fourierdlem104 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem104 46982

Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem104.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem104.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem104.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem104.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem104.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem104.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem104.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem104.fbdioo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem104.fdvcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem104.fdvbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem104.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
fourierdlem104.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem104.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem104.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem104.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem104.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem104.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem104.z	⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem104.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem104.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem104.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem104.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem104.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
fourierdlem104.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem104.o	⊢ 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
fourierdlem104.t	⊢ 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
fourierdlem104.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem104.j	⊢ 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem104.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
fourierdlem104.1	⊢ 𝐶 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem104.ch	⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem104	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))

Distinct variable groups: 𝜒,𝑠 𝑈,𝑛,𝑠 𝑘,𝑌,𝑠,𝑤,𝑧 𝑈,𝑑,𝑘,𝑙 𝑀,𝑙,𝑡 𝜑,𝑑 𝑇,𝑓 𝑒,𝑑,𝑠 𝑊,𝑠 𝑒,𝑘,𝑛,𝜑 𝑚,𝑛,𝜑,𝑠 𝑘,𝑉,𝑖,𝑠,𝑡 𝑋,𝑙,𝑖 𝑚,𝑋,𝑝,𝑖 𝐵,𝑠 𝑅,𝑙,𝑠,𝑡 𝑖,𝐹,𝑙,𝑘,𝑡 𝑤,𝐹,𝑧 𝑡,𝑘,𝑤,𝑧 𝑚,𝐹,𝑠,𝑘 𝑒,𝑂,𝑙 𝐾,𝑠 𝑖,𝑌,𝑚,𝑛,𝑘 𝑛,𝐸 𝑖,𝑑,𝜑,𝑙 𝑓,𝑁 𝑡,𝑑,𝑤,𝑧,𝜑 𝑘,𝑁,𝑡,𝑤,𝑧 𝑚,𝑀,𝑝 𝑒,𝑁,𝑙 𝑉,𝑝 𝑛,𝑍 𝐴,𝑠 𝐿,𝑙,𝑠,𝑡 𝑓,𝑑,𝜑 𝐷,𝑖,𝑚,𝑠 𝑒,𝐺 𝑖,𝑁 𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧 𝑆,𝑠 𝑄,𝑓 𝑄,𝑝 𝑡,𝐺 𝑄,𝑖,𝑙,𝑡 𝑀,𝑠 𝑖,𝐺,𝑘,𝑠 𝑚,𝑁 𝑖,𝑀,𝑘 𝑄,𝑠 𝑘,𝑋,𝑠,𝑡,𝑤,𝑧 𝑌,𝑙,𝑡 𝑁,𝑠 𝑖,𝐻,𝑠 𝑡,𝐽,𝑤,𝑧,𝑖 𝑚,𝐽,𝑘 𝐽,𝑙,𝑠 𝑘,𝑂,𝑠,𝑡 𝑓,𝐽,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑝) 𝜒(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐴(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐵(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐶(𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐷(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑃(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑄(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑑) 𝑅(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑆(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑇(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑈(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑝) 𝐸(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐹(𝑒, 𝑓, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝐺(𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐻(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐽(𝑒, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝐾(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝐿(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑀(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑛, 𝑑) 𝑁(𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑂(𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑) 𝑉(𝑧, 𝑤, 𝑒, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑑, 𝑙) 𝑊(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑑, 𝑙) 𝑋(𝑒, 𝑓, 𝑛, 𝑑) 𝑌(𝑒, 𝑓, 𝑝, 𝑑) 𝑍(𝑧, 𝑤, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem104 Dummy variables ∥ 𝑥 𝑦 𝑐 𝑢 𝑟 𝑣 𝑎 𝑗 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (ℤ_≥‘1) = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12640	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
4		nfmpt1 5212	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
5		nfmpt1 5212	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6		fourierdlem104.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
7		nfmpt1 5212	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
8	6, 7	nfcxfr 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
9		nnuz 12917	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
10		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
12		pire 26670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ ℝ)
14		fourierdlem104.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
15		fourierdlem104.xre	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
18	14, 17	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
19		ioosscn 13451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
21		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
22		pnfxr 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
24	15	ltpnfd 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < +∞)
25	21, 23, 15, 24	lptioo1cn 46418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝑋(,)+∞)))
26		fourierdlem104.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
27	18, 20, 25, 26	limcrecl 46403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
28		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
30	14, 29	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
31		ioosscn 13451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
33		mnfxr 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ^*)
35	15	mnfltd 13165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑋)
36	21, 34, 15, 35	lptioo2cn 46417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(-∞(,)𝑋)))
37		fourierdlem104.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
38	30, 32, 36, 37	limcrecl 46403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
39		fourierdlem104.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
40		fourierdlem104.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
41		fourierdlem104.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
42	14, 15, 27, 38, 39, 40, 41	fourierdlem55 46933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
43		ax-resscn 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45	42, 44	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
47	12	renegcli 11534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -π ∈ ℝ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ∈ ℝ)
49	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
50		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
51		negpilt0 46058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -π < 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
53		0xr 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
54	12	rexri 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ π ∈ ℝ^*
55		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑑)
56	53, 54, 55	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑑)
57	49, 50, 10, 52, 56	lttrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑑)
58	49, 10, 57	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ≤ 𝑑)
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ≤ 𝑑)
60	13	leidd 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ≤ π)
61		iccss 13457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
62	48, 13, 59, 60, 61	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
63	46, 62	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ)
64		fourierdlem104.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)))
66	65	feq1d 6691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ))
67	63, 66	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
68		fourierdlem104.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
69	12	elexi 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ π ∈ V
70	69	prid2 4731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ π ∈ {𝑑, π}
71		elun1 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (π ∈ {𝑑, π} → π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
73		fourierdlem104.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
74	72, 73	eleqtrri 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ π ∈ 𝑇
75	74	ne0ii 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑇 ≠ ∅
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
77		prfi 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑑, π} ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → {𝑑, π} ∈ Fin)
79		fzfi 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
80		fourierdlem104.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
81	80	rnmptfi 45947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
83		infi 9237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
84	82, 83	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
85		unfi 9162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝑑, π} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
86	78, 84, 85	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
87	73, 86	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
88		hashnncl 14420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
89	87, 88	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
90	76, 89	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
91		nnm1nn0 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ₀)
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ₀)
93	68, 92	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
95		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 ∈ ℝ)
96		1red 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
97	94	nn0red 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
98		0lt1 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 1
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 1)
100		2re 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℝ)
102	90	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
105	53, 54, 104	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 < π)
106	10, 105	ltned 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≠ π)
107	106	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≠ π)
108		hashprg 14449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
109	11, 12, 108	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
110	107, 109	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) = 2)
111	110	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 = (♯‘{𝑑, π}))
112	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ∈ Fin)
113		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑑, π} ⊆ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
114	113, 73	sseqtrri 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑑, π} ⊆ 𝑇
115		hashssle 46075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑇 ∈ Fin ∧ {𝑑, π} ⊆ 𝑇) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
116	112, 114, 115	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
117	111, 116	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
118	101, 103, 96, 117	lesub1dd 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
119		1e2m1 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (2 − 1)
120	118, 119, 68	3brtr4g 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ≤ 𝑁)
121	95, 96, 97, 99, 120	ltletrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑁)
122	121	gt0ne0d 11793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ≠ 0)
123		elnnne0 12533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≠ 0))
124	94, 122, 123	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
125		fourierdlem104.j	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
126	11	leidd 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
127	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
128	10, 127, 105	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≤ π)
129	128	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≤ π)
130	11, 13, 11, 126, 129	eliccd 46278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ (𝑑[,]π))
131	11, 13, 13, 129, 60	eliccd 46278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ (𝑑[,]π))
132	130, 131	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)))
133		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑑 ∈ V
134	133, 69	prss 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)) ↔ {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
135	132, 134	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
136		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π)
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π))
138		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π)
139	137, 138	sstrdi 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑[,]π))
140	135, 139	unssd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ (𝑑[,]π))
141	73, 140	eqsstrid 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ (𝑑[,]π))
142	133	prid1 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑑 ∈ {𝑑, π}
143		elun1 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑑, π} → 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
144	142, 143	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
145	144, 73	eleqtrri 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ 𝑇)
147	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ 𝑇)
148	112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147	fourierdlem52 46930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π) ∧ (𝐽‘0) = 𝑑) ∧ (𝐽‘𝑁) = π))
149	148	simplld 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
150	148	simplrd 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽‘0) = 𝑑)
151	148	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽‘𝑁) = π)
152		elfzoelz 13704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
153	152	zred 12716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
154	153	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
155	154	ltp1d 12160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
156	10, 127	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
157	133, 69	prss 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ↔ {𝑑, π} ⊆ ℝ)
158	156, 157	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
159	158	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
160		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑(,)π) ⊆ ℝ
161	136, 160	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ)
163	159, 162	unssd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ ℝ)
164	73, 163	eqsstrid 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
165	112, 164, 125, 68	fourierdlem36 46915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
166	165	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
167		elfzofz 13721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
168	167	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
169		fzofzp1 13810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
170	169	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
171		isorel 7333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
172	166, 168, 170, 171	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
173	155, 172	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
174	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
175	174, 62	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈‘𝑠)))
176	62	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
177	14, 15, 27, 38, 39	fourierdlem9 46888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
178	177	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
179	178, 176	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
180	40	fourierdlem43 46922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182	181, 176	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
183	179, 182	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
184	41	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
185	176, 183, 184	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
186		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
187	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
188	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ)
189		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
190		eliccre 46279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
191	187, 188, 189, 190	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
192	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑑)
193	187	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
194	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ^*)
195		iccgelb 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ 𝑠)
196	193, 194, 189, 195	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ 𝑠)
197	186, 187, 191, 192, 196	ltletrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
198	197	gt0ne0d 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
199	198	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
200	199	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
201	200	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
202	197	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
203	202	iftrued 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
204	203	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
205	204	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
206	201, 205	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
207	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
208	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
209		iccssre 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
210	47, 12, 209	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
211	210, 176	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
212	208, 211	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
213	207, 212	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
214	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
215	213, 214	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
216	215, 211, 199	redivcld 12058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ ℝ)
217	206, 216	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
218	39	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
219	176, 217, 218	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
220	219, 201, 205	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221	188	renegcld 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ∈ ℝ)
222	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 0)
223	221, 186, 191, 222, 197	lttrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 𝑠)
224	221, 191, 223	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
225		iccleub 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
226	193, 194, 189, 225	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
227	221, 188, 191, 224, 226	eliccd 46278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
228	198	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
229	228	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
230	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℝ)
231	191	rehalfcld 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
232	231	resincld 16221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
233	230, 232	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
234		2cnd 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
235	191	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236	235	halfcld 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
237	236	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
238		2ne0 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ≠ 0
239	238	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ≠ 0)
240		fourierdlem44 46923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
241	227, 198, 240	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
242	234, 237, 239, 241	mulne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
243	191, 233, 242	redivcld 12058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
244	229, 243	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
245	40	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
246	227, 244, 245	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
247	246	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
248	220, 247	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
249	200	iffalsed 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
250	249	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
251	185, 248, 250	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈‘𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252	251	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
253	65, 175, 252	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
254	253	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255	254	reseq1d 5979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
256	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
257	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
258		fourierdlem104.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
259		fourierdlem104.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
260	259	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑀 ∈ ℕ)
261		fourierdlem104.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
262	261	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
263		fourierdlem104.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
264	263	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
265		fourierdlem104.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
266	265	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
267		fourierdlem104.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
268	267	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
269	105	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
270	50, 10	ltnled 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0))
271	56, 270	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑑 ≤ 0)
272	271	intn3an2d 1511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
273		elicc2 13454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
274	10, 12, 273	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
275	272, 274	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
276	275	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
277	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
278		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
279		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
280		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2)))))
281		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘𝑙) = (𝑄‘𝑖))
282		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
283	282	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
284	281, 283	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
285	284	sseq2d 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286	285	cbvriotavw 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
287	256, 257, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286	fourierdlem86 46964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
288	287	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
289	255, 288	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
290	287	simplld 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
291	254	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
292	291	reseq1d 5979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
293	292	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
294	290, 293	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295	287	simplrd 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
296	292	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
297	295, 296	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim_ℂ (𝐽‘𝑘)))
298		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
299	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
300	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
301	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → π ∈ ℝ)
302		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
303	302	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
304	62, 210	sstrdi 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
305	304	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
306	149	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
307	306, 168	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ (𝑑[,]π))
308	305, 307	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
309	308	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ)
310	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
311	310	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
312	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ^*)
313		iccgelb 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘𝑘) ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ (𝐽‘𝑘))
314	311, 312, 307, 313	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ≤ (𝐽‘𝑘))
315	314	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ≤ (𝐽‘𝑘))
316	309	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^*)
317	306, 170	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π))
318	305, 317	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
319	318	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
320	319	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
321		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
322		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) < 𝑠)
323	316, 320, 321, 322	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘𝑘) < 𝑠)
324	300, 309, 303, 315, 323	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 < 𝑠)
325	300, 303, 324	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ≤ 𝑠)
326	318	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
327		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐽‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
328	316, 320, 321, 327	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
329		iccleub 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
330	311, 312, 317, 329	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
331	330	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
332	303, 326, 301, 328, 331	ltletrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < π)
333	303, 301, 332	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ π)
334	300, 301, 303, 325, 333	eliccd 46278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
335	334	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
336		dfss3 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
337	335, 336	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
338	299, 337	feqresmpt 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂‘𝑠)))
339		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
340		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
341	64	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠)
342	341	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂‘𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠))
343		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
344	343	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
345	247, 249	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
346	220, 345	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
347	215	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℂ)
348	235	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
349		2cnd 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
350	348	halfcld 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351	350	sincld 16208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
352	349, 351	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
353	242	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
354	347, 348, 352, 199, 353	dmdcan2d 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
355	185, 346, 354	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
356	342, 344, 355	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
357	339, 340, 334, 356	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
358	339, 340, 334, 354	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359	358	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
360		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)))
361		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
362	361	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
363	362	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
364		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠)
365	363, 364	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
366	365	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
367		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
368		ovex 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V
369	368	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V)
370	360, 366, 367, 369	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
371		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
372		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
373	372	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
374	373	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
375	364, 374	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
376	375	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
377		ovex 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
378	377	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
379	371, 376, 367, 378	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380	370, 379	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
381	380	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
382	381	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
383	357, 359, 382	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂‘𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
384	383	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
385	338, 384	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
386	385	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
387	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
388	337, 305	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
389		tgioo4 25013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
390	21, 389	dvres 26121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ) ∧ ((𝑑[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391	387, 299, 305, 388, 390	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
392		ioontr 46285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
393	392	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
394	393	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
395	386, 391, 394	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
396	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
397	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
398	259	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
399	261	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
400		fourierdlem104.fdvcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
401	400	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
402	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
403	337, 402	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
404	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ^*)
405		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
406	56	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < 𝑑)
407	405, 310, 308, 406, 314	ltletrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < (𝐽‘𝑘))
408	308, 319, 404, 407	ltnelicc 46271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
409	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
410	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
411	269	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < π)
412		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
413		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
414	397, 258, 398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413	fourierdlem50 46928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
415	414	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
416	414	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
417	365	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
418	375	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
420	396, 397, 258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419	fourierdlem72 46950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
421	395, 420	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
422		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
423		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
424		fourierdlem104.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐶 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
425	424, 415	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
426		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
427	426, 425	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
428		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
429	428	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
430		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐶))
431		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
432	431	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
433	430, 432	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
434		raleq 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
435	433, 434	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
436	435	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
437	429, 436	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)))
438		fourierdlem104.fbdioo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
439	437, 438	vtoclg 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
440	425, 427, 439	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
441		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
442		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤
443	441, 442	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
444		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
445	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
446	445, 15	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
447	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
448	447, 15	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
449	446, 448	iccssred 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
450		ressxr 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
451	449, 450	sstrdi 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ^*)
452	451	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ^*)
453	258, 398, 399	fourierdlem15 46894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
454		elfzofz 13721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
455	425, 454	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
456	453, 455	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
457	452, 456	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ^*)
458	457	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ^*)
459		fzofzp1 13810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
460	425, 459	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
461	453, 460	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462	452, 461	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ^*)
463	462	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ^*)
464		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
465	464	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
466	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
467	466, 410, 397, 258, 398, 399, 455, 80	fourierdlem13 46892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘𝐶) = ((𝑉‘𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶))))
468	467	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶)))
469	468	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) = (𝑋 + (𝑄‘𝐶)))
470	449	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
471	470, 456	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ)
472	471	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) ∈ ℝ)
473	469, 472	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ∈ ℝ)
474	397, 308	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ)
475	474	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ)
476	467	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) = ((𝑉‘𝐶) − 𝑋))
477	471, 397	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
478	476, 477	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) ∈ ℝ)
479	466, 410, 397, 258, 398, 399, 460, 80	fourierdlem13 46892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
480	479	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
481	470, 461	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
482	481, 397	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
483	480, 482	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
484	424	eqcomi 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
485	484	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄‘𝐶)
486	484	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
487	486	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
488	485, 487	oveq12i 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄‘𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
489	416, 488	sseqtrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
490	478, 483, 308, 318, 173, 489	fourierdlem10 46889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘𝐶) ≤ (𝐽‘𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
491	490	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘𝐶) ≤ (𝐽‘𝑘))
492	478, 308, 397, 491	leadd2dd 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽‘𝑘)))
493	492	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽‘𝑘)))
494	475	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^*)
495	397, 318	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
496	495	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^*)
497	496	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^*)
498		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
499		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) < 𝑡)
500	494, 497, 498, 499	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘𝑘)) < 𝑡)
501	473, 475, 465, 493, 500	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘𝐶)) < 𝑡)
502	469, 501	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘𝐶) < 𝑡)
503	495	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
504	479	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
505	504, 481	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
506	505	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
507		iooltub 46284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ^* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
508	494, 497, 498, 507	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
509	490	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
510	318, 483, 397, 509	leadd2dd 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
511	510	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
512	465, 503, 506, 508, 511	ltletrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
513	504	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
514	513	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
515	512, 514	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
516	458, 463, 465, 502, 515	eliood 46272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
517	516	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
518		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
519	444, 517, 518	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
520	519	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
521	443, 520	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
522	521	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
523	522	reximdv 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
524	440, 523	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
525	433	raleqdv 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
526	525	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
527	429, 526	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
528		fourierdlem104.fdvbd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
529	527, 528	vtoclg 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
530	425, 427, 529	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
531		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
532	441, 531	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
533	14, 44	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
534		ssid 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
535	534	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
536		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
537	536	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
538	21, 389	dvres 26121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
539	44, 533, 535, 537, 538	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
540		ioontr 46285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
541	540	reseq2i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
542	539, 541	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
543	542	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
544		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
545	543, 544	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
546	545	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
547	546	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
548	547	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
549		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
550	516	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
551		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
552	549, 550, 551	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
553	548, 552	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
554	553	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
555	532, 554	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556	555	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
557	556	reximdv 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
558	530, 557	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559	311, 312, 306, 412	fourierdlem8 46887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
560	124	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
561	149, 304	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
562	561	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
563		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ (𝑑[,]π))
564	150	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 = (𝐽‘0))
565	151	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → π = (𝐽‘𝑁))
566	564, 565	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
567	566	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
568	563, 567	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
569	568	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽‘𝑁)))
570		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
571		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐽‘𝑗) = (𝐽‘𝑘))
572	571	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽‘𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽‘𝑘) < 𝑟))
573	572	cbvrabv 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑘) < 𝑟}
574	573	supeq1i 9414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽‘𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
575	560, 562, 569, 570, 574	fourierdlem25 46904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽‘𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
576	533	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
577	534	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
578	536	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
579	387, 576, 577, 578, 538	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
580	516	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
581		dfss3 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
582	580, 581	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
583		resabs2 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584	582, 583	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
585	541, 579, 584	3eqtr4a 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
586	582	resabs1d 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
587	586	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
588	585, 584, 587	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
589	433	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
590	589, 433	feq12d 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
591	429, 590	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
592		cncff 25103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
593	400, 592	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
594	591, 593	vtoclg 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
595	594	anabsi7 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
596	427, 595	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
597	596, 582	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
598	588, 597	feq1dd 6692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
599	363, 374	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
600	599	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
601		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑡))
602	601	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹‘𝑟)) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
603	602	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
604	603	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤)
605	604	anbi2i 635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤))
606		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
607	606	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
608	607	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
609	608	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
610	605, 609	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽‘𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
611	256, 257, 11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610	fourierdlem80 46958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
612	354	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
613	253, 612	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
614	613	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615	614	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
616		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
617		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠ℝ
618		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠 D
619		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620	617, 618, 619	nfov 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621	620	nfdm 5943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
622	616, 621	raleqf 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
623	615, 622	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
624	614	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
625	624	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
626	625	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
627	626	ralbidv 3190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
628	623, 627	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
629	628	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630	611, 629	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
631		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ⁺ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
632		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽‘𝑘)))
633		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑄‘ℎ) = (𝑄‘𝑙))
634		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (ℎ + 1) = (𝑙 + 1))
635	634	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (𝑄‘(ℎ + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
636	633, 635	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))) = ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
637	636	sseq2d 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))) ↔ ((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
638	637	cbvriotavw 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
639	638	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
640	639	eqeq2i 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) ↔ (𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
641	640	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))) ↔ (𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
642		csbeq1 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅)
643	638, 642	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅)
644	641, 643	ifbieq1d 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) = if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))))
645	644	mptru 1577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) = if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘))))
646	645	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) = (if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌)
647	646	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) = ((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘))
648	647	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2)))))
649	648	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))))
650		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
651	638	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1) = ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
652	651	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
653	652	eqeq2i 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
654	653	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
655		csbeq1 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿)
656	638, 655	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿 = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿)
657	654, 656	ifbieq1d 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
658	657	mptru 1577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
659	658	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌)
660	659	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
661	660	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
662	661	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
663		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑂‘𝑡) = (𝑂‘𝑠))
664	650, 662, 663	ifbieq12d 4518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠)))
665	632, 649, 664	ifbieq12d 4518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠))))
666	665	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1))))), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) + 1)), ⦋(℩ℎ ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘ℎ)(,)(𝑄‘(ℎ + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽‘𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽‘𝑘), (((if((𝐽‘𝑘) = (𝑄‘(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽‘𝑘)) · ((𝐽‘𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽‘𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽‘𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖⦌𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂‘𝑠))))
667	11, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666	fourierdlem73 46951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
668		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
669	668	rexralbidv 3233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
670	669	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
671	667, 670	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
672	671	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
673		rphalfcl 13061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
674	673	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺)
675		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
676	675	rexralbidv 3233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
677	676	rspccva 3582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
678	672, 674, 677	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
679	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π))
680	679	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
681	680, 343	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈‘𝑠))
682	341, 681	eqtr2id 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → (𝑈‘𝑠) = (𝑂‘𝑠))
683	682	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
684	683	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
685	684	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
686	685	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
687		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688	686, 687	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
689	688	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
690	689	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
691	690	ralimdv 3181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
692	691	reximdv 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
693	678, 692	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
694	693	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
695		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π))
696		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
697	695, 696	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ ℕ
699	697, 698	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
700		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
701	699, 700	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
702		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)))
703		eluznn 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
704	703	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
705	702, 704	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
706	705	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
707		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708	703	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
709		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
710	707, 708, 709	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
711	706, 710	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
712	711	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
713		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
714	713	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ^*)
715	714	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ^*)
716	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → +∞ ∈ ℝ^*)
717		eluzelre 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
718		halfre 12472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
719	718	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
720	717, 719	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
721	720	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
722	713	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
723	717	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
724		eluzle 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
725	724	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
726		halfgt0 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < (1 / 2)
727	726	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 0 < (1 / 2))
728	718	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
729	728, 723	ltaddposd 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
730	727, 729	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
731	722, 723, 721, 725, 730	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
732	721	ltpnfd 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
733	715, 716, 721, 731, 732	eliood 46272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
734	733	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
735		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
736		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
737	736	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
738	737	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
739	738	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
740	739	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
741	740	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
742	741	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
743	742	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
744	734, 735, 743	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
745	744	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
746		fourierdlem104.ch	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
747	712, 745, 746	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝜒)
748		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
749	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → π ∈ ℝ)
750		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
751	746	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
752		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
753	751, 752	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ (0(,)π))
754	750, 753	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ (0[,]π))
755		simp-5l 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
756	751, 755	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
757	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
758	47	rexri 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ∈ ℝ^*
759		0re 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ ℝ
760	47, 759, 51	ltleii 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ≤ 0
761		iooss1 13423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
762	758, 760, 761	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
763		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
764	762, 763	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
765	764	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
766	765	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
767	757, 766	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
768	756, 767	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
769		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
770	751, 769	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ)
771	770	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ)
772	718	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
773	771, 772	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
774	773	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
775		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
776	775	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
777	774, 776	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
778	777	resincld 16221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
779	768, 778	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
780	779	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
781	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ^*)
782	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → π ∈ ℝ^*)
783	748	leidd 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 0)
784		ioossre 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
785	784, 753	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ)
786	781, 782, 753, 104	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑑 < π)
787	785, 749, 786	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑑 ≤ π)
788		ioossioo 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
789	781, 782, 783, 787, 788	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
790		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0(,)𝑑) ∈ dom vol
791	790	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (0(,)𝑑) ∈ dom vol)
792		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
793	792	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
794		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 𝑘)
795	794	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
796	795	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
797	796	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
798	797	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
799	798	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
800	799	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹ ↔ (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹))
801	793, 800	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)))
802	764	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
803		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
804	803	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
805	42	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
806	805	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
807		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
808		readdcl 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
809	807, 718, 808	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
810	809	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
811		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
812	210, 811	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813	810, 812	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
814	813	resincld 16221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
815	814	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
816	806, 815	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
817		fourierdlem104.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
818		fourierdlem104.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
819	818	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
820	811, 814, 819	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
821	820	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
822	821	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
823	822	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
824	817, 823	eqtr2id 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
825	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
826		fourierdlem104.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
827	826	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
828	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
829	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
830	807	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
831	259	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
832	261	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
833	263	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
834	265	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘𝑖)))
835	267	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑉‘(𝑖 + 1))))
836		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
837		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
838	593	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
839		fourierdlem104.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
840	839	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim_ℂ 𝑋))
841		fourierdlem104.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
842	841	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋))
843	258, 825, 827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842	fourierdlem88 46966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿¹)
844	824, 843	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
845	802, 804, 816, 844	iblss 26015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
846	801, 845	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
847	756, 770, 846	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
848	789, 791, 779, 847	iblss 26015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)𝑑) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
849	781, 782, 753, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 0 < 𝑑)
850	748, 785, 849	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 𝑑)
851	749	leidd 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → π ≤ π)
852		ioossioo 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^*) ∧ (0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
853	781, 782, 850, 851, 852	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
854		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑(,)π) ∈ dom vol
855	854	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑑(,)π) ∈ dom vol)
856	853, 855, 779, 847	iblss 26015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿¹)
857	748, 749, 754, 780, 848, 856	itgsplitioo 26048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
858	857	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
859	789	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
860	859, 779	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
861	860, 848	itgcl 25994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
862	853	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
863	862, 779	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
864	863, 856	itgcl 25994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
865	861, 864	addcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
866	865	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
867	861	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
868	864	abscld 15514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
869	867, 868	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
870		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
871	751, 870	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
872	871	rpred 13076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ)
873	861, 864	abstrid 15534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
874	751	simplrd 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
875	751	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
876	867, 868, 872, 874, 875	lt2halvesd 12507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
877	866, 869, 872, 873, 876	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
878	858, 877	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
879	747, 878	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
880	879	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
881	701, 880	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
882	881	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
883	882	reximdva 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
884	694, 883	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
885		pipos 26674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
886	47, 759, 12	lttri 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
887	51, 885, 886	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π < π
888	47, 12, 887	ltleii 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ≤ π
889	888	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π ≤ π)
890	258	fourierdlem2 46881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
891	259, 890	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
892	261, 891	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
893	892	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)))
894		elmapi 8852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
895	893, 894	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
896	895	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
897	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
898	896, 897	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
899	898, 80	fmptd 7113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
900	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
901		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘0))
902	901	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
903	902	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
904	259	nnnn0d 12580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
905		nn0uz 12916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
906	904, 905	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
907		eluzfz1 13575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
908	906, 907	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
909	895, 908	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
910	909, 15	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
911	900, 903, 908, 910	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
912	892	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
913	912	simplld 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
914	913	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
915	445	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℂ)
916	15	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
917	915, 916	pncand 11585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
918	911, 914, 917	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
919	445, 447, 15, 258, 836, 259, 261, 80	fourierdlem14 46893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀))
920	836	fourierdlem2 46881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
921	259, 920	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝‘𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
922	919, 921	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
923	922	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄‘𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
924	923	simplrd 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = π)
925	923	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
926	925	r19.21bi 3259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
927	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
928	836, 259, 919	fourierdlem15 46894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
929	928	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
930		elfzofz 13721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
931	930	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
932	929, 931	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ (-π[,]π))
933		fzofzp1 13810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
934	933	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
935	929, 934	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
936	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
937		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑉 Fn (0...𝑀))
938	893, 894, 937	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0...𝑀))
939		fvelrnb 6945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋))
940	938, 939	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋))
941	826, 940	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋)
942		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑉‘𝑖) = 𝑋 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = (𝑋 − 𝑋))
943	942	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) = 𝑋) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = (𝑋 − 𝑋))
944	916	subidd 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = 0)
945	944	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) = 𝑋) → (𝑋 − 𝑋) = 0)
946	943, 945	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) = 𝑋) → 0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
947	946	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) = 𝑋 → 0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
948	947	reximdva 3180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉‘𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
949	941, 948	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
950	80	elrnmpt 5950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
951	759, 950	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
952	949, 951	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
953	836, 259, 919, 952	fourierdlem12 46891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
954	895	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
955	954, 931	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
956	955, 936	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
957	80	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
958	931, 956, 957	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
959	958	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + 𝑋) = (((𝑉‘𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
960	955	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℂ)
961	916	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
962	960, 961	npcand 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘𝑖))
963	959, 962	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + 𝑋) = (𝑉‘𝑖))
964		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘𝑖))
965	964	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
966	965	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
967	80, 966	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋))
968	967	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑗) − 𝑋)))
969		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉‘𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
970	969	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
971	970	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉‘𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
972	954, 934	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
973	972, 936	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
974	968, 971, 934, 973	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
975	974	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
976	972	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
977	976, 961	npcand 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
978	975, 977	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
979	963, 978	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
980	979	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
981	979	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
982	263, 980, 981	3eltr4d 2880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄‘𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
983	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
984	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
985	927, 932, 935, 936, 953, 982, 983, 984, 39	fourierdlem40 46919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
986		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
987	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
988	986, 987	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
989	400, 592, 988	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉‘𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
990		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) = if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖)))
991	15, 258, 14, 826, 26, 38, 39, 259, 261, 265, 80, 836, 837, 989, 841, 990	fourierdlem75 46953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉‘𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘𝑖)))
992		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
993	15, 258, 14, 826, 27, 37, 39, 259, 261, 267, 80, 836, 837, 593, 839, 992	fourierdlem74 46952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim_ℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
994		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
995		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
996	995	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
997	994, 996	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
998	997	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
999	445, 447, 889, 177, 259, 899, 918, 924, 926, 985, 991, 993, 998	fourierdlem70 46948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
1000		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1001		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐺‘𝑡) = (𝐺‘𝑠))
1002	1001	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(𝐺‘𝑡)) = (abs‘(𝐺‘𝑠)))
1003	1002	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦))
1004	1003	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦)
1005	1004	ralbii 3113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦)
1006	1005	3anbi3i 1177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦))
1007	1006	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol))
1008	1007	anbi1i 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
1009	1008	anbi1i 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
1010	14, 15, 27, 38, 39, 40, 41, 818, 817, 999, 843, 1000, 1009	fourierdlem87 46965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1011		iftrue 4495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
1012	1011	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
1013	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ∈ ℝ^*)
1014	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ^*)
1015		rpre 13041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 𝑐 ∈ ℝ)
1016	1015	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1017		rpgt0 13045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑐)
1018	1017	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < 𝑐)
1019	12	rehalfcli 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
1020	1019	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
1021	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ)
1022		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ (π / 2))
1023		halfpos 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ (π / 2) < π))
1024	12, 1023	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 < π ↔ (π / 2) < π)
1025	885, 1024	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) < π
1026	1025	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) < π)
1027	1016, 1020, 1021, 1022, 1026	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 < π)
1028	1013, 1014, 1016, 1018, 1027	eliood 46272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ (0(,)π))
1029	1012, 1028	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1030		iffalse 4498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
1031		2pos 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
1032	12, 100, 885, 1031	divgt0ii 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < (π / 2)
1033		elioo2 13429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^*) → ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π)))
1034	53, 54, 1033	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π))
1035	1019, 1032, 1025, 1034	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,)π)
1036	1035	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → (π / 2) ∈ (0(,)π))
1037	1030, 1036	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1038	1037	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1039	1029, 1038	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1040	1039	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1041		ioombl 25775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol
1042	1041	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol)
1043		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1044	1042, 1043	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1045		ioossicc 13476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1046	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -π ∈ ℝ)
1047	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → π ∈ ℝ)
1048	760	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → -π ≤ 0)
1049	784, 1039	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
1050	1019	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (π / 2) ∈ ℝ)
1051		min2 13232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
1052	1015, 1019, 1051	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
1053	1025	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (π / 2) < π)
1054	1049, 1050, 1047, 1052, 1053	lelttrd 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) < π)
1055	1049, 1047, 1054	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)
1056		iccss 13457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)) → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
1057	1046, 1047, 1048, 1055, 1056	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
1058	1045, 1057	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
1059		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
1060	1018, 1012	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1061	1032, 1030	breqtrrid 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑐 ≤ (π / 2) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1062	1061	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1063	1060, 1062	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1064	1059, 1049, 1063	ltled 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1065		volioo 25779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
1066	1059, 1049, 1064, 1065	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
1067	1049	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℂ)
1068	1067	subid1d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1069	1066, 1068	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1070		min1 13231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
1071	1015, 1019, 1070	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
1072	1069, 1071	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)
1073	1058, 1072	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ⁺ → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
1074	1073	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
1075		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ↔ (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π)))
1076		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘𝑢) = (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))))
1077	1076	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑐 ↔ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
1078	1075, 1077	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) ↔ ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)))
1079		itgeq1 25983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1080	1079	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
1081	1080	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1082	1081	ralbidv 3190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1083	1078, 1082	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1084	1083	rspcva 3581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1085	1044, 1074, 1084	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1086	1085	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1087		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (0(,)𝑑) = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
1088	1087	itgeq1d 46729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1089	1088	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
1090	1089	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1091	1090	ralbidv 3190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1092	1091	rspcev 3583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1093	1040, 1086, 1092	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1094	1093	rexlimdv3a 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1095	1010, 1094	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1096	884, 1095	r19.29a 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1097	1096	ralrimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1098		nnex 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
1099	1098	mptex 7228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ V
1100	1099	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ V)
1101		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠))
1102	765	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1103	767	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
1104	765	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1105		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1106		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
1107	1105, 1106	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
1108	1107	nnred 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1109	718	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℝ)
1110	1108, 1109	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1111	1110	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1112	210, 1104	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1113	1111, 1112	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
1114	1113	resincld 16221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
1115	1104, 1114, 819	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1116	1115	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1117	1108	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1118	1117	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1119		1red 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
1120	1119	rehalfcld 12506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
1121	1118, 1120	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1122	210, 1102	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1123	1121, 1122	remulcld 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
1124	1123	resincld 16221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
1125	1116, 1124	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
1126	1103, 1125	remulcld 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
1127	817	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
1128	1102, 1126, 1127	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
1129		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
1130	1129	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
1131	1130	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1132	1131	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1133	1116, 1132	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1134	1133	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
1135	1128, 1134	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
1136	1135	itgeq2dv 25992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1137		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1138	798	itgeq2dv 25992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1139	1138	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ))
1140	793, 1139	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)))
1141	767	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
1142		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1143	1142, 765, 814	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
1144	1141, 1143	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
1145	1144, 845	itgcl 25994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
1146	1140, 1145	chvarvv 2022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
1147	1101, 1136, 1137, 1146	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑘) = ∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1148	9, 2, 1100, 1147, 1146	clim0c 15582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
1149	1097, 1148	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠) ⇝ 0)
1150	1098	mptex 7228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π)) ∈ V
1151	6, 1150	eqeltri 2861	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
1152	1151	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
1153	1098	mptex 7228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V
1154	1153	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V)
1155	12	recni 11238	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
1156	1155	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
1157		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π))
1158		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚) → π = π)
1159		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ)
1160	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
1161	1157, 1158, 1159, 1160	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
1162	1161	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
1163	9, 2, 1154, 1156, 1162	climconst 15618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ⇝ π)
1164	759, 885	gtneii 11337	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
1165	1164	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
1166	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
1167	27	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
1168	38	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
1169	825, 1166, 1167, 1168, 39, 40, 41, 830, 818, 817	fourierdlem67 46945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1170	1169	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1171	802	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1172	1170, 1171	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
1173	1169	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
1174	1169	feqmptd 6953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)))
1175	1174, 843	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿¹)
1176	802, 804, 1173, 1175	iblss 26015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿¹)
1177	1172, 1176	itgcl 25994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
1178		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
1179	1178	fvmpt2 7005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
1180	1142, 1177, 1179	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)
1181	1180, 1177	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
1182		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
1183	1182	fvmpt2 7005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
1184	12, 1183	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
1185	1155	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
1186	1164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
1187		eldifsn 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
1188	1185, 1186, 1187	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
1189	1184, 1188	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1190	1189	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
1191	1155	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
1192	1164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
1193	1177, 1191, 1192	divcld 12006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ)
1194	6	fvmpt2 7005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
1195	1142, 1193, 1194	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π))
1196	1180	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛))
1197	1184	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
1198	1197	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
1199	1196, 1198	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠 / π) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
1200	1195, 1199	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺‘𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
1201	3, 4, 5, 8, 9, 2, 1149, 1152, 1163, 1165, 1181, 1190, 1200	climdivf 46386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⇝ (0 / π))
1202	1155, 1164	div0i 11964	. . . . 5 ⊢ (0 / π) = 0
1203	1202	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 / π) = 0)
1204	1201, 1203	breqtrd 5139	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⇝ 0)
1205		fourierdlem104.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
1206	1098	mptex 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ∈ V
1207	1205, 1206	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
1208	1207	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
1209	1098	mptex 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V
1210	1209	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V)
1211		limccl 26085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim_ℂ 𝑋) ⊆ ℂ
1212	1211, 26	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
1213	1212	halfcld 12504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
1214		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)))
1215		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑌 / 2) = (𝑌 / 2))
1216	9	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘1) = ℕ
1217	1216	eleq2i 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 𝑛 ∈ ℕ)
1218	1217	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
1219	1218	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1220	1213	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
1221	1214, 1215, 1219, 1220	fvmptd 7001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) = (𝑌 / 2))
1222	1, 2, 1210, 1213, 1221	climconst 15618	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ⇝ (𝑌 / 2))
1223	1193, 6	fmptd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
1224	1223	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
1225	1224, 1219	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐸‘𝑛) ∈ ℂ)
1226	1221, 1220	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) ∈ ℂ)
1227	1221	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝐸‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)) = ((𝐸‘𝑛) + (𝑌 / 2)))
1228	803	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
1229		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
1230	1229	rexrd 11274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ^*)
1231	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ^*)
1232		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
1233		ioogtlb 46269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
1234	1230, 1231, 1232, 1233	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑠)
1235	1234	gt0ne0d 11793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ≠ 0)
1236	1235	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 = 0)
1237		velsn 4607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
1238	1236, 1237	sylnibr 332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
1239	765, 1238	eldifd 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1240	1239	ssriv 3942	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
1241	1240	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1242		fourierdlem104.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1243	1234	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
1244	1243	iftrued 4497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
1245		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷‘𝑛) = (𝐷‘𝑛)
1246		0red 11226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
1247	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
1248	759, 12, 885	ltleii 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ π
1249	1248	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
1250		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
1251	1242, 1142, 1245, 1246, 1247, 1249, 1250	dirkeritg 46874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷‘𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)))
1252		ubicc2 13508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
1253	53, 54, 1248, 1252	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ (0[,]π)
1254		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = π → (𝑠 / 2) = (π / 2))
1255		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = π → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · π))
1256	1255	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = π → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘(𝑘 · π)))
1257	1256	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = π → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘))
1258		elfzelz 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
1259	1258	zcnd 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℂ)
1260	1155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ∈ ℂ)
1261	1164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ≠ 0)
1262	1259, 1260, 1261	divcan4d 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) = 𝑘)
1263	1262, 1258	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ)
1264	1259, 1260	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · π) ∈ ℂ)
1265		sineq0 26740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 · π) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
1266	1264, 1265	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
1267	1263, 1266	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (sin‘(𝑘 · π)) = 0)
1268	1267	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1269		0red 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 ∈ ℝ)
1270		1red 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
1271	1258	zred 12716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℝ)
1272	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 1)
1273		elfzle1 13571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑘)
1274	1269, 1270, 1271, 1272, 1273	ltletrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 𝑘)
1275	1274	gt0ne0d 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ≠ 0)
1276	1259, 1275	div0d 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (0 / 𝑘) = 0)
1277	1268, 1276	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = 0)
1278	1257, 1277	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
1279	1278	sumeq2dv 15777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1280		fzfi 14026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
1281	1280	olci 880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ (ℤ_≥‘ ∥ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1282		sumz 15796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑛) ⊆ (ℤ_≥‘ ∥ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
1283	1281, 1282	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0
1284	1279, 1283	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
1285	1254, 1284	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = π → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = ((π / 2) + 0))
1286	1285	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = π → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (((π / 2) + 0) / π))
1287		ovex 7452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π / 2) + 0) / π) ∈ V
1288	1286, 1250, 1287	fvmpt 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π))
1289	1253, 1288	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π)
1290		lbicc2 13507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
1291	53, 54, 1248, 1290	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]π)
1292		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1293		2cn 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
1294	1293, 238	div0i 11964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 / 2) = 0
1295	1292, 1294	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
1296		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · 0))
1297	1259	mul01d 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · 0) = 0)
1298	1296, 1297	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘 · 𝑠) = 0)
1299	1298	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘0))
1300		sin0 16227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (sin‘0) = 0
1301	1299, 1300	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = 0)
1302	1301	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1303	1276	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (0 / 𝑘) = 0)
1304	1302, 1303	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
1305	1304	sumeq2dv 15777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1306	1305, 1283	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
1307	1295, 1306	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = (0 + 0))
1308		00id 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 0) = 0
1309	1307, 1308	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = 0)
1310	1309	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (0 / π))
1311	1310, 1202	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = 0)
1312		c0ex 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
1313	1311, 1250, 1312	fvmpt 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0)
1314	1291, 1313	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0
1315	1289, 1314	oveq12i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0)
1316	1315	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0))
1317	1019	recni 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
1318	1317	addridi 11412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) + 0) = (π / 2)
1319	1318	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π / 2) + 0) / π) = ((π / 2) / π)
1320	1155, 1293, 1155, 238, 1164	divdiv32i 11985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2)
1321	1155, 1164	dividi 11963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / π) = 1
1322	1321	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / π) / 2) = (1 / 2)
1323	1319, 1320, 1322	3eqtri 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) + 0) / π) = (1 / 2)
1324	1323	oveq1i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = ((1 / 2) − 0)
1325		halfcn 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
1326	1325	subid1i 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − 0) = (1 / 2)
1327	1324, 1326	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2)
1328	1327	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2))
1329	1251, 1316, 1328	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷‘𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
1330	14, 15, 258, 259, 261, 826, 263, 265, 267, 39, 40, 41, 818, 817, 837, 593, 839, 841, 26, 37, 1228, 1241, 6, 1242, 27, 1244, 1329	fourierdlem95 46973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1331	1219, 1330	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝐸‘𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1332	1205	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
1333		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐷‘𝑚) = (𝐷‘𝑛))
1334	1333	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷‘𝑚)‘𝑠) = ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))
1335	1334	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
1336	1335	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
1337	1336	itgeq2dv 25992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1338	1337	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1339	14	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1340	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1341	775	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1342	1340, 1341	readdcld 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1343	1339, 1342	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1344	1343	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1345	1242	dirkerf 46869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
1346	1345	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐷‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
1347	775	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1348	1346, 1347	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
1349	1344, 1348	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
1350	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1351	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1352	210	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
1353	1352	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1354	1351, 1353	readdcld 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1355	1350, 1354	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1356	1355	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
1357	1345	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
1358	1352	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1359	1357, 1358	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
1360	1356, 1359	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
1361	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
1362	1242	dirkercncf 46879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1363	1362	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1364		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)))
1365	1361, 1247, 825, 1166, 258, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 1363, 1364	fourierdlem84 46962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿¹)
1366	802, 804, 1360, 1365	iblss 26015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿¹)
1367	1349, 1366	itgrecl 26008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
1368	1332, 1338, 1142, 1367	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍‘𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
1369	1368	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍‘𝑛))
1370	1219, 1369	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷‘𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍‘𝑛))
1371	1227, 1331, 1370	3eqtrrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑍‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)))
1372	1, 2, 1204, 1208, 1222, 1225, 1226, 1371	climadd 15707	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (0 + (𝑌 / 2)))
1373	1213	addlidd 11426	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
1374	1372, 1373	breqtrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ⊤wtru 1571 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∀wral 3081 ∃wrex 3091 {crab 3418 Vcvv 3457 ⦋csb 3854 ∖ cdif 3903 ∪ cun 3904 ∩ cin 3905 ⊆ wss 3906 ∅c0 4286 ifcif 4489 {csn 4591 {cpr 4593 class class class wbr 5111 ↦ cmpt 5194 dom cdm 5663 ran crn 5664 ↾ cres 5665 ℩cio 6494 Fn wfn 6535 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 Isom wiso 6541 ℩crio 7375 (class class class)co 7419 ↑_m cmap 8830 Fincfn 8949 supcsup 9407 ℂcc 11113 ℝcr 11114 0cc0 11115 1c1 11116 + caddc 11118 · cmul 11120 +∞cpnf 11255 -∞cmnf 11256 ℝ^*cxr 11257 < clt 11258 ≤ cle 11259 − cmin 11456 -cneg 11457 / cdiv 11886 ℕcn 12248 2c2 12310 3c3 12311 ℕ₀cn0 12519 ℤcz 12606 ℤ_≥cuz 12878 ℝ⁺crp 13032 (,)cioo 13388 [,]cicc 13391 ...cfz 13551 ..^cfzo 13699 mod cmo 13920 ♯chash 14384 abscabs 15309 ⇝ cli 15559 Σcsu 15761 sincsin 16139 πcpi 16142 TopOpenctopn 17496 topGenctg 17512 ℂ_fldccnfld 21572 intcnt 23224 –cn→ccncf 25086 volcvol 25673 𝐿¹cibl 25827 ∫citg 25828 lim_ℂ climc 26072 D cdv 26073

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-inf2 9617 ax-cc 10434 ax-cnex 11171 ax-resscn 11172 ax-1cn 11173 ax-icn 11174 ax-addcl 11175 ax-addrcl 11176 ax-mulcl 11177 ax-mulrcl 11178 ax-mulcom 11179 ax-addass 11180 ax-mulass 11181 ax-distr 11182 ax-i2m1 11183 ax-1ne0 11184 ax-1rid 11185 ax-rnegex 11186 ax-rrecex 11187 ax-cnre 11188 ax-pre-lttri 11189 ax-pre-lttrn 11190 ax-pre-ltadd 11191 ax-pre-mulgt0 11192 ax-pre-sup 11193 ax-addf 11194

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-symdif 4206 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-disj 5079 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-of 7684 df-ofr 7685 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-supp 8163 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-2o 8460 df-oadd 8463 df-omul 8464 df-er 8700 df-map 8832 df-pm 8833 df-ixp 8902 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-fsupp 9329 df-fi 9378 df-sup 9409 df-inf 9410 df-oi 9479 df-dju 9903 df-card 9941 df-acn 9944 df-pnf 11260 df-mnf 11261 df-xr 11262 df-ltxr 11263 df-le 11264 df-sub 11458 df-neg 11459 df-div 11887 df-nn 12249 df-2 12318 df-3 12319 df-4 12320 df-5 12321 df-6 12322 df-7 12323 df-8 12324 df-9 12325 df-n0 12520 df-xnn0 12593 df-z 12607 df-dec 12728 df-uz 12879 df-q 12989 df-rp 13033 df-xneg 13153 df-xadd 13154 df-xmul 13155 df-ioo 13392 df-ioc 13393 df-ico 13394 df-icc 13395 df-fz 13552 df-fzo 13700 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14056 df-exp 14116 df-fac 14328 df-bc 14357 df-hash 14385 df-shft 15128 df-cj 15174 df-re 15175 df-im 15176 df-sqrt 15310 df-abs 15311 df-limsup 15546 df-clim 15563 df-rlim 15564 df-sum 15762 df-ef 16143 df-sin 16145 df-cos 16146 df-pi 16148 df-struct 17229 df-sets 17246 df-slot 17264 df-ndx 17276 df-base 17292 df-ress 17313 df-plusg 17345 df-mulr 17346 df-starv 17347 df-sca 17348 df-vsca 17349 df-ip 17350 df-tset 17351 df-ple 17352 df-ds 17354 df-unif 17355 df-hom 17356 df-cco 17357 df-rest 17497 df-topn 17498 df-0g 17516 df-gsum 17517 df-topgen 17518 df-pt 17519 df-prds 17522 df-xrs 17578 df-qtop 17583 df-imas 17584 df-xps 17586 df-mre 17660 df-mrc 17661 df-acs 17663 df-mgm 18720 df-sgrp 18809 df-mnd 18825 df-submnd 18879 df-mulg 19178 df-cntz 19431 df-cmn 19896 df-psmet 21564 df-xmet 21565 df-met 21566 df-bl 21567 df-mopn 21568 df-fbas 21569 df-fg 21570 df-cnfld 21573 df-top 23101 df-topon 23118 df-topsp 23140 df-bases 23153 df-cld 23226 df-ntr 23227 df-cls 23228 df-nei 23305 df-lp 23343 df-perf 23344 df-cn 23434 df-cnp 23435 df-t1 23521 df-haus 23522 df-cmp 23594 df-tx 23770 df-hmeo 23963 df-fil 24054 df-fm 24146 df-flim 24147 df-flf 24148 df-xms 24528 df-ms 24529 df-tms 24530 df-cncf 25088 df-ovol 25674 df-vol 25675 df-mbf 25829 df-itg1 25830 df-itg2 25831 df-ibl 25832 df-itg 25833 df-0p 25880 df-limc 26076 df-dv 26077

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