sdclem1 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem sdclem1 37772

Description: Lemma for sdc 37773. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sdc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
sdc.2	⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
sdc.3	⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
sdc.4	⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
sdc.5	⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
sdc.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sdc.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
sdc.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10	⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
sdc.11	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})

**Assertion**
Ref	Expression
sdclem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Distinct variable groups: 𝑓,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴 ℎ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥 𝑓,𝑀,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜒,𝑔 𝑛,𝐹,𝑤,𝑥 𝜓,𝑓,ℎ,𝑘,𝑥 𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥 𝜑,𝑛,𝑤,𝑥 𝜃,𝑛,𝑤,𝑥 ℎ,𝑉 𝜏,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜑,𝑔,ℎ,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓) 𝜓(𝑤,𝑔,𝑛) 𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,ℎ,𝑘,𝑛) 𝜃(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝜏(𝑓,𝑔) 𝜎(𝑤,ℎ,𝑘) 𝐹(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝐽(𝑓,𝑔,𝑛) 𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1 Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
2		sdc.10	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
3		sdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
4	3	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
5		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
6		sdc.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		ovex 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀...𝑛) ∈ V
8		elmapg 8858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
10	5, 9	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛))))
11	10	abssdv 4048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)))
12		ovex 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∈ V
13		ssexg 5298	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴 ↑_m (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
15	14	ralrimivw 3137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
16		abrexex2g 7968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
17	4, 15, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
18	2, 17	eqeltrid 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
20		sdc.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uzid 12872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
24	23, 3	eleqtrrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
25		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
26		fzsn 13588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
28	27	feq2d 6697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
29	25, 28	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
30		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝜏)
31		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
32	31	feq2d 6697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
33		sdc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
34	32, 33	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)))
35	34	rspcev 3606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
36	24, 29, 30, 35	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
37	2	eqabri 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
38	36, 37	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔 ∈ 𝐽)
39	3	peano2uzs 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
40	39	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
42		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
43		vex 3468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℎ ∈ V
44		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
45		sdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎)))
47	43, 44, 46	sbc2iedv 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
49	42, 48	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
50		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛 ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
51		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛ℎ
52		nfsbc1v 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
53	51, 52	nfsbcw 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛[ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
54	50, 53	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
55		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
56	55	feq2d 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
57		sbceq1a 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ [(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
58	57	sbcbidv 3826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ℎ / 𝑔]𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
59	56, 58	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
60	54, 59	rspce 3595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
61	40, 41, 49, 60	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
62	2	eleq2i 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)})
63		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔𝑍
64		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔 ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴
65		nfsbc1v 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔[ℎ / 𝑔]𝜓
66	64, 65	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
67	63, 66	nfrexw 3297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
68		feq1 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
69		sbceq1a 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔]𝜓))
70	68, 69	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
71	70	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
72	67, 43, 71	elabf 3659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
73	62, 72	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
74	61, 73	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ ∈ 𝐽)
75	74	rexlimdva2 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
76	75	abssdv 4048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
78	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
79		elpw2g 5308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ V → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
81	77, 80	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
82		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
83	82	feq2d 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
84		sdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
85	83, 84	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)))
86	85	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃))
87		sdc.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
88	87	reximdva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
89		rexcom4 3273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
90	88, 89	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
91	86, 90	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
92	91	ss2abdv 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
93	2, 92	eqsstrid 4002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
94	93	sselda 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
95		vex 3468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
96		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘))))
97	96	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
98	97	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
99	98	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
100	95, 99	elab 3663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
101	94, 100	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
102		abn0 4365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103	101, 102	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
104	103	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
105		eldifsn 4767	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
106	81, 104, 105	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
107	106	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
108	107	ralrimivva 3188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109		sdc.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
110	109	fmpo 8072	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
111	108, 110	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
112	20	iftrued 4513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
113	112	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
114	113, 3	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
115	114	xpeq1d 5688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
116	115	feq2d 6697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
117	116	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
118	111, 117	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
119		0z 12604	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
120	119	elimel 4575	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
121		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
122	120, 121	axdc4uz 14007	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
123	19, 38, 118, 122	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
124	21	iftrued 4513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
125	124	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
126	125, 3	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
127	126	feq2d 6697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶𝐽))
128	86	abbii 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
129	2, 128	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
130		feq3 6693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} → (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
131	129, 130	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
132	127, 131	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
133	124	fveqeq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗‘𝑀) = 𝑔))
134	126	raleqdv 3309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
135	132, 133, 134	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))))
136		sdc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
137	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
138	20	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
139	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
140		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝜑)
141	140, 87	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
142		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
143		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
144		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
145		nfre1 3271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)
146	145	nfab 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
147	143, 144, 146	nff 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
148		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑀) = 𝑔
149		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
150	129, 146	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐽
151		nfre1 3271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
152	151	nfab 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘{ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
153	144, 150, 152	nfmpo 7494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
154	109, 153	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
155		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑚)
156	149, 154, 155	nfov 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
157	156	nfel2 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
158	144, 157	nfralw 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
159	147, 148, 158	nf3an 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
160	142, 159	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
161		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
162	161, 131	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶𝐽)
163	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
164		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀) = 𝑔)
165	138, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
166	164, 165	feq12d 6699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ((𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
167	163, 166	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
168		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
169		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
170		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → 𝑚 = 𝑤)
171		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘𝑚) = (𝑗‘𝑤))
172	170, 171	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
173	169, 172	eleq12d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤))))
174	173	rspccva 3605	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
175	168, 174	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
176	3, 136, 33, 84, 45, 137, 138, 139, 141, 2, 109, 160, 162, 167, 175	sdclem2 37771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
177	176	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
178	135, 177	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
179	178	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
180	123, 179	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
181	1, 180	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 {cab 2714 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃wrex 3061 Vcvv 3464 [wsbc 3770 ∖ cdif 3928 ⊆ wss 3931 ∅c0 4313 ifcif 4505 𝒫 cpw 4580 {csn 4606 × cxp 5657 ↾ cres 5661 ⟶wf 6532 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ∈ cmpo 7412 ↑_m cmap 8845 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 ℤcz 12593 ℤ_≥cuz 12857 ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-inf2 9660 ax-dc 10465 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-er 8724 df-map 8847 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-nn 12246 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-fz 13530

This theorem is referenced by: sdc 37773

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