sdclem1 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem sdclem1 38117

Description: Lemma for sdc 38118. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sdc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
sdc.2	⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
sdc.3	⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
sdc.4	⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
sdc.5	⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
sdc.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sdc.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
sdc.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10	⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
sdc.11	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})

**Assertion**
Ref	Expression
sdclem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Distinct variable groups: 𝑓,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴 ℎ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥 𝑓,𝑀,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜒,𝑔 𝑛,𝐹,𝑤,𝑥 𝜓,𝑓,ℎ,𝑘,𝑥 𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥 𝜑,𝑛,𝑤,𝑥 𝜃,𝑛,𝑤,𝑥 ℎ,𝑉 𝜏,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜑,𝑔,ℎ,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓) 𝜓(𝑤,𝑔,𝑛) 𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,ℎ,𝑘,𝑛) 𝜃(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝜏(𝑓,𝑔) 𝜎(𝑤,ℎ,𝑘) 𝐹(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝐽(𝑓,𝑔,𝑛) 𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1 Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
2		sdc.10	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
3		sdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
4	3	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
5		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
6		sdc.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		ovex 7396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀...𝑛) ∈ V
8		elmapg 8783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
9	6, 7, 8	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
10	5, 9	imbitrrid 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛))))
11	10	abssdv 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)))
12		ovex 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∈ V
13		ssexg 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
14	11, 12, 13	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
15	14	ralrimivw 3136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
16		abrexex2g 7913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
17	4, 15, 16	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
18	2, 17	eqeltrid 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
20		sdc.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uzid 12801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
24	23, 3	eleqtrrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
25		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
26		fzsn 13518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
28	27	feq2d 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
29	25, 28	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
30		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝜏)
31		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
32	31	feq2d 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
33		sdc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
34	32, 33	anbi12d 638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)))
35	34	rspcev 3567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
36	24, 29, 30, 35	syl12anc 842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
37	2	eqabri 2882	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
38	36, 37	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔 ∈ 𝐽)
39	3	peano2uzs 12850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
40	39	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41		simpr1 1201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
42		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
43		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℎ ∈ V
44		ovex 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
45		sdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎)))
47	43, 44, 46	sbc2iedv 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
48	47	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
49	42, 48	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
50		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛 ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
51		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛ℎ
52		nfsbc1v 3750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
53	51, 52	nfsbcw 3752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛[ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
54	50, 53	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
55		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
56	55	feq2d 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
57		sbceq1a 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ [(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
58	57	sbcbidv 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ℎ / 𝑔]𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
59	56, 58	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
60	54, 59	rspce 3556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
61	40, 41, 49, 60	syl12anc 842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
62	2	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)})
63		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔𝑍
64		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔 ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴
65		nfsbc1v 3750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔[ℎ / 𝑔]𝜓
66	64, 65	nfan 1906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
67	63, 66	nfrexw 3288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
68		feq1 6640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
69		sbceq1a 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔]𝜓))
70	68, 69	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
71	70	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
72	67, 43, 71	elabf 3620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
73	62, 72	bitri 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
74	61, 73	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ ∈ 𝐽)
75	74	rexlimdva2 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
76	75	abssdv 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
77	76	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
78	18	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
79		elpw2g 5268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ V → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
81	77, 80	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
82		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
83	82	feq2d 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
84		sdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
85	83, 84	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)))
86	85	cbvrexvw 3219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃))
87		sdc.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
88	87	reximdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
89		rexcom4 3267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
90	88, 89	imbitrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
91	86, 90	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
92	91	ss2abdv 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
93	2, 92	eqsstrid 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
94	93	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
95		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
96		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘))))
97	96	3anbi2d 1449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
98	97	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
99	98	exbidv 1928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
100	95, 99	elab 3624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
101	94, 100	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
102		abn0 4320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103	101, 102	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
104	103	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
105		eldifsn 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
106	81, 104, 105	sylanbrc 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
107	106	adantrl 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
108	107	ralrimivva 3183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109		sdc.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
110	109	fmpo 8017	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
111	108, 110	sylib 219	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
112	20	iftrued 4469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
113	112	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
114	113, 3	eqtr4di 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
115	114	xpeq1d 5654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
116	115	feq2d 6646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
117	116	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
118	111, 117	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
119		0z 12533	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
120	119	elimel 4531	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
121		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
122	120, 121	axdc4uz 13944	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
123	19, 38, 118, 122	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
124	21	iftrued 4469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
125	124	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
126	125, 3	eqtr4di 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
127	126	feq2d 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶𝐽))
128	86	abbii 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
129	2, 128	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
130		feq3 6642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} → (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
131	129, 130	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
132	127, 131	bitrdi 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
133	124	fveqeq2d 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗‘𝑀) = 𝑔))
134	126	raleqdv 3298	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
135	132, 133, 134	3anbi123d 1444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))))
136		sdc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
137	6	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
138	20	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
139	1	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
140		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝜑)
141	140, 87	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
142		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
143		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
144		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
145		nfre1 3265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)
146	145	nfab 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
147	143, 144, 146	nff 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
148		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑀) = 𝑔
149		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
150	129, 146	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐽
151		nfre1 3265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
152	151	nfab 2908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘{ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
153	144, 150, 152	nfmpo 7445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
154	109, 153	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
155		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑚)
156	149, 154, 155	nfov 7393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
157	156	nfel2 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
158	144, 157	nfralw 3287	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
159	147, 148, 158	nf3an 1908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
160	142, 159	nfan 1906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
161		simpr1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
162	161, 131	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶𝐽)
163	25	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
164		simpr2 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀) = 𝑔)
165	138, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
166	164, 165	feq12d 6650	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ((𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
167	163, 166	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
168		simpr3 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
169		fvoveq1 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
170		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → 𝑚 = 𝑤)
171		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘𝑚) = (𝑗‘𝑤))
172	170, 171	oveq12d 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
173	169, 172	eleq12d 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤))))
174	173	rspccva 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
175	168, 174	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
176	3, 136, 33, 84, 45, 137, 138, 139, 141, 2, 109, 160, 162, 167, 175	sdclem2 38116	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
177	176	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
178	135, 177	sylbid 241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
179	178	exlimdv 1940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
180	123, 179	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
181	1, 180	exlimddv 1942	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∃wex 1786 ∈ wcel 2119 {cab 2718 ≠ wne 2935 ∀wral 3054 ∃wrex 3064 Vcvv 3432 [wsbc 3730 ∖ cdif 3887 ⊆ wss 3890 ∅c0 4268 ifcif 4461 𝒫 cpw 4536 {csn 4562 × cxp 5623 ↾ cres 5627 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 ∈ cmpo 7365 ↑_m cmap 8770 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 ℤcz 12522 ℤ_≥cuz 12786 ...cfz 13459

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-dc 10366 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-er 8640 df-map 8772 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-nn 12173 df-n0 12436 df-z 12523 df-uz 12787 df-fz 13460

This theorem is referenced by: sdc 38118

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