Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem104 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem104 44525
Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem104.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem104.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem104.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem104.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem104.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem104.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem104.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem104.fbdioo ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
fourierdlem104.fdvcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem104.fdvbd ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
fourierdlem104.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem104.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem104.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem104.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem104.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem104.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem104.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem104.z 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)
fourierdlem104.e 𝐸 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
fourierdlem104.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem104.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem104.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem104.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem104.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem104.o 𝑂 = (π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))
fourierdlem104.t 𝑇 = ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)))
fourierdlem104.n 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
fourierdlem104.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem104.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem104.1 𝐢 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
fourierdlem104.ch (πœ’ ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem104 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ (π‘Œ / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑖,𝑑,𝑀,𝑧   𝐷,𝑖,π‘š,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝐹,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   π‘š,𝐹,π‘˜   𝑀,𝐹,𝑧,π‘˜,𝑠   𝑒,𝐺,π‘˜,𝑠   𝑖,𝐺,𝑑   𝑖,𝐻,𝑠   π‘˜,𝐽,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,π‘˜   𝑖,𝐽,𝑑   π‘š,𝐽   𝑀,𝐽,𝑧   𝐾,𝑠   𝐿,𝑙,𝑠,𝑑   π‘˜,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑑   π‘š,𝑀,𝑝,𝑖   𝑖,𝑁,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   𝑒,𝑁,𝑙   𝑓,𝑁   π‘š,𝑁   𝑀,𝑁,𝑧   𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,π‘˜   𝑑,𝑂   𝑄,𝑙,𝑠   𝑄,𝑓   𝑄,𝑖,𝑑   𝑄,𝑝   𝑅,𝑙,𝑠,𝑑   𝑆,𝑠   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑑,π‘˜,𝑠,𝑙   π‘ˆ,𝑛,π‘˜,𝑠   𝑖,𝑉,π‘˜,𝑠   𝑉,𝑝   𝑑,𝑉   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   π‘š,𝑋,𝑝   𝑀,𝑋,𝑧   𝑖,π‘Œ,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑   π‘š,π‘Œ,𝑛,𝑖   𝑀,π‘Œ,𝑧   𝑛,𝑍   𝑒,𝑑   𝑖,𝑑,πœ‘,𝑑,π‘˜,𝑙,𝑠   πœ‘,𝑒   πœ’,𝑠   𝑓,𝑑,πœ‘   𝑀,𝑑,𝑧,πœ‘   𝑒,𝑛,πœ‘   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   πœ’(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐡(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐢(𝑒,𝑓,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,π‘˜,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑀,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   π‘ˆ(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘š,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑀,𝑓,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑀,𝑓,𝑖,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑀,𝑒,𝑓,π‘š,𝑛,𝑑,𝑙)   π‘Š(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem104
Dummy variables βˆ₯ 𝑏 π‘Ÿ 𝑐 𝑒 𝑗 𝑦 π‘₯ β„Ž 𝑣 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12541 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘›πœ‘
4 nfmpt1 5218 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
5 nfmpt1 5218 . . . . 5 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)
6 fourierdlem104.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
7 nfmpt1 5218 . . . . . 6 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
86, 7nfcxfr 2906 . . . . 5 Ⅎ𝑛𝐸
9 nnuz 12813 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
12 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14 fourierdlem104.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
15 fourierdlem104.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
16 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
1814, 17fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
19 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
22 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2415ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
2521, 23, 15, 24lptioo1cn 43961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
26 fourierdlem104.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
2718, 20, 25, 26limcrecl 43944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
28 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† ℝ)
3014, 29fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)βŸΆβ„)
31 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝑋) βŠ† β„‚)
33 mnfxr 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3515mnfltd 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑋)
3621, 34, 15, 35lptioo2cn 43960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(-∞(,)𝑋)))
37 fourierdlem104.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
3830, 32, 36, 37limcrecl 43944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
39 fourierdlem104.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
40 fourierdlem104.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
41 fourierdlem104.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
4214, 15, 27, 38, 39, 40, 41fourierdlem55 44476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
43 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† β„‚
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4542, 44fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
4712renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -Ο€ ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
4947a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
50 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
51 negpilt0 43588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -Ο€ < 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ < 0)
53 0xr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
5412rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ο€ ∈ ℝ*
55 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < 𝑑)
5653, 54, 55mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < 𝑑)
5749, 50, 10, 52, 56lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ < 𝑑)
5849, 10, 57ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ -Ο€ ≀ 𝑑)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑑)
6013leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ Ο€ ≀ Ο€)
61 iccss 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ∧ (-Ο€ ≀ 𝑑 ∧ Ο€ ≀ Ο€)) β†’ (𝑑[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
6248, 13, 59, 60, 61syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑑[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
6346, 62fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€)):(𝑑[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
64 fourierdlem104.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑂 = (π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€)))
6665feq1d 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑂:(𝑑[,]Ο€)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€)):(𝑑[,]Ο€)βŸΆβ„‚))
6763, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑂:(𝑑[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
68 fourierdlem104.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
6912elexi 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ο€ ∈ V
7069prid2 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ο€ ∈ {𝑑, Ο€}
71 elun1 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ο€ ∈ {𝑑, Ο€} β†’ Ο€ ∈ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ο€ ∈ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)))
73 fourierdlem104.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 = ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)))
7472, 73eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ο€ ∈ 𝑇
7574ne0ii 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑇 β‰  βˆ…
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
77 prfi 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑑, Ο€} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ {𝑑, Ο€} ∈ Fin)
79 fzfi 13884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem104.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
8180rnmptfi 43462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0...𝑀) ∈ Fin β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ran 𝑄 ∈ Fin
83 infi 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑄 ∈ Fin β†’ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) ∈ Fin)
8482, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) ∈ Fin)
85 unfi 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑑, Ο€} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) ∈ Fin) β†’ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€))) ∈ Fin)
8678, 84, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€))) ∈ Fin)
8773, 86eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
88 hashnncl 14273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‡) ∈ β„• ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‡) ∈ β„• ↔ 𝑇 β‰  βˆ…))
9076, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) ∈ β„•)
91 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘‡) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
9368, 92eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
95 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 ∈ ℝ)
96 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 1 ∈ ℝ)
9794nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
98 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < 1)
100 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 2 ∈ ℝ)
10290nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
103102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (β™―β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
104 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 < Ο€)
10553, 54, 104mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑑 < Ο€)
10610, 105ltned 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑑 β‰  Ο€)
107106adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 β‰  Ο€)
108 hashprg 14302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{𝑑, Ο€}) = 2))
10911, 12, 108sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑑 β‰  Ο€ ↔ (β™―β€˜{𝑑, Ο€}) = 2))
110107, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (β™―β€˜{𝑑, Ο€}) = 2)
111110eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 2 = (β™―β€˜{𝑑, Ο€}))
11287adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑇 ∈ Fin)
113 ssun1 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑑, Ο€} βŠ† ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)))
114113, 73sseqtrri 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑑, Ο€} βŠ† 𝑇
115 hashssle 43606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {𝑑, Ο€} βŠ† 𝑇) β†’ (β™―β€˜{𝑑, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π‘‡))
116112, 114, 115sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (β™―β€˜{𝑑, Ο€}) ≀ (β™―β€˜π‘‡))
117111, 116eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘‡))
118101, 103, 96, 117lesub1dd 11778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (2 βˆ’ 1) ≀ ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1))
119 1e2m1 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (2 βˆ’ 1)
120118, 119, 683brtr4g 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 1 ≀ 𝑁)
12195, 96, 97, 99, 120ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < 𝑁)
122121gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 β‰  0)
123 elnnne0 12434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 β‰  0))
12494, 122, 123sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
125 fourierdlem104.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12611leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑑)
12712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
12810, 127, 105ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑑 ≀ Ο€)
129128adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 ≀ Ο€)
13011, 13, 11, 126, 129eliccd 43816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 ∈ (𝑑[,]Ο€))
13111, 13, 13, 129, 60eliccd 43816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ Ο€ ∈ (𝑑[,]Ο€))
132130, 131jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑑[,]Ο€) ∧ Ο€ ∈ (𝑑[,]Ο€)))
133 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
134133, 69prss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ (𝑑[,]Ο€) ∧ Ο€ ∈ (𝑑[,]Ο€)) ↔ {𝑑, Ο€} βŠ† (𝑑[,]Ο€))
135132, 134sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ {𝑑, Ο€} βŠ† (𝑑[,]Ο€))
136 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) βŠ† (𝑑(,)Ο€)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) βŠ† (𝑑(,)Ο€))
138 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)Ο€) βŠ† (𝑑[,]Ο€)
139137, 138sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) βŠ† (𝑑[,]Ο€))
140135, 139unssd 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€))) βŠ† (𝑑[,]Ο€))
14173, 140eqsstrid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑑[,]Ο€))
142133prid1 4728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ {𝑑, Ο€}
143 elun1 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑑, Ο€} β†’ 𝑑 ∈ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€))))
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)))
145144, 73eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑 ∈ 𝑇
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
14774a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ Ο€ ∈ 𝑇)
148112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147fourierdlem52 44473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝐽:(0...𝑁)⟢(𝑑[,]Ο€) ∧ (π½β€˜0) = 𝑑) ∧ (π½β€˜π‘) = Ο€))
149148simplld 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐽:(0...𝑁)⟢(𝑑[,]Ο€))
150148simplrd 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π½β€˜0) = 𝑑)
151148simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π½β€˜π‘) = Ο€)
152 elfzoelz 13579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
153152zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
154153adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
155154ltp1d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ < (π‘˜ + 1))
15610, 127jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ))
157133, 69prss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ↔ {𝑑, Ο€} βŠ† ℝ)
158156, 157sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ {𝑑, Ο€} βŠ† ℝ)
159158adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ {𝑑, Ο€} βŠ† ℝ)
160 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑(,)Ο€) βŠ† ℝ
161136, 160sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) βŠ† ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€)) βŠ† ℝ)
163159, 162unssd 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ({𝑑, Ο€} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)Ο€))) βŠ† ℝ)
16473, 163eqsstrid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
165112, 164, 125, 68fourierdlem36 44458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
166165adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
167 elfzofz 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
168167adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
169 fzofzp1 13676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))
170169adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))
171 isorel 7276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ < (π‘˜ + 1) ↔ (π½β€˜π‘˜) < (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
172166, 168, 170, 171syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ < (π‘˜ + 1) ↔ (π½β€˜π‘˜) < (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
173155, 172mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) < (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
17442adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
175174, 62feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )))
17662sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
17714, 15, 27, 38, 39fourierdlem9 44431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
178177ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
179178, 176ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
18040fourierdlem43 44465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
182181, 176ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
183179, 182remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
18441fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
185176, 183, 184syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
186 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 0 ∈ ℝ)
18710adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
18812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
189 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€))
190 eliccre 43817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
191187, 188, 189, 190syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
19256adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 0 < 𝑑)
193187rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
19454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
195 iccgelb 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑠)
196193, 194, 189, 195syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑠)
197186, 187, 191, 192, 196ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 0 < 𝑠)
198197gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 β‰  0)
199198adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 β‰  0)
200199neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
201200iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
202197adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 0 < 𝑠)
203202iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
204203oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
205204oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
206201, 205eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
20714ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
20815ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
209 iccssre 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
21047, 12, 209mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
211210, 176sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
212208, 211readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
213207, 212ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21427ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
215213, 214resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ)
216215, 211, 199redivcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) ∈ ℝ)
217206, 216eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
21839fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
219176, 217, 218syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
220219, 201, 2053eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π»β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
221188renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
22251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ -Ο€ < 0)
223221, 186, 191, 222, 197lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ -Ο€ < 𝑠)
224221, 191, 223ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ 𝑠)
225 iccleub 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
226193, 194, 189, 225syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
227221, 188, 191, 224, 226eliccd 43816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
228198neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
229228iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
230100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 2 ∈ ℝ)
231191rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
232231resincld 16032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
233230, 232remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
234 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 2 ∈ β„‚)
235191recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
236235halfcld 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
237236sincld 16019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
238 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 β‰  0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 2 β‰  0)
240 fourierdlem44 44466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
241227, 198, 240syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
242234, 237, 239, 241mulne0d 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
243191, 233, 242redivcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
244229, 243eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
24540fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
246227, 244, 245syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (0(,)Ο€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
247246adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
248220, 247oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
249200iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
250249oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
251185, 248, 2503eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
252251mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
25365, 175, 2523eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
254253adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
255254reseq1d 5941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
25614adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
25715adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
258 fourierdlem104.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
259 fourierdlem104.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
260259adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
261 fourierdlem104.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
262261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
263 fourierdlem104.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
264263adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
265 fourierdlem104.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
266265adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
267 fourierdlem104.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
268267adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
269105adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 < Ο€)
27050, 10ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ (0 < 𝑑 ↔ Β¬ 𝑑 ≀ 0))
27156, 270mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ 0)
272271intn3an2d 1481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Β¬ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€))
273 elicc2 13336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€)))
27410, 12, 273sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ (0 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≀ 0 ∧ 0 ≀ Ο€)))
275272, 274mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑑[,]Ο€))
276275adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝑑[,]Ο€))
27727adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
278 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
279 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) = (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2)))))
280 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) = (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2)))))
281 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘™) = (π‘„β€˜π‘–))
282 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
283282fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜(𝑙 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
284281, 283oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
285284sseq2d 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 β†’ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))) ↔ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
286285cbvriotavw 7328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
287256, 257, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286fourierdlem86 44507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∧ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚)))
288287simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
289255, 288eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
290287simplld 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
291254eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
292291reseq1d 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
293292oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
294290, 293eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
295287simplrd 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)))
296292oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)) = ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)))
297295, 296eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) limβ„‚ (π½β€˜π‘˜)))
298 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
29967adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑂:(𝑑[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
30011ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
30112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
302 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
303302adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
30462, 210sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑑[,]Ο€) βŠ† ℝ)
305304adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑑[,]Ο€) βŠ† ℝ)
306149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐽:(0...𝑁)⟢(𝑑[,]Ο€))
307306, 168ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ (𝑑[,]Ο€))
308305, 307sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
309308adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
31011adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
311310rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
31254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
313 iccgelb 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜π‘˜) ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑑 ≀ (π½β€˜π‘˜))
314311, 312, 307, 313syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 ≀ (π½β€˜π‘˜))
315314adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ≀ (π½β€˜π‘˜))
316309rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
317306, 170ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (𝑑[,]Ο€))
318305, 317sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
319318rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ*)
320319adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ*)
321 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))
322 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) < 𝑠)
323316, 320, 321, 322syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜π‘˜) < 𝑠)
324300, 309, 303, 315, 323lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 < 𝑠)
325300, 303, 324ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ≀ 𝑠)
326318adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
327 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π½β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 < (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
328316, 320, 321, 327syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 < (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
329 iccleub 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ Ο€)
330311, 312, 317, 329syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ Ο€)
331330adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ Ο€)
332303, 326, 301, 328, 331ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 < Ο€)
333303, 301, 332ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ≀ Ο€)
334300, 301, 303, 325, 333eliccd 43816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€))
335334ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€))
336 dfss3 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (𝑑[,]Ο€) ↔ βˆ€π‘  ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€))
337335, 336sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (𝑑[,]Ο€))
338299, 337feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (π‘‚β€˜π‘ )))
339 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ πœ‘)
340 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€))
34164fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘‚β€˜π‘ ) = ((π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))β€˜π‘ )
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = ((π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))β€˜π‘ ))
343 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))β€˜π‘ ) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
344343adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))β€˜π‘ ) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
345247, 249eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
346220, 345oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
347215recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ β„‚)
348235adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
349 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ 2 ∈ β„‚)
350348halfcld 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
351350sincld 16019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
352349, 351mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
353242adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) β‰  0)
354347, 348, 352, 199, 353dmdcan2d 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
355185, 346, 3543eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
356342, 344, 3553eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
357339, 340, 334, 356syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
358339, 340, 334, 354syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
359358eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
360 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑)) = (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑)))
361 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑋 + 𝑑) = (𝑋 + 𝑠))
362361fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
363362oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑠 β†’ 𝑑 = 𝑠)
365363, 364oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
366365adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∧ 𝑑 = 𝑠) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
367 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))
368 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) ∈ V
369368a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) ∈ V)
370360, 366, 367, 369fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
371 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))))
372 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 / 2) = (𝑠 / 2))
373372fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
374373oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑠 β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
375364, 374oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
376375adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∧ 𝑑 = 𝑠) β†’ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
377 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ V
378377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ V)
379371, 376, 367, 378fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
380370, 379oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )) = ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
381380eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
382381adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
383357, 359, 3823eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ ) = (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
384383mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (π‘‚β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ))))
385338, 384eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ))) = (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
386385oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))) = (ℝ D (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
38743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
388337, 305sstrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ℝ)
38921tgioo2 24182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
39021, 389dvres 25291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝑂:(𝑑[,]Ο€)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝑑[,]Ο€) βŠ† ℝ ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
391387, 299, 305, 388, 390syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑂 β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
392 ioontr 43823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))
393392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))
394393reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
395386, 391, 3943eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))))
39614ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
39715ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
398259ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
399261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
400 fourierdlem104.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
401400ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40262adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑑[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
403337, 402sstrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
40453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
405 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ ℝ)
40656ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 < 𝑑)
407405, 310, 308, 406, 314ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 < (π½β€˜π‘˜))
408308, 319, 404, 407ltnelicc 43809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))))
40927ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
41012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
411269adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑑 < Ο€)
412 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
413 biid 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘£)(,)(π‘„β€˜(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘£)(,)(π‘„β€˜(𝑣 + 1)))))
414397, 258, 398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413fourierdlem50 44471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))(,)(π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)))))
415414simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
416414simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))(,)(π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))))
417365cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑)) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
418375cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
419 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))
420396, 397, 258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419fourierdlem72 44493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑑))β€˜π‘ ) Β· ((𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (𝑑 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))β€˜π‘ )))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
421395, 420eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝑂) β†Ύ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1)))–cnβ†’β„‚))
422 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
423 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) = ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
424 fourierdlem104.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐢 = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
425424, 415eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (0..^𝑀))
426 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ πœ‘)
427426, 425jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)))
428 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)))
429428anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐢 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀))))
430 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐢 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜πΆ))
431 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐢 β†’ (𝑖 + 1) = (𝐢 + 1))
432431fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐢 β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
433430, 432oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐢 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
434 raleq 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
435433, 434syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
436435rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
437429, 436imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)))
438 fourierdlem104.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
439437, 438vtoclg 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
440425, 427, 439sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
441 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
442 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀
443441, 442nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑑(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
444 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
44547a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
446445, 15readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
44712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
448447, 15readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
449446, 448iccssred 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
450 ressxr 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ βŠ† ℝ*
451449, 450sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ*)
452451ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ*)
453258, 398, 399fourierdlem15 44437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
454 elfzofz 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐢 ∈ (0...𝑀))
455425, 454syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ (0...𝑀))
456453, 455ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
457452, 456sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ*)
458457adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ*)
459 fzofzp1 13676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐢 + 1) ∈ (0...𝑀))
460425, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐢 + 1) ∈ (0...𝑀))
461453, 460ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
462452, 461sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ*)
463462adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ*)
464 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
465464adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
46647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
467466, 410, 397, 258, 398, 399, 455, 80fourierdlem13 44435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜πΆ) = ((π‘‰β€˜πΆ) βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜πΆ) = (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ))))
468467simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) = (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)))
469468adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) = (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)))
470449ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
471470, 456sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ)
472471adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) ∈ ℝ)
473469, 472eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) ∈ ℝ)
474397, 308readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
475474adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
476467simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜πΆ) = ((π‘‰β€˜πΆ) βˆ’ 𝑋))
477471, 397resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘‰β€˜πΆ) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
478476, 477eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜πΆ) ∈ ℝ)
479466, 410, 397, 258, 398, 399, 460, 80fourierdlem13 44435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝐢 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1)))))
480479simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝐢 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) βˆ’ 𝑋))
481470, 461sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ)
482481, 397resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
483480, 482eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝐢 + 1)) ∈ ℝ)
484424eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) = 𝐢
485484fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))) = (π‘„β€˜πΆ)
486484oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐢 + 1)
487486fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)) = (π‘„β€˜(𝐢 + 1))
488485, 487oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))(,)(π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((π‘„β€˜πΆ)(,)(π‘„β€˜(𝐢 + 1)))
489416, 488sseqtrdi 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜πΆ)(,)(π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
490478, 483, 308, 318, 173, 489fourierdlem10 44432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜πΆ) ≀ (π½β€˜π‘˜) ∧ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
491490simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜πΆ) ≀ (π½β€˜π‘˜))
492478, 308, 397, 491leadd2dd 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) ≀ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))
493492adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) ≀ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))
494475rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ*)
495397, 318readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
496495rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ*)
497496adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ*)
498 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
499 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) < 𝑑)
500494, 497, 498, 499syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) < 𝑑)
501473, 475, 465, 493, 500lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜πΆ)) < 𝑑)
502469, 501eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (π‘‰β€˜πΆ) < 𝑑)
503495adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
504479simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)) = (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
505504, 481eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) ∈ ℝ)
506505adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) ∈ ℝ)
507 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
508494, 497, 498, 507syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
509490simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐢 + 1)))
510318, 483, 397, 509leadd2dd 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
511510adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
512465, 503, 506, 508, 511ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))))
513504eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
514513adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝐢 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
515512, 514breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 < (π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))
516458, 463, 465, 502, 515eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
517516adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
518 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
519444, 517, 518syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
520519ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
521443, 520ralrimi 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
522521ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
523522reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
524440, 523mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
525433raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
526525rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐢 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
527429, 526imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)))
528 fourierdlem104.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
529527, 528vtoclg 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
530425, 427, 529sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
531 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧
532441, 531nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑑(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
53314, 44fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
534 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ βŠ† ℝ
535534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
536 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ
537536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ)
53821, 389dvres 25291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
53944, 533, 535, 537, 538syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
540 ioontr 43823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
541540reseq2i 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
542539, 541eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
543542fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))β€˜π‘‘))
544 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
545543, 544sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
546545ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘))
547546fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
548547adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)))
549 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
550516adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
551 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 ∧ 𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
552549, 550, 551syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
553548, 552eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
554553ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
555532, 554ralrimi 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
556555ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
557556reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
558530, 557mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
559311, 312, 306, 412fourierdlem8 44430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† (𝑑[,]Ο€))
560124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
561149, 304fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐽:(0...𝑁)βŸΆβ„)
562561ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ 𝐽:(0...𝑁)βŸΆβ„)
563 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€))
564150eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑑 = (π½β€˜0))
565151eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ Ο€ = (π½β€˜π‘))
566564, 565oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑑[,]Ο€) = ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
567566adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ (𝑑[,]Ο€) = ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
568563, 567eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
569568adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ π‘Ÿ ∈ ((π½β€˜0)[,](π½β€˜π‘)))
570 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽)
571 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π½β€˜π‘—) = (π½β€˜π‘˜))
572571breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π½β€˜π‘—) < π‘Ÿ ↔ (π½β€˜π‘˜) < π‘Ÿ))
573572cbvrabv 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘—) < π‘Ÿ} = {π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘˜) < π‘Ÿ}
574573supeq1i 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘—) < π‘Ÿ}, ℝ, < ) = sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∣ (π½β€˜π‘˜) < π‘Ÿ}, ℝ, < )
575560, 562, 569, 570, 574fourierdlem25 44447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑑[,]Ο€)) ∧ Β¬ π‘Ÿ ∈ ran 𝐽) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)π‘Ÿ ∈ ((π½β€˜π‘š)(,)(π½β€˜(π‘š + 1))))
576533ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
577534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† ℝ)
578536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ℝ)
579387, 576, 577, 578, 538syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
580516ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
581 dfss3 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))𝑑 ∈ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
582580, 581sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))))
583 resabs2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))) βŠ† ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
585541, 579, 5843eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))))
586582resabs1d 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
587586eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
588585, 584, 5873eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))))
589433reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐢 β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))))
590589, 433feq12d 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ ↔ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„))
591429, 590imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„)))
592 cncff 24272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
593400, 592syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
594591, 593vtoclg 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐢 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„))
595594anabsi7 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„)
596427, 595syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))):((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))βŸΆβ„)
597596, 582fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜πΆ)(,)(π‘‰β€˜(𝐢 + 1)))) β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))):((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))βŸΆβ„)
598588, 597feq1dd 43458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))):((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))βŸΆβ„)
599363, 374oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
600599cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑑)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
601 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘‘))
602601fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
603602breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
604603cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀)
605604anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀))
606 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘))
607606fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) = (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)))
608607breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑧 ↔ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
609608cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧)
610605, 609anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑀) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘Ÿ)) ≀ 𝑧) ↔ ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))(absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + (π½β€˜π‘˜))(,)(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝑧))
611256, 257, 11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610fourierdlem80 44501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
612354mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
613253, 612eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
614613oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
615614dmeqd 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
616 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
617 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑠ℝ
618 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑠 D
619 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
620617, 618, 619nfov 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
621620nfdm 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
622616, 621raleqf 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
623615, 622syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
624614fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ ) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ ))
625624fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) = (absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )))
626625breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
627626ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
628623, 627bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
629628rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
630611, 629mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
631 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠)
632 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 = (π½β€˜π‘˜) ↔ 𝑠 = (π½β€˜π‘˜)))
633 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (β„Ž = 𝑙 β†’ (π‘„β€˜β„Ž) = (π‘„β€˜π‘™))
634 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (β„Ž = 𝑙 β†’ (β„Ž + 1) = (𝑙 + 1))
635634fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (β„Ž = 𝑙 β†’ (π‘„β€˜(β„Ž + 1)) = (π‘„β€˜(𝑙 + 1)))
636633, 635oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (β„Ž = 𝑙 β†’ ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))) = ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
637636sseq2d 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (β„Ž = 𝑙 β†’ (((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))) ↔ ((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))
638637cbvriotavw 7328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))
639638fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))
640639eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))) ↔ (π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ ((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))) ↔ (π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))))))
642 csbeq1 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘… = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…)
643638, 642mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘… = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…)
644641, 643ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊀ β†’ if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) = if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))))
645644mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) = if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜))))
646645oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) = (if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ)
647646oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) = ((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜))
648647oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) = (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2)))))
649648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))) = (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))))
650 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ 𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1))))
651638oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1) = ((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)
652651fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))
653652eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)) ↔ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)))
654653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)) ↔ (π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1))))
655 csbeq1 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) = (℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ)
656638, 655mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ = ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ)
657654, 656ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))))
658657mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) = if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1)))))
659658oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) = (if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ)
660659oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) = ((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1)))
661660oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) = (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2)))))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))) = (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))))
663 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (π‘‚β€˜π‘‘) = (π‘‚β€˜π‘ ))
664650, 662, 663ifbieq12d 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ if(𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘‘)) = if(𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘ )))
665632, 649, 664ifbieq12d 4519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑠 β†’ if(𝑑 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘‘))) = if(𝑠 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘ ))))
666665cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ if(𝑑 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1))))), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑑 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) + 1)), ⦋(β„©β„Ž ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜β„Ž)(,)(π‘„β€˜(β„Ž + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘‘)))) = (𝑠 ∈ ((π½β€˜π‘˜)[,](π½β€˜(π‘˜ + 1))) ↦ if(𝑠 = (π½β€˜π‘˜), (((if((π½β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1))))), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜π‘˜)))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜π‘˜)) Β· ((π½β€˜π‘˜) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜π‘˜) / 2))))), if(𝑠 = (π½β€˜(π‘˜ + 1)), (((if((π½β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘„β€˜((℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) + 1)), ⦋(℩𝑙 ∈ (0..^𝑀)((π½β€˜π‘˜)(,)(π½β€˜(π‘˜ + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘™)(,)(π‘„β€˜(𝑙 + 1)))) / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π½β€˜(π‘˜ + 1))))) βˆ’ π‘Œ) / (π½β€˜(π‘˜ + 1))) Β· ((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π½β€˜(π‘˜ + 1)) / 2))))), (π‘‚β€˜π‘ ))))
66711, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666fourierdlem73 44494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
668 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = π‘Ž β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž))
669668rexralbidv 3215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž))
670669cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž)
671667, 670sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž)
672671adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž)
673 rphalfcl 12949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
674673ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
675 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (𝑒 / 2) β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž ↔ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
676675rexralbidv 3215 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (𝑒 / 2) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
677676rspccva 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < π‘Ž ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
678672, 674, 677syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
679138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑑(,)Ο€) βŠ† (𝑑[,]Ο€))
680679sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (𝑑[,]Ο€))
681680, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ (𝑑[,]Ο€))β€˜π‘ ) = (π‘ˆβ€˜π‘ ))
682341, 681eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = (π‘‚β€˜π‘ ))
683682oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) = ((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))))
684683itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠)
685684adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠)
686685fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠))
687 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688686, 687eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
689688ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
690689adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
691690ralimdv 3167 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
692691reximdv 3168 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘‚β€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
693678, 692mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
694693adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
695 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€))
696 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
697695, 696nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ β„•
699697, 698nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•)
700 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
701699, 700nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
702 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)))
703 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
704703adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
705702, 704jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
706705adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•))
707 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708703adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
709 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
710707, 708, 709syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
711706, 710jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
712711adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
713 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
714713rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
715714adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
71622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
717 eluzelre 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
718 halfre 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ
719718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
720717, 719readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
721720adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
722713adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
723717adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
724 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ 𝑗 ≀ π‘˜)
725724adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ≀ π‘˜)
726 halfgt0 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < (1 / 2)
727726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 < (1 / 2))
728718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
729728, 723ltaddposd 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (0 < (1 / 2) ↔ π‘˜ < (π‘˜ + (1 / 2))))
730727, 729mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ < (π‘˜ + (1 / 2)))
731722, 723, 721, 725, 730lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 < (π‘˜ + (1 / 2)))
732721ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) < +∞)
733715, 716, 721, 731, 732eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
734733adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
735 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
736 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ (𝑙 Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
737736fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
738737oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
739738adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
740739itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
741740fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
742741breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (π‘˜ + (1 / 2)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
743742rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
744734, 735, 743sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
745744adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
746 fourierdlem104.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
747712, 745, 746sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ’)
748 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ 0 ∈ ℝ)
74912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
750 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
751746biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
752 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€))
753751, 752syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€))
754750, 753sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ 𝑑 ∈ (0[,]Ο€))
755 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ πœ‘)
756751, 755syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ πœ‘)
75742adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
75847rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -Ο€ ∈ ℝ*
759 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℝ
76047, 759, 51ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -Ο€ ≀ 0
761 iooss1 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ 0) β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
762758, 760, 761mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)Ο€)
763 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
764762, 763sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
765764sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
766765adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
767757, 766ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
768756, 767sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
769 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
770751, 769syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ’ β†’ π‘˜ ∈ β„•)
771770nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ’ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
772718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ’ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
773771, 772readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ’ β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
774773adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘˜ + (1 / 2)) ∈ ℝ)
775 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
776775adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
777774, 776remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
778777resincld 16032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
779768, 778remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
780779recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ β„‚)
78153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ 0 ∈ ℝ*)
78254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
783748leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ 0 ≀ 0)
784 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)Ο€) βŠ† ℝ
785784, 753sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
786781, 782, 753, 104syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ 𝑑 < Ο€)
787785, 749, 786ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ 𝑑 ≀ Ο€)
788 ioossioo 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑑 ≀ Ο€)) β†’ (0(,)𝑑) βŠ† (0(,)Ο€))
789781, 782, 783, 787, 788syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (0(,)𝑑) βŠ† (0(,)Ο€))
790 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)𝑑) ∈ dom vol
791790a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (0(,)𝑑) ∈ dom vol)
792 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ β„•))
793792anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•)))
794 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑛 = π‘˜)
795794oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
796795oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
797796fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
798797oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
799798mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
800799eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
801793, 800imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
802764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
803 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
804803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
80542ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
806805adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
807 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
808 readdcl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
809807, 718, 808sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
810809adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
811 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
812210, 811sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
813810, 812remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
814813resincld 16032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
815814adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
816806, 815remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
817 fourierdlem104.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
818 fourierdlem104.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
819818fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
820811, 814, 819syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
821820adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
822821oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
823822mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
824817, 823eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) = 𝐺)
82514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
826 fourierdlem104.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
827826adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
82826adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
82937adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
830807adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
831259adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
832261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
833263adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
834265adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
835267adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
836 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
837 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
838593adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
839 fourierdlem104.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
840839adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
841 fourierdlem104.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
842841adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
843258, 825, 827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842fourierdlem88 44509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
844824, 843eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
845802, 804, 816, 844iblss 25185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
846801, 845chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
847756, 770, 846syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
848789, 791, 779, 847iblss 25185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)𝑑) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
849781, 782, 753, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ’ β†’ 0 < 𝑑)
850748, 785, 849ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ 0 ≀ 𝑑)
851749leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ’ β†’ Ο€ ≀ Ο€)
852 ioossioo 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 𝑑 ∧ Ο€ ≀ Ο€)) β†’ (𝑑(,)Ο€) βŠ† (0(,)Ο€))
853781, 782, 850, 851, 852syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (𝑑(,)Ο€) βŠ† (0(,)Ο€))
854 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑(,)Ο€) ∈ dom vol
855854a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ (𝑑(,)Ο€) ∈ dom vol)
856853, 855, 779, 847iblss 25185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
857748, 749, 754, 780, 848, 856itgsplitioo 25218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = (∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
858857fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜(∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)))
859789sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€))
860859, 779syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
861860, 848itgcl 25164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ ∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
862853sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€))
863862, 779syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
864863, 856itgcl 25164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
865861, 864addcld 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) ∈ β„‚)
866865abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (absβ€˜(∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
867861abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
868864abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
869867, 868readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ((absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) + (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
870 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
871751, 870syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
872871rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
873861, 864abstrid 15348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (absβ€˜(∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) ≀ ((absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) + (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)))
874751simplrd 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
875751simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
876867, 868, 872, 874, 875lt2halvesd 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ((absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) + (absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
877866, 869, 872, 873, 876lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (absβ€˜(∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
878858, 877eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
879747, 878syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
880879ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
881701, 880ralrimi 3243 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
882881ex 414 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
883882reximdva 3166 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘™ ∈ (𝑗(,)+∞)(absβ€˜βˆ«(𝑑(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜(𝑙 Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
884694, 883mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)Ο€)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
885 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < Ο€
88647, 759, 12lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-Ο€ < 0 ∧ 0 < Ο€) β†’ -Ο€ < Ο€)
88751, 885, 886mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ < Ο€
88847, 12, 887ltleii 11285 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ ≀ Ο€
889888a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -Ο€ ≀ Ο€)
890258fourierdlem2 44424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
891259, 890syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
892261, 891mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
893892simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
894 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
895893, 894syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
896895ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
89715adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
898896, 897resubcld 11590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
899898, 80fmptd 7067 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
90080a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
901 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜0))
902901oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋))
903902adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋))
904259nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
905 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
906904, 905eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
907 eluzfz1 13455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
908906, 907syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
909895, 908ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜0) ∈ ℝ)
910909, 15resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
911900, 903, 908, 910fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋))
912892simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
913912simplld 767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋))
914913oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘‰β€˜0) βˆ’ 𝑋) = ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
915445recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
91615recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
917915, 916pncand 11520 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) = -Ο€)
918911, 914, 9173eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
919445, 447, 15, 258, 836, 259, 261, 80fourierdlem14 44436 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ((π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€))
920836fourierdlem2 44424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ ((π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
921259, 920syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ ((π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
922919, 921mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
923922simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
924923simplrd 769 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
925923simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
926925r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
92714adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
928836, 259, 919fourierdlem15 44437 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
929928adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
930 elfzofz 13595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
931930adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
932929, 931ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
933 fzofzp1 13676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
934933adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
935929, 934ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
93615adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
937 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ 𝑉 Fn (0...𝑀))
938893, 894, 9373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn (0...𝑀))
939 fvelrnb 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
940938, 939syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
941826, 940mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋)
942 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
943942adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
944916subidd 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0)
945944ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0)
946943, 945eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
947946ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
948947reximdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
949941, 948mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
95080elrnmpt 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
951759, 950ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)0 = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
952949, 951sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran 𝑄)
953836, 259, 919, 952fourierdlem12 44434 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 0 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
954895adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
955954, 931ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
956955, 936resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
95780fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
958931, 956, 957syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
959958oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
960955recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
961916adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
962960, 961npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
963959, 962eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
964 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜π‘–))
965964oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
966965cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
96780, 966eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
968967a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
969 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
970969oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
971970adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
972954, 934ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
973972, 936resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
974968, 971, 934, 973fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
975974oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
976972recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
977976, 961npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
978975, 977eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
979963, 978oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
980979reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
981979oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚) = (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
982263, 980, 9813eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋)(,)((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cnβ†’β„‚))
98327adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
98438adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
985927, 932, 935, 936, 953, 982, 983, 984, 39fourierdlem40 44462 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
986 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
98743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
988986, 987fssd 6691 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
989400, 592, 9883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
990 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐡, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐡, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
99115, 258, 14, 826, 26, 38, 39, 259, 261, 265, 80, 836, 837, 989, 841, 990fourierdlem75 44496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐡, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
992 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
99315, 258, 14, 826, 27, 37, 39, 259, 261, 267, 80, 836, 837, 593, 839, 992fourierdlem74 44495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 βˆ’ if((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
994 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–))
995 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
996995fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
997994, 996oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
998997cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
999445, 447, 889, 177, 259, 899, 918, 924, 926, 985, 991, 993, 998fourierdlem70 44491 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π»β€˜π‘ )) ≀ π‘₯)
1000 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1001 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘ ))
10021001fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑠 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
10031002breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦))
10041003cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦)
10051004ralbii 3097 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦)
100610053anbi3i 1160 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦))
10071006anbi1i 625 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol))
10081007anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
10091008anbi1i 625 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ 𝑦) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ β„•))
101014, 15, 27, 38, 39, 40, 41, 818, 817, 999, 843, 1000, 1009fourierdlem87 44508 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1011 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = 𝑐)
10121011adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = 𝑐)
101353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
101454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
1015 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
10161015adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
1017 rpgt0 12934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑐)
10181017adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 < 𝑐)
101912rehalfcli 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
10201019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
102112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1022 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2))
1023 halfpos 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (0 < Ο€ ↔ (Ο€ / 2) < Ο€))
102412, 1023ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < Ο€ ↔ (Ο€ / 2) < Ο€)
1025885, 1024mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ / 2) < Ο€
10261025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
10271016, 1020, 1021, 1022, 1026lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 < Ο€)
10281013, 1014, 1016, 1018, 1027eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 𝑐 ∈ (0(,)Ο€))
10291012, 1028eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (0(,)Ο€))
1030 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2))
1031 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
103212, 100, 885, 1031divgt0ii 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < (Ο€ / 2)
1033 elioo2 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((Ο€ / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (Ο€ / 2) ∧ (Ο€ / 2) < Ο€)))
103453, 54, 1033mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ο€ / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (Ο€ / 2) ∧ (Ο€ / 2) < Ο€))
10351019, 1032, 1025, 1034mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο€ / 2) ∈ (0(,)Ο€)
10361035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ (Ο€ / 2) ∈ (0(,)Ο€))
10371030, 1036eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (0(,)Ο€))
10381037adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (0(,)Ο€))
10391029, 1038pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (0(,)Ο€))
104010393ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (0(,)Ο€))
1041 ioombl 24945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) ∈ dom vol
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) ∈ dom vol)
1043 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10441042, 1043jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ ((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1045 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (0[,]if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
104647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
104712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1048760a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ -Ο€ ≀ 0)
1049784, 1039sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
10501019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
1051 min2 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ (Ο€ / 2))
10521015, 1019, 1051sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ (Ο€ / 2))
10531025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
10541049, 1050, 1047, 1052, 1053lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) < Ο€)
10551049, 1047, 1054ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ Ο€)
1056 iccss 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) ∧ (-Ο€ ≀ 0 ∧ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ Ο€)) β†’ (0[,]if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
10571046, 1047, 1048, 1055, 1056syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (0[,]if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
10581045, 1057sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
1059 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
10601018, 1012breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 < if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10611032, 1030breqtrrid 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2) β†’ 0 < if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10621061adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (Ο€ / 2)) β†’ 0 < if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10631060, 1062pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 < if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10641059, 1049, 1063ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
1065 volioo 24949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) = (if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) βˆ’ 0))
10661059, 1049, 1064, 1065syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) = (if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) βˆ’ 0))
10671049recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
10681067subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) βˆ’ 0) = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
10691066, 1068eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))
1070 min1 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 𝑐)
10711015, 1019, 1070sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ≀ 𝑐)
10721069, 1071eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐)
10731058, 1072jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ β†’ ((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐))
10741073adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ ((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐))
1075 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ↔ (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)))
1076 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ (volβ€˜π‘’) = (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))))
10771076breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ ((volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐 ↔ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐))
10781075, 1077anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ ((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) ↔ ((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐)))
1079 itgeq1 25153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
10801079fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
10811080breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ ((absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10821081ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10831078, 1082imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) β†’ (((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
10841083rspcva 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) ∈ dom vol ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ (((0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10851044, 1074, 1084sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
108610853adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1087 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ (0(,)𝑑) = (0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2))))
10881087itgeq1d 44272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ ∫(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
10891088fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
10901089breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ ((absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10911090ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10921091rspcev 3584 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)) ∈ (0(,)Ο€) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)if(𝑐 ≀ (Ο€ / 2), 𝑐, (Ο€ / 2)))((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0(,)Ο€)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10931040, 1086, 1092syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0(,)Ο€)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10941093rexlimdv3a 3157 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑐) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0(,)Ο€)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10951010, 1094mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0(,)Ο€)βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«(0(,)𝑑)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1096884, 1095r19.29a 3160 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
10971096ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1098 nnex 12166 . . . . . . . . 9 β„• ∈ V
10991098mptex 7178 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ∈ V
11001099a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ∈ V)
1101 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠))
1102765adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1103767ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1104765adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
1105 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
1106 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11071105, 1106eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
11081107nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1109718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11101108, 1109readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1112210, 1104sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
11131111, 1112remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
11141113resincld 16032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
11151104, 1114, 819syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11161115adantlll 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11171108adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
11181117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1119 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 1 ∈ ℝ)
11201119rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
11211118, 1120readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1122210, 1102sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
11231121, 1122remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
11241123resincld 16032 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
11251116, 1124eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
11261103, 1125remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
1127817fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
11281102, 1126, 1127syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
1129 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
11301129oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
11311130fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11321131ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11331116, 1132eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
11341133oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
11351128, 1134eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
11361135itgeq2dv 25162 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
1137 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1138798itgeq2dv 25162 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
11391138eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚ ↔ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚))
1140793, 1139imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)))
1141767adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1142 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
11431142, 765, 814syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
11441141, 1143remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
11451144, 845itgcl 25164 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
11461140, 1145chvarvv 2003 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 ∈ β„‚)
11471101, 1136, 1137, 1146fvmptd 6960 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘˜) = ∫(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
11489, 2, 1100, 1147, 1146clim0c 15396 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ⇝ 0 ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜βˆ«(0(,)Ο€)((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
11491097, 1148mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ⇝ 0)
11501098mptex 7178 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€)) ∈ V
11516, 1150eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
11521151a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
11531098mptex 7178 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) ∈ V
11541153a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) ∈ V)
115512recni 11176 . . . . . . 7 Ο€ ∈ β„‚
11561155a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
1157 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€))
1158 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘š) β†’ Ο€ = Ο€)
1159 id 22 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•)
116012a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ ℝ)
11611157, 1158, 1159, 1160fvmptd 6960 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘š) = Ο€)
11621161adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘š) = Ο€)
11639, 2, 1154, 1156, 1162climconst 15432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) ⇝ Ο€)
1164759, 885gtneii 11274 . . . . . 6 Ο€ β‰  0
11651164a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
116615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
116727adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
116838adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ ℝ)
1169825, 1166, 1167, 1168, 39, 40, 41, 830, 818, 817fourierdlem67 44488 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
11701169adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
1171802sselda 3949 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
11721170, 1171ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
11731169ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
11741169feqmptd 6915 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
11751174, 843eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
1176802, 804, 1173, 1175iblss 25185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
11771172, 1176itgcl 25164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 ∈ β„‚)
1178 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
11791178fvmpt2 6964 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) = ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
11801142, 1177, 1179syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) = ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
11811180, 1177eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
1182 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)
11831182fvmpt2 6964 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) = Ο€)
118412, 1183mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) = Ο€)
11851155a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
11861164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
1187 eldifsn 4752 . . . . . . . 8 (Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0))
11881185, 1186, 1187sylanbrc 584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
11891184, 1188eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
11901189adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
11911155a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
11921164a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ β‰  0)
11931177, 1191, 1192divcld 11938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) ∈ β„‚)
11946fvmpt2 6964 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) ∈ β„‚) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
11951142, 1193, 1194syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€))
11961180eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›))
11971184eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›))
11981197adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›))
11991196, 1198oveq12d 7380 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 / Ο€) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) / ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›)))
12001195, 1199eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)β€˜π‘›) / ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ο€)β€˜π‘›)))
12013, 4, 5, 8, 9, 2, 1149, 1152, 1163, 1165, 1181, 1190, 1200climdivf 43927 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ⇝ (0 / Ο€))
12021155, 1164div0i 11896 . . . . 5 (0 / Ο€) = 0
12031202a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 / Ο€) = 0)
12041201, 1203breqtrd 5136 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ⇝ 0)
1205 fourierdlem104.z . . . . 5 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠)
12061098mptex 7178 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠) ∈ V
12071205, 1206eqeltri 2834 . . . 4 𝑍 ∈ V
12081207a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
12091098mptex 7178 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2)) ∈ V
12101209a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2)) ∈ V)
1211 limccl 25255 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
12121211, 26sselid 3947 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
12131212halfcld 12405 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / 2) ∈ β„‚)
1214 eqidd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2)))
1215 eqidd 2738 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ (π‘Œ / 2) = (π‘Œ / 2))
12169eqcomi 2746 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜1) = β„•
12171216eleq2i 2830 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ 𝑛 ∈ β„•)
12181217biimpi 215 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
12191218adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
12201213adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (π‘Œ / 2) ∈ β„‚)
12211214, 1215, 1219, 1220fvmptd 6960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2))β€˜π‘›) = (π‘Œ / 2))
12221, 2, 1210, 1213, 1221climconst 15432 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2)) ⇝ (π‘Œ / 2))
12231193, 6fmptd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„•βŸΆβ„‚)
12241223adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐸:β„•βŸΆβ„‚)
12251224, 1219ffvelcdmd 7041 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
12261221, 1220eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
12271221oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2))β€˜π‘›)) = ((πΈβ€˜π‘›) + (π‘Œ / 2)))
1228803a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
1229 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
12301229rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ*)
123154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
1232 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€))
1233 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < 𝑠)
12341230, 1231, 1232, 1233syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < 𝑠)
12351234gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 β‰  0)
12361235neneqd 2949 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
1237 velsn 4607 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
12381236, 1237sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
1239765, 1238eldifd 3926 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
12401239ssriv 3953 . . . . . . 7 (0(,)Ο€) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0})
12411240a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
1242 fourierdlem104.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
12431234adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < 𝑠)
12441243iftrued 4499 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
1245 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π·β€˜π‘›) = (π·β€˜π‘›)
1246 0red 11165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
124712a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1248759, 12, 885ltleii 11285 . . . . . . . . 9 0 ≀ Ο€
12491248a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ Ο€)
1250 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€)) = (𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))
12511242, 1142, 1245, 1246, 1247, 1249, 1250dirkeritg 44417 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜Ο€) βˆ’ ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0)))
1252 ubicc2 13389 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ Ο€ ∈ (0[,]Ο€))
125353, 54, 1248, 1252mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ (0[,]Ο€)
1254 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = Ο€ β†’ (𝑠 / 2) = (Ο€ / 2))
1255 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = Ο€ β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = (π‘˜ Β· Ο€))
12561255fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = Ο€ β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)))
12571256oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = Ο€ β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = ((sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)) / π‘˜))
1258 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
12591258zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
12601155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
12611164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ Ο€ β‰  0)
12621259, 1260, 1261divcan4d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / Ο€) = π‘˜)
12631262, 1258eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· Ο€) / Ο€) ∈ β„€)
12641259, 1260mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (π‘˜ Β· Ο€) ∈ β„‚)
1265 sineq0 25896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ Β· Ο€) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)) = 0 ↔ ((π‘˜ Β· Ο€) / Ο€) ∈ β„€))
12661264, 1265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)) = 0 ↔ ((π‘˜ Β· Ο€) / Ο€) ∈ β„€))
12671263, 1266mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)) = 0)
12681267oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)) / π‘˜) = (0 / π‘˜))
1269 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 0 ∈ ℝ)
1270 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 1 ∈ ℝ)
12711258zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
127298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 0 < 1)
1273 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 1 ≀ π‘˜)
12741269, 1270, 1271, 1272, 1273ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 0 < π‘˜)
12751274gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ β‰  0)
12761259, 1275div0d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (0 / π‘˜) = 0)
12771268, 1276eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· Ο€)) / π‘˜) = 0)
12781257, 1277sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = Ο€ ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = 0)
12791278sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = Ο€ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0)
1280 fzfi 13884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑛) ∈ Fin
12811280olci 865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑛) βŠ† (β„€β‰₯β€˜ βˆ₯ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1282 sumz 15614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) βŠ† (β„€β‰₯β€˜ βˆ₯ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0 = 0)
12831281, 1282ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0 = 0
12841279, 1283eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = Ο€ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = 0)
12851254, 1284oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = Ο€ β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) = ((Ο€ / 2) + 0))
12861285oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = Ο€ β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) = (((Ο€ / 2) + 0) / Ο€))
1287 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) ∈ V
12881286, 1250, 1287fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ (0[,]Ο€) β†’ ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜Ο€) = (((Ο€ / 2) + 0) / Ο€))
12891253, 1288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜Ο€) = (((Ο€ / 2) + 0) / Ο€)
1290 lbicc2 13388 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ 0 ∈ (0[,]Ο€))
129153, 54, 1248, 1290mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]Ο€)
1292 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1293 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„‚
12941293, 238div0i 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 / 2) = 0
12951292, 1294eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 / 2) = 0)
1296 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 0 β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = (π‘˜ Β· 0))
12971259mul01d 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
12981296, 1297sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑠) = 0)
12991298fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = (sinβ€˜0))
1300 sin0 16038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (sinβ€˜0) = 0
13011299, 1300eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) = 0)
13021301oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = (0 / π‘˜))
13031276adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (0 / π‘˜) = 0)
13041302, 1303eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 = 0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ ((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = 0)
13051304sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)0)
13061305, 1283eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜) = 0)
13071295, 1306oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) = (0 + 0))
1308 00id 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) = 0
13091307, 1308eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 β†’ ((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) = 0)
13101309oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) = (0 / Ο€))
13111310, 1202eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 β†’ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€) = 0)
1312 c0ex 11156 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13131311, 1250, 1312fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]Ο€) β†’ ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) = 0)
13141291, 1313ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0) = 0
13151289, 1314oveq12i 7374 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜Ο€) βˆ’ ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0)) = ((((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) βˆ’ 0)
13161315a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜Ο€) βˆ’ ((𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (((𝑠 / 2) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑛)((sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑠)) / π‘˜)) / Ο€))β€˜0)) = ((((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) βˆ’ 0))
13171019recni 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
13181317addid1i 11349 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο€ / 2) + 0) = (Ο€ / 2)
13191318oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 (((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) = ((Ο€ / 2) / Ο€)
13201155, 1293, 1155, 238, 1164divdiv32i 11917 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ / 2) / Ο€) = ((Ο€ / Ο€) / 2)
13211155, 1164dividi 11895 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ / Ο€) = 1
13221321oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ / Ο€) / 2) = (1 / 2)
13231319, 1320, 13223eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) = (1 / 2)
13241323oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) βˆ’ 0) = ((1 / 2) βˆ’ 0)
1325 halfcn 12375 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ β„‚
13261325subid1i 11480 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) βˆ’ 0) = (1 / 2)
13271324, 1326eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) βˆ’ 0) = (1 / 2)
13281327a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((((Ο€ / 2) + 0) / Ο€) βˆ’ 0) = (1 / 2))
13291251, 1316, 13283eqtrd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) d𝑠 = (1 / 2))
133014, 15, 258, 259, 261, 826, 263, 265, 267, 39, 40, 41, 818, 817, 837, 593, 839, 841, 26, 37, 1228, 1241, 6, 1242, 27, 1244, 1329fourierdlem95 44516 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (π‘Œ / 2)) = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
13311219, 1330syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΈβ€˜π‘›) + (π‘Œ / 2)) = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
13321205a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑍 = (π‘š ∈ β„• ↦ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠))
1333 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘š) = (π·β€˜π‘›))
13341333fveq1d 6849 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
13351334oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
13361335adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘š = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
13371336itgeq2dv 25162 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
13381337adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘š)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
133914adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
134015adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1341775adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
13421340, 1341readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13431339, 1342ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13441343adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13451242dirkerf 44412 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
13461345ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
1347775adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
13481346, 1347ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
13491344, 1348remulcld 11192 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
135014adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
135115adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1352210sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
13531352adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
13541351, 1353readdcld 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13551350, 1354ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13561355adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13571345ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
13581352adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
13591357, 1358ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
13601356, 1359remulcld 11192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
136147a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
13621242dirkercncf 44422 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
13631362adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1364 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
13651361, 1247, 825, 1166, 258, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 1363, 1364fourierdlem84 44505 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
1366802, 804, 1360, 1365iblss 25185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
13671349, 1366itgrecl 25178 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 ∈ ℝ)
13681332, 1338, 1142, 1367fvmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘›) = ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
13691368eqcomd 2743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = (π‘β€˜π‘›))
13701219, 1369syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = (π‘β€˜π‘›))
13711227, 1331, 13703eqtrrd 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (π‘β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘›) + ((π‘š ∈ β„• ↦ (π‘Œ / 2))β€˜π‘›)))
13721, 2, 1204, 1208, 1222, 1225, 1226, 1371climadd 15521 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ (0 + (π‘Œ / 2)))
13731213addid2d 11363 . 2 (πœ‘ β†’ (0 + (π‘Œ / 2)) = (π‘Œ / 2))
13741372, 1373breqtrd 5136 1 (πœ‘ β†’ 𝑍 ⇝ (π‘Œ / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  β¦‹csb 3860   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β„©cio 6451   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  β„©crio 7317  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574   mod cmo 13781  β™―chash 14237  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  sincsin 15953  Ο€cpi 15956  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  intcnt 22384  β€“cnβ†’ccncf 24255  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  44533
  Copyright terms: Public domain W3C validator