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Theorem mbfresfi 36124
Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfresfi.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfresfi.2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
mbfresfi.3 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn)
mbfresfi.4 (𝜑 𝑆 = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfresfi (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem mbfresfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfresfi.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 mbfresfi.3 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn)
3 mbfresfi.4 . . 3 (𝜑 𝑆 = 𝐴)
4 mbfresfi.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
54uniexd 7679 . . . . . 6 (𝜑 𝑆 ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2839 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 fex 7176 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
87ex 413 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
91, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
106, 9jcai 517 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V))
11 feq2 6650 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑓:𝐴⟶ℂ))
1211anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
13 eqeq2 2748 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑆 = 𝑎 𝑆 = 𝐴))
1412, 13anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴)))
1514imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)))
1615imbi2d 340 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn))))
17 feq1 6649 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
18 reseq1 5931 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑠) = (𝐹𝑠))
1918eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝐹𝑠) ∈ MblFn))
2019ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn))
2117, 20anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn)))
2221anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴)))
23 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
2422, 23imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
2524imbi2d 340 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))))
26 rzal 4466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = ∅ → ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)
2726biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = ∅ → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
2827bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = ∅ → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ 𝑓:𝑎⟶ℂ))
29 unieq 4876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = ∅ → 𝑟 = ∅)
30 uni0 4896 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
3129, 30eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = ∅ → 𝑟 = ∅)
3231eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = ∅ → ( 𝑟 = 𝑎 ↔ ∅ = 𝑎))
3328, 32anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑟 = ∅ → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎)))
3433imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑟 = ∅ → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
35342albidv 1926 . . . . . . 7 (𝑟 = ∅ → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
36 raleq 3309 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn))
3736anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
38 unieq 4876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑡 𝑟 = 𝑡)
3938eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ( 𝑟 = 𝑎 𝑡 = 𝑎))
4037, 39anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑡 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎)))
4140imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑡 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
42412albidv 1926 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
43 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → 𝑓 = 𝑔)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
4543, 44feq12d 6656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑔:𝑏⟶ℂ))
46 reseq1 5931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑠) = (𝑔𝑠))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (𝑓𝑠) = (𝑔𝑠))
4847eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑔𝑠) ∈ MblFn))
4948ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn))
5045, 49anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn)))
51 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑏))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ( 𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑏))
5350, 52anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏)))
54 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
5554adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
5653, 55imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
5756cbval2vw 2043 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn))
5842, 57bitrdi 286 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
59 raleq 3309 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → (∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn))
6059anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
61 unieq 4876 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → 𝑟 = (𝑡 ∪ {}))
6261eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → ( 𝑟 = 𝑎 (𝑡 ∪ {}) = 𝑎))
6360, 62anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)))
6463imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
65642albidv 1926 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
66 raleq 3309 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn))
6766anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
68 unieq 4876 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 𝑟 = 𝑆)
6968eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ( 𝑟 = 𝑎 𝑆 = 𝑎))
7067, 69anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑆 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎)))
7170imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑆 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
72712albidv 1926 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
73 frel 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝑎⟶ℂ → Rel 𝑓)
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → Rel 𝑓)
75 fdm 6677 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝑎⟶ℂ → dom 𝑓 = 𝑎)
76 eqcom 2743 . . . . . . . . . . 11 (∅ = 𝑎𝑎 = ∅)
7776biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (∅ = 𝑎𝑎 = ∅)
7875, 77sylan9eq 2796 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → dom 𝑓 = ∅)
79 reldm0 5883 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝑓 → (𝑓 = ∅ ↔ dom 𝑓 = ∅))
8079biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 = ∅)
81 mbf0 24998 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ MblFn
8280, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . . 9 ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 ∈ MblFn)
8374, 78, 82syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
8483gen2 1798 . . . . . . 7 𝑓𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
85 ref 14997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℜ:ℂ⟶ℝ
86 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
8785, 86mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
8988ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
90 recncf 24265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
9190elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℜ ∈ V
92 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
9391, 92coex 7867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℜ ∘ 𝑓) ∈ V
9493resex 5985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V
95 vuniex 7676 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ V
96 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑡 𝑡 = 𝑏)
9796biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑡 𝑡 = 𝑏)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → 𝑡 = 𝑏)
9998biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏)))
100 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = ℂ
101 feq123 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
102100, 101mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
103 reseq1 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔𝑠) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
104103eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
106105ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
107102, 106anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
10899, 107bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
109 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
111108, 110imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
112111spc2gv 3559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V ∧ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
11394, 95, 112mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
114 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℂ
115 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
11685, 114, 115mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ:ℂ⟶ℂ
117 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℜ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
118116, 117mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
119 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {})
120119unissi 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 (𝑡 ∪ {})
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( (𝑡 ∪ {}) = 𝑎 (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)
122120, 121sseqtrid 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( (𝑡 ∪ {}) = 𝑎 𝑡𝑎)
123 fssres 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ 𝑡𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
124118, 122, 123syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
125124adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
126 elssuni 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟𝑡𝑟 𝑡)
127126resabs1d 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
128 resco 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓𝑟))
129127, 128eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓𝑟)))
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓𝑟)))
131 elun1 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟𝑡𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {}))
132 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = 𝑟 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑟))
133132eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓𝑟) ∈ MblFn))
134133rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {})) → (𝑓𝑟) ∈ MblFn)
135131, 134sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟𝑡) → (𝑓𝑟) ∈ MblFn)
136135adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (𝑓𝑟) ∈ MblFn)
137 fresin 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓𝑟):(𝑎𝑟)⟶ℂ)
138 ismbfcn 24993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓𝑟):(𝑎𝑟)⟶ℂ → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
140139biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
141140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
142136, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn))
143142simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)
144130, 143eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
145144ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
146 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
147146eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
148147cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑟𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
149145, 148sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
150149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
151 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
152125, 150, 151syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
153113, 152mpan9 507 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)
154 vsnid 4623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∈ {}
155 elun2 4137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {} → ∈ (𝑡 ∪ {}))
156 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = → (𝑓𝑠) = (𝑓))
157156eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓) ∈ MblFn))
158157rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ (𝑡 ∪ {}) → (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn → (𝑓) ∈ MblFn))
159154, 155, 158mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn → (𝑓) ∈ MblFn)
160 resco 6202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) = (ℜ ∘ (𝑓))
161 fresin 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓):(𝑎)⟶ℂ)
162 ismbfcn 24993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓):(𝑎)⟶ℂ → ((𝑓) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)))
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)))
164163simprbda 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)
165160, 164eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
166159, 165sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
167166ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
168 uniun 4891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∪ {}) = ( 𝑡 {})
169 unisnv 4888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {} =
170169uneq2i 4120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 {}) = ( 𝑡)
171168, 170eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∪ {}) = ( 𝑡)
172171, 121eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ( (𝑡 ∪ {}) = 𝑎 → ( 𝑡) = 𝑎)
173172ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ( 𝑡) = 𝑎)
17489, 153, 167, 173mbfres2 25009 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
175 imf 14998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℑ:ℂ⟶ℝ
176 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
177175, 176mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
178177adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
179178ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
180 imcncf 24266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
181180elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℑ ∈ V
182181, 92coex 7867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℑ ∘ 𝑓) ∈ V
183182resex 5985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V
18497adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → 𝑡 = 𝑏)
185184biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏)))
186 feq123 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
187100, 186mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
188 reseq1 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔𝑠) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
189188eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
190189adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
191190ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
192187, 191anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
193185, 192bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
194 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
195194adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
196193, 195imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
197196spc2gv 3559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V ∧ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
198183, 95, 197mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
199 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
200175, 114, 199mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℑ:ℂ⟶ℂ
201 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℑ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
202200, 201mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
203 fssres 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ 𝑡𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
204202, 122, 203syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
205204adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
206126resabs1d 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
207 resco 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓𝑟))
208206, 207eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓𝑟)))
209208adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓𝑟)))
210142simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)
211209, 210eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
212211ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
213 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
214213eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
215214cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑟𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
216212, 215sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
218 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
219205, 217, 218syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
220198, 219mpan9 507 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)
221 resco 6202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) = (ℑ ∘ (𝑓))
222163simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)
223221, 222eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
224159, 223sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
225224ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
226179, 220, 225, 173mbfres2 25009 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
227 ismbfcn 24993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
228227adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
229228ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
230174, 226, 229mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → 𝑓 ∈ MblFn)
231230ex 413 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
232231alrimivv 1931 . . . . . . . 8 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
233232a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
23435, 58, 65, 72, 84, 233findcard2 9108 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
235 2sp 2179 . . . . . 6 (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
2364, 234, 2353syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
23716, 25, 236vtocl2g 3531 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
23810, 237mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))
2393, 238mpan2d 692 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) → 𝐹 ∈ MblFn))
2401, 2, 239mp2and 697 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865  dom cdm 5633  cres 5635  ccom 5637  Rel wrel 5638  wf 6492  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  cre 14982  cim 14983  cnccncf 24239  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
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