
981	977, 980	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + 𝑋) = (𝑉‘𝑖))
982		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
983	982	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
984	983	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
985	80, 984	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))
986	985	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)))
987		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
988	987	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
989	988	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
990	972, 952	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
991	990, 954	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
992	986, 989, 952, 991	fvmptd 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
993	992	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
994	990	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
995	994, 979	npcand 11597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
996	993, 995	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
997	981, 996	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
998	997	reseq2d 5972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
999	997	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
1000	269, 998, 999	3eltr4d 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
1001	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
1002	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
1003	945, 950, 953, 954, 971, 1000, 1001, 1002, 40	fourierdlem40 46975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
1004		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
1005	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
1006	1004, 1005	fssd 6720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
1007	404, 598, 1006	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
1008		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) = if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖)))
1009	16, 264, 15, 839, 27, 39, 40, 265, 267, 271, 80, 849, 850, 1007, 854, 1008	fourierdlem75 47009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
1010		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1011	16, 264, 15, 839, 28, 38, 40, 265, 267, 273, 80, 849, 850, 599, 852, 1010	fourierdlem74 47008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1012		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
1013		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
1014	1013	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
1015	1012, 1014	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
1016	1015	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
1017	450, 452, 905, 180, 265, 915, 935, 942, 944, 1003, 1009, 1011, 1016	fourierdlem70 47004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
1018		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1019		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐺‘𝑡) = (𝐺‘𝑠))
1020	1019	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(𝐺‘𝑡)) = (abs‘(𝐺‘𝑠)))
1021	1020	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦))
1022	1021	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦)
1023	1022	ralbii 3108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦)
1024	1023	3anbi3i 1177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦))
1025	1024	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol))
1026	1025	anbi1i 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
1027	1026	anbi1i 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
1028	15, 16, 28, 39, 40, 41, 42, 831, 829, 1017, 856, 1018, 1027	fourierdlem87 47021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1029		iftrue 4488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
1030	1029	negeqd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ≤ (π / 2) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = -𝑐)
1031	1030	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = -𝑐)
1032	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ∈ ℝ^*)
1033	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ∈ ℝ^*)
1034		rpre 13051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 𝑐 ∈ ℝ)
1035	1034	renegcld 11665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -𝑐 ∈ ℝ)
1036	1035	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 ∈ ℝ)
1037	1034	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1038	10	rehalfcli 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
1039	1038	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
1040	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ)
1041		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ (π / 2))
1042		halfpos 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ (π / 2) < π))
1043	10, 1042	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 < π ↔ (π / 2) < π)
1044	56, 1043	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π / 2) < π
1045	1044	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) < π)
1046	1037, 1039, 1040, 1041, 1045	lelttrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 < π)
1047	1037, 1040	ltnegd 11816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → (𝑐 < π ↔ -π < -𝑐))
1048	1046, 1047	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π < -𝑐)
1049		rpgt0 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑐)
1050	1034	lt0neg2d 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑐 ↔ -𝑐 < 0))
1051	1049, 1050	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -𝑐 < 0)
1052	1051	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 < 0)
1053	1032, 1033, 1036, 1048, 1052	eliood 46328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 ∈ (-π(,)0))
1054	1031, 1053	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1055		iffalse 4491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
1056	1055	negeqd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = -(π / 2))
1057	1038	renegcli 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
1058	1057	rexri 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ^*
1059	52, 53, 1058	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ -(π / 2) ∈ ℝ^*)
1060	1038, 10	ltnegi 11782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π / 2) < π ↔ -π < -(π / 2))
1061	1044, 1060	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -π < -(π / 2)
1062		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
1063	10, 101, 56, 1062	divgt0ii 12156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < (π / 2)
1064		lt0neg2 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
1065	1038, 1064	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
1066	1063, 1065	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(π / 2) < 0
1067	1061, 1066	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π < -(π / 2) ∧ -(π / 2) < 0)
1068		elioo3g 13427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-(π / 2) ∈ (-π(,)0) ↔ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ -(π / 2) ∈ ℝ^*) ∧ (-π < -(π / 2) ∧ -(π / 2) < 0)))
1069	1059, 1067, 1068	mpbir2an 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(π / 2) ∈ (-π(,)0)
1070	1069	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → -(π / 2) ∈ (-π(,)0))
1071	1056, 1070	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1072	1071	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1073	1054, 1072	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1074	1073	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0))
1075		ioombl 25793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol
1076	1075	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol)
1077		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1078	1076, 1077	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1079		ioossicc 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0)
1080	1079	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0))
1081	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -π ∈ ℝ)
1082	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → π ∈ ℝ)
1083	1037, 1040, 1046	ltled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ π)
1084	1037, 1040	lenegd 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → (𝑐 ≤ π ↔ -π ≤ -𝑐))
1085	1083, 1084	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -𝑐)
1086	1030	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ≤ (π / 2) → -𝑐 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1087	1086	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -𝑐 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1088	1085, 1087	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1089	11, 1057, 1061	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ≤ -(π / 2)
1090	1089	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -(π / 2))
1091	1056	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → -(π / 2) = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1092	1091	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -(π / 2) = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1093	1090, 1092	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → -π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1094	1088, 1093	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1095	772	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ π)
1096		iccss 13467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∧ 0 ≤ π)) → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0) ⊆ (-π[,]π))
1097	1081, 1082, 1094, 1095, 1096	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))[,]0) ⊆ (-π[,]π))
1098	1080, 1097	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π))
1099	796, 1073	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
1100		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
1101		rpge0 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑐)
1102	1101	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ≤ 𝑐)
1103	1041	iftrued 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
1104	1102, 1103	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1105	771, 1038, 1063	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ (π / 2)
1106		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → ¬ 𝑐 ≤ (π / 2))
1107	1106	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
1108	1105, 1107	breqtrrid 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1109	1104, 1108	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1110	1038	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (π / 2) ∈ ℝ)
1111	1034, 1110	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
1112	1111	le0neg2d 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ↔ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 0))
1113	1109, 1112	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 0)
1114		volioo 25797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 0) → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) = (0 − -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
1115	1099, 1100, 1113, 1114	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) = (0 − -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
1116		0cn 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
1117	1116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℂ)
1118	1111	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℂ)
1119	1117, 1118	subnegd 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (0 − -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) = (0 + if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
1120	1118	addlidd 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (0 + if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1121	1115, 1119, 1120	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1122		min1 13241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
1123	1034, 1038, 1122	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
1124	1121, 1123	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐)
1125	1098, 1124	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐))
1126	1125	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐))
1127		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ↔ (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π)))
1128		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (vol‘𝑢) = (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)))
1129	1128	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑐 ↔ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐))
1130	1127, 1129	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) ↔ ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐)))
1131		itgeq1 26000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1132	1131	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
1133	1132	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → ((abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1134	1133	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1135	1130, 1134	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1136	1135	rspcva 3574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1137	1078, 1126, 1136	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1138	1137	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1139		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (𝑑(,)0) = (-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0))
1140	1139	itgeq1d 46785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1141	1140	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
1142	1141	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1143	1142	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = -if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1144	1143	rspcev 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (-π(,)0) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(-if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1145	1074, 1138, 1144	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1146	1145	rexlimdv3a 3167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1147	1028, 1146	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ (-π(,)0)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(𝑑(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1148	900, 1147	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1149	1148	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1150		nnex 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
1151	1150	mptex 7222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ V
1152	1151	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ V)
1153		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠))
1154	777	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1155	779	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
1156	777	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1157		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1158		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
1159	1157, 1158	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
1160	1159	nnred 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1161	729	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℝ)
1162	1160, 1161	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1163	1162	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1164	214, 1156	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1165	1163, 1164	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
1166	1165	resincld 16231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
1167	1156, 1166, 832	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1168	1167	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1169	1160	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1170	1169	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1171		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
1172	1171	rehalfcld 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
1173	1170, 1172	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1174	214, 1154	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1175	1173, 1174	remulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
1176	1175	resincld 16231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
1177	1168, 1176	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
1178	1155, 1177	remulcld 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
1179	829	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
1180	1154, 1178, 1179	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
1181		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
1182	1181	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
1183	1182	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1184	1183	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1185	1168, 1184	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1186	1185	oveq2d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
1187	1180, 1186	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
1188	1187	itgeq2dv 26009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1189		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1190	810	itgeq2dv 26009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1191	1190	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ))
1192	805, 1191	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)))
1193	779	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
1194		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1195	1194, 777, 826	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
1196	1193, 1195	remulcld 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
1197	1196, 858	itgcl 26011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
1198	1192, 1197	chvarvv 2022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
1199	1153, 1188, 1189, 1198	fvmptd 6994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑘) = ∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1200	9, 2, 1152, 1199, 1198	clim0c 15594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(-π(,)0)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
1201	1149, 1200	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ⇝ 0)
1202	1150	mptex 7222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π)) ∈ V
1203	6, 1202	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
1204	1203	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
1205	1150	mptex 7222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V
1206	1205	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V)
1207		picn 26694	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
1208	1207	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
1209		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π))
1210		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚) → π = π)
1211		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ)
1212	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
1213	1209, 1210, 1211, 1212	fvmptd 6994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
1214	1213	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
1215	9, 2, 1206, 1208, 1214	climconst 15630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ⇝ π)
1216	771, 56	gtneii 11346	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
1217	1216	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
1218	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
1219	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
1220	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
1221	838, 1218, 1219, 1220, 40, 41, 42, 843, 831, 829	fourierdlem67 47001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1222	1221	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1223	814	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1224	1222, 1223	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
1225	1221	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
1226	1221	feqmptd 6946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)))
1227	1226, 856	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿¹)
1228	814, 816, 1225, 1227	iblss 26032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿¹)
1229	1224, 1228	itgcl 26011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
1230		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
1231	1230	fvmpt2 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
1232	1194, 1229, 1231	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
1233	1232, 1229	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
1234		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1235		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
1236	1235	fvmpt2 6998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
1237	1234, 10, 1236	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
1238	1207	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
1239	1216	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
1240	1238, 1239	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
1241		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
1242	1240, 1241	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
1243	1237, 1242	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1244	1243	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1245	1207	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
1246	1216	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
1247	1229, 1245, 1246	divcld 12015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ)
1248	6	fvmpt2 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑛) = (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
1249	1194, 1247, 1248	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑛) = (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
1250	1232	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛))
1251	1237	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
1252	1251	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
1253	1250, 1252	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
1254	1249, 1253	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
1255	3, 4, 5, 8, 9, 2, 1201, 1204, 1215, 1217, 1233, 1244, 1254	climdivf 46442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⇝ (0 / π))
1256	1207, 1216	div0i 11973	. . . . 5 ⊢ (0 / π) = 0
1257	1256	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 / π) = 0)
1258	1255, 1257	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⇝ 0)
1259		fourierdlem103.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
1260	1150	mptex 7222	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ∈ V
1261	1259, 1260	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
1262	1261	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
1263	1150	mptex 7222	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) ∈ V
1264	1263	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) ∈ V)
1265		limccl 26102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋) ⊆ ℂ
1266	1265, 38	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ)
1267	1266	halfcld 12513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℂ)
1268		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)))
1269		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑊 / 2) = (𝑊 / 2))
1270	9	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘1) = ℕ
1271	1270	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 𝑛 ∈ ℕ)
1272	1271	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
1273	1272	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1274	1267	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑊 / 2) ∈ ℂ)
1275	1268, 1269, 1273, 1274	fvmptd 6994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛) = (𝑊 / 2))
1276	1, 2, 1264, 1267, 1275	climconst 15630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2)) ⇝ (𝑊 / 2))
1277	1247, 6	fmptd 7107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
1278	1277	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
1279	1278, 1273	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐸‘𝑛) ∈ ℂ)
1280	1275, 1274	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛) ∈ ℂ)
1281	1275	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝐸‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛)) = ((𝐸‘𝑛) + (𝑊 / 2)))
1282	815	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
1283	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ^*)
1284		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
1285	1284	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ^*)
1286		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ (-π(,)0))
1287		iooltub 46340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 < 0)
1288	1283, 1285, 1286, 1287	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 < 0)
1289	787, 1288	ltned 11370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ≠ 0)
1290	1289	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → ¬ 𝑠 = 0)
1291		velsn 4600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
1292	1290, 1291	sylnibr 332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
1293	777, 1292	eldifd 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1294	1293	ssriv 3935	. . . . . . 7 ⊢ (-π(,)0) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
1295	1294	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1296		fourierdlem103.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1297	787	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1298		0red 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
1299	787, 1284, 1288	ltled 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)0) → 𝑠 ≤ 0)
1300	1299	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ≤ 0)
1301	1297, 1298, 1300	lensymd 11385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ¬ 0 < 𝑠)
1302	1301	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
1303		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷‘𝑛) = (𝐷‘𝑛)
1304	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
1305		0red 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
1306	11, 771, 901	ltleii 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ≤ 0
1307	1306	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ≤ 0)
1308		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
1309	1296, 1194, 1303, 1304, 1305, 1307, 1308	dirkeritg 46930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐷‘𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) − ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π)))
1310		ubicc2 13518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ -π ≤ 0) → 0 ∈ (-π[,]0))
1311	52, 53, 1306, 1310	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (-π[,]0)
1312		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1313	239, 244	div0i 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 / 2) = 0
1314	1313	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → (0 / 2) = 0)
1315	1312, 1314	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
1316		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · 0))
1317		elfzelz 13578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
1318	1317	zcnd 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℂ)
1319	1318	mul01d 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · 0) = 0)
1320	1316, 1319	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘 · 𝑠) = 0)
1321	1320	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘0))
1322		sin0 16237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (sin‘0) = 0
1323	1322	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘0) = 0)
1324	1321, 1323	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = 0)
1325	1324	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1326		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 ∈ ℝ)
1327		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
1328	1317	zred 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℝ)
1329	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 1)
1330		elfzle1 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑘)
1331	1326, 1327, 1328, 1329, 1330	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 𝑘)
1332	1331	gt0ne0d 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ≠ 0)
1333	1318, 1332	div0d 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (0 / 𝑘) = 0)
1334	1333	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (0 / 𝑘) = 0)
1335	1325, 1334	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
1336	1335	sumeq2dv 15789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1337		fzfi 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
1338	1337	olci 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ_≥‘ ∥ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1339		sumz 15808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((1...𝑛) ⊆ (ℤ_≥‘ ∥ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
1340	1338, 1339	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0
1341	1340	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
1342	1336, 1341	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
1343	1315, 1342	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = (0 + 0))
1344		00id 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 0) = 0
1345	1344	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 → (0 + 0) = 0)
1346	1343, 1345	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = 0)
1347	1346	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (0 / π))
1348	1256	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → (0 / π) = 0)
1349	1347, 1348	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = 0)
1350	771	elexi 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
1351	1349, 1308, 1350	fvmpt 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (-π[,]0) → ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0)
1352	1311, 1351	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0
1353		lbicc2 13517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ -π ≤ 0) → -π ∈ (-π[,]0))
1354	52, 53, 1306, 1353	mp3an 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ (-π[,]0)
1355		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = -π → (𝑠 / 2) = (-π / 2))
1356		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = -π → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · -π))
1357	1356	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = -π → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘(𝑘 · -π)))
1358	1357	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = -π → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘))
1359	1358	sumeq2sdv 15790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = -π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘))
1360	1355, 1359	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = -π → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = ((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)))
1361	1360	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = -π → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π))
1362		ovex 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π) ∈ V
1363	1361, 1308, 1362	fvmpt 6986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π ∈ (-π[,]0) → ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π) = (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π))
1364	1354, 1363	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π) = (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π)
1365		mulneg12 11676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-𝑘 · π) = (𝑘 · -π))
1366	1318, 1207, 1365	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (-𝑘 · π) = (𝑘 · -π))
1367	1366	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · -π) = (-𝑘 · π))
1368	1367	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · -π) / π) = ((-𝑘 · π) / π))
1369	1318	negcld 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → -𝑘 ∈ ℂ)
1370	1207	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ∈ ℂ)
1371	1216	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ≠ 0)
1372	1369, 1370, 1371	divcan4d 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((-𝑘 · π) / π) = -𝑘)
1373	1368, 1372	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · -π) / π) = -𝑘)
1374	1317	znegcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → -𝑘 ∈ ℤ)
1375	1373, 1374	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · -π) / π) ∈ ℤ)
1376		negpicn 26700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -π ∈ ℂ
1377	1376	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → -π ∈ ℂ)
1378	1318, 1377	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · -π) ∈ ℂ)
1379		sineq0 26761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 · -π) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑘 · -π)) = 0 ↔ ((𝑘 · -π) / π) ∈ ℤ))
1380	1378, 1379	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · -π)) = 0 ↔ ((𝑘 · -π) / π) ∈ ℤ))
1381	1375, 1380	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (sin‘(𝑘 · -π)) = 0)
1382	1381	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1383	1382, 1333	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = 0)
1384	1383	sumeq2i 15785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0
1385	1384, 1340	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘) = 0
1386	1385	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) = ((-π / 2) + 0)
1387	1386	oveq1i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-π / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · -π)) / 𝑘)) / π) = (((-π / 2) + 0) / π)
1388	1376, 239, 244	divcli 11981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-π / 2) ∈ ℂ
1389	1388	addridi 11421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π / 2) + 0) = (-π / 2)
1390		divneg 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
1391	1207, 239, 244, 1390	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
1392	1389, 1391	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π / 2) + 0) = -(π / 2)
1393	1392	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-π / 2) + 0) / π) = (-(π / 2) / π)
1394	1038	recni 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
1395		divneg 11930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → -((π / 2) / π) = (-(π / 2) / π))
1396	1394, 1207, 1216, 1395	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -((π / 2) / π) = (-(π / 2) / π)
1397	1396	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(π / 2) / π) = -((π / 2) / π)
1398	1207, 239, 1207, 244, 1216	divdiv32i 11994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2)
1399	1207, 1216	dividi 11972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π / π) = 1
1400	1399	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / π) / 2) = (1 / 2)
1401	1398, 1400	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) / π) = (1 / 2)
1402	1401	negeqi 11474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -((π / 2) / π) = -(1 / 2)
1403	1393, 1397, 1402	3eqtri 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-π / 2) + 0) / π) = -(1 / 2)
1404	1364, 1387, 1403	3eqtri 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π) = -(1 / 2)
1405	1352, 1404	oveq12i 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) − ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π)) = (0 − -(1 / 2))
1406	1405	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) − ((𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘-π)) = (0 − -(1 / 2)))
1407		halfcn 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
1408	1116, 1407	subnegi 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − -(1 / 2)) = (0 + (1 / 2))
1409	1407	addlidi 11422	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (1 / 2)) = (1 / 2)
1410	1408, 1409	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − -(1 / 2)) = (1 / 2)
1411	1410	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0 − -(1 / 2)) = (1 / 2))
1412	1309, 1406, 1411	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐷‘𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
1413	15, 16, 264, 265, 267, 839, 269, 271, 273, 40, 41, 42, 831, 829, 850, 599, 852, 854, 27, 38, 1282, 1295, 6, 1296, 39, 1302, 1412	fourierdlem95 47029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑛) + (𝑊 / 2)) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1414	1273, 1413	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝐸‘𝑛) + (𝑊 / 2)) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1415	1259	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
1416		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
1417	1416	fveq1d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
1418	1417	oveq2d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
1419	1418	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
1420	1419	itgeq2dv 26009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1421	1420	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1422	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1423	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1424	1423, 1297	readdcld 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1425	1422, 1424	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1426	1425	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1427	1296	dirkerf 46925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
1428	1427	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → (𝐷‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
1429	787	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1430	1428, 1429	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
1431	1426, 1430	remulcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
1432	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1433	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1434	214	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
1435	1434	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1436	1433, 1435	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1437	1432, 1436	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1438	1437	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1439	1427	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
1440	1434	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1441	1439, 1440	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
1442	1438, 1441	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
1443	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
1444	1296	dirkercncf 46935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1445	1444	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1446		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
1447	1304, 1443, 838, 1218, 264, 844, 845, 846, 847, 848, 80, 849, 1445, 1446	fourierdlem84 47018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿¹)
1448	814, 816, 1442, 1447	iblss 26032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿¹)
1449	1431, 1448	itgrecl 26025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
1450	1415, 1421, 1194, 1449	fvmptd 6994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1451	1450	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍‘𝑛))
1452	1273, 1451	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍‘𝑛))
1453	1281, 1414, 1452	3eqtrrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑍‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / 2))‘𝑛)))
1454	1, 2, 1258, 1262, 1276, 1279, 1280, 1453	climadd 15719	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (0 + (𝑊 / 2)))
1455	1267	addlidd 11435	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑊 / 2)) = (𝑊 / 2))
1456	1454, 1455	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (𝑊 / 2))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ⊤wtru 1571 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 {crab 3412 Vcvv 3450 ⦋csb 3847 ∖ cdif 3896 ∪ cun 3897 ∩ cin 3898 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 ifcif 4482 {csn 4584 {cpr 4586 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 dom cdm 5655 ran crn 5656 ↾ cres 5657 ℩cio 6487 Fn wfn 6528 ⟶wf 6529 ‘cfv 6533 Isom wiso 6534 ℩crio 7369 (class class class)co 7413 ↑_m cmap 8826 Fincfn 8952 supcsup 9410 ℂcc 11122 ℝcr 11123 0cc0 11124 1c1 11125 + caddc 11127 · cmul 11129 +∞cpnf 11264 -∞cmnf 11265 ℝ^*cxr 11266 < clt 11267 ≤ cle 11268 − cmin 11465 -cneg 11466 / cdiv 11895 ℕcn 12257 2c2 12319 3c3 12320 ℕ₀cn0 12528 ℤcz 12615 ℤ_≥cuz 12887 ℝ⁺crp 13042 (,)cioo 13398 [,]cicc 13401 ...cfz 13561 ..^cfzo 13709 mod cmo 13930 ♯chash 14394 abscabs 15321 ⇝ cli 15571 Σcsu 15773 sincsin 16149 πcpi 16152 TopOpenctopn 17506 topGenctg 17522 ℂ_fldccnfld 21585 intcnt 23242 –cn→ccncf 25104 volcvol 25691 𝐿¹cibl 25845 ∫citg 25846 lim_ℂ climc 26089 D cdv 26090

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7736 ax-inf2 9620 ax-cc 10437 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 ax-addf 11203

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-symdif 4199 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-disj 5071 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-of 7678 df-ofr 7679 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-2o 8456 df-oadd 8459 df-omul 8460 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8905 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-fsupp 9332 df-fi 9381 df-sup 9412 df-inf 9413 df-oi 9482 df-dju 9906 df-card 9944 df-acn 9947 df-pnf 11269 df-mnf 11270 df-xr 11271 df-ltxr 11272 df-le 11273 df-sub 11467 df-neg 11468 df-div 11896 df-nn 12258 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12529 df-xnn0 12602 df-z 12616 df-dec 12737 df-uz 12888 df-q 12998 df-rp 13043 df-xneg 13163 df-xadd 13164 df-xmul 13165 df-ioo 13402 df-ioc 13403 df-ico 13404 df-icc 13405 df-fz 13562 df-fzo 13710 df-fl 13853 df-mod 13931 df-seq 14066 df-exp 14126 df-fac 14338 df-bc 14367 df-hash 14395 df-shft 15140 df-cj 15186 df-re 15187 df-im 15188 df-sqrt 15322 df-abs 15323 df-limsup 15558 df-clim 15575 df-rlim 15576 df-sum 15774 df-ef 16153 df-sin 16155 df-cos 16156 df-pi 16158 df-struct 17239 df-sets 17256 df-slot 17274 df-ndx 17286 df-base 17302 df-ress 17323 df-plusg 17355 df-mulr 17356 df-starv 17357 df-sca 17358 df-vsca 17359 df-ip 17360 df-tset 17361 df-ple 17362 df-ds 17364 df-unif 17365 df-hom 17366 df-cco 17367 df-rest 17507 df-topn 17508 df-0g 17526 df-gsum 17527 df-topgen 17528 df-pt 17529 df-prds 17532 df-xrs 17588 df-qtop 17593 df-imas 17594 df-xps 17596 df-mre 17670 df-mrc 17671 df-acs 17673 df-mgm 18730 df-sgrp 18821 df-mnd 18837 df-submnd 18892 df-mulg 19191 df-cntz 19444 df-cmn 19909 df-psmet 21577 df-xmet 21578 df-met 21579 df-bl 21580 df-mopn 21581 df-fbas 21582 df-fg 21583 df-cnfld 21586 df-top 23119 df-topon 23136 df-topsp 23158 df-bases 23171 df-cld 23244 df-ntr 23245 df-cls 23246 df-nei 23323 df-lp 23361 df-perf 23362 df-cn 23452 df-cnp 23453 df-t1 23539 df-haus 23540 df-cmp 23612 df-tx 23788 df-hmeo 23981 df-fil 24072 df-fm 24164 df-flim 24165 df-flf 24166 df-xms 24546 df-ms 24547 df-tms 24548 df-cncf 25106 df-ovol 25692 df-vol 25693 df-mbf 25847 df-itg1 25848 df-itg2 25849 df-ibl 25850 df-itg 25851 df-0p 25898 df-limc 26093 df-dv 26094

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