MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrstrrepe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrstrrepe 26877
Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a hypergraph. Instead of requiring (𝜑𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅})) and (𝜑𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrstrrepe.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
uhgrstrrepe.i 𝐼 = (.ef‘ndx)
uhgrstrrepe.s (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
uhgrstrrepe.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
uhgrstrrepe.w (𝜑𝐸𝑊)
uhgrstrrepe.e (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
Assertion
Ref Expression
uhgrstrrepe (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgrstrrepe
StepHypRef Expression
1 uhgrstrrepe.e . . . 4 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
2 uhgrstrrepe.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (.ef‘ndx)
3 uhgrstrrepe.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
4 uhgrstrrepe.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
5 uhgrstrrepe.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝑊)
62, 3, 4, 5setsvtx 26834 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
7 uhgrstrrepe.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝐺)
86, 7syl6eqr 2877 . . . . . . 7 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
98pweqd 4542 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
109difeq1d 4085 . . . . 5 (𝜑 → (𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}) = (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
1110feq3d 6491 . . . 4 (𝜑 → (𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅})))
121, 11mpbird 260 . . 3 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}))
132, 3, 4, 5setsiedg 26835 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
1413dmeqd 5762 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
1513, 14feq12d 6492 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅})))
1612, 15mpbird 260 . 2 (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}))
17 ovex 7183 . . 3 (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
18 eqid 2824 . . . 4 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
19 eqid 2824 . . . 4 (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
2018, 19isuhgr 26859 . . 3 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅})))
2117, 20mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅})))
2216, 21mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3481  cdif 3917  c0 4277  𝒫 cpw 4523  {csn 4551  cop 4557   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7150   Struct cstr 16482  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Basecbs 16486  .efcedgf 26788  Vtxcvtx 26795  iEdgciedg 26796  UHGraphcuhgr 26855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-dju 9328  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-hash 13699  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-edgf 26789  df-vtx 26797  df-iedg 26798  df-uhgr 26857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator