Theorem dvmptrecl 26012

Description: Real closure of a derivative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptrecl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
dvmptrecl.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvmptrecl.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptrecl.b	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptrecl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dvmptrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptrecl.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	fmpttd 7059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
3		dvmptrecl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
4		dvfre 25939	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))⟶ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))⟶ℝ)
6		dvmptrecl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
7	6	dmeqd 5853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
8		dvmptrecl.v	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	8	ralrimiva 3133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dmmptg 6196	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
12	7, 11	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
13	6, 12	feq12d 6646	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ))
14	5, 13	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
15	14	fvmptelcdm 7057	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3884   ↦ cmpt 5155  dom cdm 5620  ⟶wf 6484  (class class class)co 7359  ℝcr 11033   D cdv 25851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-icc 13300  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-lp 23122  df-perf 23123  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-cncf 24866  df-limc 25854  df-dv 25855

This theorem is referenced by:  dvfsumlem1  26014  dvfsumlem2  26015  dvfsumlem3  26016  dvfsumlem4  26017  dvfsumrlimge0  26018  dvfsumrlim  26019  dvfsumrlim2  26020  dvfsum2  26022