sdclem1 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem sdclem1 33850

Description: Lemma for sdc 33851. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sdc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
sdc.2	⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
sdc.3	⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
sdc.4	⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
sdc.5	⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
sdc.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sdc.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
sdc.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10	⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
sdc.11	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})

**Assertion**
Ref	Expression
sdclem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Distinct variable groups: 𝑓,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴 ℎ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥 𝑓,𝑀,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜒,𝑔 𝑛,𝐹,𝑤,𝑥 𝜓,𝑓,ℎ,𝑘,𝑥 𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥 𝜑,𝑛,𝑤,𝑥 𝜃,𝑛,𝑤,𝑥 ℎ,𝑉 𝜏,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜑,𝑔,ℎ,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓) 𝜓(𝑤,𝑔,𝑛) 𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,ℎ,𝑘,𝑛) 𝜃(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝜏(𝑓,𝑔) 𝜎(𝑤,ℎ,𝑘) 𝐹(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝐽(𝑓,𝑔,𝑛) 𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1 Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
2		sdc.10	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
3		sdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
4	3	fvexi 6422	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
5		simpl 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
6		sdc.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		ovex 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀...𝑛) ∈ V
8		elmapg 8105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
9	6, 7, 8	sylancl 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
10	5, 9	syl5ibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛))))
11	10	abssdv 3873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)))
12		ovex 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ∈ V
13		ssexg 4999	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
14	11, 12, 13	sylancl 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
15	14	ralrimivw 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
16		abrexex2g 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
17	4, 15, 16	sylancr 577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
18	2, 17	syl5eqel 2889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
19	18	adantr 468	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
20		sdc.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	adantr 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uzid 11919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
24	23, 3	syl6eleqr 2896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
25		simprl 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
26		fzsn 12606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
28	27	feq2d 6242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
29	25, 28	mpbird 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
30		simprr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝜏)
31		oveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
32	31	feq2d 6242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
33		sdc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
34	32, 33	anbi12d 618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)))
35	34	rspcev 3502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
36	24, 29, 30, 35	syl12anc 856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
37	2	abeq2i 2919	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
38	36, 37	sylibr 225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔 ∈ 𝐽)
39	3	peano2uzs 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
40	39	ad2antlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41		simpr1 1241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
42		simpr3 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
43		vex 3394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℎ ∈ V
44		ovex 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
45		sdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎)))
47	43, 44, 46	sbc2iedv 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
48	47	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
49	42, 48	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
50		nfv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛 ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
51		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛ℎ
52		nfsbc1v 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
53	51, 52	nfsbc 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛[ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
54	50, 53	nfan 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
55		oveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
56	55	feq2d 6242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
57		sbceq1a 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ [(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
58	57	sbcbidv 3688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ℎ / 𝑔]𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
59	56, 58	anbi12d 618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
60	54, 59	rspce 3497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
61	40, 41, 49, 60	syl12anc 856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
62	2	eleq2i 2877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)})
63		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔𝑍
64		nfv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑔 ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴
65		nfsbc1v 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑔[ℎ / 𝑔]𝜓
66	64, 65	nfan 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
67	63, 66	nfrex 3194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
68		feq1 6237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
69		sbceq1a 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔]𝜓))
70	68, 69	anbi12d 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
71	70	rexbidv 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
72	67, 43, 71	elabf 3544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
73	62, 72	bitri 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
74	61, 73	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ ∈ 𝐽)
75	74	ex 399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
76	75	rexlimdva 3219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
77	76	abssdv 3873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
78	77	ad2antrr 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
79	18	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
80		elpw2g 5019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ V → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
82	78, 81	mpbird 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
83		oveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
84	83	feq2d 6242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
85		sdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
86	84, 85	anbi12d 618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)))
87	86	cbvrexv 3361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃))
88		sdc.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
89	88	reximdva 3204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
90		rexcom4 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
91	89, 90	syl6ib 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
92	87, 91	syl5bi 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
93	92	ss2abdv 3872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
94	2, 93	syl5eqss 3846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
95	94	sselda 3798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
96		vex 3394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
97		eqeq1 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘))))
98	97	3anbi2d 1558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
99	98	rexbidv 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
100	99	exbidv 2012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
101	96, 100	elab 3545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
102	95, 101	sylib 209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103		abn0 4155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
104	102, 103	sylibr 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
105	104	adantlr 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
106		eldifsn 4508	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
107	82, 105, 106	sylanbrc 574	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
108	107	adantrl 698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109	108	ralrimivva 3159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
110		sdc.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
111	110	fmpt2 7470	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
112	109, 111	sylib 209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
113	20	iftrued 4287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
114	113	fveq2d 6412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
115	114, 3	syl6eqr 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
116	115	xpeq1d 5339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
117	116	feq2d 6242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
118	117	biimpar 465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
119	112, 118	syldan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
120		0z 11654	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
121	120	elimel 4346	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
122		eqid 2806	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
123	121, 122	axdc4uz 13007	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
124	19, 38, 119, 123	syl3anc 1483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
125	21	iftrued 4287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
126	125	fveq2d 6412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
127	126, 3	syl6eqr 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
128	127	feq2d 6242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶𝐽))
129	87	abbii 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
130	2, 129	eqtri 2828	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
131		feq3 6239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} → (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
132	130, 131	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
133	128, 132	syl6bb 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
134	125	fveqeq2d 6416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗‘𝑀) = 𝑔))
135	127	raleqdv 3333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
136	133, 134, 135	3anbi123d 1553	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))))
137		sdc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
138	6	ad2antrr 708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
139	20	ad2antrr 708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
140	1	ad2antrr 708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
141		simpll 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝜑)
142	141, 88	sylan 571	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
143		nfv 2005	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
144		nfcv 2948	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
145		nfcv 2948	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
146		nfre1 3192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)
147	146	nfab 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
148	144, 145, 147	nff 6252	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
149		nfv 2005	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑀) = 𝑔
150		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
151	130, 147	nfcxfr 2946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐽
152		nfre1 3192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
153	152	nfab 2953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘{ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
154	145, 151, 153	nfmpt2 6954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
155	110, 154	nfcxfr 2946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
156		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑚)
157	150, 155, 156	nfov 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
158	157	nfel2 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
159	145, 158	nfral 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
160	148, 149, 159	nf3an 1993	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
161	143, 160	nfan 1990	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
162		simpr1 1241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
163	162, 132	sylibr 225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶𝐽)
164	25	adantr 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
165		simpr2 1243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀) = 𝑔)
166	139, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
167	165, 166	feq12d 6244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ((𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
168	164, 167	mpbird 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
169		simpr3 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
170		fvoveq1 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
171		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → 𝑚 = 𝑤)
172		fveq2 6408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘𝑚) = (𝑗‘𝑤))
173	171, 172	oveq12d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
174	170, 173	eleq12d 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤))))
175	174	rspccva 3501	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
176	169, 175	sylan 571	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
177	3, 137, 33, 85, 45, 138, 139, 140, 142, 2, 110, 161, 163, 168, 176	sdclem2 33849	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
178	177	ex 399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
179	136, 178	sylbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
180	179	exlimdv 2024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
181	124, 180	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
182	1, 181	exlimddv 2026	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 197 ∧ wa 384 ∧ w3a 1100 = wceq 1637 ∃wex 1859 ∈ wcel 2156 {cab 2792 ≠ wne 2978 ∀wral 3096 ∃wrex 3097 Vcvv 3391 [wsbc 3633 ∖ cdif 3766 ⊆ wss 3769 ∅c0 4116 ifcif 4279 𝒫 cpw 4351 {csn 4370 × cxp 5309 ↾ cres 5313 ⟶wf 6097 ‘cfv 6101 (class class class)co 6874 ↦ cmpt2 6876 ↑_𝑚 cmap 8092 0cc0 10221 1c1 10222 + caddc 10224 ℤcz 11643 ℤ_≥cuz 11904 ...cfz 12549

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1877 ax-4 1894 ax-5 2001 ax-6 2068 ax-7 2104 ax-8 2158 ax-9 2165 ax-10 2185 ax-11 2201 ax-12 2214 ax-13 2420 ax-ext 2784 ax-rep 4964 ax-sep 4975 ax-nul 4983 ax-pow 5035 ax-pr 5096 ax-un 7179 ax-inf2 8785 ax-dc 9553 ax-cnex 10277 ax-resscn 10278 ax-1cn 10279 ax-icn 10280 ax-addcl 10281 ax-addrcl 10282 ax-mulcl 10283 ax-mulrcl 10284 ax-mulcom 10285 ax-addass 10286 ax-mulass 10287 ax-distr 10288 ax-i2m1 10289 ax-1ne0 10290 ax-1rid 10291 ax-rnegex 10292 ax-rrecex 10293 ax-cnre 10294 ax-pre-lttri 10295 ax-pre-lttrn 10296 ax-pre-ltadd 10297 ax-pre-mulgt0 10298

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 866 df-3or 1101 df-3an 1102 df-tru 1641 df-ex 1860 df-nf 1864 df-sb 2061 df-eu 2634 df-mo 2635 df-clab 2793 df-cleq 2799 df-clel 2802 df-nfc 2937 df-ne 2979 df-nel 3082 df-ral 3101 df-rex 3102 df-reu 3103 df-rab 3105 df-v 3393 df-sbc 3634 df-csb 3729 df-dif 3772 df-un 3774 df-in 3776 df-ss 3783 df-pss 3785 df-nul 4117 df-if 4280 df-pw 4353 df-sn 4371 df-pr 4373 df-tp 4375 df-op 4377 df-uni 4631 df-iun 4714 df-br 4845 df-opab 4907 df-mpt 4924 df-tr 4947 df-id 5219 df-eprel 5224 df-po 5232 df-so 5233 df-fr 5270 df-we 5272 df-xp 5317 df-rel 5318 df-cnv 5319 df-co 5320 df-dm 5321 df-rn 5322 df-res 5323 df-ima 5324 df-pred 5893 df-ord 5939 df-on 5940 df-lim 5941 df-suc 5942 df-iota 6064 df-fun 6103 df-fn 6104 df-f 6105 df-f1 6106 df-fo 6107 df-f1o 6108 df-fv 6109 df-riota 6835 df-ov 6877 df-oprab 6878 df-mpt2 6879 df-om 7296 df-1st 7398 df-2nd 7399 df-wrecs 7642 df-recs 7704 df-rdg 7742 df-1o 7796 df-er 7979 df-map 8094 df-en 8193 df-dom 8194 df-sdom 8195 df-pnf 10361 df-mnf 10362 df-xr 10363 df-ltxr 10364 df-le 10365 df-sub 10553 df-neg 10554 df-nn 11306 df-n0 11560 df-z 11644 df-uz 11905 df-fz 12550

This theorem is referenced by: sdc 33851

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