Theorem climrescn 45777

Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrescn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrescn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrescn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climrescn	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3266	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)
3	1, 2	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4		climrescn.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	uztrn2 12871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		climrescn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
8	7	fndmd 6643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → dom 𝐹 = 𝑍)
10	6, 9	eleqtrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
11	10	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
12		rspa 3231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
13	12	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
14	13	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantlll 718	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
17	3, 16	ralrimia 3241	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
18		fnfun 6638	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑍 → Fun 𝐹)
19		ffvresb 7115	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
20	7, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
21	20	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
22	17, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
23		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
24	23	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
25	24	rexralbidv 3207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
26		climrescn.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
27		climdm 15570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
29		eqidd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	clim 15510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥)))
32	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))
33		1rp 13012	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
35	25, 32, 34	rspcdva 3602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
36		climrescn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	4	rexuz3 15367	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
39	35, 38	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
40	22, 39	reximddv3 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
41		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
42	41	reseq2d 5966	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)))
43	42, 41	feq12d 6694	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ))
44	43	cbvrexvw 3221	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
45	40, 44	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   < clt 11269   − cmin 11466  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  abscabs 15253   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504

This theorem is referenced by:  climxlim2  45875