MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 25169
Description: If 𝐴(𝑥), 𝐶(𝑥) are differentiable functions and 𝐴‘ ≤ 𝐶, then for 𝑥𝑦, 𝐴(𝑦) − 𝐴(𝑥) ≤ 𝐶(𝑦) − 𝐶(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvle.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
dvle.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (𝜑𝑋𝑌)
dvle.p (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
dvle.q (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
dvle.r (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
dvle.s (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.r . . . 4 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
21eleq1d 2825 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle.a . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4 cncff 24054 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
6 eqid 2740 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
76fmpt 6981 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
85, 7sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
9 dvle.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
102, 8, 9rspcdva 3563 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 dvle.s . . . . 5 (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
1211eleq1d 2825 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
13 dvle.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
14 cncff 24054 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
16 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶)
1716fmpt 6981 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1815, 17sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ)
1912, 18, 9rspcdva 3563 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
20 dvle.q . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
2120eleq1d 2825 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
22 dvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2321, 18, 22rspcdva 3563 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2419, 23resubcld 11403 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
25 dvle.p . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
2625eleq1d 2825 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2726, 8, 22rspcdva 3563 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2810recnd 11004 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2923recnd 11004 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3019recnd 11004 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3129, 30subcld 11332 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑆) ∈ ℂ)
3228, 31addcomd 11177 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 + (𝑄𝑆)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3328, 30, 29subsub2d 11361 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑅 + (𝑄𝑆)))
3429, 30, 28subsubd 11360 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3532, 33, 343eqtr4d 2790 . . 3 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑄 − (𝑆𝑅)))
3619, 10resubcld 11403 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
37 dvle.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
38 dvle.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
39 eqid 2740 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4039subcn 24027 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41 ax-resscn 10929 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
42 resubcl 11285 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
4339, 40, 13, 3, 41, 42cncfmpt2ss 24077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4441a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45 iccssre 13160 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4637, 38, 45syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4715fvmptelrn 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
485fvmptelrn 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 11004 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
5139tgioo2 23964 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
52 iccntr 23982 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5337, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5444, 46, 50, 51, 39, 53dvmptntr 25133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))))
55 reelprrecn 10964 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 ioossicc 13164 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
5857sseli 3922 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
5947recnd 11004 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6058, 59sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
61 dvle.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
62 lerel 11040 . . . . . . . . . . 11 Rel ≤
6362brrelex2i 5645 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ V)
65 dvle.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
6648recnd 11004 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6758, 66sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6862brrelex1i 5644 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
6961, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
70 dvle.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7156, 60, 64, 65, 67, 69, 70dvmptsub 25129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7254, 71eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7358, 47sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7473fmpttd 6986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
75 ioossre 13139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
76 dvfre 25113 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7774, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7865dmeqd 5813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
7964ralrimiva 3110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
80 dmmptg 6144 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8278, 81eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑀(,)𝑁))
8365, 82feq12d 6586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
8477, 83mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8584fvmptelrn 6984 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8658, 48sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8786fmpttd 6986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
88 dvfre 25113 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
8987, 75, 88sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
9070dmeqd 5813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
9169ralrimiva 3110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V)
92 dmmptg 6144 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9490, 93eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
9570, 94feq12d 6586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
9689, 95mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
9796fvmptelrn 6984 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9885, 97resubcld 11403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
9985, 97subge0d 11565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (0 ≤ (𝐷𝐵) ↔ 𝐵𝐷))
10061, 99mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 0 ≤ (𝐷𝐵))
101 elrege0 13185 . . . . . . . 8 ((𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷𝐵)))
10298, 100, 101sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10372, 102fmpt3d 6987 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
104 dvle.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
10537, 38, 43, 103, 22, 9, 104dvge0 25168 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) ≤ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌))
10620, 25oveq12d 7289 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐴) = (𝑄𝑃))
107 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))
108 ovex 7304 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ∈ V
109106, 107, 108fvmpt3i 6877 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11022, 109syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11111, 1oveq12d 7289 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶𝐴) = (𝑆𝑅))
112111, 107, 108fvmpt3i 6877 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
1139, 112syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
114105, 110, 1133brtr3d 5110 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑃) ≤ (𝑆𝑅))
11523, 27, 36, 114subled 11578 . . 3 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) ≤ 𝑃)
11635, 115eqbrtrd 5101 . 2 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) ≤ 𝑃)
11710, 24, 27, 116subled 11578 1 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  Vcvv 3431  wss 3892  {cpr 4569   class class class wbr 5079  cmpt 5162  dom cdm 5590  ran crn 5591  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cc 10870  cr 10871  0cc0 10872   + caddc 10875  +∞cpnf 11007  cle 11011  cmin 11205  (,)cioo 13078  [,)cico 13080  [,]cicc 13081  TopOpenctopn 17130  topGenctg 17146  fldccnfld 20595  intcnt 22166  cnccncf 24037   D cdv 25025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029
This theorem is referenced by:  dvfsumle  25183  dvfsumlem2  25189  loglesqrt  25909  dvle2  40077
  Copyright terms: Public domain W3C validator