Theorem dvmptrecl 26305

Description: Real closure of a derivative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptrecl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
dvmptrecl.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvmptrecl.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptrecl.b	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptrecl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dvmptrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptrecl.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	fmpttd 7103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
3		dvmptrecl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
4		dvfre 26232	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))⟶ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))⟶ℝ)
6		dvmptrecl.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
7	6	dmeqd 5883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
8		dvmptrecl.v	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	8	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dmmptg 6232	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
12	7, 11	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
13	6, 12	feq12d 6685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ))
14	5, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
15	14	fvmptelcdm 7101	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5647  ⟶wf 6523  (class class class)co 7408  ℝcr 11170   D cdv 26144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-icc 13452  df-fz 13609  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-rest 17554  df-topn 17555  df-topgen 17575  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148

This theorem is used by:  dvfsumlem1  26307  dvfsumlem2  26308  dvfsumlem3  26309  dvfsumlem4  26310  dvfsumrlimge0  26311  dvfsumrlim  26312  dvfsumrlim2  26313  dvfsum2  26315