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Theorem fourierdlem104 46165
Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem104.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem104.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem104.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem104.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem104.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem104.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem104.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem104.fbdioo ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem104.fdvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem104.fdvbd ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem104.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem104.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem104.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem104.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem104.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem104.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem104.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem104.z 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem104.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem104.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.a (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.b (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem104.o 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
fourierdlem104.t 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
fourierdlem104.n 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem104.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem104.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem104.1 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem104.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem104 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝐹,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝐹,𝑘   𝑤,𝐹,𝑧,𝑘,𝑠   𝑒,𝐺,𝑘,𝑠   𝑖,𝐺,𝑡   𝑖,𝐻,𝑠   𝑘,𝐽,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,𝑘   𝑖,𝐽,𝑡   𝑚,𝐽   𝑤,𝐽,𝑧   𝐾,𝑠   𝐿,𝑙,𝑠,𝑡   𝑘,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑖,𝑁,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑒,𝑁,𝑙   𝑓,𝑁   𝑚,𝑁   𝑤,𝑁,𝑧   𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,𝑘   𝑡,𝑂   𝑄,𝑙,𝑠   𝑄,𝑓   𝑄,𝑖,𝑡   𝑄,𝑝   𝑅,𝑙,𝑠,𝑡   𝑆,𝑠   𝑇,𝑓   𝑈,𝑑,𝑘,𝑠,𝑙   𝑈,𝑛,𝑘,𝑠   𝑖,𝑉,𝑘,𝑠   𝑉,𝑝   𝑡,𝑉   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑋,𝑝   𝑤,𝑋,𝑧   𝑖,𝑌,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑌,𝑛,𝑖   𝑤,𝑌,𝑧   𝑛,𝑍   𝑒,𝑑   𝑖,𝑑,𝜑,𝑡,𝑘,𝑙,𝑠   𝜑,𝑒   𝜒,𝑠   𝑓,𝑑,𝜑   𝑤,𝑑,𝑧,𝜑   𝑒,𝑛,𝜑   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜒(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐵(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐶(𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑤,𝑒,𝑘,𝑚,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑈(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑤,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑚,𝑛,𝑑,𝑙)   𝑊(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem104
Dummy variables 𝑏 𝑟 𝑐 𝑢 𝑗 𝑦 𝑥 𝑣 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
2 1zzd 12645 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nfv 1911 . . . . 5 𝑛𝜑
4 nfmpt1 5255 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
5 nfmpt1 5255 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6 fourierdlem104.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
7 nfmpt1 5255 . . . . . 6 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86, 7nfcxfr 2900 . . . . 5 𝑛𝐸
9 nnuz 12918 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
12 pire 26514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ ℝ)
14 fourierdlem104.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
15 fourierdlem104.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
16 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
1814, 17fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
19 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
21 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2415ltpnfd 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 < +∞)
2521, 23, 15, 24lptioo1cn 45601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
26 fourierdlem104.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2718, 20, 25, 26limcrecl 45584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
28 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3014, 29fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
31 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
33 mnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3515mnfltd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3621, 34, 15, 35lptioo2cn 45600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
37 fourierdlem104.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3830, 32, 36, 37limcrecl 45584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
39 fourierdlem104.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
40 fourierdlem104.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
41 fourierdlem104.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4214, 15, 27, 38, 39, 40, 41fourierdlem55 46116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
43 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4542, 44fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4712renegcli 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ∈ ℝ)
4947a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
50 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
51 negpilt0 45230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -π < 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
53 0xr 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
5412rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ ℝ*
55 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑑)
5653, 54, 55mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑑)
5749, 50, 10, 52, 56lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑑)
5849, 10, 57ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ≤ 𝑑)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ≤ 𝑑)
6013leidd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ≤ π)
61 iccss 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6248, 13, 59, 60, 61syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6346, 62fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ)
64 fourierdlem104.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)))
6665feq1d 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ))
6763, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
68 fourierdlem104.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
6912elexi 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ V
7069prid2 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 π ∈ {𝑑, π}
71 elun1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π ∈ {𝑑, π} → π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
73 fourierdlem104.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
7472, 73eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ 𝑇
7574ne0ii 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑇 ≠ ∅
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
77 prfi 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑑, π} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑑, π} ∈ Fin)
79 fzfi 14009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem104.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8180rnmptfi 45113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ran 𝑄 ∈ Fin
83 infi 9299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
8482, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
85 unfi 9209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑑, π} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8678, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8773, 86eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
88 hashnncl 14401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
9076, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9368, 92eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
95 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 ∈ ℝ)
96 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
9794nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
98 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 1)
100 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℝ)
10290nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
10553, 54, 104mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 < π)
10610, 105ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≠ π)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≠ π)
108 hashprg 14430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
10911, 12, 108sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
110107, 109mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) = 2)
111110eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 = (♯‘{𝑑, π}))
11287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ∈ Fin)
113 ssun1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑑, π} ⊆ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
114113, 73sseqtrri 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑑, π} ⊆ 𝑇
115 hashssle 45248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {𝑑, π} ⊆ 𝑇) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
116112, 114, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
117111, 116eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
118101, 103, 96, 117lesub1dd 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
119 1e2m1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (2 − 1)
120118, 119, 683brtr4g 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ≤ 𝑁)
12195, 96, 97, 99, 120ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑁)
122121gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ≠ 0)
123 elnnne0 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
12494, 122, 123sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
125 fourierdlem104.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12611leidd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑑)
12712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
12810, 127, 105ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≤ π)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≤ π)
13011, 13, 11, 126, 129eliccd 45456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ (𝑑[,]π))
13111, 13, 13, 129, 60eliccd 45456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ (𝑑[,]π))
132130, 131jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)))
133 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
134133, 69prss 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)) ↔ {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
135132, 134sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
136 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π))
138 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π)
139137, 138sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑[,]π))
140135, 139unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ (𝑑[,]π))
14173, 140eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ (𝑑[,]π))
142133prid1 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ {𝑑, π}
143 elun1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑑, π} → 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
145144, 73eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑𝑇
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑇)
14774a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ 𝑇)
148112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147fourierdlem52 46113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π) ∧ (𝐽‘0) = 𝑑) ∧ (𝐽𝑁) = π))
149148simplld 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
150148simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽‘0) = 𝑑)
151148simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽𝑁) = π)
152 elfzoelz 13695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
153152zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
155154ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
15610, 127jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
157133, 69prss 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ↔ {𝑑, π} ⊆ ℝ)
158156, 157sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
159158adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
160 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑(,)π) ⊆ ℝ
161136, 160sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ)
163159, 162unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ ℝ)
16473, 163eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
165112, 164, 125, 68fourierdlem36 46098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
167 elfzofz 13711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
168167adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
169 fzofzp1 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
170169adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
171 isorel 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
172166, 168, 170, 171syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
173155, 172mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
17442adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
175174, 62feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)))
17662sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
17714, 15, 27, 38, 39fourierdlem9 46071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
178177ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
179178, 176ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
18040fourierdlem43 46105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 176ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
183179, 182remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
18441fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
185176, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
186 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
18710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
18812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ)
189 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
190 eliccre 45457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
191187, 188, 189, 190syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
19256adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑑)
193187rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
19454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ*)
195 iccgelb 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
196193, 194, 189, 195syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
197186, 187, 191, 192, 196ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
198197gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
199198adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
200199neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
201200iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
202197adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
203202iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
204203oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
205204oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
206201, 205eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
20714ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20815ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
209 iccssre 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
21047, 12, 209mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-π[,]π) ⊆ ℝ
211210, 176sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
212208, 211readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
213207, 212ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21427ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
215213, 214resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
216215, 211, 199redivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ ℝ)
217206, 216eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
21839fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
219176, 217, 218syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
220219, 201, 2053eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221188renegcld 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ∈ ℝ)
22251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 0)
223221, 186, 191, 222, 197lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 𝑠)
224221, 191, 223ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
225 iccleub 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
226193, 194, 189, 225syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
227221, 188, 191, 224, 226eliccd 45456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
228198neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
229228iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
230100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℝ)
231191rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
232231resincld 16175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
233230, 232remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
234 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
235191recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236235halfcld 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
237236sincld 16162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
238 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ≠ 0)
240 fourierdlem44 46106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
241227, 198, 240syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
242234, 237, 239, 241mulne0d 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
243191, 233, 242redivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
244229, 243eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
24540fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
246227, 244, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
247246adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
248220, 247oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
249200iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
250249oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
251185, 248, 2503eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252251mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
25365, 175, 2523eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
254253adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255254reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
25614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
25715adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
258 fourierdlem104.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
259 fourierdlem104.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
260259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑀 ∈ ℕ)
261 fourierdlem104.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
263 fourierdlem104.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
264263adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
265 fourierdlem104.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
266265adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
267 fourierdlem104.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
268267adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
269105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
27050, 10ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0))
27156, 270mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑑 ≤ 0)
272271intn3an2d 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
273 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
27410, 12, 273sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
275272, 274mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
276275adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
27727adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
278 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
279 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
280 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
281 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄𝑙) = (𝑄𝑖))
282 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
283282fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
284281, 283oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
285284sseq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285cbvriotavw 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
287256, 257, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286fourierdlem86 46147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
288287simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
289255, 288eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
290287simplld 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
291254eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
292291reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
293292oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
294290, 293eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295287simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
296292oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
297295, 296eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
298 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
29967adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
30011ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
30112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → π ∈ ℝ)
302 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
303302adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
30462, 210sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
305304adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
306149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
307306, 168ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π))
308305, 307sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
31011adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
311310rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
31254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ*)
313 iccgelb 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
314311, 312, 307, 313syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
315314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
316309rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ*)
317306, 170ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π))
318305, 317sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
319318rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
320319adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
321 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
322 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
323316, 320, 321, 322syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
324300, 309, 303, 315, 323lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 < 𝑠)
325300, 303, 324ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑𝑠)
326318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
327 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
328316, 320, 321, 327syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
329 iccleub 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
330311, 312, 317, 329syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
331330adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
332303, 326, 301, 328, 331ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < π)
333303, 301, 332ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ π)
334300, 301, 303, 325, 333eliccd 45456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
335334ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
336 dfss3 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
337335, 336sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
338299, 337feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)))
339 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
340 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
34164fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠)
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠))
343 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
344343adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
345247, 249eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
346220, 345oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
347215recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℂ)
348235adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
349 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
350348halfcld 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351350sincld 16162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
352349, 351mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
353242adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
354347, 348, 352, 199, 353dmdcan2d 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
355185, 346, 3543eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
356342, 344, 3553eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
357339, 340, 334, 356syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
358339, 340, 334, 354syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359358eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
360 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)))
361 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
362361fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
363362oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠𝑡 = 𝑠)
365363, 364oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
366365adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
367 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
368 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V
369368a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V)
370360, 366, 367, 369fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
371 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
372 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
373372fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
374373oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
375364, 374oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
376375adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
377 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
378377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
379371, 376, 367, 378fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380370, 379oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
381380eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
382381adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
383357, 359, 3823eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
384383mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
385338, 384eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
386385oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
38743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
388337, 305sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
38921tgioo2 24838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39021, 389dvres 25960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ) ∧ ((𝑑[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391387, 299, 305, 388, 390syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
392 ioontr 45463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
393392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
394393reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
395386, 391, 3943eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
39614ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39715ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
398259ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
399261ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
400 fourierdlem104.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
401400ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40262adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
403337, 402sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
40453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
405 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
40656ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < 𝑑)
407405, 310, 308, 406, 314ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < (𝐽𝑘))
408308, 319, 404, 407ltnelicc 45449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
40927ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
41012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
411269adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < π)
412 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
413 biid 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
414397, 258, 398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413fourierdlem50 46111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
415414simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
416414simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
417365cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
418375cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
420396, 397, 258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419fourierdlem72 46133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
421395, 420eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
422 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
423 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
424 fourierdlem104.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
425424, 415eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
426 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
427426, 425jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
428 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
429428anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
430 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐶))
431 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
432431fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
433430, 432oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
434 raleq 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
435433, 434syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
436435rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
437429, 436imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)))
438 fourierdlem104.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
439437, 438vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
440425, 427, 439sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
441 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
442 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤
443441, 442nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
444 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
44547a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
446445, 15readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
44712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → π ∈ ℝ)
448447, 15readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
449446, 448iccssred 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
450 ressxr 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ ⊆ ℝ*
451449, 450sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
452451ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
453258, 398, 399fourierdlem15 46077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
454 elfzofz 13711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
455425, 454syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
456453, 455ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
457452, 456sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
458457adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
459 fzofzp1 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
460425, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
461453, 460ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462452, 461sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
463462adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
464 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
465464adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
46647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
467466, 410, 397, 258, 398, 399, 455, 80fourierdlem13 46075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶))))
468467simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
469468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
470449ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
471470, 456sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
472471adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
473469, 472eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ∈ ℝ)
474397, 308readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
475474adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
476467simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋))
477471, 397resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
478476, 477eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ∈ ℝ)
479466, 410, 397, 258, 398, 399, 460, 80fourierdlem13 46075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
480479simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
481470, 461sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
482481, 397resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
483480, 482eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
484424eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
485484fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄𝐶)
486484oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
487486fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
488485, 487oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
489416, 488sseqtrdi 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
490478, 483, 308, 318, 173, 489fourierdlem10 46072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
491490simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘))
492478, 308, 397, 491leadd2dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
493492adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
494475rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ*)
495397, 318readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
496495rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
497496adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
498 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
499 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
500494, 497, 498, 499syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
501473, 475, 465, 493, 500lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) < 𝑡)
502469, 501eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) < 𝑡)
503495adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
504479simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
505504, 481eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
506505adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
507 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
508494, 497, 498, 507syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
509490simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
510318, 483, 397, 509leadd2dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
511510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
512465, 503, 506, 508, 511ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
513504eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
514513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
515512, 514breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
516458, 463, 465, 502, 515eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
517516adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
518 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
519444, 517, 518syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
520519ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
521443, 520ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
522521ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
523522reximdv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
524440, 523mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
525433raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
526525rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
527429, 526imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
528 fourierdlem104.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
529527, 528vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
530425, 427, 529sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
531 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
532441, 531nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
53314, 44fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
534 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℝ
535534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
536 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
537536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
53821, 389dvres 25960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
53944, 533, 535, 537, 538syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
540 ioontr 45463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
541540reseq2i 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
542539, 541eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
543542fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
544 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
545543, 544sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
546545ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
547546fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
548547adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
549 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
550516adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
551 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
552549, 550, 551syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
553548, 552eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
554553ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
555532, 554ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556555ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
557556reximdv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
558530, 557mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559311, 312, 306, 412fourierdlem8 46070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
560124ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
561149, 304fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
562561ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
563 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ (𝑑[,]π))
564150eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 = (𝐽‘0))
565151eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π = (𝐽𝑁))
566564, 565oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
567566adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
568563, 567eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
569568adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
570 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
571 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
572571breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽𝑘) < 𝑟))
573572cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}
574573supeq1i 9484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
575560, 562, 569, 570, 574fourierdlem25 46087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
576533ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
577534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
578536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
579387, 576, 577, 578, 538syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
580516ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
581 dfss3 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
582580, 581sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
583 resabs2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
585541, 579, 5843eqtr4a 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
586582resabs1d 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
587586eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
588585, 584, 5873eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
589433reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
590589, 433feq12d 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
591429, 590imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
592 cncff 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
593400, 592syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
594591, 593vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
595594anabsi7 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
596427, 595syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
597596, 582fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
598588, 597feq1dd 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
599363, 374oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
600599cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
601 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑡 → (𝐹𝑟) = (𝐹𝑡))
602601fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑟)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
603602breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
604603cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
605604anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
606 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
607606fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
608607breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
609608cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
610605, 609anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
611256, 257, 11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610fourierdlem80 46141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
612354mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
613253, 612eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
614613oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615614dmeqd 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
616 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D 𝑂)
617 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠
618 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 D
619 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠(𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620617, 618, 619nfov 7460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621620nfdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
622616, 621raleqf 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
623615, 622syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
624614fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
625624fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
626625breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
627626ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
628623, 627bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
629628rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630611, 629mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
631 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
632 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽𝑘)))
633 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄) = (𝑄𝑙))
634 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ( = 𝑙 → ( + 1) = (𝑙 + 1))
635634fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄‘( + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
636633, 635oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( = 𝑙 → ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) = ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
637636sseq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑙 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
638637cbvriotavw 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
639638fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
640639eqeq2i 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
642 csbeq1 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
643638, 642mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
644641, 643ifbieq1d 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))))
645644mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘))))
646645oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) = (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌)
647646oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) = ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘))
648647oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
649648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))))
650 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
651638oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1) = ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
652651fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
653652eqeq2i 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
654653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
655 csbeq1 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
656638, 655mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
657654, 656ifbieq1d 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
658657mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
659658oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌)
660659oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
661660oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
663 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑂𝑡) = (𝑂𝑠))
664650, 662, 663ifbieq12d 4558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠)))
665632, 649, 664ifbieq12d 4558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
666665cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
66711, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666fourierdlem73 46134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
668 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
669668rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
670669cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
671667, 670sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
672671adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
673 rphalfcl 13059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
674673ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
675 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
676675rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
677676rspccva 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
678672, 674, 677syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
679138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π))
680679sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
681680, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
682341, 681eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → (𝑈𝑠) = (𝑂𝑠))
683682oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
684683itgeq2dv 25831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
685684adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
686685fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
687 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688686, 687eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
689688ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
690689adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
691690ralimdv 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
692691reximdv 3167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
693678, 692mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
694693adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
695 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π))
696 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
697695, 696nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
699697, 698nfan 1896 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
700 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
701699, 700nfan 1896 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
702 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)))
703 eluznn 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
704703adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
705702, 704jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
706705adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
707 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708703adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
709 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
710707, 708, 709syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
711706, 710jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
712711adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
713 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
714713rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
715714adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
71622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → +∞ ∈ ℝ*)
717 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
718 halfre 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ
719718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
720717, 719readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
721720adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
722713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
723717adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
724 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
725724adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
726 halfgt0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < (1 / 2)
727726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < (1 / 2))
728718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
729728, 723ltaddposd 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
730727, 729mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
731722, 723, 721, 725, 730lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
732721ltpnfd 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
733715, 716, 721, 731, 732eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
734733adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
735 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
736 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
737736fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
738737oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
739738adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
740739itgeq2dv 25831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
741740fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
742741breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
743742rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
744734, 735, 743sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
745744adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
746 fourierdlem104.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
747712, 745, 746sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜒)
748 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
74912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → π ∈ ℝ)
750 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
751746biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
752 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
753751, 752syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑑 ∈ (0(,)π))
754750, 753sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑑 ∈ (0[,]π))
755 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
756751, 755syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝜑)
75742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
75847rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ ℝ*
759 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℝ
76047, 759, 51ltleii 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ≤ 0
761 iooss1 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
762758, 760, 761mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
763 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
764762, 763sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
765764sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
766765adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
767757, 766ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
768756, 767sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
769 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
770751, 769syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑘 ∈ ℕ)
771770nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
772718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
773771, 772readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
774773adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
775 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
776775adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
777774, 776remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
778777resincld 16175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
779768, 778remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
780779recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
78153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
78254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ∈ ℝ*)
783748leidd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 0)
784 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ ℝ
785784, 753sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 ∈ ℝ)
786781, 782, 753, 104syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 < π)
787785, 749, 786ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑑 ≤ π)
788 ioossioo 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
789781, 782, 783, 787, 788syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
790 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)𝑑) ∈ dom vol
791790a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ∈ dom vol)
792 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
793792anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
794 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 𝑘)
795794oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
796795oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
797796fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
798797oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
799798mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
800799eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
801793, 800imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
802764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
803 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0(,)π) ∈ dom vol
804803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
80542ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
806805adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
807 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
808 readdcl 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
809807, 718, 808sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
810809adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
811 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
812210, 811sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813810, 812remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
814813resincld 16175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
815814adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
816806, 815remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
817 fourierdlem104.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
818 fourierdlem104.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
819818fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
820811, 814, 819syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
821820adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
822821oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
823822mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
824817, 823eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
82514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
826 fourierdlem104.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
827826adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
82826adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
82937adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
830807adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
831259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
832261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
833263adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
834265adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
835267adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
836 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
837 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
838593adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
839 fourierdlem104.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
840839adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
841 fourierdlem104.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
842841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
843258, 825, 827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842fourierdlem88 46149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
844824, 843eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
845802, 804, 816, 844iblss 25854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
846801, 845chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
847756, 770, 846syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
848789, 791, 779, 847iblss 25854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)𝑑) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
849781, 782, 753, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < 𝑑)
850748, 785, 849ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 𝑑)
851749leidd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ≤ π)
852 ioossioo 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
853781, 782, 850, 851, 852syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
854 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑(,)π) ∈ dom vol
855854a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ∈ dom vol)
856853, 855, 779, 847iblss 25854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
857748, 749, 754, 780, 848, 856itgsplitioo 25887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
858857fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
859789sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
860859, 779syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
861860, 848itgcl 25833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
862853sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
863862, 779syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
864863, 856itgcl 25833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
865861, 864addcld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
866865abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
867861abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
868864abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
869867, 868readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
870 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
871751, 870syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
872871rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
873861, 864abstrid 15491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
874751simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
875751simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
876867, 868, 872, 874, 875lt2halvesd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
877866, 869, 872, 873, 876lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
878858, 877eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
879747, 878syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
880879ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
881701, 880ralrimi 3254 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
882881ex 412 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
883882reximdva 3165 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
884694, 883mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
885 pipos 26516 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
88647, 759, 12lttri 11384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
88751, 885, 886mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 -π < π
88847, 12, 887ltleii 11381 . . . . . . . . . . . 12 -π ≤ π
889888a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ≤ π)
890258fourierdlem2 46064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
891259, 890syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
892261, 891mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
893892simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
894 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
895893, 894syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
896895ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
89715adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
898896, 897resubcld 11688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
899898, 80fmptd 7133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
90080a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
901 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑉𝑖) = (𝑉‘0))
902901oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
903902adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
904259nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
905 nn0uz 12917 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
906904, 905eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
907 eluzfz1 13567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
908906, 907syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
909895, 908ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
910909, 15resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
911900, 903, 908, 910fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
912892simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
913912simplld 768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
914913oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
915445recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
91615recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
917915, 916pncand 11618 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
918911, 914, 9173eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
919445, 447, 15, 258, 836, 259, 261, 80fourierdlem14 46076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀))
920836fourierdlem2 46064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
921259, 920syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
922919, 921mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
923922simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
924923simplrd 770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
925923simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
926925r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92714adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
928836, 259, 919fourierdlem15 46077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
929928adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
930 elfzofz 13711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
931930adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
932929, 931ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
933 fzofzp1 13799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
934933adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
935929, 934ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
93615adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
937 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑉 Fn (0...𝑀))
938893, 894, 9373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 Fn (0...𝑀))
939 fvelrnb 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
940938, 939syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
941826, 940mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋)
942 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
943942adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
944916subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋𝑋) = 0)
945944ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑋𝑋) = 0)
946943, 945eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
947946ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) = 𝑋 → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
948947reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
949941, 948mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
95080elrnmpt 5971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
951759, 950ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
952949, 951sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
953836, 259, 919, 952fourierdlem12 46074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
954895adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
955954, 931ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
956955, 936resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
95780fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
958931, 956, 957syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
959958oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
960955recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
961916adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
962960, 961npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
963959, 962eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
964 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑉𝑗) = (𝑉𝑖))
965964oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
966965cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
96780, 966eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
968967a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
969 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
970969oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
971970adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
972954, 934ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
973972, 936resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
974968, 971, 934, 973fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
975974oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
976972recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
977976, 961npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
978975, 977eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
979963, 978oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
980979reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
981979oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
982263, 980, 9813eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
98327adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
98438adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
985927, 932, 935, 936, 953, 982, 983, 984, 39fourierdlem40 46102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
986 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
98743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
988986, 987fssd 6753 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
989400, 592, 9883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
990 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
99115, 258, 14, 826, 26, 38, 39, 259, 261, 265, 80, 836, 837, 989, 841, 990fourierdlem75 46136 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
992 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
99315, 258, 14, 826, 27, 37, 39, 259, 261, 267, 80, 836, 837, 593, 839, 992fourierdlem74 46135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
994 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
995 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
996995fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
997994, 996oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
998997cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
999445, 447, 889, 177, 259, 899, 918, 924, 926, 985, 991, 993, 998fourierdlem70 46131 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
1000 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1001 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑠))
10021001fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(𝐺𝑡)) = (abs‘(𝐺𝑠)))
10031002breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → ((abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10041003cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
10051004ralbii 3090 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
100610053anbi3i 1158 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ↔ ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10071006anbi1i 624 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ↔ (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol))
10081007anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
10091008anbi1i 624 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
101014, 15, 27, 38, 39, 40, 41, 818, 817, 999, 843, 1000, 1009fourierdlem87 46148 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1011 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
10121011adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
101353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ∈ ℝ*)
101454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ*)
1015 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ)
10161015adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1017 rpgt0 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐)
10181017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < 𝑐)
101912rehalfcli 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
10201019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
102112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ)
1022 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ (π / 2))
1023 halfpos 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ (π / 2) < π))
102412, 1023ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < π ↔ (π / 2) < π)
1025885, 1024mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) < π
10261025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) < π)
10271016, 1020, 1021, 1022, 1026lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 < π)
10281013, 1014, 1016, 1018, 1027eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ (0(,)π))
10291012, 1028eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1030 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
1031 2pos 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
103212, 100, 885, 1031divgt0ii 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < (π / 2)
1033 elioo2 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π)))
103453, 54, 1033mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π))
10351019, 1032, 1025, 1034mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / 2) ∈ (0(,)π)
10361035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → (π / 2) ∈ (0(,)π))
10371030, 1036eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
10381037adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
10391029, 1038pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
104010393ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1041 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol)
1043 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10441042, 1043jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1045 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
104647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
104712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
1048760a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ≤ 0)
1049784, 1039sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
10501019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ)
1051 min2 13228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
10521015, 1019, 1051sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
10531025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
10541049, 1050, 1047, 1052, 1053lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) < π)
10551049, 1047, 1054ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)
1056 iccss 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)) → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
10571046, 1047, 1048, 1055, 1056syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
10581045, 1057sstrid 4006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
1059 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
10601018, 1012breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10611032, 1030breqtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑐 ≤ (π / 2) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10621061adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10631060, 1062pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10641059, 1049, 1063ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1065 volioo 25617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
10661059, 1049, 1064, 1065syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
10671049recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℂ)
10681067subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10691066, 1068eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1070 min1 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
10711015, 1019, 1070sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
10721069, 1071eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)
10731058, 1072jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
10741073adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
1075 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ↔ (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π)))
1076 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘𝑢) = (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))))
10771076breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑐 ↔ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
10781075, 1077anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) ↔ ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)))
1079 itgeq1 25822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
10801079fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
10811080breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10821081ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10831078, 1082imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
10841083rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . 13 (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10851044, 1074, 1084sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
108610853adant1 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1087 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (0(,)𝑑) = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
10881087itgeq1d 45912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
10891088fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
10901089breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10911090ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10921091rspcev 3621 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10931040, 1086, 1092syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10941093rexlimdv3a 3156 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10951010, 1094mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1096884, 1095r19.29a 3159 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
10971096ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1098 nnex 12269 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10991098mptex 7242 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V
11001099a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V)
1101 eqidd 2735 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠))
1102765adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1103767ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1104765adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1105 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1106 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
11071105, 1106eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
11081107nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1109718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11101108, 1109readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1112210, 1104sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11131111, 1112remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11141113resincld 16175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11151104, 1114, 819syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11161115adantlll 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11171108adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
11181117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1119 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
11201119rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11211118, 1120readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1122210, 1102sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11231121, 1122remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11241123resincld 16175 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11251116, 1124eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
11261103, 1125remulcld 11288 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
1127817fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
11281102, 1126, 1127syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1129 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
11301129oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
11311130fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11321131ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11331116, 1132eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11341133oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11351128, 1134eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11361135itgeq2dv 25831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1137 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1138798itgeq2dv 25831 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11391138eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ))
1140793, 1139imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)))
1141767adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1142 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
11431142, 765, 814syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11441141, 1143remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
11451144, 845itgcl 25833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11461140, 1145chvarvv 1995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11471101, 1136, 1137, 1146fvmptd 7022 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑘) = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11489, 2, 1100, 1147, 1146clim0c 15539 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
11491097, 1148mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0)
11501098mptex 7242 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π)) ∈ V
11516, 1150eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
11521151a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ V)
11531098mptex 7242 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V
11541153a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V)
115512recni 11272 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
11561155a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1157 eqidd 2735 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π))
1158 eqidd 2735 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚) → π = π)
1159 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ)
116012a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
11611157, 1158, 1159, 1160fvmptd 7022 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
11621161adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
11639, 2, 1154, 1156, 1162climconst 15575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ⇝ π)
1164759, 885gtneii 11370 . . . . . 6 π ≠ 0
11651164a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ≠ 0)
116615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
116727adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
116838adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
1169825, 1166, 1167, 1168, 39, 40, 41, 830, 818, 817fourierdlem67 46128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
11701169adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1171802sselda 3994 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
11721170, 1171ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
11731169ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
11741169feqmptd 6976 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
11751174, 843eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
1176802, 804, 1173, 1175iblss 25854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
11771172, 1176itgcl 25833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
1178 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11791178fvmpt2 7026 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11801142, 1177, 1179syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11811180, 1177eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
1182 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
11831182fvmpt2 7026 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
118412, 1183mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
11851155a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
11861164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
1187 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
11881185, 1186, 1187sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
11891184, 1188eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11901189adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11911155a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
11921164a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
11931177, 1191, 1192divcld 12040 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ)
11946fvmpt2 7026 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ) → (𝐸𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
11951142, 1193, 1194syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
11961180eqcomd 2740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛))
11971184eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
11981197adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
11991196, 1198oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12001195, 1199eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12013, 4, 5, 8, 9, 2, 1149, 1152, 1163, 1165, 1181, 1190, 1200climdivf 45567 . . . 4 (𝜑𝐸 ⇝ (0 / π))
12021155, 1164div0i 11998 . . . . 5 (0 / π) = 0
12031202a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 / π) = 0)
12041201, 1203breqtrd 5173 . . 3 (𝜑𝐸 ⇝ 0)
1205 fourierdlem104.z . . . . 5 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
12061098mptex 7242 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ∈ V
12071205, 1206eqeltri 2834 . . . 4 𝑍 ∈ V
12081207a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
12091098mptex 7242 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V
12101209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V)
1211 limccl 25924 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ⊆ ℂ
12121211, 26sselid 3992 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
12131212halfcld 12508 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
1214 eqidd 2735 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)))
1215 eqidd 2735 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑌 / 2) = (𝑌 / 2))
12169eqcomi 2743 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ℕ
12171216eleq2i 2830 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑛 ∈ ℕ)
12181217biimpi 216 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
12191218adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
12201213adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
12211214, 1215, 1219, 1220fvmptd 7022 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) = (𝑌 / 2))
12221, 2, 1210, 1213, 1221climconst 15575 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ⇝ (𝑌 / 2))
12231193, 6fmptd 7133 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℕ⟶ℂ)
12241223adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
12251224, 1219ffvelcdmd 7104 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
12261221, 1220eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) ∈ ℂ)
12271221oveq2d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)) = ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)))
1228803a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
1229 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
12301229rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
123154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
1232 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
1233 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
12341230, 1231, 1232, 1233syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑠)
12351234gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ≠ 0)
12361235neneqd 2942 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 = 0)
1237 velsn 4646 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
12381236, 1237sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
1239765, 1238eldifd 3973 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
12401239ssriv 3998 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
12411240a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1242 fourierdlem104.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
12431234adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
12441243iftrued 4538 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
1245 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝐷𝑛) = (𝐷𝑛)
1246 0red 11261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
124712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
1248759, 12, 885ltleii 11381 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
12491248a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
1250 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
12511242, 1142, 1245, 1246, 1247, 1249, 1250dirkeritg 46057 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)))
1252 ubicc2 13501 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
125353, 54, 1248, 1252mp3an 1460 . . . . . . . . . 10 π ∈ (0[,]π)
1254 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π → (𝑠 / 2) = (π / 2))
1255 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = π → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · π))
12561255fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = π → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘(𝑘 · π)))
12571256oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘))
1258 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
12591258zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℂ)
12601155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ∈ ℂ)
12611164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ≠ 0)
12621259, 1260, 1261divcan4d 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) = 𝑘)
12631262, 1258eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ)
12641259, 1260mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · π) ∈ ℂ)
1265 sineq0 26580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 · π) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
12661264, 1265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
12671263, 1266mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (sin‘(𝑘 · π)) = 0)
12681267oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1269 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 ∈ ℝ)
1270 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
12711258zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℝ)
127298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 1)
1273 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑘)
12741269, 1270, 1271, 1272, 1273ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 𝑘)
12751274gt0ne0d 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ≠ 0)
12761259, 1275div0d 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (0 / 𝑘) = 0)
12771268, 1276eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = 0)
12781257, 1277sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
12791278sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1280 fzfi 14009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑛) ∈ Fin
12811280olci 866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1282 sumz 15754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
12831281, 1282ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0
12841279, 1283eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
12851254, 1284oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = π → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = ((π / 2) + 0))
12861285oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = π → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (((π / 2) + 0) / π))
1287 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) + 0) / π) ∈ V
12881286, 1250, 1287fvmpt 7015 . . . . . . . . . 10 (π ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π))
12891253, 1288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π)
1290 lbicc2 13500 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
129153, 54, 1248, 1290mp3an 1460 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]π)
1292 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1293 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
12941293, 238div0i 11998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 / 2) = 0
12951292, 1294eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
1296 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 0 → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · 0))
12971259mul01d 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · 0) = 0)
12981296, 1297sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘 · 𝑠) = 0)
12991298fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘0))
1300 sin0 16181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (sin‘0) = 0
13011299, 1300eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = 0)
13021301oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
13031276adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (0 / 𝑘) = 0)
13041302, 1303eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13051304sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
13061305, 1283eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13071295, 1306oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = (0 + 0))
1308 00id 11433 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) = 0
13091307, 1308eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = 0)
13101309oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (0 / π))
13111310, 1202eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = 0)
1312 c0ex 11252 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13131311, 1250, 1312fvmpt 7015 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0)
13141291, 1313ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0
13151289, 1314oveq12i 7442 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0)
13161315a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0))
13171019recni 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
13181317addridi 11445 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) + 0) = (π / 2)
13191318oveq1i 7440 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) + 0) / π) = ((π / 2) / π)
13201155, 1293, 1155, 238, 1164divdiv32i 12019 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2)
13211155, 1164dividi 11997 . . . . . . . . . . . 12 (π / π) = 1
13221321oveq1i 7440 . . . . . . . . . . 11 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
13231319, 1320, 13223eqtri 2766 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) + 0) / π) = (1 / 2)
13241323oveq1i 7440 . . . . . . . . 9 ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = ((1 / 2) − 0)
1325 halfcn 12478 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
13261325subid1i 11578 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 0) = (1 / 2)
13271324, 1326eqtri 2762 . . . . . . . 8 ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2)
13281327a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2))
13291251, 1316, 13283eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
133014, 15, 258, 259, 261, 826, 263, 265, 267, 39, 40, 41, 818, 817, 837, 593, 839, 841, 26, 37, 1228, 1241, 6, 1242, 27, 1244, 1329fourierdlem95 46156 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13311219, 1330syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13321205a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
1333 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝐷𝑚) = (𝐷𝑛))
13341333fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷𝑚)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
13351334oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13361335adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝑛𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13371336itgeq2dv 25831 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13381337adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
133914adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
134015adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1341775adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13421340, 1341readdcld 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13431339, 1342ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13441343adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13451242dirkerf 46052 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
13461345ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
1347775adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13481346, 1347ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
13491344, 1348remulcld 11288 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
135014adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
135115adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1352210sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
13531352adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13541351, 1353readdcld 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13551350, 1354ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13561355adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13571345ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
13581352adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13591357, 1358ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
13601356, 1359remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
136147a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
13621242dirkercncf 46062 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
13631362adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1364 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13651361, 1247, 825, 1166, 258, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 1363, 1364fourierdlem84 46145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
1366802, 804, 1360, 1365iblss 25854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
13671349, 1366itgrecl 25847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
13681332, 1338, 1142, 1367fvmptd 7022 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13691368eqcomd 2740 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
13701219, 1369syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
13711227, 1331, 13703eqtrrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑍𝑛) = ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)))
13721, 2, 1204, 1208, 1222, 1225, 1226, 1371climadd 15664 . 2 (𝜑𝑍 ⇝ (0 + (𝑌 / 2)))
13731213addlidd 11459 . 2 (𝜑 → (0 + (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
13741372, 1373breqtrd 5173 1 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  csb 3907  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cio 6513   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562   Isom wiso 6563  crio 7386  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690   mod cmo 13905  chash 14365  abscabs 15269  cli 15516  Σcsu 15718  sincsin 16095  πcpi 16098  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  intcnt 23040  cnccncf 24915  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666   lim climc 25911   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-t1 23337  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
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