MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 25371
Description: If 𝐴(𝑥), 𝐶(𝑥) are differentiable functions and 𝐴‘ ≤ 𝐶, then for 𝑥𝑦, 𝐴(𝑦) − 𝐴(𝑥) ≤ 𝐶(𝑦) − 𝐶(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvle.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
dvle.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (𝜑𝑋𝑌)
dvle.p (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
dvle.q (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
dvle.r (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
dvle.s (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.r . . . 4 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
21eleq1d 2822 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle.a . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4 cncff 24256 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
6 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
76fmpt 7058 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
85, 7sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
9 dvle.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
102, 8, 9rspcdva 3582 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 dvle.s . . . . 5 (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
1211eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
13 dvle.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
14 cncff 24256 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
16 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶)
1716fmpt 7058 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1815, 17sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ)
1912, 18, 9rspcdva 3582 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
20 dvle.q . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
2120eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
22 dvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2321, 18, 22rspcdva 3582 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2419, 23resubcld 11583 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
25 dvle.p . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
2625eleq1d 2822 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2726, 8, 22rspcdva 3582 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2810recnd 11183 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2923recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3019recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3129, 30subcld 11512 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑆) ∈ ℂ)
3228, 31addcomd 11357 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 + (𝑄𝑆)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3328, 30, 29subsub2d 11541 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑅 + (𝑄𝑆)))
3429, 30, 28subsubd 11540 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3532, 33, 343eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑄 − (𝑆𝑅)))
3619, 10resubcld 11583 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
37 dvle.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
38 dvle.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
39 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4039subcn 24229 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41 ax-resscn 11108 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
42 resubcl 11465 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
4339, 40, 13, 3, 41, 42cncfmpt2ss 24279 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4441a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45 iccssre 13346 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4637, 38, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4715fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
485fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
5139tgioo2 24166 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
52 iccntr 24184 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5337, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5444, 46, 50, 51, 39, 53dvmptntr 25335 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))))
55 reelprrecn 11143 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
5857sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
5947recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6058, 59sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
61 dvle.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
62 lerel 11219 . . . . . . . . . . 11 Rel ≤
6362brrelex2i 5689 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ V)
65 dvle.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
6648recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6758, 66sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6862brrelex1i 5688 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
6961, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
70 dvle.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7156, 60, 64, 65, 67, 69, 70dvmptsub 25331 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7254, 71eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7358, 47sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7473fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
75 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
76 dvfre 25315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7774, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7865dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
7964ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
80 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8278, 81eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑀(,)𝑁))
8365, 82feq12d 6656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
8477, 83mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8584fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8658, 48sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8786fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
88 dvfre 25315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
8987, 75, 88sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
9070dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
9169ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V)
92 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9490, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
9570, 94feq12d 6656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
9689, 95mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
9796fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9885, 97resubcld 11583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
9985, 97subge0d 11745 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (0 ≤ (𝐷𝐵) ↔ 𝐵𝐷))
10061, 99mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 0 ≤ (𝐷𝐵))
101 elrege0 13371 . . . . . . . 8 ((𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷𝐵)))
10298, 100, 101sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10372, 102fmpt3d 7064 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
104 dvle.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
10537, 38, 43, 103, 22, 9, 104dvge0 25370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) ≤ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌))
10620, 25oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐴) = (𝑄𝑃))
107 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))
108 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ∈ V
109106, 107, 108fvmpt3i 6953 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11022, 109syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11111, 1oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶𝐴) = (𝑆𝑅))
112111, 107, 108fvmpt3i 6953 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
1139, 112syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
114105, 110, 1133brtr3d 5136 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑃) ≤ (𝑆𝑅))
11523, 27, 36, 114subled 11758 . . 3 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) ≤ 𝑃)
11635, 115eqbrtrd 5127 . 2 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) ≤ 𝑃)
11710, 24, 27, 116subled 11758 1 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvfsumle  25385  dvfsumlem2  25391  loglesqrt  26111  dvle2  40529
  Copyright terms: Public domain W3C validator