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Theorem sdclem1 33850
Description: Lemma for sdc 33851. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
sdc.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sdc.2 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓𝜒))
sdc.3 (𝑛 = 𝑀 → (𝜓𝜏))
sdc.4 (𝑛 = 𝑘 → (𝜓𝜃))
sdc.5 ((𝑔 = 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓𝜎))
sdc.6 (𝜑𝐴𝑉)
sdc.7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
sdc.9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)}
sdc.11 𝐹 = (𝑤𝑍, 𝑥𝐽 ↦ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
Assertion
Ref Expression
sdclem1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴   ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥   𝑓,𝑀,𝑔,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥   𝜒,𝑔   𝑛,𝐹,𝑤,𝑥   𝜓,𝑓,,𝑘,𝑥   𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥   𝜃,𝑛,𝑤,𝑥   ,𝑉   𝜏,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑤,𝑔,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,,𝑘,𝑛)   𝜃(𝑓,𝑔,,𝑘)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑤,,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑔,,𝑘)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1
Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdc.8 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
2 sdc.10 . . . . . 6 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)}
3 sdc.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
43fvexi 6422 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
5 simpl 470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
6 sdc.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑉)
7 ovex 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀...𝑛) ∈ V
8 elmapg 8105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
96, 7, 8sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
105, 9syl5ibr 237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛))))
1110abssdv 3873 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ⊆ (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛)))
12 ovex 6906 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛)) ∈ V
13 ssexg 4999 . . . . . . . . 9 (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ⊆ (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴𝑚 (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
1411, 12, 13sylancl 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
1514ralrimivw 3155 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
16 abrexex2g 7374 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
174, 15, 16sylancr 577 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
182, 17syl5eqel 2889 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
1918adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
20 sdc.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2120adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22 uzid 11919 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2423, 3syl6eleqr 2896 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑀𝑍)
25 simprl 778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
26 fzsn 12606 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2721, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2827feq2d 6242 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
2925, 28mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
30 simprr 780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝜏)
31 oveq2 6882 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
3231feq2d 6242 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
33 sdc.3 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝜓𝜏))
3432, 33anbi12d 618 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝜏)))
3534rspcev 3502 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓))
3624, 29, 30, 35syl12anc 856 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓))
372abeq2i 2919 . . . . 5 (𝑔𝐽 ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓))
3836, 37sylibr 225 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑔𝐽)
393peano2uzs 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
4039ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41 simpr1 1241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → :(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
42 simpr3 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
43 vex 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∈ V
44 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 + 1) ∈ V
45 sdc.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑔 = 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓𝜎))
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑔 = 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓𝜎)))
4743, 44, 46sbc2iedv 3702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ([ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓𝜎))
4847ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓𝜎))
4942, 48mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
50 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛 :(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
51 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛
52 nfsbc1v 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
5351, 52nfsbc 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
5450, 53nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
55 oveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
5655feq2d 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
57 sbceq1a 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
5857sbcbidv 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ / 𝑔]𝜓[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
5956, 58anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓) ↔ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
6054, 59rspce 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
6140, 41, 49, 60syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
622eleq2i 2877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)})
63 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑔𝑍
64 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑔 :(𝑀...𝑛)⟶𝐴
65 nfsbc1v 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑔[ / 𝑔]𝜓
6664, 65nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑔(:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)
6763, 66nfrex 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)
68 feq1 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
69 sbceq1a 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = → (𝜓[ / 𝑔]𝜓))
7068, 69anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)))
7170rexbidv 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = → (∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)))
7267, 43, 71elabf 3544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ↔ ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
7362, 72bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ↔ ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
7461, 73sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝐽)
7574ex 399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → ((:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → 𝐽))
7675rexlimdva 3219 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → 𝐽))
7776abssdv 3873 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
7877ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
7918ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝐽 ∈ V)
80 elpw2g 5019 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ V → ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
8278, 81mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
83 oveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
8483feq2d 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
85 sdc.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → (𝜓𝜃))
8684, 85anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)))
8786cbvrexv 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃))
88 sdc.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
8988reximdva 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃𝑘𝑍(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
90 rexcom4 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑘𝑍(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
9189, 90syl6ib 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9287, 91syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) → ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9392ss2abdv 3872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
942, 93syl5eqss 3846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
9594sselda 3798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
96 vex 3394 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
97 eqeq1 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘))))
98973anbi2d 1558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑥 → ((:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9998rexbidv 3240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
10099exbidv 2012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
10196, 100elab 3545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
10295, 101sylib 209 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103 abn0 4155 . . . . . . . . . . 11 ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
104102, 103sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
105104adantlr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
106 eldifsn 4508 . . . . . . . . 9 ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
10782, 105, 106sylanbrc 574 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
108107adantrl 698 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑤𝑍𝑥𝐽)) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109108ralrimivva 3159 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∀𝑤𝑍𝑥𝐽 { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
110 sdc.11 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑤𝑍, 𝑥𝐽 ↦ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
111110fmpt2 7470 . . . . . 6 (∀𝑤𝑍𝑥𝐽 { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
112109, 111sylib 209 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
11320iftrued 4287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
114113fveq2d 6412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ𝑀))
115114, 3syl6eqr 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
116115xpeq1d 5339 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
117116feq2d 6242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
118117biimpar 465 . . . . 5 ((𝜑𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
119112, 118syldan 581 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
120 0z 11654 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
121120elimel 4346 . . . . 5 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
122 eqid 2806 . . . . 5 (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
123121, 122axdc4uz 13007 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔𝐽𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
12419, 38, 119, 123syl3anc 1483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
12521iftrued 4287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
126125fveq2d 6412 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ𝑀))
127126, 3syl6eqr 2858 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
128127feq2d 6242 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽𝑗:𝑍𝐽))
12987abbii 2923 . . . . . . . . 9 {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
1302, 129eqtri 2828 . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
131 feq3 6239 . . . . . . . 8 (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} → (𝑗:𝑍𝐽𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}))
132130, 131ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑗:𝑍𝐽𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)})
133128, 132syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}))
134125fveqeq2d 6416 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗𝑀) = 𝑔))
135127raleqdv 3333 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) ↔ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
136133, 134, 1353anbi123d 1553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))))
137 sdc.2 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓𝜒))
1386ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝐴𝑉)
13920ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1401ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
141 simpll 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝜑)
142141, 88sylan 571 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
143 nfv 2005 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
144 nfcv 2948 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗
145 nfcv 2948 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑍
146 nfre1 3192 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)
147146nfab 2953 . . . . . . . . . 10 𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
148144, 145, 147nff 6252 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
149 nfv 2005 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑗𝑀) = 𝑔
150 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑚
151130, 147nfcxfr 2946 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝐽
152 nfre1 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
153152nfab 2953 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘{ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
154145, 151, 153nfmpt2 6954 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑤𝑍, 𝑥𝐽 ↦ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
155110, 154nfcxfr 2946 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐹
156 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑗𝑚)
157150, 155, 156nfov 6904 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑚𝐹(𝑗𝑚))
158157nfel2 2965 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))
159145, 158nfral 3133 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))
160148, 149, 159nf3an 1993 . . . . . . . 8 𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))
161143, 160nfan 1990 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
162 simpr1 1241 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)})
163162, 132sylibr 225 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑗:𝑍𝐽)
16425adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
165 simpr2 1243 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → (𝑗𝑀) = 𝑔)
166139, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
167165, 166feq12d 6244 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ((𝑗𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
168164, 167mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → (𝑗𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
169 simpr3 1245 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))
170 fvoveq1 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
171 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤𝑚 = 𝑤)
172 fveq2 6408 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤 → (𝑗𝑚) = (𝑗𝑤))
173171, 172oveq12d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗𝑤)))
174170, 173eleq12d 2879 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗𝑤))))
175174rspccva 3501 . . . . . . . 8 ((∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗𝑤)))
176169, 175sylan 571 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗𝑤)))
1773, 137, 33, 85, 45, 138, 139, 140, 142, 2, 110, 161, 163, 168, 176sdclem2 33849 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
178177ex 399 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒)))
179136, 178sylbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒)))
180179exlimdv 2024 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒)))
181124, 180mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
1821, 181exlimddv 2026 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  {cab 2792  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  [wsbc 3633  cdif 3766  wss 3769  c0 4116  ifcif 4279  𝒫 cpw 4351  {csn 4370   × cxp 5309  cres 5313  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  cmpt2 6876  𝑚 cmap 8092  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224  cz 11643  cuz 11904  ...cfz 12549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-dc 9553  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550
This theorem is referenced by:  sdc  33851
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