MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrstrrepe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrstrrepe 28846
Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a hypergraph. Instead of requiring (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (πœ‘ β†’ Fun (𝐺 βˆ– {βˆ…})) and (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrstrrepe.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
uhgrstrrepe.i 𝐼 = (.efβ€˜ndx)
uhgrstrrepe.s (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋)
uhgrstrrepe.b (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝐺)
uhgrstrrepe.w (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Š)
uhgrstrrepe.e (πœ‘ β†’ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
Assertion
Ref Expression
uhgrstrrepe (πœ‘ β†’ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgrstrrepe
StepHypRef Expression
1 uhgrstrrepe.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
2 uhgrstrrepe.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (.efβ€˜ndx)
3 uhgrstrrepe.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋)
4 uhgrstrrepe.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝐺)
5 uhgrstrrepe.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Š)
62, 3, 4, 5setsvtx 28803 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Baseβ€˜πΊ))
7 uhgrstrrepe.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
86, 7eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
98pweqd 4614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
109difeq1d 4116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}) = (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
1110feq3d 6698 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…})))
121, 11mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}))
132, 3, 4, 5setsiedg 28804 . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
1413dmeqd 5899 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
1513, 14feq12d 6699 . . 3 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…})))
1612, 15mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…}))
17 ovex 7438 . . 3 (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
18 eqid 2726 . . . 4 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
19 eqid 2726 . . . 4 (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
2018, 19isuhgr 28828 . . 3 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V β†’ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…})))
2117, 20mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdgβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟢(𝒫 (Vtxβ€˜(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) βˆ– {βˆ…})))
2216, 21mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   Struct cstr 17088   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  .efcedgf 28754  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UHGraphcuhgr 28824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-edgf 28755  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-uhgr 28826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator