MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 25387
Description: If 𝐴(π‘₯), 𝐢(π‘₯) are differentiable functions and π΄β€˜ ≀ πΆβ€˜, then for π‘₯ ≀ 𝑦, 𝐴(𝑦) βˆ’ 𝐴(π‘₯) ≀ 𝐢(𝑦) βˆ’ 𝐢(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvle.c (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐷)
dvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
dvle.p (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝑃)
dvle.q (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐢 = 𝑄)
dvle.r (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐴 = 𝑅)
dvle.s (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐢 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.r . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐴 = 𝑅)
21eleq1d 2819 . . 3 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4 cncff 24272 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
6 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
76fmpt 7059 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
85, 7sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
9 dvle.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑀[,]𝑁))
102, 8, 9rspcdva 3581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
11 dvle.s . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐢 = 𝑆)
1211eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
13 dvle.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
14 cncff 24272 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢)
1716fmpt 7059 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐢 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1815, 17sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐢 ∈ ℝ)
1912, 18, 9rspcdva 3581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
20 dvle.q . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐢 = 𝑄)
2120eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
22 dvle.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2321, 18, 22rspcdva 3581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
2419, 23resubcld 11588 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝑄) ∈ ℝ)
25 dvle.p . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝑃)
2625eleq1d 2819 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2726, 8, 22rspcdva 3581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2810recnd 11188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
2923recnd 11188 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
3019recnd 11188 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
3129, 30subcld 11517 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
3228, 31addcomd 11362 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 + (𝑄 βˆ’ 𝑆)) = ((𝑄 βˆ’ 𝑆) + 𝑅))
3328, 30, 29subsub2d 11546 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑄)) = (𝑅 + (𝑄 βˆ’ 𝑆)))
3429, 30, 28subsubd 11545 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑅)) = ((𝑄 βˆ’ 𝑆) + 𝑅))
3532, 33, 343eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑄)) = (𝑄 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑅)))
3619, 10resubcld 11588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
37 dvle.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
38 dvle.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
39 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4039subcn 24245 . . . . . . 7 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
41 ax-resscn 11113 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
42 resubcl 11470 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
4339, 40, 13, 3, 41, 42cncfmpt2ss 24295 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4441a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
45 iccssre 13352 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
4637, 38, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
4715fvmptelcdm 7062 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
485fvmptelcdm 7062 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
5139tgioo2 24182 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
52 iccntr 24200 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5337, 38, 52syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5444, 46, 50, 51, 39, 53dvmptntr 25351 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))))
55 reelprrecn 11148 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
57 ioossicc 13356 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
5857sseli 3941 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
5947recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6058, 59sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
61 dvle.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐷)
62 lerel 11224 . . . . . . . . . . 11 Rel ≀
6362brrelex2i 5690 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ≀ 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ V)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ V)
65 dvle.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
6648recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6758, 66sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6862brrelex1i 5689 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ≀ 𝐷 β†’ 𝐡 ∈ V)
6961, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ V)
70 dvle.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
7156, 60, 64, 65, 67, 69, 70dvmptsub 25347 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐡)))
7254, 71eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐡)))
7358, 47sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7473fmpttd 7064 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
75 ioossre 13331 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
76 dvfre 25331 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))βŸΆβ„)
7774, 75, 76sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))βŸΆβ„)
7865dmeqd 5862 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
7964ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
80 dmmptg 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8278, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = (𝑀(,)𝑁))
8365, 82feq12d 6657 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
8477, 83mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
8584fvmptelcdm 7062 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
8658, 48sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8786fmpttd 7064 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
88 dvfre 25331 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
8987, 75, 88sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
9070dmeqd 5862 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
9169ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ V)
92 dmmptg 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
9490, 93eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
9570, 94feq12d 6657 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
9689, 95mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
9796fvmptelcdm 7062 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9885, 97resubcld 11588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
9985, 97subge0d 11750 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐡) ↔ 𝐡 ≀ 𝐷))
10061, 99mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐡))
101 elrege0 13377 . . . . . . . 8 ((𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐡)))
10298, 100, 101sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ (0[,)+∞))
10372, 102fmpt3d 7065 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟢(0[,)+∞))
104 dvle.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
10537, 38, 43, 103, 22, 9, 104dvge0 25386 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘‹) ≀ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘Œ))
10620, 25oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑄 βˆ’ 𝑃))
107 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))
108 ovex 7391 . . . . . . 7 (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ V
109106, 107, 108fvmpt3i 6954 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘‹) = (𝑄 βˆ’ 𝑃))
11022, 109syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘‹) = (𝑄 βˆ’ 𝑃))
11111, 1oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑆 βˆ’ 𝑅))
112111, 107, 108fvmpt3i 6954 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘Œ) = (𝑆 βˆ’ 𝑅))
1139, 112syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘Œ) = (𝑆 βˆ’ 𝑅))
114105, 110, 1133brtr3d 5137 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑅))
11523, 27, 36, 114subled 11763 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑃)
11635, 115eqbrtrd 5128 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑄)) ≀ 𝑃)
11710, 24, 27, 116subled 11763 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {cpr 4589   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059  +∞cpnf 11191   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  TopOpenctopn 17308  topGenctg 17324  β„‚fldccnfld 20812  intcnt 22384  β€“cnβ†’ccncf 24255   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  dvfsumle  25401  dvfsumlem2  25407  loglesqrt  26127  dvle2  40575
  Copyright terms: Public domain W3C validator