Theorem mbfresfi 38033

Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfresfi.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mbfresfi.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
mbfresfi.4	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfresfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem mbfresfi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfresfi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mbfresfi.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
3		mbfresfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐴)
4		mbfresfi.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
5	4	uniexd 7685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		fex 7170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
8	7	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
10	6, 9	jcai 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V))
11		feq2 6634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑓:𝐴⟶ℂ))
12	11	anbi1d 637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
13		eqeq2 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑆 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑆 = 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴)))
15	14	imbi1d 342	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)))
16	15	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn))))
17		feq1 6633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
18		reseq1 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑠))
19	18	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
20	19	ralbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
21	17, 20	anbi12d 638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
22	21	anbi1d 637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴)))
23		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
24	22, 23	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
25	24	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))))
26		rzal 4422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
27	26	biantrud 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ∅ → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
28	27	bicomd 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ∅ → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ 𝑓:𝑎⟶ℂ))
29		unieq 4849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∪ 𝑟 = ∪ ∅)
30		uni0 4866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ∅ = ∅
31	29, 30	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∪ 𝑟 = ∅)
32	31	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ∅ → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∅ = 𝑎))
33	28, 32	anbi12d 638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = ∅ → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎)))
34	33	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = ∅ → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
35	34	2albidv 1930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = ∅ → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
36		raleq 3294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
37	36	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
38		unieq 4849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ∪ 𝑟 = ∪ 𝑡)
39	38	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑎))
40	37, 39	anbi12d 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎)))
41	40	imbi1d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
42	41	2albidv 1930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
43		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑓 = 𝑔)
44		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
45	43, 44	feq12d 6643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑔:𝑏⟶ℂ))
46		reseq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑔 ↾ 𝑠))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑔 ↾ 𝑠))
48	47	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
49	48	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
50	45, 49	anbi12d 638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
51		eqeq2 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑡 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏))
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (∪ 𝑡 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏))
53	50, 52	anbi12d 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
54		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
56	53, 55	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
57	56	cbval2vw 2047	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn))
58	42, 57	bitrdi 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
59		raleq 3294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
60	59	anbi2d 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
61		unieq 4849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ∪ 𝑟 = ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}))
62	61	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎))
63	60, 62	anbi12d 638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)))
64	63	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
65	64	2albidv 1930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
66		raleq 3294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
67	66	anbi2d 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
68		unieq 4849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ∪ 𝑟 = ∪ 𝑆)
69	68	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑆 = 𝑎))
70	67, 69	anbi12d 638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎)))
71	70	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
72	71	2albidv 1930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
73		frel 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → Rel 𝑓)
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → Rel 𝑓)
75		fdm 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → dom 𝑓 = 𝑎)
76		eqcom 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ = 𝑎 ↔ 𝑎 = ∅)
77	76	biimpi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ = 𝑎 → 𝑎 = ∅)
78	75, 77	sylan9eq 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → dom 𝑓 = ∅)
79		reldm0 5870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel 𝑓 → (𝑓 = ∅ ↔ dom 𝑓 = ∅))
80	79	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 = ∅)
81		mbf0 25619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ MblFn
82	80, 81	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 ∈ MblFn)
83	74, 78, 82	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
84	83	gen2 1803	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑓∀𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
85		ref 15065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
86		fco 6679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
87	85, 86	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
89	88	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
90		recncf 24887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
91	90	elexi 3453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ V
92		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑓 ∈ V
93	91, 92	coex 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℜ ∘ 𝑓) ∈ V
94	93	resex 5981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V
95		vuniex 7682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ V
96		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑡 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏)
97	96	bilani 505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ∪ 𝑡 = 𝑏)
98	97	biantrud 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
99		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ = ℂ
100		feq123 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
101	99, 100	mp3an3 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
102		reseq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ↾ 𝑠) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
103	102	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
105	104	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
106	101, 105	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
107	98, 106	bitr3d 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
108		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
110	107, 109	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
111	110	spc2gv 3538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V ∧ ∪ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
112	94, 95, 111	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
113		ax-resscn 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
114		fss 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
115	85, 113, 114	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℂ
116		fco 6679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
117	115, 116	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
118		ssun1 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {ℎ})
119	118	unissi 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ 𝑡 ⊆ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ})
120		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)
121	119, 120	sseqtrid 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎)
122		fssres 6693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
123	117, 121, 122	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
124	123	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
125		elssuni 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → 𝑟 ⊆ ∪ 𝑡)
126	125	resabs1d 5960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
127		resco 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟))
128	126, 127	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
130		elun1 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}))
131		reseq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑓 ↾ 𝑟))
132	131	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn))
133	132	rspccva 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
134	130, 133	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
135	134	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
136		fresin 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ↾ 𝑟):(𝑎 ∩ 𝑟)⟶ℂ)
137		ismbfcn 25614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝑟):(𝑎 ∩ 𝑟)⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
139	138	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
140	139	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
141	135, 140	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn))
142	141	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)
143	129, 142	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
144	143	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
145		reseq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
146	145	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
147	146	cbvralvw 3217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
148	144, 147	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
150		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
151	124, 149, 150	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
152	112, 151	mpan9 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)
153		vsnid 4595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℎ ∈ {ℎ}
154		elun2 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {ℎ} → ℎ ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}))
155		reseq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = ℎ → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑓 ↾ ℎ))
156	155	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = ℎ → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn))
157	156	rspcv 3556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn → (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn))
158	153, 154, 157	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn → (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn)
159		resco 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ))
160		fresin 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ↾ ℎ):(𝑎 ∩ ℎ)⟶ℂ)
161		ismbfcn 25614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ↾ ℎ):(𝑎 ∩ ℎ)⟶ℂ → ((𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)))
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)))
163	162	simprbda 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)
164	159, 163	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
165	158, 164	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
166	165	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
167		uniun 4861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ∪ {ℎ})
168		unisnv 4858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ {ℎ} = ℎ
169	168	uneq2i 4095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑡 ∪ ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ℎ)
170	167, 169	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ℎ)
171	170, 120	eqtr3id 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → (∪ 𝑡 ∪ ℎ) = 𝑎)
172	171	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (∪ 𝑡 ∪ ℎ) = 𝑎)
173	89, 152, 166, 172	mbfres2 25630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
174		imf 15066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
175		fco 6679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
176	174, 175	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
178	177	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
179		imcncf 24888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
180	179	elexi 3453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ ∈ V
181	180, 92	coex 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ V
182	181	resex 5981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V
183	96	bilani 505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ∪ 𝑡 = 𝑏)
184	183	biantrud 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
185		feq123 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
186	99, 185	mp3an3 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
187		reseq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ↾ 𝑠) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
188	187	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
189	188	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
190	189	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
191	186, 190	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
192	184, 191	bitr3d 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
193		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
194	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
195	192, 194	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
196	195	spc2gv 3538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V ∧ ∪ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
197	182, 95, 196	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
198		fss 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
199	174, 113, 198	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℂ
200		fco 6679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
201	199, 200	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
202		fssres 6693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
203	201, 121, 202	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
204	203	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
205	125	resabs1d 5960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
206		resco 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟))
207	205, 206	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
209	141	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)
210	208, 209	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
211	210	ralrimiva 3131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
212		reseq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
213	212	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
214	213	cbvralvw 3217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
215	211, 214	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
217		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
218	204, 216, 217	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
219	197, 218	mpan9 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)
220		resco 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ))
221	162	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)
222	220, 221	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
223	158, 222	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
224	223	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
225	178, 219, 224, 172	mbfres2 25630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
226		ismbfcn 25614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
227	226	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
228	227	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
229	173, 225, 228	mpbir2and 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → 𝑓 ∈ MblFn)
230	229	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
231	230	alrimivv 1935	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
232	231	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
233	35, 58, 65, 72, 84, 232	findcard2 9089	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
234		2sp 2198	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
235	4, 233, 234	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
236	16, 25, 235	vtocl2g 3517	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
237	10, 236	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))
238	3, 237	mpan2d 700	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → 𝐹 ∈ MblFn))
239	1, 2, 238	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  ∪ cuni 4838  dom cdm 5618   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  Rel wrel 5623  ⟶wf 6481  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ℜcre 15050  ℑcim 15051  –cn→ccncf 24861  MblFncmbf 25599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-xmet 21340  df-met 21341  df-cncf 24863  df-ovol 25449  df-vol 25450  df-mbf 25604

This theorem is referenced by: (None)