Theorem climrescn 46354

Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrescn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrescn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrescn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climrescn	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3295	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)
3	1, 2	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4		climrescn.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	uztrn2 12881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		climrescn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
8	7	fndmd 6641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
9	8	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → dom 𝐹 = 𝑍)
10	6, 9	eleqtrrd 2872	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
11	10	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
12		rspa 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
13	12	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
14	13	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantlll 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
17	3, 16	ralrimia 3270	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
18		fnfun 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑍 → Fun 𝐹)
19		ffvresb 7122	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
20	7, 18, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
21	20	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
22	17, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
23		breq2 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
24	23	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
25	24	rexralbidv 3237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
26		climrescn.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
27		climdm 15605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
28	26, 27	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
29		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	clim 15545	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥)))
32	31	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))
33		1rp 13020	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
35	25, 32, 34	rspcdva 3591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
36		climrescn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	4	rexuz3 15400	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
39	35, 38	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
40	22, 39	reximddv3 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
41		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
42	41	reseq2d 5979	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)))
43	42, 41	feq12d 6694	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ))
44	43	cbvrexvw 3250	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
45	40, 44	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   < clt 11243   − cmin 11441  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ℝ⁺crp 13016  abscabs 15285   ⇝ cli 15535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539

This theorem is referenced by:  climxlim2  46452