Theorem mbfresfi 37714

Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfresfi.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mbfresfi.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
mbfresfi.4	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfresfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem mbfresfi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfresfi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mbfresfi.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
3		mbfresfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐴)
4		mbfresfi.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
5	4	uniexd 7675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		fex 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
10	6, 9	jcai 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V))
11		feq2 6630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑓:𝐴⟶ℂ))
12	11	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
13		eqeq2 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑆 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑆 = 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴)))
15	14	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)))
16	15	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn))))
17		feq1 6629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
18		reseq1 5921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑠))
19	18	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
20	19	ralbidv 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
21	17, 20	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
22	21	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴)))
23		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
24	22, 23	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
25	24	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))))
26		rzal 4456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
27	26	biantrud 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ∅ → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
28	27	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ∅ → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ 𝑓:𝑎⟶ℂ))
29		unieq 4867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∪ 𝑟 = ∪ ∅)
30		uni0 4884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ∅ = ∅
31	29, 30	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∪ 𝑟 = ∅)
32	31	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ∅ → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∅ = 𝑎))
33	28, 32	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = ∅ → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎)))
34	33	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = ∅ → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
35	34	2albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = ∅ → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
36		raleq 3289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
37	36	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
38		unieq 4867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ∪ 𝑟 = ∪ 𝑡)
39	38	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑎))
40	37, 39	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎)))
41	40	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
42	41	2albidv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
43		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑓 = 𝑔)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
45	43, 44	feq12d 6639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑔:𝑏⟶ℂ))
46		reseq1 5921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑔 ↾ 𝑠))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑔 ↾ 𝑠))
48	47	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
49	48	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
50	45, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
51		eqeq2 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑡 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (∪ 𝑡 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏))
53	50, 52	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
54		eleq1 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
56	53, 55	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
57	56	cbval2vw 2041	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn))
58	42, 57	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
59		raleq 3289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
60	59	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
61		unieq 4867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ∪ 𝑟 = ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}))
62	61	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)))
64	63	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
65	64	2albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
66		raleq 3289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
67	66	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
68		unieq 4867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ∪ 𝑟 = ∪ 𝑆)
69	68	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑆 = 𝑎))
70	67, 69	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎)))
71	70	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
72	71	2albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
73		frel 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → Rel 𝑓)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → Rel 𝑓)
75		fdm 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → dom 𝑓 = 𝑎)
76		eqcom 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ = 𝑎 ↔ 𝑎 = ∅)
77	76	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ = 𝑎 → 𝑎 = ∅)
78	75, 77	sylan9eq 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → dom 𝑓 = ∅)
79		reldm0 5867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel 𝑓 → (𝑓 = ∅ ↔ dom 𝑓 = ∅))
80	79	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 = ∅)
81		mbf0 25562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ MblFn
82	80, 81	eqeltrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 ∈ MblFn)
83	74, 78, 82	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
84	83	gen2 1797	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑓∀𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
85		ref 15019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
86		fco 6675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
87	85, 86	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
89	88	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
90		recncf 24822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
91	90	elexi 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ V
92		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑓 ∈ V
93	91, 92	coex 7860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℜ ∘ 𝑓) ∈ V
94	93	resex 5977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V
95		vuniex 7672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ V
96		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑡 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏)
97	96	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑡 → ∪ 𝑡 = 𝑏)
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ∪ 𝑡 = 𝑏)
99	98	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
100		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ = ℂ
101		feq123 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
102	100, 101	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
103		reseq1 5921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ↾ 𝑠) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
104	103	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
106	105	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
107	102, 106	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
108	99, 107	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
109		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
111	108, 110	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
112	111	spc2gv 3550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V ∧ ∪ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
113	94, 95, 112	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
114		ax-resscn 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
115		fss 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
116	85, 114, 115	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℂ
117		fco 6675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
118	116, 117	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
119		ssun1 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {ℎ})
120	119	unissi 4865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ 𝑡 ⊆ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ})
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)
122	120, 121	sseqtrid 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎)
123		fssres 6689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
124	118, 122, 123	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
125	124	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
126		elssuni 4887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → 𝑟 ⊆ ∪ 𝑡)
127	126	resabs1d 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
128		resco 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟))
129	127, 128	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
130	129	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
131		elun1 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}))
132		reseq2 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑓 ↾ 𝑟))
133	132	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn))
134	133	rspccva 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
135	131, 134	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
136	135	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
137		fresin 6692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ↾ 𝑟):(𝑎 ∩ 𝑟)⟶ℂ)
138		ismbfcn 25557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝑟):(𝑎 ∩ 𝑟)⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
140	139	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
141	140	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
142	136, 141	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn))
143	142	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)
144	130, 143	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
145	144	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
146		reseq2 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
147	146	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
148	147	cbvralvw 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
149	145, 148	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
150	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
151		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
152	125, 150, 151	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
153	113, 152	mpan9 506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)
154		vsnid 4613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℎ ∈ {ℎ}
155		elun2 4130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {ℎ} → ℎ ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}))
156		reseq2 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = ℎ → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑓 ↾ ℎ))
157	156	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = ℎ → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn))
158	157	rspcv 3568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn → (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn))
159	154, 155, 158	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn → (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn)
160		resco 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ))
161		fresin 6692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ↾ ℎ):(𝑎 ∩ ℎ)⟶ℂ)
162		ismbfcn 25557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ↾ ℎ):(𝑎 ∩ ℎ)⟶ℂ → ((𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)))
163	161, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)))
164	163	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)
165	160, 164	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
166	159, 165	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
167	166	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
168		uniun 4879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ∪ {ℎ})
169		unisnv 4876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ {ℎ} = ℎ
170	169	uneq2i 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑡 ∪ ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ℎ)
171	168, 170	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ℎ)
172	171, 121	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → (∪ 𝑡 ∪ ℎ) = 𝑎)
173	172	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (∪ 𝑡 ∪ ℎ) = 𝑎)
174	89, 153, 167, 173	mbfres2 25573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
175		imf 15020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
176		fco 6675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
177	175, 176	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
179	178	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
180		imcncf 24823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
181	180	elexi 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ ∈ V
182	181, 92	coex 7860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ V
183	182	resex 5977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V
184	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ∪ 𝑡 = 𝑏)
185	184	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
186		feq123 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
187	100, 186	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
188		reseq1 5921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ↾ 𝑠) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
189	188	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
191	190	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
192	187, 191	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
193	185, 192	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
194		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
195	194	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
196	193, 195	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
197	196	spc2gv 3550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V ∧ ∪ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
198	183, 95, 197	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
199		fss 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
200	175, 114, 199	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℂ
201		fco 6675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
202	200, 201	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
203		fssres 6689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
204	202, 122, 203	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
205	204	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
206	126	resabs1d 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
207		resco 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟))
208	206, 207	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
209	208	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
210	142	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)
211	209, 210	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
212	211	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
213		reseq2 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
214	213	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
215	214	cbvralvw 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
216	212, 215	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
217	216	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
218		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
219	205, 217, 218	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
220	198, 219	mpan9 506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)
221		resco 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ))
222	163	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)
223	221, 222	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
224	159, 223	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
225	224	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
226	179, 220, 225, 173	mbfres2 25573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
227		ismbfcn 25557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
228	227	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
229	228	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
230	174, 226, 229	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → 𝑓 ∈ MblFn)
231	230	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
232	231	alrimivv 1929	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
233	232	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
234	35, 58, 65, 72, 84, 233	findcard2 9074	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
235		2sp 2189	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
236	4, 234, 235	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
237	16, 25, 236	vtocl2g 3525	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
238	10, 237	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))
239	3, 238	mpan2d 694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → 𝐹 ∈ MblFn))
240	1, 2, 239	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573  ∪ cuni 4856  dom cdm 5614   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  Rel wrel 5619  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  ℝcr 11005  ℜcre 15004  ℑcim 15005  –cn→ccncf 24796  MblFncmbf 25542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21284  df-met 21285  df-cncf 24798  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-mbf 25547

This theorem is referenced by: (None)