MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrstrrepe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrstrrepe 28933
Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a hypergraph. Instead of requiring (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (πœ‘ β†’ Fun (𝐺 βˆ– {βˆ…})) and (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrstrrepe.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
uhgrstrrepe.i 𝐼 = (.efβ€˜ndx)
uhgrstrrepe.s (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋)
uhgrstrrepe.b (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝐺)
uhgrstrrepe.w (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Š)
uhgrstrrepe.e (πœ‘ β†’ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
Assertion
Ref Expression
uhgrstrrepe (πœ‘ β†’ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgrstrrepe
StepHypRef Expression
1 uhgrstrrepe.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
2 uhgrstrrepe.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (.efβ€˜ndx)
3 uhgrstrrepe.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋)
4 uhgrstrrepe.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝐺)
5 uhgrstrrepe.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Š)
62, 3, 4, 5setsvtx 28890 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Baseβ€˜πΊ))
7 uhgrstrrepe.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
86, 7eqtr4di 2783 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
98pweqd 4615 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
109difeq1d 4113 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}) = (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
1110feq3d 6703 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…})))
121, 11mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}))
132, 3, 4, 5setsiedg 28891 . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
1413dmeqd 5902 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
1513, 14feq12d 6704 . . 3 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…})))
1612, 15mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}))
17 ovex 7448 . . 3 (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
18 eqid 2725 . . . 4 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
19 eqid 2725 . . . 4 (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
2018, 19isuhgr 28915 . . 3 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V β†’ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…})))
2117, 20mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…})))
2216, 21mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   Struct cstr 17112   sSet csts 17129  ndxcnx 17159  Basecbs 17177  .efcedgf 28841  Vtxcvtx 28851  iEdgciedg 28852  UHGraphcuhgr 28911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-edgf 28842  df-vtx 28853  df-iedg 28854  df-uhgr 28913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator