Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. . 3
β’
(β€β₯β1) =
(β€β₯β1) |
2 | | 1zzd 12541 |
. . 3
β’ (π β 1 β
β€) |
3 | | nfv 1918 |
. . . . 5
β’
β²ππ |
4 | | nfmpt1 5218 |
. . . . 5
β’
β²π(π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) |
5 | | nfmpt1 5218 |
. . . . 5
β’
β²π(π β β β¦
Ο) |
6 | | fourierdlem104.e |
. . . . . 6
β’ πΈ = (π β β β¦
(β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
7 | | nfmpt1 5218 |
. . . . . 6
β’
β²π(π β β β¦
(β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
8 | 6, 7 | nfcxfr 2906 |
. . . . 5
β’
β²ππΈ |
9 | | nnuz 12813 |
. . . . 5
β’ β =
(β€β₯β1) |
10 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (0(,)Ο) β π β
β) |
11 | 10 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
12 | | pire 25831 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ Ο
β β |
13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β Ο β
β) |
14 | | fourierdlem104.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
15 | | fourierdlem104.xre |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
16 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π(,)+β) β
β |
17 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (π(,)+β) β
β) |
18 | 14, 17 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (πΉ βΎ (π(,)+β)):(π(,)+β)βΆβ) |
19 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π(,)+β) β
β |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (π(,)+β) β
β) |
21 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(TopOpenββfld) =
(TopOpenββfld) |
22 | | pnfxr 11216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ +β
β β* |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β +β β
β*) |
24 | 15 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β π < +β) |
25 | 21, 23, 15, 24 | lptioo1cn 43961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β
((limPtβ(TopOpenββfld))β(π(,)+β))) |
26 | | fourierdlem104.y |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
27 | 18, 20, 25, 26 | limcrecl 43944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
28 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-β(,)π)
β β |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (-β(,)π) β
β) |
30 | 14, 29 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (πΉ βΎ (-β(,)π)):(-β(,)π)βΆβ) |
31 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(-β(,)π)
β β |
32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (-β(,)π) β
β) |
33 | | mnfxr 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ -β
β β* |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β -β β
β*) |
35 | 15 | mnfltd 13052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β -β < π) |
36 | 21, 34, 15, 35 | lptioo2cn 43960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β
((limPtβ(TopOpenββfld))β(-β(,)π))) |
37 | | fourierdlem104.w |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
38 | 30, 32, 36, 37 | limcrecl 43944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
39 | | fourierdlem104.h |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ π» = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
40 | | fourierdlem104.k |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ πΎ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
41 | | fourierdlem104.u |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ π = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
42 | 14, 15, 27, 38, 39, 40, 41 | fourierdlem55 44476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
43 | | ax-resscn 11115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ β
β β |
44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β
β) |
45 | 42, 44 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
46 | 45 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
47 | 12 | renegcli 11469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ -Ο
β β |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β -Ο β
β) |
49 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0(,)Ο) β -Ο
β β) |
50 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (0(,)Ο) β 0
β β) |
51 | | negpilt0 43588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ -Ο
< 0 |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (0(,)Ο) β -Ο
< 0) |
53 | | 0xr 11209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
β* |
54 | 12 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ Ο
β β* |
55 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ π β (0(,)Ο)) β 0
< π) |
56 | 53, 54, 55 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (0(,)Ο) β 0 <
π) |
57 | 49, 50, 10, 52, 56 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0(,)Ο) β -Ο
< π) |
58 | 49, 10, 57 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (0(,)Ο) β -Ο
β€ π) |
59 | 58 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β -Ο β€ π) |
60 | 13 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β Ο β€
Ο) |
61 | | iccss 13339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((-Ο
β β β§ Ο β β) β§ (-Ο β€ π β§ Ο β€ Ο)) β (π[,]Ο) β
(-Ο[,]Ο)) |
62 | 48, 13, 59, 60, 61 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π[,]Ο) β
(-Ο[,]Ο)) |
63 | 46, 62 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π βΎ (π[,]Ο)):(π[,]Ο)βΆβ) |
64 | | fourierdlem104.o |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = (π βΎ (π[,]Ο)) |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π = (π βΎ (π[,]Ο))) |
66 | 65 | feq1d 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π:(π[,]Ο)βΆβ β (π βΎ (π[,]Ο)):(π[,]Ο)βΆβ)) |
67 | 63, 66 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π:(π[,]Ο)βΆβ) |
68 | | fourierdlem104.n |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = ((β―βπ) β 1) |
69 | 12 | elexi 3467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ Ο
β V |
70 | 69 | prid2 4729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ Ο
β {π,
Ο} |
71 | | elun1 4141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (Ο
β {π, Ο} β
Ο β ({π, Ο}
βͺ (ran π β© (π(,)Ο)))) |
72 | 70, 71 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ Ο
β ({π, Ο} βͺ
(ran π β© (π(,)Ο))) |
73 | | fourierdlem104.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ π = ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) |
74 | 72, 73 | eleqtrri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ Ο
β π |
75 | 74 | ne0ii 4302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ π β β
|
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β
) |
77 | | prfi 9273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ {π, Ο} β
Fin |
78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β {π, Ο} β Fin) |
79 | | fzfi 13884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(0...π) β
Fin |
80 | | fourierdlem104.q |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) |
81 | 80 | rnmptfi 43462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((0...π) β Fin
β ran π β
Fin) |
82 | 79, 81 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ran π β Fin |
83 | | infi 9219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (ran
π β Fin β (ran
π β© (π(,)Ο)) β Fin) |
84 | 82, 83 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (ran π β© (π(,)Ο)) β Fin) |
85 | | unfi 9123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (({π, Ο} β Fin β§ (ran
π β© (π(,)Ο)) β Fin) β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) β Fin) |
86 | 78, 84, 85 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) β Fin) |
87 | 73, 86 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β Fin) |
88 | | hashnncl 14273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β Fin β
((β―βπ) β
β β π β
β
)) |
89 | 87, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β ((β―βπ) β β β π β β
)) |
90 | 76, 89 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
91 | | nnm1nn0 12461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((β―βπ)
β β β ((β―βπ) β 1) β
β0) |
92 | 90, 91 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β ((β―βπ) β 1) β
β0) |
93 | 68, 92 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β
β0) |
94 | 93 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β
β0) |
95 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 0 β
β) |
96 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 1 β
β) |
97 | 94 | nn0red 12481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
98 | | 0lt1 11684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 0 <
1 |
99 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 0 <
1) |
100 | | 2re 12234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ 2 β
β |
101 | 100 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 2 β
β) |
102 | 90 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (β―βπ) β
β) |
103 | 102 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β
(β―βπ) β
β) |
104 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ π β (0(,)Ο)) β π < Ο) |
105 | 53, 54, 104 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (0(,)Ο) β π < Ο) |
106 | 10, 105 | ltned 11298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (0(,)Ο) β π β Ο) |
107 | 106 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β Ο) |
108 | | hashprg 14302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β (π
β Ο β (β―β{π, Ο}) = 2)) |
109 | 11, 12, 108 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π β Ο β
(β―β{π, Ο}) =
2)) |
110 | 107, 109 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β
(β―β{π, Ο}) =
2) |
111 | 110 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 2 =
(β―β{π,
Ο})) |
112 | 87 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β Fin) |
113 | | ssun1 4137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ {π, Ο} β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) |
114 | 113, 73 | sseqtrri 3986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ {π, Ο} β π |
115 | | hashssle 43606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β Fin β§ {π, Ο} β π) β (β―β{π, Ο}) β€
(β―βπ)) |
116 | 112, 114,
115 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β
(β―β{π, Ο})
β€ (β―βπ)) |
117 | 111, 116 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 2 β€
(β―βπ)) |
118 | 101, 103,
96, 117 | lesub1dd 11778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (2 β 1) β€
((β―βπ) β
1)) |
119 | | 1e2m1 12287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 1 = (2
β 1) |
120 | 118, 119,
68 | 3brtr4g 5144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 1 β€ π) |
121 | 95, 96, 97, 99, 120 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 0 < π) |
122 | 121 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β 0) |
123 | | elnnne0 12434 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (π β β0
β§ π β
0)) |
124 | 94, 122, 123 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
125 | | fourierdlem104.j |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ π½ = (β©ππ Isom < , < ((0...π), π)) |
126 | 11 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β€ π) |
127 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (0(,)Ο) β Ο
β β) |
128 | 10, 127, 105 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (0(,)Ο) β π β€ Ο) |
129 | 128 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β€ Ο) |
130 | 11, 13, 11, 126, 129 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β (π[,]Ο)) |
131 | 11, 13, 13, 129, 60 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β Ο β (π[,]Ο)) |
132 | 130, 131 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π β (π[,]Ο) β§ Ο β (π[,]Ο))) |
133 | | vex 3452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ π β V |
134 | 133, 69 | prss 4785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β (π[,]Ο) β§ Ο β (π[,]Ο)) β {π, Ο} β (π[,]Ο)) |
135 | 132, 134 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β {π, Ο} β (π[,]Ο)) |
136 | | inss2 4194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (ran
π β© (π(,)Ο)) β (π(,)Ο) |
137 | 136 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (ran π β© (π(,)Ο)) β (π(,)Ο)) |
138 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π(,)Ο) β (π[,]Ο) |
139 | 137, 138 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (ran π β© (π(,)Ο)) β (π[,]Ο)) |
140 | 135, 139 | unssd 4151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) β (π[,]Ο)) |
141 | 73, 140 | eqsstrid 3997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β (π[,]Ο)) |
142 | 133 | prid1 4728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ π β {π, Ο} |
143 | | elun1 4141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β {π, Ο} β π β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο)))) |
144 | 142, 143 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ π β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) |
145 | 144, 73 | eleqtrri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π β π |
146 | 145 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β π) |
147 | 74 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β Ο β π) |
148 | 112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147 | fourierdlem52 44473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ((π½:(0...π)βΆ(π[,]Ο) β§ (π½β0) = π) β§ (π½βπ) = Ο)) |
149 | 148 | simplld 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π½:(0...π)βΆ(π[,]Ο)) |
150 | 148 | simplrd 769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π½β0) = π) |
151 | 148 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π½βπ) = Ο) |
152 | | elfzoelz 13579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (0..^π) β π β β€) |
153 | 152 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0..^π) β π β β) |
154 | 153 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
155 | 154 | ltp1d 12092 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π < (π + 1)) |
156 | 10, 127 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (0(,)Ο) β (π β β β§ Ο
β β)) |
157 | 133, 69 | prss 4785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β {π,
Ο} β β) |
158 | 156, 157 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (0(,)Ο) β {π, Ο} β
β) |
159 | 158 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β {π, Ο} β
β) |
160 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π(,)Ο) β
β |
161 | 136, 160 | sstri 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (ran
π β© (π(,)Ο)) β β |
162 | 161 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (ran π β© (π(,)Ο)) β β) |
163 | 159, 162 | unssd 4151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ({π, Ο} βͺ (ran π β© (π(,)Ο))) β β) |
164 | 73, 163 | eqsstrid 3997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
165 | 112, 164,
125, 68 | fourierdlem36 44458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π½ Isom < , < ((0...π), π)) |
166 | 165 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π½ Isom < , < ((0...π), π)) |
167 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0..^π) β π β (0...π)) |
168 | 167 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β (0...π)) |
169 | | fzofzp1 13676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0..^π) β (π + 1) β (0...π)) |
170 | 169 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + 1) β (0...π)) |
171 | | isorel 7276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π½ Isom < , < ((0...π), π) β§ (π β (0...π) β§ (π + 1) β (0...π))) β (π < (π + 1) β (π½βπ) < (π½β(π + 1)))) |
172 | 166, 168,
170, 171 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π < (π + 1) β (π½βπ) < (π½β(π + 1)))) |
173 | 155, 172 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) < (π½β(π + 1))) |
174 | 42 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
175 | 174, 62 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π βΎ (π[,]Ο)) = (π β (π[,]Ο) β¦ (πβπ ))) |
176 | 62 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
177 | 14, 15, 27, 38, 39 | fourierdlem9 44431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β π»:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
178 | 177 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π»:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
179 | 178, 176 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (π»βπ ) β β) |
180 | 40 | fourierdlem43 44465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ πΎ:(-Ο[,]Ο)βΆβ |
181 | 180 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β πΎ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
182 | 181, 176 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πΎβπ ) β β) |
183 | 179, 182 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) β β) |
184 | 41 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) β β) β (πβπ ) = ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
185 | 176, 183,
184 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πβπ ) = ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
186 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β 0 β
β) |
187 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
188 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β Ο β
β) |
189 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β (π[,]Ο)) |
190 | | eliccre 43817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β β§ Ο
β β β§ π
β (π[,]Ο)) β
π β
β) |
191 | 187, 188,
189, 190 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
192 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β 0 < π) |
193 | 187 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β*) |
194 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β Ο β
β*) |
195 | | iccgelb 13327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β β*
β§ Ο β β* β§ π β (π[,]Ο)) β π β€ π ) |
196 | 193, 194,
189, 195 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β€ π ) |
197 | 186, 187,
191, 192, 196 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β 0 < π ) |
198 | 197 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β 0) |
199 | 198 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β 0) |
200 | 199 | neneqd 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β Β¬ π = 0) |
201 | 200 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) = (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) |
202 | 197 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β 0 < π ) |
203 | 202 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β if(0 < π , π, π) = π) |
204 | 203 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) = ((πΉβ(π + π )) β π)) |
205 | 204 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
206 | 201, 205 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
207 | 14 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β πΉ:ββΆβ) |
208 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
209 | | iccssre 13353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((-Ο
β β β§ Ο β β) β (-Ο[,]Ο) β
β) |
210 | 47, 12, 209 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(-Ο[,]Ο) β β |
211 | 210, 176 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
212 | 208, 211 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (π + π ) β β) |
213 | 207, 212 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
214 | 27 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
215 | 213, 214 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((πΉβ(π + π )) β π) β β) |
216 | 215, 211,
199 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (((πΉβ(π + π )) β π) / π ) β β) |
217 | 206, 216 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) β β) |
218 | 39 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π )) β β) β (π»βπ ) = if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
219 | 176, 217,
218 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (π»βπ ) = if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
220 | 219, 201,
205 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (π»βπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
221 | 188 | renegcld 11589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β -Ο β
β) |
222 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β -Ο <
0) |
223 | 221, 186,
191, 222, 197 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β -Ο < π ) |
224 | 221, 191,
223 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β -Ο β€ π ) |
225 | | iccleub 13326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β*
β§ Ο β β* β§ π β (π[,]Ο)) β π β€ Ο) |
226 | 193, 194,
189, 225 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β€ Ο) |
227 | 221, 188,
191, 224, 226 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
228 | 198 | neneqd 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β Β¬ π = 0) |
229 | 228 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
230 | 100 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β 2 β
β) |
231 | 191 | rehalfcld 12407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (π / 2) β β) |
232 | 231 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (sinβ(π / 2)) β
β) |
233 | 230, 232 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (2 Β·
(sinβ(π / 2))) β
β) |
234 | | 2cnd 12238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β 2 β
β) |
235 | 191 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
236 | 235 | halfcld 12405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (π / 2) β β) |
237 | 236 | sincld 16019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (sinβ(π / 2)) β
β) |
238 | | 2ne0 12264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ 2 β
0 |
239 | 238 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β 2 β 0) |
240 | | fourierdlem44 44466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
π β 0) β
(sinβ(π / 2)) β
0) |
241 | 227, 198,
240 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (sinβ(π / 2)) β 0) |
242 | 234, 237,
239, 241 | mulne0d 11814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (2 Β·
(sinβ(π / 2))) β
0) |
243 | 191, 233,
242 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) β β) |
244 | 229, 243 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) β β) |
245 | 40 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) β β) β
(πΎβπ ) = if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
246 | 227, 244,
245 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β (0(,)Ο) β§ π β (π[,]Ο)) β (πΎβπ ) = if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
247 | 246 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πΎβπ ) = if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
248 | 220, 247 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
249 | 200 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
250 | 249 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
251 | 185, 248,
250 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πβπ ) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
252 | 251 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π β (π[,]Ο) β¦ (πβπ )) = (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
253 | 65, 175, 252 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π = (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
254 | 253 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π = (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
255 | 254 | reseq1d 5941 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = ((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
256 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β πΉ:ββΆβ) |
257 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
258 | | fourierdlem104.p |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ π = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
259 | | fourierdlem104.m |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β β) |
260 | 259 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
261 | | fourierdlem104.v |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β (πβπ)) |
262 | 261 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β (πβπ)) |
263 | | fourierdlem104.fcn |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
264 | 263 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
265 | | fourierdlem104.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
266 | 265 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
267 | | fourierdlem104.l |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
268 | 267 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
269 | 105 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π < Ο) |
270 | 50, 10 | ltnled 11309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (0(,)Ο) β (0
< π β Β¬ π β€ 0)) |
271 | 56, 270 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (0(,)Ο) β Β¬
π β€ 0) |
272 | 271 | intn3an2d 1481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0(,)Ο) β Β¬
(0 β β β§ π
β€ 0 β§ 0 β€ Ο)) |
273 | | elicc2 13336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β (0 β (π[,]Ο) β (0 β β β§ π β€ 0 β§ 0 β€
Ο))) |
274 | 10, 12, 273 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0(,)Ο) β (0
β (π[,]Ο) β (0
β β β§ π β€
0 β§ 0 β€ Ο))) |
275 | 272, 274 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (0(,)Ο) β Β¬
0 β (π[,]Ο)) |
276 | 275 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β Β¬ 0 β
(π[,]Ο)) |
277 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
278 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
279 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) = (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) |
280 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) = (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) |
281 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
282 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (π + 1) = (π + 1)) |
283 | 282 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (πβ(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
284 | 281, 283 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
285 | 284 | sseq2d 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
286 | 285 | cbvriotavw 7328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(β©π
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
287 | 256, 257,
258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286 | fourierdlem86 44507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β (((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1))) β§ (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β (((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) β§ ((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ))) |
288 | 287 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
289 | 255, 288 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
290 | 287 | simplld 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β (((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1)))) |
291 | 254 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = π) |
292 | 291 | reseq1d 5941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
293 | 292 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1))) = ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1)))) |
294 | 290, 293 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) β ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½β(π + 1)))) |
295 | 287 | simplrd 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β (((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) |
296 | 292 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ)) = ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) |
297 | 295, 296 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) β ((π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) limβ (π½βπ))) |
298 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (β
D π) = (β D π) |
299 | 67 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π:(π[,]Ο)βΆβ) |
300 | 11 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β β) |
301 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β Ο β
β) |
302 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β π β β) |
303 | 302 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β β) |
304 | 62, 210 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π[,]Ο) β
β) |
305 | 304 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π[,]Ο) β β) |
306 | 149 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π½:(0...π)βΆ(π[,]Ο)) |
307 | 306, 168 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) β (π[,]Ο)) |
308 | 305, 307 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½βπ) β β) |
309 | 308 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) β β) |
310 | 11 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
311 | 310 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β β*) |
312 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β Ο β
β*) |
313 | | iccgelb 13327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β*
β§ Ο β β* β§ (π½βπ) β (π[,]Ο)) β π β€ (π½βπ)) |
314 | 311, 312,
307, 313 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β€ (π½βπ)) |
315 | 314 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β€ (π½βπ)) |
316 | 309 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) β
β*) |
317 | 306, 170 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β (π[,]Ο)) |
318 | 305, 317 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β β) |
319 | 318 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β
β*) |
320 | 319 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½β(π + 1)) β
β*) |
321 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
322 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π½βπ) β β* β§ (π½β(π + 1)) β β* β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) < π ) |
323 | 316, 320,
321, 322 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½βπ) < π ) |
324 | 300, 309,
303, 315, 323 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < π ) |
325 | 300, 303,
324 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β€ π ) |
326 | 318 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½β(π + 1)) β β) |
327 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π½βπ) β β* β§ (π½β(π + 1)) β β* β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < (π½β(π + 1))) |
328 | 316, 320,
321, 327 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < (π½β(π + 1))) |
329 | | iccleub 13326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β*
β§ Ο β β* β§ (π½β(π + 1)) β (π[,]Ο)) β (π½β(π + 1)) β€ Ο) |
330 | 311, 312,
317, 329 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β€ Ο) |
331 | 330 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π½β(π + 1)) β€ Ο) |
332 | 303, 326,
301, 328, 331 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π < Ο) |
333 | 303, 301,
332 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β€ Ο) |
334 | 300, 301,
303, 325, 333 | eliccd 43816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β (π[,]Ο)) |
335 | 334 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β βπ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))π β (π[,]Ο)) |
336 | | dfss3 3937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β (π[,]Ο) β βπ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))π β (π[,]Ο)) |
337 | 335, 336 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β (π[,]Ο)) |
338 | 299, 337 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (πβπ ))) |
339 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π) |
340 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β (0(,)Ο)) |
341 | 64 | fveq1i 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (πβπ ) = ((π βΎ (π[,]Ο))βπ ) |
342 | 341 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πβπ ) = ((π βΎ (π[,]Ο))βπ )) |
343 | | fvres 6866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π[,]Ο) β ((π βΎ (π[,]Ο))βπ ) = (πβπ )) |
344 | 343 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((π βΎ (π[,]Ο))βπ ) = (πβπ )) |
345 | 247, 249 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πΎβπ ) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
346 | 220, 345 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((π»βπ ) Β· (πΎβπ )) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
347 | 215 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((πΉβ(π + π )) β π) β β) |
348 | 235 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β β) |
349 | | 2cnd 12238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β 2 β
β) |
350 | 348 | halfcld 12405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (π / 2) β β) |
351 | 350 | sincld 16019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (sinβ(π / 2)) β
β) |
352 | 349, 351 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (2 Β·
(sinβ(π / 2))) β
β) |
353 | 242 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (2 Β·
(sinβ(π / 2))) β
0) |
354 | 347, 348,
352, 199, 353 | dmdcan2d 11968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
355 | 185, 346,
354 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πβπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
356 | 342, 344,
355 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (πβπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
357 | 339, 340,
334, 356 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (πβπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
358 | 339, 340,
334, 354 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
359 | 358 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
360 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘)) = (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))) |
361 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π‘ = π β (π + π‘) = (π + π )) |
362 | 361 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π‘ = π β (πΉβ(π + π‘)) = (πΉβ(π + π ))) |
363 | 362 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ = π β ((πΉβ(π + π‘)) β π) = ((πΉβ(π + π )) β π)) |
364 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ = π β π‘ = π ) |
365 | 363, 364 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π‘ = π β (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
366 | 365 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β§ π‘ = π ) β (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
367 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
368 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((πΉβ(π + π )) β π) / π ) β V |
369 | 368 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((πΉβ(π + π )) β π) / π ) β V) |
370 | 360, 366,
367, 369 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) = (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
371 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))))) = (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))) |
372 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π‘ = π β (π‘ / 2) = (π / 2)) |
373 | 372 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π‘ = π β (sinβ(π‘ / 2)) = (sinβ(π / 2))) |
374 | 373 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ = π β (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))) = (2 Β·
(sinβ(π /
2)))) |
375 | 364, 374 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π‘ = π β (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
376 | 375 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β§ π‘ = π ) β (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
377 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) β
V |
378 | 377 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))) β V) |
379 | 371, 376,
367, 378 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ) = (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
380 | 370, 379 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )) = ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
381 | 380 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
382 | 381 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
383 | 357, 359,
382 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (πβπ ) = (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
384 | 383 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (πβπ )) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )))) |
385 | 338, 384 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) = (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
386 | 385 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β D (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )))) = (β D (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))))) |
387 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β β β
β) |
388 | 337, 305 | sstrd 3959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β β) |
389 | 21 | tgioo2 24182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(topGenβran (,)) = ((TopOpenββfld)
βΎt β) |
390 | 21, 389 | dvres 25291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((β β β β§ π:(π[,]Ο)βΆβ) β§ ((π[,]Ο) β β β§
((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β β)) β (β D
(π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) = ((β D π) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))))) |
391 | 387, 299,
305, 388, 390 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β D (π βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) = ((β D π) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))))) |
392 | | ioontr 43823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((intβ(topGenβran (,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) |
393 | 392 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
394 | 393 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((β D π) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) = ((β D π) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))))) |
395 | 386, 391,
394 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((β D π) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) = (β D (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))))) |
396 | 14 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
397 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
398 | 259 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
399 | 261 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β (πβπ)) |
400 | | fourierdlem104.fdvcn |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
401 | 400 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
402 | 62 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π[,]Ο) β
(-Ο[,]Ο)) |
403 | 337, 402 | sstrd 3959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β
(-Ο[,]Ο)) |
404 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β 0 β
β*) |
405 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β 0 β β) |
406 | 56 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β 0 < π) |
407 | 405, 310,
308, 406, 314 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β 0 < (π½βπ)) |
408 | 308, 319,
404, 407 | ltnelicc 43809 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β Β¬ 0 β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1)))) |
409 | 27 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β β) |
410 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β Ο β
β) |
411 | 269 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π < Ο) |
412 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π β (0..^π)) |
413 | | biid 261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β§ π£ β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ£)(,)(πβ(π£ + 1)))) β ((((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β§ π£ β (0..^π)) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ£)(,)(πβ(π£ + 1))))) |
414 | 397, 258,
398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413 | fourierdlem50 44471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (0..^π) β§ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))(,)(πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1))))) |
415 | 414 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (0..^π)) |
416 | 414 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))(,)(πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)))) |
417 | 365 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘)) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / π )) |
418 | 375 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
419 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ ))) |
420 | 396, 397,
258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419 | fourierdlem72 44493 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β D (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / π‘))βπ ) Β· ((π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (π‘ / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))))βπ )))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
421 | 395, 420 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((β D π) βΎ ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))βcnββ)) |
422 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) = (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
423 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) = ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) |
424 | | fourierdlem104.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ πΆ = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
425 | 424, 415 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β πΆ β (0..^π)) |
426 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π) |
427 | 426, 425 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π β§ πΆ β (0..^π))) |
428 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (π β (0..^π) β πΆ β (0..^π))) |
429 | 428 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = πΆ β ((π β§ π β (0..^π)) β (π β§ πΆ β (0..^π)))) |
430 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = πΆ β (πβπ) = (πβπΆ)) |
431 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = πΆ β (π + 1) = (πΆ + 1)) |
432 | 431 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = πΆ β (πβ(π + 1)) = (πβ(πΆ + 1))) |
433 | 430, 432 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = πΆ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
434 | | raleq 3312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) β (βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
435 | 433, 434 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
436 | 435 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = πΆ β (βπ€ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
437 | 429, 436 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = πΆ β (((π β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€))) |
438 | | fourierdlem104.fbdioo |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
439 | 437, 438 | vtoclg 3528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (πΆ β (0..^π) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
440 | 425, 427,
439 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
441 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π‘((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) |
442 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π‘βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ |
443 | 441, 442 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π‘(((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
444 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
445 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β -Ο β
β) |
446 | 445, 15 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β (-Ο + π) β β) |
447 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β Ο β
β) |
448 | 447, 15 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β (Ο + π) β β) |
449 | 446, 448 | iccssred 13358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β β) |
450 | | ressxr 11206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ β
β β* |
451 | 449, 450 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β
β*) |
452 | 451 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β
β*) |
453 | 258, 398,
399 | fourierdlem15 44437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆ((-Ο + π)[,](Ο + π))) |
454 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (πΆ β (0..^π) β πΆ β (0...π)) |
455 | 425, 454 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β πΆ β (0...π)) |
456 | 453, 455 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β ((-Ο + π)[,](Ο + π))) |
457 | 452, 456 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β
β*) |
458 | 457 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) β
β*) |
459 | | fzofzp1 13676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (πΆ β (0..^π) β (πΆ + 1) β (0...π)) |
460 | 425, 459 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πΆ + 1) β (0...π)) |
461 | 453, 460 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β ((-Ο + π)[,](Ο + π))) |
462 | 452, 461 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β
β*) |
463 | 462 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβ(πΆ + 1)) β
β*) |
464 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β π‘ β β) |
465 | 464 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β β) |
466 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β -Ο β
β) |
467 | 466, 410,
397, 258, 398, 399, 455, 80 | fourierdlem13 44435 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((πβπΆ) = ((πβπΆ) β π) β§ (πβπΆ) = (π + (πβπΆ)))) |
468 | 467 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) = (π + (πβπΆ))) |
469 | 468 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) = (π + (πβπΆ))) |
470 | 449 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((-Ο + π)[,](Ο + π)) β β) |
471 | 470, 456 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β β) |
472 | 471 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) β β) |
473 | 469, 472 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβπΆ)) β β) |
474 | 397, 308 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½βπ)) β β) |
475 | 474 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) β β) |
476 | 467 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) = ((πβπΆ) β π)) |
477 | 471, 397 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((πβπΆ) β π) β β) |
478 | 476, 477 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β β) |
479 | 466, 410,
397, 258, 398, 399, 460, 80 | fourierdlem13 44435 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((πβ(πΆ + 1)) = ((πβ(πΆ + 1)) β π) β§ (πβ(πΆ + 1)) = (π + (πβ(πΆ + 1))))) |
480 | 479 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) = ((πβ(πΆ + 1)) β π)) |
481 | 470, 461 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β β) |
482 | 481, 397 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((πβ(πΆ + 1)) β π) β β) |
483 | 480, 482 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) β β) |
484 | 424 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(β©π
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = πΆ |
485 | 484 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) = (πβπΆ) |
486 | 484 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((β©π
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1) = (πΆ + 1) |
487 | 486 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)) = (πβ(πΆ + 1)) |
488 | 485, 487 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))(,)(πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1))) = ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) |
489 | 416, 488 | sseqtrdi 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
490 | 478, 483,
308, 318, 173, 489 | fourierdlem10 44432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((πβπΆ) β€ (π½βπ) β§ (π½β(π + 1)) β€ (πβ(πΆ + 1)))) |
491 | 490 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβπΆ) β€ (π½βπ)) |
492 | 478, 308,
397, 491 | leadd2dd 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (πβπΆ)) β€ (π + (π½βπ))) |
493 | 492 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβπΆ)) β€ (π + (π½βπ))) |
494 | 475 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) β
β*) |
495 | 397, 318 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½β(π + 1))) β β) |
496 | 495 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½β(π + 1))) β
β*) |
497 | 496 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½β(π + 1))) β
β*) |
498 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) |
499 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π + (π½βπ)) β β* β§ (π + (π½β(π + 1))) β β* β§
π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) < π‘) |
500 | 494, 497,
498, 499 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½βπ)) < π‘) |
501 | 473, 475,
465, 493, 500 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβπΆ)) < π‘) |
502 | 469, 501 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (πβπΆ) < π‘) |
503 | 495 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½β(π + 1))) β β) |
504 | 479 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (πβ(πΆ + 1)) = (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
505 | 504, 481 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (πβ(πΆ + 1))) β β) |
506 | 505 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβ(πΆ + 1))) β β) |
507 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π + (π½βπ)) β β* β§ (π + (π½β(π + 1))) β β* β§
π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (π + (π½β(π + 1)))) |
508 | 494, 497,
498, 507 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (π + (π½β(π + 1)))) |
509 | 490 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π½β(π + 1)) β€ (πβ(πΆ + 1))) |
510 | 318, 483,
397, 509 | leadd2dd 11777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (π½β(π + 1))) β€ (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
511 | 510 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (π½β(π + 1))) β€ (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
512 | 465, 503,
506, 508, 511 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (π + (πβ(πΆ + 1)))) |
513 | 504 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (π + (πβ(πΆ + 1))) = (πβ(πΆ + 1))) |
514 | 513 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (π + (πβ(πΆ + 1))) = (πβ(πΆ + 1))) |
515 | 512, 514 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ < (πβ(πΆ + 1))) |
516 | 458, 463,
465, 502, 515 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
517 | 516 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
518 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((βπ‘ β
((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β§ π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
519 | 444, 517,
518 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
520 | 519 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
521 | 443, 520 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
522 | 521 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
523 | 522 | reximdv 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (βπ€ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€ β βπ€ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
524 | 440, 523 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β βπ€ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
525 | 433 | raleqdv 3316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§)) |
526 | 525 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = πΆ β (βπ§ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§)) |
527 | 429, 526 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = πΆ β (((π β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§))) |
528 | | fourierdlem104.fdvbd |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
529 | 527, 528 | vtoclg 3528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (πΆ β (0..^π) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§)) |
530 | 425, 427,
529 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
531 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π‘βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ |
532 | 441, 531 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π‘(((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
533 | 14, 44 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
534 | | ssid 3971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ β
β β |
535 | 534 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β β β
β) |
536 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β |
537 | 536 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β) |
538 | 21, 389 | dvres 25291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((β β β β§ πΉ:ββΆβ) β§ (β
β β β§ ((π +
(π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β)) β (β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
539 | 44, 533, 535, 537, 538 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
540 | | ioontr 43823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
((intβ(topGenβran (,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) |
541 | 540 | reseq2i 5939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((β
D πΉ) βΎ
((intβ(topGenβran (,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) |
542 | 539, 541 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
543 | 542 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘) = (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))βπ‘)) |
544 | | fvres 6866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))βπ‘) = ((β D πΉ)βπ‘)) |
545 | 543, 544 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘) = ((β D πΉ)βπ‘)) |
546 | 545 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘) = ((β D πΉ)βπ‘)) |
547 | 546 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) = (absβ((β D πΉ)βπ‘))) |
548 | 547 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) = (absβ((β D πΉ)βπ‘))) |
549 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
550 | 516 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
551 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((βπ‘ β
((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β§ π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) β (absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
552 | 549, 550,
551 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) |
553 | 548, 552 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β§ π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) β (absβ((β D
(πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
554 | 553 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β (π‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
555 | 532, 554 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
556 | 555 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
557 | 556 | reximdv 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (βπ§ β β βπ‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))(absβ((β D πΉ)βπ‘)) β€ π§ β βπ§ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
558 | 530, 557 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β βπ§ β β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
559 | 311, 312,
306, 412 | fourierdlem8 44430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1))) β (π[,]Ο)) |
560 | 124 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β§ Β¬ π β ran π½) β π β β) |
561 | 149, 304 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π½:(0...π)βΆβ) |
562 | 561 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β§ Β¬ π β ran π½) β π½:(0...π)βΆβ) |
563 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β (π[,]Ο)) |
564 | 150 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π = (π½β0)) |
565 | 151 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β Ο = (π½βπ)) |
566 | 564, 565 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π[,]Ο) = ((π½β0)[,](π½βπ))) |
567 | 566 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β (π[,]Ο) = ((π½β0)[,](π½βπ))) |
568 | 563, 567 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β π β ((π½β0)[,](π½βπ))) |
569 | 568 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β§ Β¬ π β ran π½) β π β ((π½β0)[,](π½βπ))) |
570 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β§ Β¬ π β ran π½) β Β¬ π β ran π½) |
571 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (π½βπ) = (π½βπ)) |
572 | 571 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β ((π½βπ) < π β (π½βπ) < π)) |
573 | 572 | cbvrabv 3420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ {π β (0..^π) β£ (π½βπ) < π} = {π β (0..^π) β£ (π½βπ) < π} |
574 | 573 | supeq1i 9390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
sup({π β
(0..^π) β£ (π½βπ) < π}, β, < ) = sup({π β (0..^π) β£ (π½βπ) < π}, β, < ) |
575 | 560, 562,
569, 570, 574 | fourierdlem25 44447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π[,]Ο)) β§ Β¬ π β ran π½) β βπ β (0..^π)π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1)))) |
576 | 533 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
577 | 534 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β β β
β) |
578 | 536 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β β) |
579 | 387, 576,
577, 578, 538 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = ((β D πΉ) βΎ ((intβ(topGenβran
(,)))β((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
580 | 516 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
581 | | dfss3 3937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))π‘ β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
582 | 580, 581 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) |
583 | | resabs2 5974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))) β ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))) β (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
584 | 582, 583 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
585 | 541, 579,
584 | 3eqtr4a 2803 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) = (((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))))) |
586 | 582 | resabs1d 5973 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
587 | 586 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))) |
588 | 585, 584,
587 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))) = (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))) |
589 | 433 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = πΆ β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1))))) |
590 | 589, 433 | feq12d 6661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = πΆ β (((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β ((β D
πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ)) |
591 | 429, 590 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = πΆ β (((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ))) |
592 | | cncff 24272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
593 | 400, 592 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
594 | 591, 593 | vtoclg 3528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (πΆ β (0..^π) β ((π β§ πΆ β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ)) |
595 | 594 | anabsi7 670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ πΆ β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ) |
596 | 427, 595 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))):((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))βΆβ) |
597 | 596, 582 | fssresd 6714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (((β D πΉ) βΎ ((πβπΆ)(,)(πβ(πΆ + 1)))) βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))):((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))βΆβ) |
598 | 588, 597 | feq1dd 43458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β (β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1)))))):((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))βΆβ) |
599 | 363, 374 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (((πΉβ(π + π‘)) β π) / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2)))) = (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
600 | 599 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π‘)) β π) / (2 Β· (sinβ(π‘ / 2))))) = (π β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
601 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π‘ β (πΉβπ) = (πΉβπ‘)) |
602 | 601 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π‘ β (absβ(πΉβπ)) = (absβ(πΉβπ‘))) |
603 | 602 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π‘ β ((absβ(πΉβπ)) β€ π€ β (absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
604 | 603 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(βπ β
((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ)) β€ π€ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) |
605 | 604 | anbi2i 624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ)) β€ π€) β (((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€)) |
606 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π‘ β ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ) = ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) |
607 | 606 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π‘ β (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) = (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘))) |
608 | 607 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π‘ β ((absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) β€ π§ β (absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
609 | 608 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(βπ β
((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) β€ π§ β βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§) |
610 | 605, 609 | anbi12i 628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ)) β€ π€) β§ βπ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ)) β€ π§) β ((((((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (0..^π)) β§ π€ β β) β§ π§ β β) β§ βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ(πΉβπ‘)) β€ π€) β§ βπ‘ β ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))(absβ((β D (πΉ βΎ ((π + (π½βπ))(,)(π + (π½β(π + 1))))))βπ‘)) β€ π§)) |
611 | 256, 257,
11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610 | fourierdlem80 44501 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β βπ β β βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π) |
612 | 354 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π β (π[,]Ο) β¦ ((((πΉβ(π + π )) β π) / π ) Β· (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) = (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
613 | 253, 612 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π = (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
614 | 613 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (β D π) = (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
615 | 614 | dmeqd 5866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β dom (β D
π) = dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))) |
616 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π dom
(β D π) |
617 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π β |
618 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π
D |
619 | | nfmpt1 5218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
β²π (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))) |
620 | 617, 618,
619 | nfov 7392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
β²π (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
621 | 620 | nfdm 5911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
β²π dom
(β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
622 | 616, 621 | raleqf 3331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (dom
(β D π) = dom
(β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) β (βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
π)βπ )) β€ π)) |
623 | 615, 622 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
π)βπ )) β€ π)) |
624 | 614 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ((β D π)βπ ) = ((β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) |
625 | 624 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β
(absβ((β D π)βπ )) = (absβ((β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ ))) |
626 | 625 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β
((absβ((β D π)βπ )) β€ π β (absβ((β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
627 | 626 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
628 | 623, 627 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
629 | 628 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (βπ β β βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π β βπ β β βπ β dom (β D (π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))(absβ((β D
(π β (π[,]Ο) β¦ (((πΉβ(π + π )) β π) / (2 Β· (sinβ(π / 2))))))βπ )) β€ π)) |
630 | 611, 629 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β βπ β β βπ β dom (β D π)(absβ((β D π)βπ )) β€ π) |
631 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β+
β¦ β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) = (π β β+ β¦
β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) |
632 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (π‘ = (π½βπ) β π = (π½βπ))) |
633 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (β = π β (πββ) = (πβπ)) |
634 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (β = π β (β + 1) = (π + 1)) |
635 | 634 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (β = π β (πβ(β + 1)) = (πβ(π + 1))) |
636 | 633, 635 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (β = π β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
637 | 636 | sseq2d 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (β = π β (((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))) β ((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
638 | 637 | cbvriotavw 7328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
639 | 638 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
640 | 639 | eqeq2i 2750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))) β (π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))))) |
641 | 640 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β ((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))) β (π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))))) |
642 | | csbeq1 3863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
= β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
) |
643 | 638, 642 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
= β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
) |
644 | 641, 643 | ifbieq1d 4515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (β€
β if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) = if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ))))) |
645 | 644 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) = if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) |
646 | 645 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) = (if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) |
647 | 646 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) = ((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) |
648 | 647 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) = (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) |
649 | 648 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))) = (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2)))))) |
650 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (π‘ = (π½β(π + 1)) β π = (π½β(π + 1)))) |
651 | 638 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1) = ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1) |
652 | 651 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)) |
653 | 652 | eqeq2i 2750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)) β (π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1))) |
654 | 653 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β ((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)) β (π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)))) |
655 | | csbeq1 3863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((β©β
β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) = (β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ = β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ) |
656 | 638, 655 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ = β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ) |
657 | 654, 656 | ifbieq1d 4515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) = if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1)))))) |
658 | 657 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) = if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) |
659 | 658 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) = (if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) |
660 | 659 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) = ((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) |
661 | 660 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) = (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) |
662 | 661 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))) = (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2)))))) |
663 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (πβπ‘) = (πβπ )) |
664 | 650, 662,
663 | ifbieq12d 4519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β if(π‘ = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ‘)) = if(π = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ ))) |
665 | 632, 649,
664 | ifbieq12d 4519 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π‘ = π β if(π‘ = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π‘ = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ‘))) = if(π = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ )))) |
666 | 665 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π‘ β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1))) β¦ if(π‘ = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1))))), β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π‘ = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) + 1)),
β¦(β©β β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πββ)(,)(πβ(β + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ‘)))) = (π β ((π½βπ)[,](π½β(π + 1))) β¦ if(π = (π½βπ), (((if((π½βπ) = (πβ(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦π
, (πΉβ(π + (π½βπ)))) β π) / (π½βπ)) Β· ((π½βπ) / (2 Β· (sinβ((π½βπ) / 2))))), if(π = (π½β(π + 1)), (((if((π½β(π + 1)) = (πβ((β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) + 1)),
β¦(β©π β (0..^π)((π½βπ)(,)(π½β(π + 1))) β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) / πβ¦πΏ, (πΉβ(π + (π½β(π + 1))))) β π) / (π½β(π + 1))) Β· ((π½β(π + 1)) / (2 Β· (sinβ((π½β(π + 1)) / 2))))), (πβπ )))) |
667 | 11, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666 | fourierdlem73 44494 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β βπ β β+
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
668 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β ((absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π)) |
669 | 668 | rexralbidv 3215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π)) |
670 | 669 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(βπ β
β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β βπ β β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
671 | 667, 670 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β βπ β β+
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
672 | 671 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
βπ β
β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π) |
673 | | rphalfcl 12949 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β+
β (π / 2) β
β+) |
674 | 673 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
(π / 2) β
β+) |
675 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = (π / 2) β ((absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
676 | 675 | rexralbidv 3215 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = (π / 2) β (βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
677 | 676 | rspccva 3583 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((βπ β
β+ βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < π β§ (π / 2) β β+) β
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
678 | 672, 674,
677 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
679 | 138 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π(,)Ο) β (π[,]Ο)) |
680 | 679 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π(,)Ο)) β π β (π[,]Ο)) |
681 | 680, 343 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π(,)Ο)) β ((π βΎ (π[,]Ο))βπ ) = (πβπ )) |
682 | 341, 681 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π(,)Ο)) β (πβπ ) = (πβπ )) |
683 | 682 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β (π(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π )))) |
684 | 683 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ = β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) |
685 | 684 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§
(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ = β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) |
686 | 685 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§
(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) = (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ )) |
687 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§
(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
688 | 686, 687 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β (0(,)Ο)) β§
(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
689 | 688 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β
((absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
690 | 689 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
((absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
691 | 690 | ralimdv 3167 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
(βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
692 | 691 | reximdv 3168 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
(βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
693 | 678, 692 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β
βπ β β
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
694 | 693 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§
βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
695 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²π((π β§ π β β+) β§ π β
(0(,)Ο)) |
696 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β²πβπ β β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) |
697 | 695, 696 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π(((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§
βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
698 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β²π π β β |
699 | 697, 698 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²π((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§
βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) |
700 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²πβπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) |
701 | 699, 700 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
β²π(((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§
βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
702 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ π β
(β€β₯βπ)) β ((π β§ π β β+) β§ π β
(0(,)Ο))) |
703 | | eluznn 12850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
704 | 703 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
705 | 702, 704 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ π β
(β€β₯βπ)) β (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β
β)) |
706 | 705 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β (((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β
β)) |
707 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
708 | 703 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β) |
709 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β§ π β β) β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
710 | 707, 708,
709 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
711 | 706, 710 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β β) β§
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
712 | 711 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β β) β§
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
713 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β π β
β) |
714 | 713 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β π β
β*) |
715 | 714 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β*) |
716 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β +β β
β*) |
717 | | eluzelre 12781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β) |
718 | | halfre 12374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (1 / 2)
β β |
719 | 718 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (1 / 2) β
β) |
720 | 717, 719 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π + (1 / 2)) β β) |
721 | 720 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) β β) |
722 | 713 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
723 | 717 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β) |
724 | | eluzle 12783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β€ π) |
725 | 724 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β€ π) |
726 | | halfgt0 12376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 < (1
/ 2) |
727 | 726 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β 0 < (1 / 2)) |
728 | 718 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (1 / 2) β
β) |
729 | 728, 723 | ltaddposd 11746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (0 < (1 / 2) β π < (π + (1 / 2)))) |
730 | 727, 729 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π < (π + (1 / 2))) |
731 | 722, 723,
721, 725, 730 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β π < (π + (1 / 2))) |
732 | 721 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) < +β) |
733 | 715, 716,
721, 731, 732 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ π β
(β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) β (π(,)+β)) |
734 | 733 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β (π + (1 / 2)) β (π(,)+β)) |
735 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
736 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = (π + (1 / 2)) β (π Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
737 | 736 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = (π + (1 / 2)) β (sinβ(π Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
738 | 737 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = (π + (1 / 2)) β ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
739 | 738 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π = (π + (1 / 2)) β§ π β (π(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
740 | 739 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = (π + (1 / 2)) β β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ = β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
741 | 740 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = (π + (1 / 2)) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) = (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
742 | 741 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = (π + (1 / 2)) β ((absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
743 | 742 | rspcv 3580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π + (1 / 2)) β (π(,)+β) β
(βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
744 | 734, 735,
743 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β β β§
βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
745 | 744 | adantlll 717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
746 | | fourierdlem104.ch |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β β) β§
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
747 | 712, 745,
746 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β π) |
748 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β 0 β
β) |
749 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β Ο β
β) |
750 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(0(,)Ο) β (0[,]Ο) |
751 | 746 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§ π β β) β§
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
752 | | simp-4r 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π β (0(,)Ο)) |
753 | 751, 752 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π β (0(,)Ο)) |
754 | 750, 753 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β (0[,]Ο)) |
755 | | simp-5l 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π) |
756 | 751, 755 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π) |
757 | 42 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
758 | 47 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -Ο
β β* |
759 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ 0 β
β |
760 | 47, 759, 51 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -Ο
β€ 0 |
761 | | iooss1 13306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((-Ο
β β* β§ -Ο β€ 0) β (0(,)Ο) β
(-Ο(,)Ο)) |
762 | 758, 760,
761 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(0(,)Ο) β (-Ο(,)Ο) |
763 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(-Ο(,)Ο) β (-Ο[,]Ο) |
764 | 762, 763 | sstri 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(0(,)Ο) β (-Ο[,]Ο) |
765 | 764 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (0(,)Ο) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
766 | 765 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
767 | 757, 766 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) β β) |
768 | 756, 767 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) β β) |
769 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π β β) |
770 | 751, 769 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π β β) |
771 | 770 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β π β β) |
772 | 718 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (1 / 2) β
β) |
773 | 771, 772 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (π + (1 / 2)) β β) |
774 | 773 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π + (1 / 2)) β
β) |
775 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (0(,)Ο) β π β
β) |
776 | 775 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
777 | 774, 776 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
778 | 777 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) β
β) |
779 | 768, 778 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
780 | 779 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
781 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β 0 β
β*) |
782 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β Ο β
β*) |
783 | 748 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β 0 β€ 0) |
784 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(0(,)Ο) β β |
785 | 784, 753 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π β β) |
786 | 781, 782,
753, 104 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β π < Ο) |
787 | 785, 749,
786 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π β€ Ο) |
788 | | ioossioo 13365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((0
β β* β§ Ο β β*) β§ (0 β€
0 β§ π β€ Ο))
β (0(,)π) β
(0(,)Ο)) |
789 | 781, 782,
783, 787, 788 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0(,)π) β (0(,)Ο)) |
790 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(0(,)π) β dom
vol |
791 | 790 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (0(,)π) β dom vol) |
792 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (π β β β π β β)) |
793 | 792 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β ((π β§ π β β) β (π β§ π β β))) |
794 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π = π β§ π β (0(,)Ο)) β π = π) |
795 | 794 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π = π β§ π β (0(,)Ο)) β (π + (1 / 2)) = (π + (1 / 2))) |
796 | 795 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π = π β§ π β (0(,)Ο)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
797 | 796 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π = π β§ π β (0(,)Ο)) β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
798 | 797 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π = π β§ π β (0(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
799 | 798 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) = (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
800 | 799 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β ((π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β πΏ1 β
(π β (0(,)Ο)
β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1)) |
801 | 793, 800 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β (((π β§ π β β) β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β πΏ1) β
((π β§ π β β) β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1))) |
802 | 764 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β (0(,)Ο) β
(-Ο[,]Ο)) |
803 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(0(,)Ο) β dom vol |
804 | 803 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β (0(,)Ο) β dom
vol) |
805 | 42 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
806 | 805 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
807 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β β β π β
β) |
808 | | readdcl 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ (1 / 2)
β β) β (π +
(1 / 2)) β β) |
809 | 807, 718,
808 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β β β (π + (1 / 2)) β
β) |
810 | 809 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(π + (1 / 2)) β
β) |
811 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
π β
(-Ο[,]Ο)) |
812 | 210, 811 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
π β
β) |
813 | 810, 812 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((π + (1 / 2)) Β·
π ) β
β) |
814 | 813 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
815 | 814 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
816 | 806, 815 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
817 | | fourierdlem104.g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
818 | | fourierdlem104.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ π = (π β (-Ο[,]Ο) β¦
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π ))) |
819 | 818 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
820 | 811, 814,
819 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
821 | 820 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
822 | 821 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
823 | 822 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (πβπ ))) = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
824 | 817, 823 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) = πΊ) |
825 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β πΉ:ββΆβ) |
826 | | fourierdlem104.x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π β ran π) |
827 | 826 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π β ran π) |
828 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
829 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
830 | 807 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
831 | 259 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
832 | 261 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π β (πβπ)) |
833 | 263 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
834 | 265 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β π
β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
835 | 267 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β πΏ β ((πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
836 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β¦ {π β (β
βm (0...π))
β£ (((πβ0) =
-Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) = (π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))}) |
837 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β
D πΉ) = (β D πΉ) |
838 | 593 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
839 | | fourierdlem104.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π΄ β (((β D πΉ) βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
840 | 839 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π΄ β (((β D πΉ) βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
841 | | fourierdlem104.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π΅ β (((β D πΉ) βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
842 | 841 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π β β) β π΅ β (((β D πΉ) βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
843 | 258, 825,
827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842 | fourierdlem88 44509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β β) β πΊ β
πΏ1) |
844 | 824, 843 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
845 | 802, 804,
816, 844 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
846 | 801, 845 | chvarvv 2003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
847 | 756, 770,
846 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
848 | 789, 791,
779, 847 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π β (0(,)π) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
849 | 781, 782,
753, 55 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β 0 < π) |
850 | 748, 785,
849 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β 0 β€ π) |
851 | 749 | leidd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β Ο β€
Ο) |
852 | | ioossioo 13365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((0
β β* β§ Ο β β*) β§ (0 β€
π β§ Ο β€ Ο))
β (π(,)Ο) β
(0(,)Ο)) |
853 | 781, 782,
850, 851, 852 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π(,)Ο) β (0(,)Ο)) |
854 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π(,)Ο) β dom
vol |
855 | 854 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π(,)Ο) β dom vol) |
856 | 853, 855,
779, 847 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π β (π(,)Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
πΏ1) |
857 | 748, 749,
754, 780, 848, 856 | itgsplitioo 25218 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = (β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
858 | 857 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β
(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absβ(β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ))) |
859 | 789 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0(,)π)) β π β (0(,)Ο)) |
860 | 859, 779 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0(,)π)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
861 | 860, 848 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
862 | 853 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (π(,)Ο)) β π β (0(,)Ο)) |
863 | 862, 779 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (π(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
864 | 863, 856 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
865 | 861, 864 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) β β) |
866 | 865 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(absβ(β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) β β) |
867 | 861 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) β β) |
868 | 864 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) β β) |
869 | 867, 868 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
((absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) + (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) β β) |
870 | | simp-5r 785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ π β β)
β§ (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β π β β+) |
871 | 751, 870 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β β+) |
872 | 871 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
873 | 861, 864 | abstrid 15348 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(absβ(β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) β€ ((absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) + (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ))) |
874 | 751 | simplrd 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
875 | 751 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
876 | 867, 868,
872, 874, 875 | lt2halvesd 12408 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
((absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) + (absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) < π) |
877 | 866, 869,
872, 873, 876 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β
(absβ(β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ + β«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) < π) |
878 | 858, 877 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β
(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
879 | 747, 878 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β (β€β₯βπ)) β
(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
880 | 879 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (π β (β€β₯βπ) β
(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
881 | 701, 880 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β§ βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
882 | 881 | ex 414 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β (0(,)Ο))
β§ βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β§ π β β) β (βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
883 | 882 | reximdva 3166 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§
βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (βπ β β βπ β (π(,)+β)(absββ«(π(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ(π Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
884 | 694, 883 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β (0(,)Ο)) β§
βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β β βπ β (β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
885 | | pipos 25833 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 0 <
Ο |
886 | 47, 759, 12 | lttri 11288 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((-Ο
< 0 β§ 0 < Ο) β -Ο < Ο) |
887 | 51, 885, 886 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ -Ο
< Ο |
888 | 47, 12, 887 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ -Ο
β€ Ο |
889 | 888 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β -Ο β€
Ο) |
890 | 258 | fourierdlem2 44424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π β (πβπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
891 | 259, 890 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π β (πβπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
892 | 261, 891 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))))) |
893 | 892 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β (β βm
(0...π))) |
894 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (β
βm (0...π))
β π:(0...π)βΆβ) |
895 | 893, 894 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π:(0...π)βΆβ) |
896 | 895 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0...π)) β (πβπ) β β) |
897 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0...π)) β π β β) |
898 | 896, 897 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0...π)) β ((πβπ) β π) β β) |
899 | 898, 80 | fmptd 7067 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π:(0...π)βΆβ) |
900 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π))) |
901 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 0 β (πβπ) = (πβ0)) |
902 | 901 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = 0 β ((πβπ) β π) = ((πβ0) β π)) |
903 | 902 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π = 0) β ((πβπ) β π) = ((πβ0) β π)) |
904 | 259 | nnnn0d 12480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β
β0) |
905 | | nn0uz 12812 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
β0 = (β€β₯β0) |
906 | 904, 905 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β
(β€β₯β0)) |
907 | | eluzfz1 13455 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β
(β€β₯β0) β 0 β (0...π)) |
908 | 906, 907 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 β (0...π)) |
909 | 895, 908 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (πβ0) β β) |
910 | 909, 15 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β ((πβ0) β π) β β) |
911 | 900, 903,
908, 910 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (πβ0) = ((πβ0) β π)) |
912 | 892 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (((πβ0) = (-Ο + π) β§ (πβπ) = (Ο + π)) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
913 | 912 | simplld 767 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (πβ0) = (-Ο + π)) |
914 | 913 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((πβ0) β π) = ((-Ο + π) β π)) |
915 | 445 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β -Ο β
β) |
916 | 15 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β β) |
917 | 915, 916 | pncand 11520 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β ((-Ο + π) β π) = -Ο) |
918 | 911, 914,
917 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πβ0) = -Ο) |
919 | 445, 447,
15, 258, 836, 259, 261, 80 | fourierdlem14 44436 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β ((π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))})βπ)) |
920 | 836 | fourierdlem2 44424 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β (π β ((π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))})βπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
921 | 259, 920 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π β ((π β β β¦ {π β (β βm
(0...π)) β£ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))})βπ) β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))))) |
922 | 919, 921 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π β (β βm
(0...π)) β§ (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))))) |
923 | 922 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (((πβ0) = -Ο β§ (πβπ) = Ο) β§ βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1)))) |
924 | 923 | simplrd 769 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πβπ) = Ο) |
925 | 923 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βπ β (0..^π)(πβπ) < (πβ(π + 1))) |
926 | 925 | r19.21bi 3237 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) < (πβ(π + 1))) |
927 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β πΉ:ββΆβ) |
928 | 836, 259,
919 | fourierdlem15 44437 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π:(0...π)βΆ(-Ο[,]Ο)) |
929 | 928 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆ(-Ο[,]Ο)) |
930 | | elfzofz 13595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (0..^π) β π β (0...π)) |
931 | 930 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β (0...π)) |
932 | 929, 931 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β (-Ο[,]Ο)) |
933 | | fzofzp1 13676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (0..^π) β (π + 1) β (0...π)) |
934 | 933 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π + 1) β (0...π)) |
935 | 929, 934 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β
(-Ο[,]Ο)) |
936 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
937 | | ffn 6673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π:(0...π)βΆβ β π Fn (0...π)) |
938 | 893, 894,
937 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π Fn (0...π)) |
939 | | fvelrnb 6908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π Fn (0...π) β (π β ran π β βπ β (0...π)(πβπ) = π)) |
940 | 938, 939 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π β ran π β βπ β (0...π)(πβπ) = π)) |
941 | 826, 940 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β βπ β (0...π)(πβπ) = π) |
942 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πβπ) = π β ((πβπ) β π) = (π β π)) |
943 | 942 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0...π)) β§ (πβπ) = π) β ((πβπ) β π) = (π β π)) |
944 | 916 | subidd 11507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (π β π) = 0) |
945 | 944 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0...π)) β§ (πβπ) = π) β (π β π) = 0) |
946 | 943, 945 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β (0...π)) β§ (πβπ) = π) β 0 = ((πβπ) β π)) |
947 | 946 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0...π)) β ((πβπ) = π β 0 = ((πβπ) β π))) |
948 | 947 | reximdva 3166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (βπ β (0...π)(πβπ) = π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π))) |
949 | 941, 948 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π)) |
950 | 80 | elrnmpt 5916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (0 β
β β (0 β ran π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π))) |
951 | 759, 950 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (0 β
ran π β βπ β (0...π)0 = ((πβπ) β π)) |
952 | 949, 951 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 β ran π) |
953 | 836, 259,
919, 952 | fourierdlem12 44434 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β Β¬ 0 β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
954 | 895 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π:(0...π)βΆβ) |
955 | 954, 931 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
956 | 955, 936 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) β π) β β) |
957 | 80 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β (0...π) β§ ((πβπ) β π) β β) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
958 | 931, 956,
957 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) = ((πβπ) β π)) |
959 | 958 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) = (((πβπ) β π) + π)) |
960 | 955 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβπ) β β) |
961 | 916 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
962 | 960, 961 | npcand 11523 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβπ) β π) + π) = (πβπ)) |
963 | 959, 962 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβπ) + π) = (πβπ)) |
964 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
965 | 964 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β ((πβπ) β π) = ((πβπ) β π)) |
966 | 965 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) |
967 | 80, 966 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π)) |
968 | 967 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π = (π β (0...π) β¦ ((πβπ) β π))) |
969 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = (π + 1) β (πβπ) = (πβ(π + 1))) |
970 | 969 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = (π + 1) β ((πβπ) β π) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
971 | 970 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β (0..^π)) β§ π = (π + 1)) β ((πβπ) β π) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
972 | 954, 934 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
973 | 972, 936 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) β π) β β) |
974 | 968, 971,
934, 973 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) = ((πβ(π + 1)) β π)) |
975 | 974 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) + π) = (((πβ(π + 1)) β π) + π)) |
976 | 972 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πβ(π + 1)) β β) |
977 | 976, 961 | npcand 11523 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβ(π + 1)) β π) + π) = (πβ(π + 1))) |
978 | 975, 977 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((πβ(π + 1)) + π) = (πβ(π + 1))) |
979 | 963, 978 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π)) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
980 | 979 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ (((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))) = (πΉ βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))))) |
981 | 979 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))βcnββ) = (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
982 | 263, 980,
981 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (πΉ βΎ (((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))) β ((((πβπ) + π)(,)((πβ(π + 1)) + π))βcnββ)) |
983 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
984 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β π β β) |
985 | 927, 932,
935, 936, 953, 982, 983, 984, 39 | fourierdlem40 44462 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β (π» βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) β (((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βcnββ)) |
986 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β ((β D
πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
987 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β β β
β) |
988 | 986, 987 | fssd 6691 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((β D πΉ)
βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ β ((β D
πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
989 | 400, 592,
988 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β ((β D πΉ) βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))):((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))βΆβ) |
990 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ if((πβπ) = π, π΅, ((π
β if((πβπ) < π, π, π)) / (πβπ))) = if((πβπ) = π, π΅, ((π
β if((πβπ) < π, π, π)) / (πβπ))) |
991 | 15, 258, 14, 826, 26, 38, 39, 259, 261, 265, 80, 836, 837, 989, 841, 990 | fourierdlem75 44496 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πβπ) = π, π΅, ((π
β if((πβπ) < π, π, π)) / (πβπ))) β ((π» βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβπ))) |
992 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ if((πβ(π + 1)) = π, π΄, ((πΏ β if((πβ(π + 1)) < π, π, π)) / (πβ(π + 1)))) = if((πβ(π + 1)) = π, π΄, ((πΏ β if((πβ(π + 1)) < π, π, π)) / (πβ(π + 1)))) |
993 | 15, 258, 14, 826, 27, 37, 39, 259, 261, 267, 80, 836, 837, 593, 839, 992 | fourierdlem74 44495 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0..^π)) β if((πβ(π + 1)) = π, π΄, ((πΏ β if((πβ(π + 1)) < π, π, π)) / (πβ(π + 1)))) β ((π» βΎ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) limβ (πβ(π + 1)))) |
994 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
995 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β (π + 1) = (π + 1)) |
996 | 995 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (πβ(π + 1)) = (πβ(π + 1))) |
997 | 994, 996 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β ((πβπ)(,)(πβ(π + 1))) = ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
998 | 997 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (0..^π) β¦ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) = (π β (0..^π) β¦ ((πβπ)(,)(πβ(π + 1)))) |
999 | 445, 447,
889, 177, 259, 899, 918, 924, 926, 985, 991, 993, 998 | fourierdlem70 44491 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β βπ₯ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(π»βπ )) β€ π₯) |
1000 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π / 3) / π¦) = ((π / 3) / π¦) |
1001 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π‘ = π β (πΊβπ‘) = (πΊβπ )) |
1002 | 1001 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (absβ(πΊβπ‘)) = (absβ(πΊβπ ))) |
1003 | 1002 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π‘ = π β ((absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦ β (absβ(πΊβπ )) β€ π¦)) |
1004 | 1003 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦ β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) |
1005 | 1004 | ralbii 3097 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(βπ β
β βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦ β βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) |
1006 | 1005 | 3anbi3i 1160 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β ((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦)) |
1007 | 1006 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ‘ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β (((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) β§ π’ β dom vol)) |
1008 | 1007 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π¦ β
β+ β§ βπ β β βπ‘ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦))) β ((((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦)))) |
1009 | 1008 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π¦ β
β+ β§ βπ β β βπ‘ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ‘)) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦))) β§ π β β) β (((((π β§ π β β+) β§ π¦ β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π¦) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ ((π / 3) / π¦))) β§ π β β)) |
1010 | 14, 15, 27, 38, 39, 40, 41, 818, 817, 999, 843, 1000, 1009 | fourierdlem87 44508 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1011 | | iftrue 4497 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β€ (Ο / 2) β if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) = π) |
1012 | 1011 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) = π) |
1013 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β 0 β β*) |
1014 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β Ο β β*) |
1015 | | rpre 12930 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β π β
β) |
1016 | 1015 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π β
β) |
1017 | | rpgt0 12934 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β 0 < π) |
1018 | 1017 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β 0 < π) |
1019 | 12 | rehalfcli 12409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (Ο /
2) β β |
1020 | 1019 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β (Ο / 2) β β) |
1021 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β Ο β β) |
1022 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π β€ (Ο /
2)) |
1023 | | halfpos 12390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (Ο
β β β (0 < Ο β (Ο / 2) <
Ο)) |
1024 | 12, 1023 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (0 <
Ο β (Ο / 2) < Ο) |
1025 | 885, 1024 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (Ο /
2) < Ο |
1026 | 1025 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β (Ο / 2) < Ο) |
1027 | 1016, 1020, 1021, 1022, 1026 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π <
Ο) |
1028 | 1013, 1014, 1016, 1018, 1027 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β π β
(0(,)Ο)) |
1029 | 1012, 1028 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
(0(,)Ο)) |
1030 | | iffalse 4500 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) = (Ο /
2)) |
1031 | | 2pos 12263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ 0 <
2 |
1032 | 12, 100,
885, 1031 | divgt0ii 12079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ 0 <
(Ο / 2) |
1033 | | elioo2 13312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((0
β β* β§ Ο β β*) β ((Ο
/ 2) β (0(,)Ο) β ((Ο / 2) β β β§ 0 < (Ο /
2) β§ (Ο / 2) < Ο))) |
1034 | 53, 54, 1033 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((Ο /
2) β (0(,)Ο) β ((Ο / 2) β β β§ 0 < (Ο / 2)
β§ (Ο / 2) < Ο)) |
1035 | 1019, 1032, 1025, 1034 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (Ο /
2) β (0(,)Ο) |
1036 | 1035 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
(Ο / 2) β (0(,)Ο)) |
1037 | 1030, 1036 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β
if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β
(0(,)Ο)) |
1038 | 1037 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)) β
(0(,)Ο)) |
1039 | 1029, 1038 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
(0(,)Ο)) |
1040 | 1039 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β
(0(,)Ο)) |
1041 | | ioombl 24945 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(0(,)if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)))
β dom vol |
1042 | 1041 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β dom
vol) |
1043 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1044 | 1042, 1043 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β ((0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β dom vol β§
βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
1045 | | ioossicc 13357 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(0(,)if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)))
β (0[,]if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1046 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β -Ο β β) |
1047 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β Ο β β) |
1048 | 760 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β -Ο β€ 0) |
1049 | 784, 1039 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
β) |
1050 | 1019 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β+
β (Ο / 2) β β) |
1051 | | min2 13116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ (Ο / 2)
β β) β if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)) β€ (Ο / 2)) |
1052 | 1015, 1019, 1051 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β€
(Ο / 2)) |
1053 | 1025 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β+
β (Ο / 2) < Ο) |
1054 | 1049, 1050, 1047, 1052, 1053 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) <
Ο) |
1055 | 1049, 1047, 1054 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β€
Ο) |
1056 | | iccss 13339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((-Ο
β β β§ Ο β β) β§ (-Ο β€ 0 β§ if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β€ Ο)) β
(0[,]if(π β€ (Ο / 2),
π, (Ο / 2))) β
(-Ο[,]Ο)) |
1057 | 1046, 1047, 1048, 1055, 1056 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β (0[,]if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)))
β (-Ο[,]Ο)) |
1058 | 1045, 1057 | sstrid 3960 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β+
β (0(,)if(π β€ (Ο
/ 2), π, (Ο / 2)))
β (-Ο[,]Ο)) |
1059 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β 0 β β) |
1060 | 1018, 1012 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β+
β§ π β€ (Ο / 2))
β 0 < if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1061 | 1032, 1030 | breqtrrid 5148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (Β¬
π β€ (Ο / 2) β 0
< if(π β€ (Ο / 2),
π, (Ο /
2))) |
1062 | 1061 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β+
β§ Β¬ π β€ (Ο /
2)) β 0 < if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1063 | 1060, 1062 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β+
β 0 < if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1064 | 1059, 1049, 1063 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β 0 β€ if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2))) |
1065 | | volioo 24949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((0
β β β§ if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)) β β β§ 0 β€ if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β
(volβ(0(,)if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2)))) = (if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
0)) |
1066 | 1059, 1049, 1064, 1065 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β (volβ(0(,)if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)))) = (if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
0)) |
1067 | 1049 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
β) |
1068 | 1067 | subid1d 11508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β+
β (if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
0) = if(π β€ (Ο / 2),
π, (Ο /
2))) |
1069 | 1066, 1068 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β (volβ(0(,)if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)))) = if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο /
2))) |
1070 | | min1 13115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ (Ο / 2)
β β) β if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)) β€ π) |
1071 | 1015, 1019, 1070 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β+
β if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β€
π) |
1072 | 1069, 1071 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β+
β (volβ(0(,)if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)))) β€ π) |
1073 | 1058, 1072 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β+
β ((0(,)if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο / 2)))
β (-Ο[,]Ο) β§ (volβ(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))) β€ π)) |
1074 | 1073 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β ((0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (-Ο[,]Ο) β§
(volβ(0(,)if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2)))) β€ π)) |
1075 | | sseq1 3974 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (π’ β (-Ο[,]Ο) β (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β
(-Ο[,]Ο))) |
1076 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (volβπ’) = (volβ(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2))))) |
1077 | 1076 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β ((volβπ’) β€ π β (volβ(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))) β€ π)) |
1078 | 1075, 1077 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β ((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β ((0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβ(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))) β€ π))) |
1079 | | itgeq1 25153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β β«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1080 | 1079 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
1081 | 1080 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β ((absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1082 | 1081 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1083 | 1078, 1082 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π’ = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β (((0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (-Ο[,]Ο) β§
(volβ(0(,)if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2)))) β€ π) β
βπ β β
(absββ«(0(,)if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
1084 | 1083 | rspcva 3582 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((0(,)if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο / 2)))
β dom vol β§ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β (((0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2))) β (-Ο[,]Ο) β§
(volβ(0(,)if(π β€
(Ο / 2), π, (Ο /
2)))) β€ π) β
βπ β β
(absββ«(0(,)if(π
β€ (Ο / 2), π, (Ο /
2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1085 | 1044, 1074, 1084 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ β β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1086 | 1085 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ β β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1087 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β (0(,)π) = (0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))) |
1088 | 1087 | itgeq1d 44272 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β β«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1089 | 1088 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
1090 | 1089 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β
((absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1091 | 1090 | ralbidv 3175 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)) β (βπ β β
(absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1092 | 1091 | rspcev 3584 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((if(π β€ (Ο /
2), π, (Ο / 2)) β
(0(,)Ο) β§ βπ
β β (absββ«(0(,)if(π β€ (Ο / 2), π, (Ο / 2)))((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β (0(,)Ο)βπ β β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1093 | 1040, 1086, 1092 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) β βπ β (0(,)Ο)βπ β β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1094 | 1093 | rexlimdv3a 3157 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) β βπ β (0(,)Ο)βπ β β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
1095 | 1010, 1094 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
(0(,)Ο)βπ β
β (absββ«(0(,)π)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
1096 | 884, 1095 | r19.29a 3160 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β β
βπ β
(β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
1097 | 1096 | ralrimiva 3144 |
. . . . . 6
β’ (π β βπ β β+ βπ β β βπ β
(β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π) |
1098 | | nnex 12166 |
. . . . . . . . 9
β’ β
β V |
1099 | 1098 | mptex 7178 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β¦
β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) β V |
1100 | 1099 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) β V) |
1101 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) = (π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )) |
1102 | 765 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
1103 | 767 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) β β) |
1104 | 765 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
1105 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π = π) β π = π) |
1106 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π = π) β π β β) |
1107 | 1105, 1106 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π = π) β π β β) |
1108 | 1107 | nnred 12175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π = π) β π β β) |
1109 | 718 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π = π) β (1 / 2) β
β) |
1110 | 1108, 1109 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ π = π) β (π + (1 / 2)) β β) |
1111 | 1110 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (π + (1 / 2)) β
β) |
1112 | 210, 1104 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
1113 | 1111, 1112 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
1114 | 1113 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) β
β) |
1115 | 1104, 1114, 819 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β β β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1116 | 1115 | adantlll 717 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1117 | 1108 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π = π) β π β β) |
1118 | 1117 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
1119 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β 1 β
β) |
1120 | 1119 | rehalfcld 12407 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (1 / 2) β
β) |
1121 | 1118, 1120 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (π + (1 / 2)) β
β) |
1122 | 210, 1102 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
1123 | 1121, 1122 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
1124 | 1123 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) β
β) |
1125 | 1116, 1124 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) β β) |
1126 | 1103, 1125 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) β β) |
1127 | 817 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
((πβπ ) Β· (πβπ )) β β) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
1128 | 1102, 1126, 1127 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
1129 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (π + (1 / 2)) = (π + (1 / 2))) |
1130 | 1129 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β ((π + (1 / 2)) Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
1131 | 1130 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1132 | 1131 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1133 | 1116, 1132 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
1134 | 1133 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
1135 | 1128, 1134 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β) β§ π = π) β§ π β (0(,)Ο)) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
1136 | 1135 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π = π) β β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ = β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1137 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1138 | 798 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1139 | 1138 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β β β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β)) |
1140 | 793, 1139 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) β ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β))) |
1141 | 767 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β (πβπ ) β β) |
1142 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1143 | 1142, 765, 814 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) β
β) |
1144 | 1141, 1143 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) β β) |
1145 | 1144, 845 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
1146 | 1140, 1145 | chvarvv 2003 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ β β) |
1147 | 1101, 1136, 1137, 1146 | fvmptd 6960 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ) = β«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
1148 | 9, 2, 1100, 1147, 1146 | clim0c 15396 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) β 0 β βπ β β+ βπ β β βπ β
(β€β₯βπ)(absββ«(0(,)Ο)((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < π)) |
1149 | 1097, 1148 | mpbird 257 |
. . . . 5
β’ (π β (π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) β 0) |
1150 | 1098 | mptex 7178 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β¦
(β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο)) β V |
1151 | 6, 1150 | eqeltri 2834 |
. . . . . 6
β’ πΈ β V |
1152 | 1151 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β πΈ β V) |
1153 | 1098 | mptex 7178 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β¦ Ο)
β V |
1154 | 1153 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β β β¦ Ο) β
V) |
1155 | 12 | recni 11176 |
. . . . . . 7
β’ Ο
β β |
1156 | 1155 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β Ο β
β) |
1157 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β (π β β β¦ Ο) =
(π β β β¦
Ο)) |
1158 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§ π = π) β Ο = Ο) |
1159 | | id 22 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β π β
β) |
1160 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β Ο
β β) |
1161 | 1157, 1158, 1159, 1160 | fvmptd 6960 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β ((π β β β¦
Ο)βπ) =
Ο) |
1162 | 1161 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ Ο)βπ) = Ο) |
1163 | 9, 2, 1154, 1156, 1162 | climconst 15432 |
. . . . 5
β’ (π β (π β β β¦ Ο) β
Ο) |
1164 | 759, 885 | gtneii 11274 |
. . . . . 6
β’ Ο β
0 |
1165 | 1164 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (π β Ο β
0) |
1166 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1167 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1168 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
1169 | 825, 1166, 1167, 1168, 39, 40, 41, 830, 818, 817 | fourierdlem67 44488 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β πΊ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
1170 | 1169 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β πΊ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
1171 | 802 | sselda 3949 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β π β (-Ο[,]Ο)) |
1172 | 1170, 1171 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β (πΊβπ ) β β) |
1173 | 1169 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΊβπ ) β β) |
1174 | 1169 | feqmptd 6915 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ (πΊβπ ))) |
1175 | 1174, 843 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ (πΊβπ )) β
πΏ1) |
1176 | 802, 804,
1173, 1175 | iblss 25185 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0(,)Ο) β¦ (πΊβπ )) β
πΏ1) |
1177 | 1172, 1176 | itgcl 25164 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ β β) |
1178 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β¦
β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) = (π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) |
1179 | 1178 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β β§
β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ β β) β ((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ) = β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) |
1180 | 1142, 1177, 1179 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ) = β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ ) |
1181 | 1180, 1177 | eqeltrd 2838 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ) β β) |
1182 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β¦ Ο) =
(π β β β¦
Ο) |
1183 | 1182 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β ((π
β β β¦ Ο)βπ) = Ο) |
1184 | 12, 1183 | mpan2 690 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β ((π β β β¦
Ο)βπ) =
Ο) |
1185 | 1155 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β Ο
β β) |
1186 | 1164 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β Ο β
0) |
1187 | | eldifsn 4752 |
. . . . . . . 8
β’ (Ο
β (β β {0}) β (Ο β β β§ Ο β
0)) |
1188 | 1185, 1186, 1187 | sylanbrc 584 |
. . . . . . 7
β’ (π β β β Ο
β (β β {0})) |
1189 | 1184, 1188 | eqeltrd 2838 |
. . . . . 6
β’ (π β β β ((π β β β¦
Ο)βπ) β
(β β {0})) |
1190 | 1189 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ((π β β β¦ Ο)βπ) β (β β
{0})) |
1191 | 1155 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
β) |
1192 | 1164 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
0) |
1193 | 1177, 1191, 1192 | divcld 11938 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
(β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο) β β) |
1194 | 6 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β β§
(β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο) β β) β (πΈβπ) = (β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
1195 | 1142, 1193, 1194 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (πΈβπ) = (β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο)) |
1196 | 1180 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ = ((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ)) |
1197 | 1184 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β Ο =
((π β β β¦
Ο)βπ)) |
1198 | 1197 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β Ο = ((π β β β¦
Ο)βπ)) |
1199 | 1196, 1198 | oveq12d 7380 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β
(β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ / Ο) = (((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ) / ((π β β β¦ Ο)βπ))) |
1200 | 1195, 1199 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β (πΈβπ) = (((π β β β¦ β«(0(,)Ο)(πΊβπ ) dπ )βπ) / ((π β β β¦ Ο)βπ))) |
1201 | 3, 4, 5, 8, 9, 2, 1149, 1152, 1163, 1165, 1181, 1190, 1200 | climdivf 43927 |
. . . 4
β’ (π β πΈ β (0 / Ο)) |
1202 | 1155, 1164 | div0i 11896 |
. . . . 5
β’ (0 /
Ο) = 0 |
1203 | 1202 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (π β (0 / Ο) =
0) |
1204 | 1201, 1203 | breqtrd 5136 |
. . 3
β’ (π β πΈ β 0) |
1205 | | fourierdlem104.z |
. . . . 5
β’ π = (π β β β¦
β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1206 | 1098 | mptex 7178 |
. . . . 5
β’ (π β β β¦
β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) β V |
1207 | 1205, 1206 | eqeltri 2834 |
. . . 4
β’ π β V |
1208 | 1207 | a1i 11 |
. . 3
β’ (π β π β V) |
1209 | 1098 | mptex 7178 |
. . . . 5
β’ (π β β β¦ (π / 2)) β V |
1210 | 1209 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (π β (π β β β¦ (π / 2)) β V) |
1211 | | limccl 25255 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π) β
β |
1212 | 1211, 26 | sselid 3947 |
. . . . 5
β’ (π β π β β) |
1213 | 1212 | halfcld 12405 |
. . . 4
β’ (π β (π / 2) β β) |
1214 | | eqidd 2738 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (π β β
β¦ (π / 2)) = (π β β β¦ (π / 2))) |
1215 | | eqidd 2738 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β (β€β₯β1))
β§ π = π) β (π / 2) = (π / 2)) |
1216 | 9 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . 8
β’
(β€β₯β1) = β |
1217 | 1216 | eleq2i 2830 |
. . . . . . 7
β’ (π β
(β€β₯β1) β π β β) |
1218 | 1217 | biimpi 215 |
. . . . . 6
β’ (π β
(β€β₯β1) β π β β) |
1219 | 1218 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β π β
β) |
1220 | 1213 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (π / 2) β
β) |
1221 | 1214, 1215, 1219, 1220 | fvmptd 6960 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((π β β
β¦ (π /
2))βπ) = (π / 2)) |
1222 | 1, 2, 1210, 1213, 1221 | climconst 15432 |
. . 3
β’ (π β (π β β β¦ (π / 2)) β (π / 2)) |
1223 | 1193, 6 | fmptd 7067 |
. . . . 5
β’ (π β πΈ:ββΆβ) |
1224 | 1223 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β πΈ:ββΆβ) |
1225 | 1224, 1219 | ffvelcdmd 7041 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (πΈβπ) β
β) |
1226 | 1221, 1220 | eqeltrd 2838 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((π β β
β¦ (π /
2))βπ) β
β) |
1227 | 1221 | oveq2d 7378 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((πΈβπ) + ((π β β β¦ (π / 2))βπ)) = ((πΈβπ) + (π / 2))) |
1228 | 803 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (0(,)Ο) β dom
vol) |
1229 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (0(,)Ο) β 0
β β) |
1230 | 1229 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (0(,)Ο) β 0
β β*) |
1231 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (0(,)Ο) β Ο
β β*) |
1232 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (0(,)Ο) β π β
(0(,)Ο)) |
1233 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ π β (0(,)Ο)) β 0
< π ) |
1234 | 1230, 1231, 1232, 1233 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (0(,)Ο) β 0 <
π ) |
1235 | 1234 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (0(,)Ο) β π β 0) |
1236 | 1235 | neneqd 2949 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (0(,)Ο) β Β¬
π = 0) |
1237 | | velsn 4607 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β {0} β π = 0) |
1238 | 1236, 1237 | sylnibr 329 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (0(,)Ο) β Β¬
π β
{0}) |
1239 | 765, 1238 | eldifd 3926 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0(,)Ο) β π β ((-Ο[,]Ο) β
{0})) |
1240 | 1239 | ssriv 3953 |
. . . . . . 7
β’
(0(,)Ο) β ((-Ο[,]Ο) β {0}) |
1241 | 1240 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β (0(,)Ο) β
((-Ο[,]Ο) β {0})) |
1242 | | fourierdlem104.d |
. . . . . 6
β’ π· = (π β β β¦ (π β β β¦ if((π mod (2 Β· Ο)) = 0,
(((2 Β· π) + 1) / (2
Β· Ο)), ((sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) / ((2 Β· Ο) Β·
(sinβ(π /
2))))))) |
1243 | 1234 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β 0 < π ) |
1244 | 1243 | iftrued 4499 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β if(0 < π , π, π) = π) |
1245 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π·βπ) = (π·βπ) |
1246 | | 0red 11165 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β 0 β
β) |
1247 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
β) |
1248 | 759, 12,
885 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . 9
β’ 0 β€
Ο |
1249 | 1248 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β 0 β€
Ο) |
1250 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο)) = (π β (0[,]Ο) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο)) |
1251 | 1242, 1142, 1245, 1246, 1247, 1249, 1250 | dirkeritg 44417 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((π·βπ)βπ ) dπ = (((π β (0[,]Ο) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))βΟ) β ((π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0))) |
1252 | | ubicc2 13389 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ 0 β€
Ο) β Ο β (0[,]Ο)) |
1253 | 53, 54, 1248, 1252 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . 10
β’ Ο
β (0[,]Ο) |
1254 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = Ο β (π / 2) = (Ο /
2)) |
1255 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = Ο β (π Β· π ) = (π Β· Ο)) |
1256 | 1255 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = Ο β (sinβ(π Β· π )) = (sinβ(π Β· Ο))) |
1257 | 1256 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = Ο β
((sinβ(π Β·
π )) / π) = ((sinβ(π Β· Ο)) / π)) |
1258 | | elfzelz 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β π β β€) |
1259 | 1258 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1...π) β π β β) |
1260 | 1155 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1...π) β Ο β
β) |
1261 | 1164 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (1...π) β Ο β 0) |
1262 | 1259, 1260, 1261 | divcan4d 11944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β ((π Β· Ο) / Ο) = π) |
1263 | 1262, 1258 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β ((π Β· Ο) / Ο) β
β€) |
1264 | 1259, 1260 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β (π Β· Ο) β
β) |
1265 | | sineq0 25896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π Β· Ο) β β
β ((sinβ(π
Β· Ο)) = 0 β ((π Β· Ο) / Ο) β
β€)) |
1266 | 1264, 1265 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β ((sinβ(π Β· Ο)) = 0 β ((π Β· Ο) / Ο) β
β€)) |
1267 | 1263, 1266 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (1...π) β (sinβ(π Β· Ο)) = 0) |
1268 | 1267 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (1...π) β ((sinβ(π Β· Ο)) / π) = (0 / π)) |
1269 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β 0 β β) |
1270 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β 1 β β) |
1271 | 1258 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β π β β) |
1272 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β 0 < 1) |
1273 | | elfzle1 13451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (1...π) β 1 β€ π) |
1274 | 1269, 1270, 1271, 1272, 1273 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (1...π) β 0 < π) |
1275 | 1274 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (1...π) β π β 0) |
1276 | 1259, 1275 | div0d 11937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (1...π) β (0 / π) = 0) |
1277 | 1268, 1276 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (1...π) β ((sinβ(π Β· Ο)) / π) = 0) |
1278 | 1257, 1277 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π = Ο β§ π β (1...π)) β ((sinβ(π Β· π )) / π) = 0) |
1279 | 1278 | sumeq2dv 15595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = Ο β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = Ξ£π β (1...π)0) |
1280 | | fzfi 13884 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(1...π) β
Fin |
1281 | 1280 | olci 865 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((1...π) β
(β€β₯β β₯ ) β¨ (1...π) β Fin) |
1282 | | sumz 15614 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((1...π) β
(β€β₯β β₯ ) β¨ (1...π) β Fin) β
Ξ£π β (1...π)0 = 0) |
1283 | 1281, 1282 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
Ξ£π β
(1...π)0 =
0 |
1284 | 1279, 1283 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = Ο β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = 0) |
1285 | 1254, 1284 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = Ο β ((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) = ((Ο / 2) + 0)) |
1286 | 1285 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = Ο β (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο) = (((Ο / 2) + 0) /
Ο)) |
1287 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((Ο /
2) + 0) / Ο) β V |
1288 | 1286, 1250, 1287 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . 10
β’ (Ο
β (0[,]Ο) β ((π β (0[,]Ο) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))βΟ) = (((Ο / 2) + 0) /
Ο)) |
1289 | 1253, 1288 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))βΟ) = (((Ο / 2) + 0) /
Ο) |
1290 | | lbicc2 13388 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ 0 β€
Ο) β 0 β (0[,]Ο)) |
1291 | 53, 54, 1248, 1290 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . 10
β’ 0 β
(0[,]Ο) |
1292 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = 0 β (π / 2) = (0 / 2)) |
1293 | | 2cn 12235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ 2 β
β |
1294 | 1293, 238 | div0i 11896 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (0 / 2) =
0 |
1295 | 1292, 1294 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 0 β (π / 2) = 0) |
1296 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = 0 β (π Β· π ) = (π Β· 0)) |
1297 | 1259 | mul01d 11361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (1...π) β (π Β· 0) = 0) |
1298 | 1296, 1297 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (π Β· π ) = 0) |
1299 | 1298 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (sinβ(π Β· π )) = (sinβ0)) |
1300 | | sin0 16038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(sinβ0) = 0 |
1301 | 1299, 1300 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (sinβ(π Β· π )) = 0) |
1302 | 1301 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β ((sinβ(π Β· π )) / π) = (0 / π)) |
1303 | 1276 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β (0 / π) = 0) |
1304 | 1302, 1303 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π = 0 β§ π β (1...π)) β ((sinβ(π Β· π )) / π) = 0) |
1305 | 1304 | sumeq2dv 15595 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = 0 β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = Ξ£π β (1...π)0) |
1306 | 1305, 1283 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 0 β Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π) = 0) |
1307 | 1295, 1306 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = 0 β ((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) = (0 + 0)) |
1308 | | 00id 11337 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (0 + 0) =
0 |
1309 | 1307, 1308 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = 0 β ((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) = 0) |
1310 | 1309 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 0 β (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο) = (0 / Ο)) |
1311 | 1310, 1202 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = 0 β (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο) = 0) |
1312 | | c0ex 11156 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 0 β
V |
1313 | 1311, 1250, 1312 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . 10
β’ (0 β
(0[,]Ο) β ((π
β (0[,]Ο) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) = 0) |
1314 | 1291, 1313 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0) = 0 |
1315 | 1289, 1314 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))βΟ) β ((π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0)) = ((((Ο / 2) + 0) /
Ο) β 0) |
1316 | 1315 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (((π β (0[,]Ο) β¦ (((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))βΟ) β ((π β (0[,]Ο) β¦
(((π / 2) + Ξ£π β (1...π)((sinβ(π Β· π )) / π)) / Ο))β0)) = ((((Ο / 2) + 0) /
Ο) β 0)) |
1317 | 1019 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (Ο /
2) β β |
1318 | 1317 | addid1i 11349 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((Ο /
2) + 0) = (Ο / 2) |
1319 | 1318 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((Ο /
2) + 0) / Ο) = ((Ο / 2) / Ο) |
1320 | 1155, 1293, 1155, 238, 1164 | divdiv32i 11917 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((Ο /
2) / Ο) = ((Ο / Ο) / 2) |
1321 | 1155, 1164 | dividi 11895 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (Ο /
Ο) = 1 |
1322 | 1321 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((Ο /
Ο) / 2) = (1 / 2) |
1323 | 1319, 1320, 1322 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((Ο /
2) + 0) / Ο) = (1 / 2) |
1324 | 1323 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((Ο
/ 2) + 0) / Ο) β 0) = ((1 / 2) β 0) |
1325 | | halfcn 12375 |
. . . . . . . . . 10
β’ (1 / 2)
β β |
1326 | 1325 | subid1i 11480 |
. . . . . . . . 9
β’ ((1 / 2)
β 0) = (1 / 2) |
1327 | 1324, 1326 | eqtri 2765 |
. . . . . . . 8
β’ ((((Ο
/ 2) + 0) / Ο) β 0) = (1 / 2) |
1328 | 1327 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β ((((Ο / 2) + 0) /
Ο) β 0) = (1 / 2)) |
1329 | 1251, 1316, 1328 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((π·βπ)βπ ) dπ = (1 / 2)) |
1330 | 14, 15, 258, 259, 261, 826, 263, 265, 267, 39, 40, 41, 818, 817, 837, 593, 839, 841, 26, 37, 1228, 1241, 6, 1242, 27, 1244, 1329 | fourierdlem95 44516 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β ((πΈβπ) + (π / 2)) = β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1331 | 1219, 1330 | syldan 592 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β ((πΈβπ) + (π / 2)) = β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1332 | 1205 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β π = (π β β β¦
β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ )) |
1333 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (π·βπ) = (π·βπ)) |
1334 | 1333 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β ((π·βπ)βπ ) = ((π·βπ)βπ )) |
1335 | 1334 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) = ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) |
1336 | 1335 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π = π β§ π β (0(,)Ο)) β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) = ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) |
1337 | 1336 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1338 | 1337 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π = π) β β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1339 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β πΉ:ββΆβ) |
1340 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
1341 | 775 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
1342 | 1340, 1341 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (π + π ) β β) |
1343 | 1339, 1342 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β (0(,)Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1344 | 1343 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1345 | 1242 | dirkerf 44412 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β (π·βπ):ββΆβ) |
1346 | 1345 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β (π·βπ):ββΆβ) |
1347 | 775 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β π β β) |
1348 | 1346, 1347 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β ((π·βπ)βπ ) β β) |
1349 | 1344, 1348 | remulcld 11192 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (0(,)Ο)) β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) β β) |
1350 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β πΉ:ββΆβ) |
1351 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
1352 | 210 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (-Ο[,]Ο) β
π β
β) |
1353 | 1352 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
1354 | 1351, 1353 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (π + π ) β β) |
1355 | 1350, 1354 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1356 | 1355 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΉβ(π + π )) β β) |
1357 | 1345 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (π·βπ):ββΆβ) |
1358 | 1352 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
1359 | 1357, 1358 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((π·βπ)βπ ) β β) |
1360 | 1356, 1359 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) β β) |
1361 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β -Ο β
β) |
1362 | 1242 | dirkercncf 44422 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β (π·βπ) β (ββcnββ)) |
1363 | 1362 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (π·βπ) β (ββcnββ)) |
1364 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (-Ο[,]Ο) β¦
((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) |
1365 | 1361, 1247, 825, 1166, 258, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 1363, 1364 | fourierdlem84 44505 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) β
πΏ1) |
1366 | 802, 804,
1360, 1365 | iblss 25185 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (π β (0(,)Ο) β¦ ((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ ))) β
πΏ1) |
1367 | 1349, 1366 | itgrecl 25178 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ β β) |
1368 | 1332, 1338, 1142, 1367 | fvmptd 6960 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (πβπ) = β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ ) |
1369 | 1368 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β
β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = (πβπ)) |
1370 | 1219, 1369 | syldan 592 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β β«(0(,)Ο)((πΉβ(π + π )) Β· ((π·βπ)βπ )) dπ = (πβπ)) |
1371 | 1227, 1331, 1370 | 3eqtrrd 2782 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯β1))
β (πβπ) = ((πΈβπ) + ((π β β β¦ (π / 2))βπ))) |
1372 | 1, 2, 1204, 1208, 1222, 1225, 1226, 1371 | climadd 15521 |
. 2
β’ (π β π β (0 + (π / 2))) |
1373 | 1213 | addid2d 11363 |
. 2
β’ (π β (0 + (π / 2)) = (π / 2)) |
1374 | 1372, 1373 | breqtrd 5136 |
1
β’ (π β π β (π / 2)) |