Theorem mbfresfi 35103

Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfresfi.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
mbfresfi.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
mbfresfi.4	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfresfi	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem mbfresfi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfresfi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mbfresfi.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
3		mbfresfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝐴)
4		mbfresfi.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
5	4	uniexd 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		fex 6966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
8	7	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
10	6, 9	jcai 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V))
11		feq2 6469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑓:𝐴⟶ℂ))
12	11	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
13		eqeq2 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑆 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑆 = 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴)))
15	14	imbi1d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)))
16	15	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn))))
17		feq1 6468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
18		reseq1 5812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑠))
19	18	eleq1d 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
20	19	ralbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
21	17, 20	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
22	21	anbi1d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴)))
23		eleq1 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
24	22, 23	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
25	24	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))))
26		rzal 4411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
27	26	biantrud 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ∅ → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
28	27	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ∅ → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ 𝑓:𝑎⟶ℂ))
29		unieq 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∪ 𝑟 = ∪ ∅)
30		uni0 4828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ∅ = ∅
31	29, 30	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = ∅ → ∪ 𝑟 = ∅)
32	31	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = ∅ → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∅ = 𝑎))
33	28, 32	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = ∅ → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎)))
34	33	imbi1d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = ∅ → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
35	34	2albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = ∅ → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
36		raleq 3358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
37	36	anbi2d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
38		unieq 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ∪ 𝑟 = ∪ 𝑡)
39	38	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑎))
40	37, 39	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎)))
41	40	imbi1d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
42	41	2albidv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
43		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑓 = 𝑔)
44		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
45	43, 44	feq12d 6475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑔:𝑏⟶ℂ))
46		reseq1 5812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑔 ↾ 𝑠))
47	46	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑔 ↾ 𝑠))
48	47	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
49	48	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
50	45, 49	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
51		eqeq2 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑡 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏))
52	51	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (∪ 𝑡 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏))
53	50, 52	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
54		eleq1 2877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
55	54	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
56	53, 55	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑔 ∧ 𝑎 = 𝑏) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
57	56	cbval2vw 2047	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn))
58	42, 57	syl6bb 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
59		raleq 3358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
60	59	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
61		unieq 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ∪ 𝑟 = ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}))
62	61	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎))
63	60, 62	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)))
64	63	imbi1d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
65	64	2albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
66		raleq 3358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
67	66	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
68		unieq 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ∪ 𝑟 = ∪ 𝑆)
69	68	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∪ 𝑟 = 𝑎 ↔ ∪ 𝑆 = 𝑎))
70	67, 69	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎)))
71	70	imbi1d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
72	71	2albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑟 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
73		frel 6492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → Rel 𝑓)
74	73	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → Rel 𝑓)
75		fdm 6495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → dom 𝑓 = 𝑎)
76		eqcom 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ = 𝑎 ↔ 𝑎 = ∅)
77	76	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ = 𝑎 → 𝑎 = ∅)
78	75, 77	sylan9eq 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → dom 𝑓 = ∅)
79		reldm0 5762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel 𝑓 → (𝑓 = ∅ ↔ dom 𝑓 = ∅))
80	79	biimpar 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 = ∅)
81		mbf0 24238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ MblFn
82	80, 81	eqeltrdi 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 ∈ MblFn)
83	74, 78, 82	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
84	83	gen2 1798	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑓∀𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
85		ref 14463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
86		fco 6505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
87	85, 86	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
88	87	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
89	88	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
90		recncf 23507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
91	90	elexi 3460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℜ ∈ V
92		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑓 ∈ V
93	91, 92	coex 7617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℜ ∘ 𝑓) ∈ V
94	93	resex 5866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V
95		vuniex 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ V
96		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑡 ↔ ∪ 𝑡 = 𝑏)
97	96	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑡 → ∪ 𝑡 = 𝑏)
98	97	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ∪ 𝑡 = 𝑏)
99	98	biantrud 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
100		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ = ℂ
101		feq123 6477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
102	100, 101	mp3an3 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
103		reseq1 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ↾ 𝑠) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
104	103	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
105	104	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
106	105	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
107	102, 106	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
108	99, 107	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
109		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
110	109	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
111	108, 110	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
112	111	spc2gv 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V ∧ ∪ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
113	94, 95, 112	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
114		ax-resscn 10583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
115		fss 6501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
116	85, 114, 115	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℂ
117		fco 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
118	116, 117	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
119		ssun1 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {ℎ})
120	119	unissi 4809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ 𝑡 ⊆ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ})
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)
122	120, 121	sseqtrid 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎)
123		fssres 6518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
124	118, 122, 123	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
125	124	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
126		elssuni 4830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → 𝑟 ⊆ ∪ 𝑡)
127	126	resabs1d 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
128		resco 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟))
129	127, 128	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
130	129	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
131		elun1 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}))
132		reseq2 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑓 ↾ 𝑟))
133	132	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn))
134	133	rspccva 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
135	131, 134	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
136	135	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
137		fresin 6521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ↾ 𝑟):(𝑎 ∩ 𝑟)⟶ℂ)
138		ismbfcn 24233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝑟):(𝑎 ∩ 𝑟)⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
140	139	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
141	140	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → ((𝑓 ↾ 𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)))
142	136, 141	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn))
143	142	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (ℜ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)
144	130, 143	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
145	144	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
146		reseq2 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
147	146	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
148	147	cbvralvw 3396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
149	145, 148	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
150	149	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
151		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
152	125, 150, 151	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
153	113, 152	mpan9 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)
154		vsnid 4562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℎ ∈ {ℎ}
155		elun2 4104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {ℎ} → ℎ ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}))
156		reseq2 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = ℎ → (𝑓 ↾ 𝑠) = (𝑓 ↾ ℎ))
157	156	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = ℎ → ((𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn))
158	157	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (𝑡 ∪ {ℎ}) → (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn → (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn))
159	154, 155, 158	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn → (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn)
160		resco 6070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) = (ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ))
161		fresin 6521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ↾ ℎ):(𝑎 ∩ ℎ)⟶ℂ)
162		ismbfcn 24233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ↾ ℎ):(𝑎 ∩ ℎ)⟶ℂ → ((𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)))
163	161, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)))
164	163	simprbda 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)
165	160, 164	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
166	159, 165	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
167	166	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
168		uniun 4823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ∪ {ℎ})
169		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℎ ∈ V
170	169	unisn 4820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ {ℎ} = ℎ
171	170	uneq2i 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑡 ∪ ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ℎ)
172	168, 171	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = (∪ 𝑡 ∪ ℎ)
173	172, 121	syl5eqr 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎 → (∪ 𝑡 ∪ ℎ) = 𝑎)
174	173	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (∪ 𝑡 ∪ ℎ) = 𝑎)
175	89, 153, 167, 174	mbfres2 24249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
176		imf 14464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
177		fco 6505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
178	176, 177	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
179	178	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
180	179	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
181		imcncf 23508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
182	181	elexi 3460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ ∈ V
183	182, 92	coex 7617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ V
184	183	resex 5866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V
185	97	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ∪ 𝑡 = 𝑏)
186	185	biantrud 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏)))
187		feq123 6477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
188	100, 187	mp3an3 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ))
189		reseq1 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ↾ 𝑠) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
190	189	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
191	190	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
192	191	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
193	188, 192	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
194	186, 193	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
195		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
196	195	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
197	194, 196	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∧ 𝑏 = ∪ 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
198	197	spc2gv 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ V ∧ ∪ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)))
199	184, 95, 198	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
200		fss 6501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
201	176, 114, 200	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℂ
202		fco 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
203	201, 202	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
204		fssres 6518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ ∪ 𝑡 ⊆ 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
205	203, 122, 204	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
206	205	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ)
207	126	resabs1d 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
208		resco 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟))
209	207, 208	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
210	209	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)))
211	142	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (ℑ ∘ (𝑓 ↾ 𝑟)) ∈ MblFn)
212	210, 211	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 ∈ 𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
213	212	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
214		reseq2 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠))
215	214	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
216	215	cbvralvw 3396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
217	213, 216	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
218	217	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
219		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
220	206, 218, 219	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡):∪ 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn))
221	199, 220	mpan9 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ∪ 𝑡) ∈ MblFn)
222		resco 6070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) = (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ))
223	163	simplbda 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ (𝑓 ↾ ℎ)) ∈ MblFn)
224	222, 223	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓 ↾ ℎ) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
225	159, 224	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
226	225	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ℎ) ∈ MblFn)
227	180, 221, 226, 174	mbfres2 24249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
228		ismbfcn 24233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
229	228	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
230	229	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
231	175, 227, 230	mpbir2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎)) → 𝑓 ∈ MblFn)
232	231	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
233	232	alrimivv 1929	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
234	233	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑔∀𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑡 (𝑔 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {ℎ})(𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ (𝑡 ∪ {ℎ}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
235	35, 58, 65, 72, 84, 234	findcard2 8742	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
236		2sp 2183	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑓∀𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
237	4, 235, 236	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑓 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
238	16, 25, 237	vtocl2g 3520	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
239	10, 238	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) ∧ ∪ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))
240	3, 239	mpan2d 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝐹 ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → 𝐹 ∈ MblFn))
241	1, 2, 240	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ∪ cuni 4800  dom cdm 5519   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  Rel wrel 5524  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  ℜcre 14448  ℑcim 14449  –cn→ccncf 23481  MblFncmbf 24218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20084  df-met 20085  df-cncf 23483  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223

This theorem is referenced by: (None)