MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 25524
Description: If 𝐴(π‘₯), 𝐢(π‘₯) are differentiable functions and π΄β€˜ ≀ πΆβ€˜, then for π‘₯ ≀ 𝑦, 𝐴(𝑦) βˆ’ 𝐴(π‘₯) ≀ 𝐢(𝑦) βˆ’ 𝐢(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvle.c (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐷)
dvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
dvle.p (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝑃)
dvle.q (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐢 = 𝑄)
dvle.r (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐴 = 𝑅)
dvle.s (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐢 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.r . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐴 = 𝑅)
21eleq1d 2819 . . 3 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4 cncff 24409 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
6 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
76fmpt 7110 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
85, 7sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
9 dvle.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑀[,]𝑁))
102, 8, 9rspcdva 3614 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
11 dvle.s . . . . 5 (π‘₯ = π‘Œ β†’ 𝐢 = 𝑆)
1211eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
13 dvle.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
14 cncff 24409 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢)
1716fmpt 7110 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐢 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1815, 17sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐢 ∈ ℝ)
1912, 18, 9rspcdva 3614 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
20 dvle.q . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐢 = 𝑄)
2120eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐢 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
22 dvle.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2321, 18, 22rspcdva 3614 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
2419, 23resubcld 11642 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝑄) ∈ ℝ)
25 dvle.p . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝑃)
2625eleq1d 2819 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2726, 8, 22rspcdva 3614 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2810recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
2923recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
3019recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
3129, 30subcld 11571 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
3228, 31addcomd 11416 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 + (𝑄 βˆ’ 𝑆)) = ((𝑄 βˆ’ 𝑆) + 𝑅))
3328, 30, 29subsub2d 11600 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑄)) = (𝑅 + (𝑄 βˆ’ 𝑆)))
3429, 30, 28subsubd 11599 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑅)) = ((𝑄 βˆ’ 𝑆) + 𝑅))
3532, 33, 343eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑄)) = (𝑄 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑅)))
3619, 10resubcld 11642 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
37 dvle.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
38 dvle.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
39 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4039subcn 24382 . . . . . . 7 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
41 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
42 resubcl 11524 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
4339, 40, 13, 3, 41, 42cncfmpt2ss 24432 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4441a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
45 iccssre 13406 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
4637, 38, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
4715fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
485fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11642 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
5139tgioo2 24319 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
52 iccntr 24337 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5337, 38, 52syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5444, 46, 50, 51, 39, 53dvmptntr 25488 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))))
55 reelprrecn 11202 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
57 ioossicc 13410 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
5857sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
5947recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6058, 59sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
61 dvle.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐷)
62 lerel 11278 . . . . . . . . . . 11 Rel ≀
6362brrelex2i 5734 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ≀ 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ V)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ V)
65 dvle.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
6648recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6758, 66sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6862brrelex1i 5733 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ≀ 𝐷 β†’ 𝐡 ∈ V)
6961, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ V)
70 dvle.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
7156, 60, 64, 65, 67, 69, 70dvmptsub 25484 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐡)))
7254, 71eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷 βˆ’ 𝐡)))
7358, 47sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7473fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
75 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
76 dvfre 25468 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))βŸΆβ„)
7774, 75, 76sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))βŸΆβ„)
7865dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
7964ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
80 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8278, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)) = (𝑀(,)𝑁))
8365, 82feq12d 6706 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐢))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
8477, 83mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
8584fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
8658, 48sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8786fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
88 dvfre 25468 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
8987, 75, 88sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
9070dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
9169ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ V)
92 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
9490, 93eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
9570, 94feq12d 6706 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
9689, 95mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
9796fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9885, 97resubcld 11642 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
9985, 97subge0d 11804 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐡) ↔ 𝐡 ≀ 𝐷))
10061, 99mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐡))
101 elrege0 13431 . . . . . . . 8 ((𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐡)))
10298, 100, 101sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐡) ∈ (0[,)+∞))
10372, 102fmpt3d 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟢(0[,)+∞))
104 dvle.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
10537, 38, 43, 103, 22, 9, 104dvge0 25523 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘‹) ≀ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘Œ))
10620, 25oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑄 βˆ’ 𝑃))
107 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))
108 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ V
109106, 107, 108fvmpt3i 7004 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘‹) = (𝑄 βˆ’ 𝑃))
11022, 109syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘‹) = (𝑄 βˆ’ 𝑃))
11111, 1oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑆 βˆ’ 𝑅))
112111, 107, 108fvmpt3i 7004 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘Œ) = (𝑆 βˆ’ 𝑅))
1139, 112syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐢 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘Œ) = (𝑆 βˆ’ 𝑅))
114105, 110, 1133brtr3d 5180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑅))
11523, 27, 36, 114subled 11817 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑅)) ≀ 𝑃)
11635, 115eqbrtrd 5171 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ (𝑆 βˆ’ 𝑄)) ≀ 𝑃)
11710, 24, 27, 116subled 11817 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆ’ 𝑃) ≀ (𝑆 βˆ’ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvfsumle  25538  dvfsumlem2  25544  loglesqrt  26266  gg-dvfsumle  35182  gg-dvfsumlem2  35183  dvle2  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator