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Theorem sdclem1 36914
Description: Lemma for sdc 36915. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
sdc.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sdc.2 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓𝜒))
sdc.3 (𝑛 = 𝑀 → (𝜓𝜏))
sdc.4 (𝑛 = 𝑘 → (𝜓𝜃))
sdc.5 ((𝑔 = 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓𝜎))
sdc.6 (𝜑𝐴𝑉)
sdc.7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
sdc.9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)}
sdc.11 𝐹 = (𝑤𝑍, 𝑥𝐽 ↦ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
Assertion
Ref Expression
sdclem1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴   ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥   𝑓,𝑀,𝑔,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥   𝜒,𝑔   𝑛,𝐹,𝑤,𝑥   𝜓,𝑓,,𝑘,𝑥   𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥   𝜃,𝑛,𝑤,𝑥   ,𝑉   𝜏,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑤,𝑔,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,,𝑘,𝑛)   𝜃(𝑓,𝑔,,𝑘)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑤,,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑔,,𝑘)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1
Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdc.8 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
2 sdc.10 . . . . . 6 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)}
3 sdc.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
43fvexi 6904 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
5 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
6 sdc.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑉)
7 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀...𝑛) ∈ V
8 elmapg 8835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
96, 7, 8sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴m (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
105, 9imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴m (𝑀...𝑛))))
1110abssdv 4064 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ⊆ (𝐴m (𝑀...𝑛)))
12 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝐴m (𝑀...𝑛)) ∈ V
13 ssexg 5322 . . . . . . . . 9 (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ⊆ (𝐴m (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴m (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
1411, 12, 13sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
1514ralrimivw 3148 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
16 abrexex2g 7953 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
174, 15, 16sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ∈ V)
182, 17eqeltrid 2835 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
1918adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
20 sdc.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2120adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22 uzid 12841 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2423, 3eleqtrrdi 2842 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑀𝑍)
25 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
26 fzsn 13547 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2721, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2827feq2d 6702 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
2925, 28mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
30 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝜏)
31 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
3231feq2d 6702 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
33 sdc.3 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝜓𝜏))
3432, 33anbi12d 629 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝜏)))
3534rspcev 3611 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓))
3624, 29, 30, 35syl12anc 833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓))
372eqabri 2875 . . . . 5 (𝑔𝐽 ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓))
3836, 37sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝑔𝐽)
393peano2uzs 12890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
4039ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41 simpr1 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → :(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
42 simpr3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
43 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∈ V
44 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 + 1) ∈ V
45 sdc.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓𝜎))
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑔 = 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓𝜎)))
4743, 44, 46sbc2iedv 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ([ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓𝜎))
4847ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓𝜎))
4942, 48mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
50 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 :(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
51 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛
52 nfsbc1v 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
5351, 52nfsbcw 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
5450, 53nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
55 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
5655feq2d 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
57 sbceq1a 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
5857sbcbidv 3835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ / 𝑔]𝜓[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
5956, 58anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓) ↔ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
6054, 59rspce 3600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴[ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
6140, 41, 49, 60syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
622eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)})
63 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔𝑍
64 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑔 :(𝑀...𝑛)⟶𝐴
65 nfsbc1v 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑔[ / 𝑔]𝜓
6664, 65nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔(:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)
6763, 66nfrexw 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)
68 feq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
69 sbceq1a 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = → (𝜓[ / 𝑔]𝜓))
7068, 69anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)))
7170rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = → (∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓)))
7267, 43, 71elabf 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ↔ ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
7362, 72bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ↔ ∃𝑛𝑍 (:(𝑀...𝑛)⟶𝐴[ / 𝑔]𝜓))
7461, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝐽)
7574rexlimdva2 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → 𝐽))
7675abssdv 4064 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
7776ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
7818ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝐽 ∈ V)
79 elpw2g 5343 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ V → ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
8177, 80mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
82 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
8382feq2d 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
84 sdc.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → (𝜓𝜃))
8583, 84anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)))
8685cbvrexvw 3233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) ↔ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃))
87 sdc.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
8887reximdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃𝑘𝑍(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
89 rexcom4 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑘𝑍(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
9088, 89imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9186, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓) → ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9291ss2abdv 4059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
932, 92eqsstrid 4029 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
9493sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
95 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
96 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘))))
97963anbi2d 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑥 → ((:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9897rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
9998exbidv 1922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
10095, 99elab 3667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
10194, 100sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
102 abn0 4379 . . . . . . . . . . 11 ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103101, 102sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
104103adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
105 eldifsn 4789 . . . . . . . . 9 ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
10681, 104, 105sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ 𝑥𝐽) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
107106adantrl 712 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑤𝑍𝑥𝐽)) → { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
108107ralrimivva 3198 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∀𝑤𝑍𝑥𝐽 { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109 sdc.11 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑤𝑍, 𝑥𝐽 ↦ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
110109fmpo 8056 . . . . . 6 (∀𝑤𝑍𝑥𝐽 { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
111108, 110sylib 217 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
11220iftrued 4535 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
113112fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ𝑀))
114113, 3eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
115114xpeq1d 5704 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
116115feq2d 6702 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
117116biimpar 476 . . . . 5 ((𝜑𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
118111, 117syldan 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → 𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
119 0z 12573 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
120119elimel 4596 . . . . 5 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
121 eqid 2730 . . . . 5 (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
122120, 121axdc4uz 13953 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔𝐽𝐹:((ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
12319, 38, 118, 122syl3anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
12421iftrued 4535 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
125124fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ𝑀))
126125, 3eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
127126feq2d 6702 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽𝑗:𝑍𝐽))
12886abbii 2800 . . . . . . . . 9 {𝑔 ∣ ∃𝑛𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
1292, 128eqtri 2758 . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
130 feq3 6699 . . . . . . . 8 (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} → (𝑗:𝑍𝐽𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}))
131129, 130ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑗:𝑍𝐽𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)})
132127, 131bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}))
133124fveqeq2d 6898 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗𝑀) = 𝑔))
134126raleqdv 3323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) ↔ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
135132, 133, 1343anbi123d 1434 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))))
136 sdc.2 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓𝜒))
1376ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝐴𝑉)
13820ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1391ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
140 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝜑)
141140, 87sylan 578 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃) → ∃(:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑔 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
142 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏))
143 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗
144 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑍
145 nfre1 3280 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)
146145nfab 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
147143, 144, 146nff 6712 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)}
148 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑗𝑀) = 𝑔
149 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑚
150129, 146nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝐽
151 nfre1 3280 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
152151nfab 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘{ ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
153144, 150, 152nfmpo 7493 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑤𝑍, 𝑥𝐽 ↦ { ∣ ∃𝑘𝑍 (:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴𝑥 = ( ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
154109, 153nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐹
155 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑗𝑚)
156149, 154, 155nfov 7441 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑚𝐹(𝑗𝑚))
157156nfel2 2919 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))
158144, 157nfralw 3306 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))
159147, 148, 158nf3an 1902 . . . . . . . 8 𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))
160142, 159nfan 1900 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))))
161 simpr1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)})
162161, 131sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑗:𝑍𝐽)
16325adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
164 simpr2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → (𝑗𝑀) = 𝑔)
165138, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
166164, 165feq12d 6704 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ((𝑗𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
167163, 166mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → (𝑗𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
168 simpr3 1194 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))
169 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
170 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤𝑚 = 𝑤)
171 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑤 → (𝑗𝑚) = (𝑗𝑤))
172170, 171oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗𝑤)))
173169, 172eleq12d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗𝑤))))
174173rspccva 3610 . . . . . . . 8 ((∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗𝑤)))
175168, 174sylan 578 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) ∧ 𝑤𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗𝑤)))
1763, 136, 33, 84, 45, 137, 138, 139, 141, 2, 109, 160, 162, 167, 175sdclem2 36913 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
177176ex 411 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴𝜃)} ∧ (𝑗𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒)))
178135, 177sylbid 239 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ((𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒)))
179178exlimdv 1934 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒)))
180123, 179mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
1811, 180exlimddv 1936 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍𝐴 ∧ ∀𝑛𝑍 𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  {cab 2707  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  [wsbc 3776  cdif 3944  wss 3947  c0 4321  ifcif 4527  𝒫 cpw 4601  {csn 4627   × cxp 5673  cres 5677  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-dc 10443  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489
This theorem is referenced by:  sdc  36915
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