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Theorem fourierdlem104 45831
Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem104.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem104.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem104.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem104.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem104.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem104.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem104.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem104.fbdioo ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem104.fdvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem104.fdvbd ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem104.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem104.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem104.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem104.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem104.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem104.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem104.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem104.z 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem104.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem104.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.a (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.b (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem104.o 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
fourierdlem104.t 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
fourierdlem104.n 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem104.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem104.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem104.1 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem104.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem104 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝐹,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝐹,𝑘   𝑤,𝐹,𝑧,𝑘,𝑠   𝑒,𝐺,𝑘,𝑠   𝑖,𝐺,𝑡   𝑖,𝐻,𝑠   𝑘,𝐽,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,𝑘   𝑖,𝐽,𝑡   𝑚,𝐽   𝑤,𝐽,𝑧   𝐾,𝑠   𝐿,𝑙,𝑠,𝑡   𝑘,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑖,𝑁,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑒,𝑁,𝑙   𝑓,𝑁   𝑚,𝑁   𝑤,𝑁,𝑧   𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,𝑘   𝑡,𝑂   𝑄,𝑙,𝑠   𝑄,𝑓   𝑄,𝑖,𝑡   𝑄,𝑝   𝑅,𝑙,𝑠,𝑡   𝑆,𝑠   𝑇,𝑓   𝑈,𝑑,𝑘,𝑠,𝑙   𝑈,𝑛,𝑘,𝑠   𝑖,𝑉,𝑘,𝑠   𝑉,𝑝   𝑡,𝑉   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑋,𝑝   𝑤,𝑋,𝑧   𝑖,𝑌,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑌,𝑛,𝑖   𝑤,𝑌,𝑧   𝑛,𝑍   𝑒,𝑑   𝑖,𝑑,𝜑,𝑡,𝑘,𝑙,𝑠   𝜑,𝑒   𝜒,𝑠   𝑓,𝑑,𝜑   𝑤,𝑑,𝑧,𝜑   𝑒,𝑛,𝜑   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜒(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐵(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐶(𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑤,𝑒,𝑘,𝑚,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑈(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑤,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑚,𝑛,𝑑,𝑙)   𝑊(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem104
Dummy variables 𝑏 𝑟 𝑐 𝑢 𝑗 𝑦 𝑥 𝑣 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
2 1zzd 12645 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nfv 1910 . . . . 5 𝑛𝜑
4 nfmpt1 5261 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
5 nfmpt1 5261 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6 fourierdlem104.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
7 nfmpt1 5261 . . . . . 6 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86, 7nfcxfr 2890 . . . . 5 𝑛𝐸
9 nnuz 12917 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 elioore 13408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
12 pire 26486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ ℝ)
14 fourierdlem104.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
15 fourierdlem104.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
16 ioossre 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
1814, 17fssresd 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
19 ioosscn 13440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
21 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 pnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2415ltpnfd 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 < +∞)
2521, 23, 15, 24lptioo1cn 45267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
26 fourierdlem104.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2718, 20, 25, 26limcrecl 45250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
28 ioossre 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3014, 29fssresd 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
31 ioosscn 13440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
33 mnfxr 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3515mnfltd 13158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3621, 34, 15, 35lptioo2cn 45266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
37 fourierdlem104.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3830, 32, 36, 37limcrecl 45250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
39 fourierdlem104.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
40 fourierdlem104.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
41 fourierdlem104.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4214, 15, 27, 38, 39, 40, 41fourierdlem55 45782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
43 ax-resscn 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4542, 44fssd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4712renegcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ∈ ℝ)
4947a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
50 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
51 negpilt0 44895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -π < 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
53 0xr 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
5412rexri 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ ℝ*
55 ioogtlb 45113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑑)
5653, 54, 55mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑑)
5749, 50, 10, 52, 56lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑑)
5849, 10, 57ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ≤ 𝑑)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ≤ 𝑑)
6013leidd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ≤ π)
61 iccss 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6248, 13, 59, 60, 61syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6346, 62fssresd 6769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ)
64 fourierdlem104.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)))
6665feq1d 6713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ))
6763, 66mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
68 fourierdlem104.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
6912elexi 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ V
7069prid2 4772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 π ∈ {𝑑, π}
71 elun1 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π ∈ {𝑑, π} → π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
73 fourierdlem104.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
7472, 73eleqtrri 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ 𝑇
7574ne0ii 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑇 ≠ ∅
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
77 prfi 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑑, π} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑑, π} ∈ Fin)
79 fzfi 13992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem104.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8180rnmptfi 44778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ran 𝑄 ∈ Fin
83 infi 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
8482, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
85 unfi 9210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑑, π} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8678, 84, 85syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8773, 86eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
88 hashnncl 14383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
9076, 89mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9368, 92eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
95 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 ∈ ℝ)
96 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
9794nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
98 0lt1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 1)
100 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℝ)
10290nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104 iooltub 45128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
10553, 54, 104mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 < π)
10610, 105ltned 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≠ π)
107106adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≠ π)
108 hashprg 14412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
10911, 12, 108sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) = 2)
111110eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 = (♯‘{𝑑, π}))
11287adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ∈ Fin)
113 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑑, π} ⊆ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
114113, 73sseqtrri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑑, π} ⊆ 𝑇
115 hashssle 44913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {𝑑, π} ⊆ 𝑇) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
116112, 114, 115sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
117111, 116eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
118101, 103, 96, 117lesub1dd 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
119 1e2m1 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (2 − 1)
120118, 119, 683brtr4g 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ≤ 𝑁)
12195, 96, 97, 99, 120ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑁)
122121gt0ne0d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ≠ 0)
123 elnnne0 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
12494, 122, 123sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
125 fourierdlem104.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12611leidd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑑)
12712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
12810, 127, 105ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≤ π)
129128adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≤ π)
13011, 13, 11, 126, 129eliccd 45122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ (𝑑[,]π))
13111, 13, 13, 129, 60eliccd 45122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ (𝑑[,]π))
132130, 131jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)))
133 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
134133, 69prss 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)) ↔ {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
135132, 134sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
136 inss2 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π))
138 ioossicc 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π)
139137, 138sstrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑[,]π))
140135, 139unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ (𝑑[,]π))
14173, 140eqsstrid 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ (𝑑[,]π))
142133prid1 4771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ {𝑑, π}
143 elun1 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑑, π} → 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
145144, 73eleqtrri 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑𝑇
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑇)
14774a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ 𝑇)
148112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147fourierdlem52 45779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π) ∧ (𝐽‘0) = 𝑑) ∧ (𝐽𝑁) = π))
149148simplld 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
150148simplrd 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽‘0) = 𝑑)
151148simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽𝑁) = π)
152 elfzoelz 13686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
153152zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
154153adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
155154ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
15610, 127jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
157133, 69prss 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ↔ {𝑑, π} ⊆ ℝ)
158156, 157sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
159158adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
160 ioossre 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑(,)π) ⊆ ℝ
161136, 160sstri 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ)
163159, 162unssd 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ ℝ)
16473, 163eqsstrid 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
165112, 164, 125, 68fourierdlem36 45764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
166165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
167 elfzofz 13702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
168167adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
169 fzofzp1 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
170169adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
171 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
172166, 168, 170, 171syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
173155, 172mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
17442adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
175174, 62feqresmpt 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)))
17662sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
17714, 15, 27, 38, 39fourierdlem9 45737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
178177ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
179178, 176ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
18040fourierdlem43 45771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 176ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
183179, 182remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
18441fvmpt2 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
185176, 183, 184syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
186 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
18710adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
18812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ)
189 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
190 eliccre 45123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
191187, 188, 189, 190syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
19256adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑑)
193187rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
19454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ*)
195 iccgelb 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
196193, 194, 189, 195syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
197186, 187, 191, 192, 196ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
198197gt0ne0d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
199198adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
200199neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
201200iffalsed 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
202197adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
203202iftrued 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
204203oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
205204oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
206201, 205eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
20714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20815ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
209 iccssre 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
21047, 12, 209mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-π[,]π) ⊆ ℝ
211210, 176sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
212208, 211readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
213207, 212ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21427ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
215213, 214resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
216215, 211, 199redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ ℝ)
217206, 216eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
21839fvmpt2 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
219176, 217, 218syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
220219, 201, 2053eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221188renegcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ∈ ℝ)
22251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 0)
223221, 186, 191, 222, 197lttrd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 𝑠)
224221, 191, 223ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
225 iccleub 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
226193, 194, 189, 225syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
227221, 188, 191, 224, 226eliccd 45122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
228198neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
229228iffalsed 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
230100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℝ)
231191rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
232231resincld 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
233230, 232remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
234 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
235191recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236235halfcld 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
237236sincld 16132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
238 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ≠ 0)
240 fourierdlem44 45772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
241227, 198, 240syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
242234, 237, 239, 241mulne0d 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
243191, 233, 242redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
244229, 243eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
24540fvmpt2 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
246227, 244, 245syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
247246adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
248220, 247oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
249200iffalsed 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
250249oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
251185, 248, 2503eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252251mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
25365, 175, 2523eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
254253adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255254reseq1d 5988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
25614adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
25715adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
258 fourierdlem104.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
259 fourierdlem104.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
260259adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑀 ∈ ℕ)
261 fourierdlem104.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
262261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
263 fourierdlem104.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
264263adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
265 fourierdlem104.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
266265adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
267 fourierdlem104.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
268267adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
269105adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
27050, 10ltnled 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0))
27156, 270mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑑 ≤ 0)
272271intn3an2d 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
273 elicc2 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
27410, 12, 273sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
275272, 274mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
276275adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
27727adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
278 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
279 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
280 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
281 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄𝑙) = (𝑄𝑖))
282 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
283282fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
284281, 283oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
285284sseq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285cbvriotavw 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
287256, 257, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286fourierdlem86 45813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
288287simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
289255, 288eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
290287simplld 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
291254eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
292291reseq1d 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
293292oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
294290, 293eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295287simplrd 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
296292oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
297295, 296eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
298 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
29967adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
30011ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
30112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → π ∈ ℝ)
302 elioore 13408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
303302adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
30462, 210sstrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
305304adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
306149adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
307306, 168ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π))
308305, 307sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
309308adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
31011adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
311310rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
31254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ*)
313 iccgelb 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
314311, 312, 307, 313syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
315314adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
316309rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ*)
317306, 170ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π))
318305, 317sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
319318rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
320319adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
321 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
322 ioogtlb 45113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
323316, 320, 321, 322syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
324300, 309, 303, 315, 323lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 < 𝑠)
325300, 303, 324ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑𝑠)
326318adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
327 iooltub 45128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
328316, 320, 321, 327syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
329 iccleub 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
330311, 312, 317, 329syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
331330adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
332303, 326, 301, 328, 331ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < π)
333303, 301, 332ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ π)
334300, 301, 303, 325, 333eliccd 45122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
335334ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
336 dfss3 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
337335, 336sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
338299, 337feqresmpt 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)))
339 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
340 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
34164fveq1i 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠)
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠))
343 fvres 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
344343adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
345247, 249eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
346220, 345oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
347215recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℂ)
348235adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
349 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
350348halfcld 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351350sincld 16132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
352349, 351mulcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
353242adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
354347, 348, 352, 199, 353dmdcan2d 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
355185, 346, 3543eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
356342, 344, 3553eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
357339, 340, 334, 356syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
358339, 340, 334, 354syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359358eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
360 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)))
361 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
362361fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
363362oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠𝑡 = 𝑠)
365363, 364oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
366365adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
367 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
368 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V
369368a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V)
370360, 366, 367, 369fvmptd 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
371 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
372 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
373372fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
374373oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
375364, 374oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
376375adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
377 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
378377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
379371, 376, 367, 378fvmptd 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380370, 379oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
381380eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
382381adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
383357, 359, 3823eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
384383mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
385338, 384eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
386385oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
38743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
388337, 305sstrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
38921tgioo2 24810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39021, 389dvres 25931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ) ∧ ((𝑑[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391387, 299, 305, 388, 390syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
392 ioontr 45129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
393392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
394393reseq2d 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
395386, 391, 3943eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
39614ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39715ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
398259ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
399261ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
400 fourierdlem104.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
401400ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40262adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
403337, 402sstrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
40453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
405 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
40656ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < 𝑑)
407405, 310, 308, 406, 314ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < (𝐽𝑘))
408308, 319, 404, 407ltnelicc 45115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
40927ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
41012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
411269adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < π)
412 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
413 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
414397, 258, 398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413fourierdlem50 45777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
415414simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
416414simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
417365cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
418375cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
420396, 397, 258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419fourierdlem72 45799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
421395, 420eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
422 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
423 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
424 fourierdlem104.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
425424, 415eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
426 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
427426, 425jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
428 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
429428anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
430 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐶))
431 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
432431fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
433430, 432oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
434 raleq 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
435433, 434syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
436435rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
437429, 436imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)))
438 fourierdlem104.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
439437, 438vtoclg 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
440425, 427, 439sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
441 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
442 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤
443441, 442nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
444 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
44547a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
446445, 15readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
44712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → π ∈ ℝ)
448447, 15readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
449446, 448iccssred 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
450 ressxr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ ⊆ ℝ*
451449, 450sstrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
452451ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
453258, 398, 399fourierdlem15 45743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
454 elfzofz 13702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
455425, 454syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
456453, 455ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
457452, 456sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
458457adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
459 fzofzp1 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
460425, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
461453, 460ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462452, 461sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
463462adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
464 elioore 13408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
465464adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
46647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
467466, 410, 397, 258, 398, 399, 455, 80fourierdlem13 45741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶))))
468467simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
469468adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
470449ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
471470, 456sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
472471adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
473469, 472eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ∈ ℝ)
474397, 308readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
475474adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
476467simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋))
477471, 397resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
478476, 477eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ∈ ℝ)
479466, 410, 397, 258, 398, 399, 460, 80fourierdlem13 45741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
480479simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
481470, 461sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
482481, 397resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
483480, 482eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
484424eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
485484fveq2i 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄𝐶)
486484oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
487486fveq2i 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
488485, 487oveq12i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
489416, 488sseqtrdi 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
490478, 483, 308, 318, 173, 489fourierdlem10 45738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
491490simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘))
492478, 308, 397, 491leadd2dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
493492adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
494475rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ*)
495397, 318readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
496495rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
497496adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
498 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
499 ioogtlb 45113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
500494, 497, 498, 499syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
501473, 475, 465, 493, 500lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) < 𝑡)
502469, 501eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) < 𝑡)
503495adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
504479simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
505504, 481eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
506505adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
507 iooltub 45128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
508494, 497, 498, 507syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
509490simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
510318, 483, 397, 509leadd2dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
511510adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
512465, 503, 506, 508, 511ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
513504eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
514513adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
515512, 514breqtrd 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
516458, 463, 465, 502, 515eliood 45116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
517516adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
518 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
519444, 517, 518syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
520519ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
521443, 520ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
522521ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
523522reximdv 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
524440, 523mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
525433raleqdv 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
526525rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
527429, 526imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
528 fourierdlem104.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
529527, 528vtoclg 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
530425, 427, 529sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
531 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
532441, 531nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
53314, 44fssd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
534 ssid 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℝ
535534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
536 ioossre 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
537536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
53821, 389dvres 25931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
53944, 533, 535, 537, 538syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
540 ioontr 45129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
541540reseq2i 5986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
542539, 541eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
543542fveq1d 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
544 fvres 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
545543, 544sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
546545ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
547546fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
548547adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
549 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
550516adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
551 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
552549, 550, 551syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
553548, 552eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
554553ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
555532, 554ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556555ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
557556reximdv 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
558530, 557mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559311, 312, 306, 412fourierdlem8 45736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
560124ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
561149, 304fssd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
562561ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
563 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ (𝑑[,]π))
564150eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 = (𝐽‘0))
565151eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π = (𝐽𝑁))
566564, 565oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
567566adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
568563, 567eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
569568adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
570 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
571 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
572571breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽𝑘) < 𝑟))
573572cbvrabv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}
574573supeq1i 9490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
575560, 562, 569, 570, 574fourierdlem25 45753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
576533ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
577534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
578536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
579387, 576, 577, 578, 538syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
580516ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
581 dfss3 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
582580, 581sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
583 resabs2 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
585541, 579, 5843eqtr4a 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
586582resabs1d 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
587586eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
588585, 584, 5873eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
589433reseq2d 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
590589, 433feq12d 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
591429, 590imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
592 cncff 24904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
593400, 592syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
594591, 593vtoclg 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
595594anabsi7 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
596427, 595syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
597596, 582fssresd 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
598588, 597feq1dd 44774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
599363, 374oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
600599cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
601 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑡 → (𝐹𝑟) = (𝐹𝑡))
602601fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑟)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
603602breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
604603cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
605604anbi2i 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
606 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
607606fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
608607breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
609608cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
610605, 609anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
611256, 257, 11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610fourierdlem80 45807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
612354mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
613253, 612eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
614613oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615614dmeqd 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
616 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D 𝑂)
617 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠
618 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 D
619 nfmpt1 5261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠(𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620617, 618, 619nfov 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621620nfdm 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
622616, 621raleqf 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
623615, 622syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
624614fveq1d 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
625624fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
626625breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
627626ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
628623, 627bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
629628rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630611, 629mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
631 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
632 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽𝑘)))
633 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄) = (𝑄𝑙))
634 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ( = 𝑙 → ( + 1) = (𝑙 + 1))
635634fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄‘( + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
636633, 635oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( = 𝑙 → ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) = ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
637636sseq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑙 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
638637cbvriotavw 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
639638fveq2i 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
640639eqeq2i 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
642 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
643638, 642mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
644641, 643ifbieq1d 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))))
645644mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘))))
646645oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) = (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌)
647646oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) = ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘))
648647oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
649648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))))
650 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
651638oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1) = ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
652651fveq2i 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
653652eqeq2i 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
654653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
655 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
656638, 655mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
657654, 656ifbieq1d 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
658657mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
659658oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌)
660659oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
661660oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
663 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑂𝑡) = (𝑂𝑠))
664650, 662, 663ifbieq12d 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠)))
665632, 649, 664ifbieq12d 4561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
666665cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
66711, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666fourierdlem73 45800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
668 breq2 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
669668rexralbidv 3211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
670669cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
671667, 670sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
672671adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
673 rphalfcl 13055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
674673ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
675 breq2 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
676675rexralbidv 3211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
677676rspccva 3607 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
678672, 674, 677syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
679138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π))
680679sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
681680, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
682341, 681eqtr2id 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → (𝑈𝑠) = (𝑂𝑠))
683682oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
684683itgeq2dv 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
685684adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
686685fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
687 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688686, 687eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
689688ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
690689adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
691690ralimdv 3159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
692691reximdv 3160 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
693678, 692mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
694693adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
695 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π))
696 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
697695, 696nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
699697, 698nfan 1895 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
700 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
701699, 700nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
702 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)))
703 eluznn 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
704703adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
705702, 704jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
706705adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
707 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708703adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
709 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
710707, 708, 709syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
711706, 710jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
712711adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
713 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
714713rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
715714adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
71622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → +∞ ∈ ℝ*)
717 eluzelre 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
718 halfre 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ
719718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
720717, 719readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
721720adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
722713adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
723717adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
724 eluzle 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
725724adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
726 halfgt0 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < (1 / 2)
727726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < (1 / 2))
728718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
729728, 723ltaddposd 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
730727, 729mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
731722, 723, 721, 725, 730lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
732721ltpnfd 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
733715, 716, 721, 731, 732eliood 45116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
734733adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
735 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
736 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
737736fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
738737oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
739738adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
740739itgeq2dv 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
741740fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
742741breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
743742rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
744734, 735, 743sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
745744adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
746 fourierdlem104.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
747712, 745, 746sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜒)
748 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
74912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → π ∈ ℝ)
750 ioossicc 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
751746biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
752 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
753751, 752syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑑 ∈ (0(,)π))
754750, 753sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑑 ∈ (0[,]π))
755 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
756751, 755syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝜑)
75742adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
75847rexri 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ ℝ*
759 0re 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℝ
76047, 759, 51ltleii 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ≤ 0
761 iooss1 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
762758, 760, 761mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
763 ioossicc 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
764762, 763sstri 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
765764sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
766765adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
767757, 766ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
768756, 767sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
769 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
770751, 769syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑘 ∈ ℕ)
771770nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
772718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
773771, 772readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
774773adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
775 elioore 13408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
776775adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
777774, 776remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
778777resincld 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
779768, 778remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
780779recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
78153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
78254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ∈ ℝ*)
783748leidd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 0)
784 ioossre 13439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ ℝ
785784, 753sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 ∈ ℝ)
786781, 782, 753, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 < π)
787785, 749, 786ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑑 ≤ π)
788 ioossioo 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
789781, 782, 783, 787, 788syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
790 ioombl 25585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)𝑑) ∈ dom vol
791790a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ∈ dom vol)
792 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
793792anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
794 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 𝑘)
795794oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
796795oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
797796fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
798797oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
799798mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
800799eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
801793, 800imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
802764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
803 ioombl 25585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0(,)π) ∈ dom vol
804803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
80542ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
806805adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
807 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
808 readdcl 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
809807, 718, 808sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
810809adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
811 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
812210, 811sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813810, 812remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
814813resincld 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
815814adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
816806, 815remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
817 fourierdlem104.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
818 fourierdlem104.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
819818fvmpt2 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
820811, 814, 819syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
821820adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
822821oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
823822mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
824817, 823eqtr2id 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
82514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
826 fourierdlem104.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
827826adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
82826adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
82937adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
830807adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
831259adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
832261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
833263adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
834265adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
835267adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
836 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
837 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
838593adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
839 fourierdlem104.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
840839adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
841 fourierdlem104.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
842841adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
843258, 825, 827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842fourierdlem88 45815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
844824, 843eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
845802, 804, 816, 844iblss 25825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
846801, 845chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
847756, 770, 846syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
848789, 791, 779, 847iblss 25825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)𝑑) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
849781, 782, 753, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < 𝑑)
850748, 785, 849ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 𝑑)
851749leidd 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ≤ π)
852 ioossioo 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
853781, 782, 850, 851, 852syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
854 ioombl 25585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑(,)π) ∈ dom vol
855854a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ∈ dom vol)
856853, 855, 779, 847iblss 25825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
857748, 749, 754, 780, 848, 856itgsplitioo 25858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
858857fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
859789sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
860859, 779syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
861860, 848itgcl 25804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
862853sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
863862, 779syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
864863, 856itgcl 25804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
865861, 864addcld 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
866865abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
867861abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
868864abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
869867, 868readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
870 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
871751, 870syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
872871rpred 13070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
873861, 864abstrid 15461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
874751simplrd 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
875751simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
876867, 868, 872, 874, 875lt2halvesd 12512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
877866, 869, 872, 873, 876lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
878858, 877eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
879747, 878syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
880879ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
881701, 880ralrimi 3245 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
882881ex 411 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
883882reximdva 3158 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
884694, 883mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
885 pipos 26488 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
88647, 759, 12lttri 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
88751, 885, 886mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 -π < π
88847, 12, 887ltleii 11387 . . . . . . . . . . . 12 -π ≤ π
889888a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ≤ π)
890258fourierdlem2 45730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
891259, 890syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
892261, 891mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
893892simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
894 elmapi 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
895893, 894syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
896895ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
89715adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
898896, 897resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
899898, 80fmptd 7128 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
90080a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
901 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑉𝑖) = (𝑉‘0))
902901oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
903902adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
904259nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
905 nn0uz 12916 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
906904, 905eleqtrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
907 eluzfz1 13562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
908906, 907syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
909895, 908ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
910909, 15resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
911900, 903, 908, 910fvmptd 7016 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
912892simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
913912simplld 766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
914913oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
915445recnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
91615recnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
917915, 916pncand 11622 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
918911, 914, 9173eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
919445, 447, 15, 258, 836, 259, 261, 80fourierdlem14 45742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀))
920836fourierdlem2 45730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
921259, 920syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
922919, 921mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
923922simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
924923simplrd 768 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
925923simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
926925r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92714adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
928836, 259, 919fourierdlem15 45743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
929928adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
930 elfzofz 13702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
931930adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
932929, 931ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
933 fzofzp1 13784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
934933adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
935929, 934ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
93615adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
937 ffn 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑉 Fn (0...𝑀))
938893, 894, 9373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 Fn (0...𝑀))
939 fvelrnb 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
940938, 939syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
941826, 940mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋)
942 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
943942adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
944916subidd 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋𝑋) = 0)
945944ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑋𝑋) = 0)
946943, 945eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
947946ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) = 𝑋 → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
948947reximdva 3158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
949941, 948mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
95080elrnmpt 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
951759, 950ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
952949, 951sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
953836, 259, 919, 952fourierdlem12 45740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
954895adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
955954, 931ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
956955, 936resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
95780fvmpt2 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
958931, 956, 957syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
959958oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
960955recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
961916adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
962960, 961npcand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
963959, 962eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
964 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑉𝑗) = (𝑉𝑖))
965964oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
966965cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
96780, 966eqtr4i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
968967a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
969 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
970969oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
971970adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
972954, 934ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
973972, 936resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
974968, 971, 934, 973fvmptd 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
975974oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
976972recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
977976, 961npcand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
978975, 977eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
979963, 978oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
980979reseq2d 5989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
981979oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
982263, 980, 9813eltr4d 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
98327adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
98438adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
985927, 932, 935, 936, 953, 982, 983, 984, 39fourierdlem40 45768 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
986 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
98743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
988986, 987fssd 6745 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
989400, 592, 9883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
990 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
99115, 258, 14, 826, 26, 38, 39, 259, 261, 265, 80, 836, 837, 989, 841, 990fourierdlem75 45802 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
992 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
99315, 258, 14, 826, 27, 37, 39, 259, 261, 267, 80, 836, 837, 593, 839, 992fourierdlem74 45801 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
994 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
995 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
996995fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
997994, 996oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
998997cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
999445, 447, 889, 177, 259, 899, 918, 924, 926, 985, 991, 993, 998fourierdlem70 45797 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
1000 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1001 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑠))
10021001fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(𝐺𝑡)) = (abs‘(𝐺𝑠)))
10031002breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → ((abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10041003cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
10051004ralbii 3083 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
100610053anbi3i 1156 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ↔ ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10071006anbi1i 622 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ↔ (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol))
10081007anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
10091008anbi1i 622 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
101014, 15, 27, 38, 39, 40, 41, 818, 817, 999, 843, 1000, 1009fourierdlem87 45814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1011 iftrue 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
10121011adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
101353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ∈ ℝ*)
101454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ*)
1015 rpre 13036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ)
10161015adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1017 rpgt0 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐)
10181017adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < 𝑐)
101912rehalfcli 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
10201019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
102112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ)
1022 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ (π / 2))
1023 halfpos 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ (π / 2) < π))
102412, 1023ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < π ↔ (π / 2) < π)
1025885, 1024mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) < π
10261025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) < π)
10271016, 1020, 1021, 1022, 1026lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 < π)
10281013, 1014, 1016, 1018, 1027eliood 45116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ (0(,)π))
10291012, 1028eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1030 iffalse 4542 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
1031 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
103212, 100, 885, 1031divgt0ii 12183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < (π / 2)
1033 elioo2 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π)))
103453, 54, 1033mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π))
10351019, 1032, 1025, 1034mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / 2) ∈ (0(,)π)
10361035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → (π / 2) ∈ (0(,)π))
10371030, 1036eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
10381037adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
10391029, 1038pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
104010393ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1041 ioombl 25585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol)
1043 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10441042, 1043jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1045 ioossicc 13464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
104647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
104712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
1048760a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ≤ 0)
1049784, 1039sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
10501019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ)
1051 min2 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
10521015, 1019, 1051sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
10531025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
10541049, 1050, 1047, 1052, 1053lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) < π)
10551049, 1047, 1054ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)
1056 iccss 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)) → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
10571046, 1047, 1048, 1055, 1056syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
10581045, 1057sstrid 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
1059 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
10601018, 1012breqtrrd 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10611032, 1030breqtrrid 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑐 ≤ (π / 2) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10621061adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10631060, 1062pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10641059, 1049, 1063ltled 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1065 volioo 25589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
10661059, 1049, 1064, 1065syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
10671049recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℂ)
10681067subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10691066, 1068eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1070 min1 13222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
10711015, 1019, 1070sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
10721069, 1071eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)
10731058, 1072jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
10741073adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
1075 sseq1 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ↔ (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π)))
1076 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘𝑢) = (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))))
10771076breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑐 ↔ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
10781075, 1077anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) ↔ ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)))
1079 itgeq1 25793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
10801079fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
10811080breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10821081ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10831078, 1082imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
10841083rspcva 3606 . . . . . . . . . . . . 13 (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10851044, 1074, 1084sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
108610853adant1 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1087 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (0(,)𝑑) = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
10881087itgeq1d 45578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
10891088fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
10901089breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10911090ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10921091rspcev 3608 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10931040, 1086, 1092syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10941093rexlimdv3a 3149 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10951010, 1094mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1096884, 1095r19.29a 3152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
10971096ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1098 nnex 12270 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10991098mptex 7240 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V
11001099a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V)
1101 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠))
1102765adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1103767ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1104765adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1105 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1106 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
11071105, 1106eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
11081107nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1109718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11101108, 1109readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1112210, 1104sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11131111, 1112remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11141113resincld 16145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11151104, 1114, 819syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11161115adantlll 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11171108adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
11181117adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1119 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
11201119rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11211118, 1120readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1122210, 1102sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11231121, 1122remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11241123resincld 16145 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11251116, 1124eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
11261103, 1125remulcld 11294 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
1127817fvmpt2 7020 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
11281102, 1126, 1127syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1129 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
11301129oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
11311130fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11321131ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11331116, 1132eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11341133oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11351128, 1134eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11361135itgeq2dv 25802 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1137 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1138798itgeq2dv 25802 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11391138eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ))
1140793, 1139imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)))
1141767adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1142 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
11431142, 765, 814syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11441141, 1143remulcld 11294 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
11451144, 845itgcl 25804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11461140, 1145chvarvv 1995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11471101, 1136, 1137, 1146fvmptd 7016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑘) = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11489, 2, 1100, 1147, 1146clim0c 15509 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
11491097, 1148mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0)
11501098mptex 7240 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π)) ∈ V
11516, 1150eqeltri 2822 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
11521151a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ V)
11531098mptex 7240 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V
11541153a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V)
115512recni 11278 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
11561155a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1157 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π))
1158 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚) → π = π)
1159 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ)
116012a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
11611157, 1158, 1159, 1160fvmptd 7016 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
11621161adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
11639, 2, 1154, 1156, 1162climconst 15545 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ⇝ π)
1164759, 885gtneii 11376 . . . . . 6 π ≠ 0
11651164a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ≠ 0)
116615adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
116727adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
116838adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
1169825, 1166, 1167, 1168, 39, 40, 41, 830, 818, 817fourierdlem67 45794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
11701169adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1171802sselda 3979 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
11721170, 1171ffvelcdmd 7099 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
11731169ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
11741169feqmptd 6971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
11751174, 843eqeltrrd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
1176802, 804, 1173, 1175iblss 25825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
11771172, 1176itgcl 25804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
1178 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11791178fvmpt2 7020 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11801142, 1177, 1179syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11811180, 1177eqeltrd 2826 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
1182 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
11831182fvmpt2 7020 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
118412, 1183mpan2 689 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
11851155a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
11861164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
1187 eldifsn 4795 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
11881185, 1186, 1187sylanbrc 581 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
11891184, 1188eqeltrd 2826 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11901189adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11911155a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
11921164a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
11931177, 1191, 1192divcld 12041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ)
11946fvmpt2 7020 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ) → (𝐸𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
11951142, 1193, 1194syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
11961180eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛))
11971184eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
11981197adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
11991196, 1198oveq12d 7442 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12001195, 1199eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12013, 4, 5, 8, 9, 2, 1149, 1152, 1163, 1165, 1181, 1190, 1200climdivf 45233 . . . 4 (𝜑𝐸 ⇝ (0 / π))
12021155, 1164div0i 11999 . . . . 5 (0 / π) = 0
12031202a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 / π) = 0)
12041201, 1203breqtrd 5179 . . 3 (𝜑𝐸 ⇝ 0)
1205 fourierdlem104.z . . . . 5 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
12061098mptex 7240 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ∈ V
12071205, 1206eqeltri 2822 . . . 4 𝑍 ∈ V
12081207a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
12091098mptex 7240 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V
12101209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V)
1211 limccl 25895 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ⊆ ℂ
12121211, 26sselid 3977 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
12131212halfcld 12509 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
1214 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)))
1215 eqidd 2727 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑌 / 2) = (𝑌 / 2))
12169eqcomi 2735 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ℕ
12171216eleq2i 2818 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑛 ∈ ℕ)
12181217biimpi 215 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
12191218adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
12201213adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
12211214, 1215, 1219, 1220fvmptd 7016 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) = (𝑌 / 2))
12221, 2, 1210, 1213, 1221climconst 15545 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ⇝ (𝑌 / 2))
12231193, 6fmptd 7128 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℕ⟶ℂ)
12241223adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
12251224, 1219ffvelcdmd 7099 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
12261221, 1220eqeltrd 2826 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) ∈ ℂ)
12271221oveq2d 7440 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)) = ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)))
1228803a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
1229 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
12301229rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
123154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
1232 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
1233 ioogtlb 45113 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
12341230, 1231, 1232, 1233syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑠)
12351234gt0ne0d 11828 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ≠ 0)
12361235neneqd 2935 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 = 0)
1237 velsn 4649 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
12381236, 1237sylnibr 328 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
1239765, 1238eldifd 3958 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
12401239ssriv 3983 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
12411240a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1242 fourierdlem104.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
12431234adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
12441243iftrued 4541 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
1245 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝐷𝑛) = (𝐷𝑛)
1246 0red 11267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
124712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
1248759, 12, 885ltleii 11387 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
12491248a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
1250 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
12511242, 1142, 1245, 1246, 1247, 1249, 1250dirkeritg 45723 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)))
1252 ubicc2 13496 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
125353, 54, 1248, 1252mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 π ∈ (0[,]π)
1254 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π → (𝑠 / 2) = (π / 2))
1255 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = π → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · π))
12561255fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = π → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘(𝑘 · π)))
12571256oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘))
1258 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
12591258zcnd 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℂ)
12601155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ∈ ℂ)
12611164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ≠ 0)
12621259, 1260, 1261divcan4d 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) = 𝑘)
12631262, 1258eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ)
12641259, 1260mulcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · π) ∈ ℂ)
1265 sineq0 26551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 · π) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
12661264, 1265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
12671263, 1266mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (sin‘(𝑘 · π)) = 0)
12681267oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1269 0red 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 ∈ ℝ)
1270 1red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
12711258zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℝ)
127298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 1)
1273 elfzle1 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑘)
12741269, 1270, 1271, 1272, 1273ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 𝑘)
12751274gt0ne0d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ≠ 0)
12761259, 1275div0d 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (0 / 𝑘) = 0)
12771268, 1276eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = 0)
12781257, 1277sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
12791278sumeq2dv 15707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1280 fzfi 13992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑛) ∈ Fin
12811280olci 864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1282 sumz 15726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
12831281, 1282ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0
12841279, 1283eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
12851254, 1284oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = π → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = ((π / 2) + 0))
12861285oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = π → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (((π / 2) + 0) / π))
1287 ovex 7457 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) + 0) / π) ∈ V
12881286, 1250, 1287fvmpt 7009 . . . . . . . . . 10 (π ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π))
12891253, 1288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π)
1290 lbicc2 13495 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
129153, 54, 1248, 1290mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]π)
1292 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1293 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
12941293, 238div0i 11999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 / 2) = 0
12951292, 1294eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
1296 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 0 → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · 0))
12971259mul01d 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · 0) = 0)
12981296, 1297sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘 · 𝑠) = 0)
12991298fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘0))
1300 sin0 16151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (sin‘0) = 0
13011299, 1300eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = 0)
13021301oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
13031276adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (0 / 𝑘) = 0)
13041302, 1303eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13051304sumeq2dv 15707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
13061305, 1283eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13071295, 1306oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = (0 + 0))
1308 00id 11439 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) = 0
13091307, 1308eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = 0)
13101309oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (0 / π))
13111310, 1202eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = 0)
1312 c0ex 11258 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13131311, 1250, 1312fvmpt 7009 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0)
13141291, 1313ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0
13151289, 1314oveq12i 7436 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0)
13161315a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0))
13171019recni 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
13181317addridi 11451 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) + 0) = (π / 2)
13191318oveq1i 7434 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) + 0) / π) = ((π / 2) / π)
13201155, 1293, 1155, 238, 1164divdiv32i 12020 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2)
13211155, 1164dividi 11998 . . . . . . . . . . . 12 (π / π) = 1
13221321oveq1i 7434 . . . . . . . . . . 11 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
13231319, 1320, 13223eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) + 0) / π) = (1 / 2)
13241323oveq1i 7434 . . . . . . . . 9 ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = ((1 / 2) − 0)
1325 halfcn 12479 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
13261325subid1i 11582 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 0) = (1 / 2)
13271324, 1326eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2)
13281327a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2))
13291251, 1316, 13283eqtrd 2770 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
133014, 15, 258, 259, 261, 826, 263, 265, 267, 39, 40, 41, 818, 817, 837, 593, 839, 841, 26, 37, 1228, 1241, 6, 1242, 27, 1244, 1329fourierdlem95 45822 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13311219, 1330syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13321205a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
1333 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝐷𝑚) = (𝐷𝑛))
13341333fveq1d 6903 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷𝑚)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
13351334oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13361335adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝑛𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13371336itgeq2dv 25802 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13381337adantl 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
133914adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
134015adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1341775adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13421340, 1341readdcld 11293 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13431339, 1342ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13441343adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13451242dirkerf 45718 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
13461345ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
1347775adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13481346, 1347ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
13491344, 1348remulcld 11294 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
135014adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
135115adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1352210sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
13531352adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13541351, 1353readdcld 11293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13551350, 1354ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13561355adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13571345ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
13581352adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13591357, 1358ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
13601356, 1359remulcld 11294 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
136147a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
13621242dirkercncf 45728 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
13631362adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1364 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13651361, 1247, 825, 1166, 258, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 1363, 1364fourierdlem84 45811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
1366802, 804, 1360, 1365iblss 25825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
13671349, 1366itgrecl 25818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
13681332, 1338, 1142, 1367fvmptd 7016 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13691368eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
13701219, 1369syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
13711227, 1331, 13703eqtrrd 2771 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑍𝑛) = ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)))
13721, 2, 1204, 1208, 1222, 1225, 1226, 1371climadd 15634 . 2 (𝜑𝑍 ⇝ (0 + (𝑌 / 2)))
13731213addlidd 11465 . 2 (𝜑 → (0 + (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
13741372, 1373breqtrd 5179 1 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  csb 3892  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  ran crn 5683  cres 5684  cio 6504   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554   Isom wiso 6555  crio 7379  (class class class)co 7424  m cmap 8855  Fincfn 8974  supcsup 9483  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  (,)cioo 13378  [,]cicc 13381  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681   mod cmo 13889  chash 14347  abscabs 15239  cli 15486  Σcsu 15690  sincsin 16065  πcpi 16068  TopOpenctopn 17436  topGenctg 17452  fldccnfld 21343  intcnt 23012  cnccncf 24887  volcvol 25483  𝐿1cibl 25637  citg 25638   lim climc 25882   D cdv 25883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-symdif 4244  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-t1 23309  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-itg 25643  df-0p 25690  df-limc 25886  df-dv 25887
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