sdclem1 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem sdclem1 36611

Description: Lemma for sdc 36612. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sdc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
sdc.2	⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
sdc.3	⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
sdc.4	⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
sdc.5	⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
sdc.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sdc.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
sdc.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10	⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
sdc.11	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})

**Assertion**
Ref	Expression
sdclem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Distinct variable groups: 𝑓,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴 ℎ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥 𝑓,𝑀,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜒,𝑔 𝑛,𝐹,𝑤,𝑥 𝜓,𝑓,ℎ,𝑘,𝑥 𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥 𝜑,𝑛,𝑤,𝑥 𝜃,𝑛,𝑤,𝑥 ℎ,𝑉 𝜏,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜑,𝑔,ℎ,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓) 𝜓(𝑤,𝑔,𝑛) 𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,ℎ,𝑘,𝑛) 𝜃(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝜏(𝑓,𝑔) 𝜎(𝑤,ℎ,𝑘) 𝐹(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝐽(𝑓,𝑔,𝑛) 𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1 Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
2		sdc.10	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
3		sdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
4	3	fvexi 6906	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
5		simpl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
6		sdc.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		ovex 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀...𝑛) ∈ V
8		elmapg 8833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
9	6, 7, 8	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
10	5, 9	imbitrrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛))))
11	10	abssdv 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)))
12		ovex 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∈ V
13		ssexg 5324	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
14	11, 12, 13	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
15	14	ralrimivw 3151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
16		abrexex2g 7951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
17	4, 15, 16	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
18	2, 17	eqeltrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
19	18	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
20		sdc.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uzid 12837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
24	23, 3	eleqtrrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
25		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
26		fzsn 13543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
28	27	feq2d 6704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
29	25, 28	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
30		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝜏)
31		oveq2 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
32	31	feq2d 6704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
33		sdc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
34	32, 33	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)))
35	34	rspcev 3613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
36	24, 29, 30, 35	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
37	2	eqabri 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
38	36, 37	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔 ∈ 𝐽)
39	3	peano2uzs 12886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
40	39	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
42		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
43		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℎ ∈ V
44		ovex 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
45		sdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎)))
47	43, 44, 46	sbc2iedv 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
49	42, 48	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
50		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛 ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
51		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛ℎ
52		nfsbc1v 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
53	51, 52	nfsbcw 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛[ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
54	50, 53	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
55		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
56	55	feq2d 6704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
57		sbceq1a 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ [(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
58	57	sbcbidv 3837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ℎ / 𝑔]𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
59	56, 58	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
60	54, 59	rspce 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
61	40, 41, 49, 60	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
62	2	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)})
63		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔𝑍
64		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔 ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴
65		nfsbc1v 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔[ℎ / 𝑔]𝜓
66	64, 65	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
67	63, 66	nfrexw 3311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
68		feq1 6699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
69		sbceq1a 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔]𝜓))
70	68, 69	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
71	70	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
72	67, 43, 71	elabf 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
73	62, 72	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
74	61, 73	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ ∈ 𝐽)
75	74	rexlimdva2 3158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
76	75	abssdv 4066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
78	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
79		elpw2g 5345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ V → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
81	77, 80	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
82		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
83	82	feq2d 6704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
84		sdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
85	83, 84	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)))
86	85	cbvrexvw 3236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃))
87		sdc.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
88	87	reximdva 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
89		rexcom4 3286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
90	88, 89	imbitrdi 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
91	86, 90	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
92	91	ss2abdv 4061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
93	2, 92	eqsstrid 4031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
94	93	sselda 3983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
95		vex 3479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
96		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘))))
97	96	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
98	97	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
99	98	exbidv 1925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
100	95, 99	elab 3669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
101	94, 100	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
102		abn0 4381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103	101, 102	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
104	103	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
105		eldifsn 4791	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
106	81, 104, 105	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
107	106	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
108	107	ralrimivva 3201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109		sdc.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
110	109	fmpo 8054	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
111	108, 110	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
112	20	iftrued 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
113	112	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
114	113, 3	eqtr4di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
115	114	xpeq1d 5706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
116	115	feq2d 6704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
117	116	biimpar 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
118	111, 117	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
119		0z 12569	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
120	119	elimel 4598	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
121		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
122	120, 121	axdc4uz 13949	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
123	19, 38, 118, 122	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
124	21	iftrued 4537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
125	124	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
126	125, 3	eqtr4di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
127	126	feq2d 6704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶𝐽))
128	86	abbii 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
129	2, 128	eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
130		feq3 6701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} → (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
131	129, 130	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
132	127, 131	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
133	124	fveqeq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗‘𝑀) = 𝑔))
134	126	raleqdv 3326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
135	132, 133, 134	3anbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))))
136		sdc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
137	6	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
138	20	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
139	1	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
140		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝜑)
141	140, 87	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
142		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
143		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
144		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
145		nfre1 3283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)
146	145	nfab 2910	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
147	143, 144, 146	nff 6714	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
148		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑀) = 𝑔
149		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
150	129, 146	nfcxfr 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐽
151		nfre1 3283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
152	151	nfab 2910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘{ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
153	144, 150, 152	nfmpo 7491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
154	109, 153	nfcxfr 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
155		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑚)
156	149, 154, 155	nfov 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
157	156	nfel2 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
158	144, 157	nfralw 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
159	147, 148, 158	nf3an 1905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
160	142, 159	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
161		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
162	161, 131	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶𝐽)
163	25	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
164		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀) = 𝑔)
165	138, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
166	164, 165	feq12d 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ((𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
167	163, 166	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
168		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
169		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
170		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → 𝑚 = 𝑤)
171		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘𝑚) = (𝑗‘𝑤))
172	170, 171	oveq12d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
173	169, 172	eleq12d 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤))))
174	173	rspccva 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
175	168, 174	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
176	3, 136, 33, 84, 45, 137, 138, 139, 141, 2, 109, 160, 162, 167, 175	sdclem2 36610	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
177	176	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
178	135, 177	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
179	178	exlimdv 1937	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
180	123, 179	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
181	1, 180	exlimddv 1939	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∃wex 1782 ∈ wcel 2107 {cab 2710 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 Vcvv 3475 [wsbc 3778 ∖ cdif 3946 ⊆ wss 3949 ∅c0 4323 ifcif 4529 𝒫 cpw 4603 {csn 4629 × cxp 5675 ↾ cres 5679 ⟶wf 6540 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ∈ cmpo 7411 ↑_m cmap 8820 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 ℤcz 12558 ℤ_≥cuz 12822 ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-dc 10441 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-er 8703 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-nn 12213 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-fz 13485

This theorem is referenced by: sdc 36612

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