Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvle 24608
 Description: If 𝐴(𝑥), 𝐶(𝑥) are differentiable functions and 𝐴‘ ≤ 𝐶‘, then for 𝑥 ≤ 𝑦, 𝐴(𝑦) − 𝐴(𝑥) ≤ 𝐶(𝑦) − 𝐶(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvle.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvle.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
dvle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvle.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvle.d (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
dvle.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
dvle.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
dvle.l (𝜑𝑋𝑌)
dvle.p (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
dvle.q (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
dvle.r (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
dvle.s (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvle (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvle
StepHypRef Expression
1 dvle.r . . . 4 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑅)
21eleq1d 2898 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
3 dvle.a . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4 cncff 23496 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
6 eqid 2822 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
76fmpt 6856 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
85, 7sylibr 237 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
9 dvle.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁))
102, 8, 9rspcdva 3600 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 dvle.s . . . . 5 (𝑥 = 𝑌𝐶 = 𝑆)
1211eleq1d 2898 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
13 dvle.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
14 cncff 23496 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
16 eqid 2822 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶)
1716fmpt 6856 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1815, 17sylibr 237 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐶 ∈ ℝ)
1912, 18, 9rspcdva 3600 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
20 dvle.q . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝑄)
2120eleq1d 2898 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑄 ∈ ℝ))
22 dvle.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁))
2321, 18, 22rspcdva 3600 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
2419, 23resubcld 11057 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℝ)
25 dvle.p . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑃)
2625eleq1d 2898 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑃 ∈ ℝ))
2726, 8, 22rspcdva 3600 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2810recnd 10658 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2923recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3019recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3129, 30subcld 10986 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑆) ∈ ℂ)
3228, 31addcomd 10831 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 + (𝑄𝑆)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3328, 30, 29subsub2d 11015 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑅 + (𝑄𝑆)))
3429, 30, 28subsubd 11014 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) = ((𝑄𝑆) + 𝑅))
3532, 33, 343eqtr4d 2867 . . 3 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) = (𝑄 − (𝑆𝑅)))
3619, 10resubcld 11057 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑅) ∈ ℝ)
37 dvle.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
38 dvle.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
39 eqid 2822 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4039subcn 23469 . . . . . . 7 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41 ax-resscn 10583 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
42 resubcl 10939 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
4339, 40, 13, 3, 41, 42cncfmpt2ss 23519 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
4441a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45 iccssre 12807 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4637, 38, 45syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
4715fvmptelrn 6859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
485fvmptelrn 6859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11057 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
5049recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
5139tgioo2 23406 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
52 iccntr 23424 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5337, 38, 52syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
5444, 46, 50, 51, 39, 53dvmptntr 24572 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))))
55 reelprrecn 10618 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 ioossicc 12811 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
5857sseli 3938 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
5947recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6058, 59sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
61 dvle.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝐷)
62 lerel 10694 . . . . . . . . . . 11 Rel ≤
6362brrelex2i 5586 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ V)
65 dvle.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
6648recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6758, 66sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6862brrelex1i 5585 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
6961, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
70 dvle.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7156, 60, 64, 65, 67, 69, 70dvmptsub 24568 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7254, 71eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝐷𝐵)))
7358, 47sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7473fmpttd 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
75 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
76 dvfre 24552 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7774, 75, 76sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ)
7865dmeqd 5751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷))
7964ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V)
80 dmmptg 6074 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐷 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷) = (𝑀(,)𝑁))
8278, 81eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)) = (𝑀(,)𝑁))
8365, 82feq12d 6482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
8477, 83mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐷):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8584fvmptelrn 6859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8658, 48sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8786fmpttd 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
88 dvfre 24552 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
8987, 75, 88sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
9070dmeqd 5751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
9169ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V)
92 dmmptg 6074 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
9490, 93eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
9570, 94feq12d 6482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
9689, 95mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
9796fvmptelrn 6859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9885, 97resubcld 11057 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
9985, 97subge0d 11219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (0 ≤ (𝐷𝐵) ↔ 𝐵𝐷))
10061, 99mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 0 ≤ (𝐷𝐵))
101 elrege0 12832 . . . . . . . 8 ((𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷𝐵)))
10298, 100, 101sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝐷𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10372, 102fmpt3d 6862 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))):(𝑀(,)𝑁)⟶(0[,)+∞))
104 dvle.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
10537, 38, 43, 103, 22, 9, 104dvge0 24607 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) ≤ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌))
10620, 25oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐴) = (𝑄𝑃))
107 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))
108 ovex 7173 . . . . . . 7 (𝐶𝐴) ∈ V
109106, 107, 108fvmpt3i 6755 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11022, 109syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑋) = (𝑄𝑃))
11111, 1oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐶𝐴) = (𝑆𝑅))
112111, 107, 108fvmpt3i 6755 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
1139, 112syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝐶𝐴))‘𝑌) = (𝑆𝑅))
114105, 110, 1133brtr3d 5073 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑃) ≤ (𝑆𝑅))
11523, 27, 36, 114subled 11232 . . 3 (𝜑 → (𝑄 − (𝑆𝑅)) ≤ 𝑃)
11635, 115eqbrtrd 5064 . 2 (𝜑 → (𝑅 − (𝑆𝑄)) ≤ 𝑃)
11710, 24, 27, 116subled 11232 1 (𝜑 → (𝑅𝑃) ≤ (𝑆𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {cpr 4541   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  dom cdm 5532  ran crn 5533  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665   − cmin 10859  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  TopOpenctopn 16686  topGenctg 16702  ℂfldccnfld 20089  intcnt 21620  –cn→ccncf 23479   D cdv 24464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468 This theorem is referenced by:  dvfsumle  24622  dvfsumlem2  24628  loglesqrt  25345
 Copyright terms: Public domain W3C validator