MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 25933
Description: If 𝐴(𝑥), 𝐶(𝑥) are differentiable functions and 𝐴‘ ≤ 𝐶, then for 𝑥𝑦, 𝐴(𝑦) − 𝐴(𝑥) ≤ 𝐶(𝑦) − 𝐶(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvle.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
dvle.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (𝜑𝑋𝑌)
dvle.p (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
dvle.q (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
dvle.r (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
dvle.s (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.r . . . 4 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
21eleq1d 2813 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle.a . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4 cncff 24806 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
6 eqid 2727 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
76fmpt 7114 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
85, 7sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
9 dvle.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
102, 8, 9rspcdva 3608 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 dvle.s . . . . 5 (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
1211eleq1d 2813 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
13 dvle.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
14 cncff 24806 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
16 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶)
1716fmpt 7114 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1815, 17sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ)
1912, 18, 9rspcdva 3608 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
20 dvle.q . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
2120eleq1d 2813 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
22 dvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2321, 18, 22rspcdva 3608 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2419, 23resubcld 11666 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
25 dvle.p . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
2625eleq1d 2813 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2726, 8, 22rspcdva 3608 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2810recnd 11266 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2923recnd 11266 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3019recnd 11266 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3129, 30subcld 11595 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑆) ∈ ℂ)
3228, 31addcomd 11440 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 + (𝑄𝑆)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3328, 30, 29subsub2d 11624 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑅 + (𝑄𝑆)))
3429, 30, 28subsubd 11623 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3532, 33, 343eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑄 − (𝑆𝑅)))
3619, 10resubcld 11666 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
37 dvle.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
38 dvle.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
39 eqid 2727 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4039subcn 24775 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41 ax-resscn 11189 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
42 resubcl 11548 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
4339, 40, 13, 3, 41, 42cncfmpt2ss 24829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4441a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45 iccssre 13432 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4637, 38, 45syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4715fvmptelcdm 7117 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
485fvmptelcdm 7117 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11666 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 11266 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
5139tgioo2 24712 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
52 iccntr 24730 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5337, 38, 52syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5444, 46, 50, 51, 39, 53dvmptntr 25896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))))
55 reelprrecn 11224 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 ioossicc 13436 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
5857sseli 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
5947recnd 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6058, 59sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
61 dvle.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
62 lerel 11302 . . . . . . . . . . 11 Rel ≤
6362brrelex2i 5729 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ V)
65 dvle.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
6648recnd 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6758, 66sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6862brrelex1i 5728 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
6961, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
70 dvle.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7156, 60, 64, 65, 67, 69, 70dvmptsub 25892 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7254, 71eqtrd 2767 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7358, 47sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7473fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
75 ioossre 13411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
76 dvfre 25876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7774, 75, 76sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7865dmeqd 5902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
7964ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
80 dmmptg 6240 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8278, 81eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑀(,)𝑁))
8365, 82feq12d 6704 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
8477, 83mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8584fvmptelcdm 7117 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8658, 48sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8786fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
88 dvfre 25876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
8987, 75, 88sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
9070dmeqd 5902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
9169ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V)
92 dmmptg 6240 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9490, 93eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
9570, 94feq12d 6704 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
9689, 95mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
9796fvmptelcdm 7117 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9885, 97resubcld 11666 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
9985, 97subge0d 11828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (0 ≤ (𝐷𝐵) ↔ 𝐵𝐷))
10061, 99mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 0 ≤ (𝐷𝐵))
101 elrege0 13457 . . . . . . . 8 ((𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷𝐵)))
10298, 100, 101sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10372, 102fmpt3d 7120 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
104 dvle.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
10537, 38, 43, 103, 22, 9, 104dvge0 25932 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) ≤ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌))
10620, 25oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐴) = (𝑄𝑃))
107 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))
108 ovex 7447 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ∈ V
109106, 107, 108fvmpt3i 7004 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11022, 109syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11111, 1oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶𝐴) = (𝑆𝑅))
112111, 107, 108fvmpt3i 7004 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
1139, 112syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
114105, 110, 1133brtr3d 5173 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑃) ≤ (𝑆𝑅))
11523, 27, 36, 114subled 11841 . . 3 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) ≤ 𝑃)
11635, 115eqbrtrd 5164 . 2 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) ≤ 𝑃)
11710, 24, 27, 116subled 11841 1 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  wss 3944  {cpr 4626   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132   + caddc 11135  +∞cpnf 11269  cle 11273  cmin 11468  (,)cioo 13350  [,)cico 13352  [,]cicc 13353  TopOpenctopn 17396  topGenctg 17412  fldccnfld 21272  intcnt 22914  cnccncf 24789   D cdv 25785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-cmp 23284  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789
This theorem is referenced by:  dvfsumle  25947  dvfsumleOLD  25948  dvfsumlem2  25954  dvfsumlem2OLD  25955  loglesqrt  26686  dvle2  41532
  Copyright terms: Public domain W3C validator