Theorem climrescn 46002

Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrescn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrescn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrescn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climrescn	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3260	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)
3	1, 2	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4		climrescn.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	uztrn2 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		climrescn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
8	7	fndmd 6597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → dom 𝐹 = 𝑍)
10	6, 9	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
11	10	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
12		rspa 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
13	12	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
14	13	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantlll 718	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
17	3, 16	ralrimia 3235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
18		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑍 → Fun 𝐹)
19		ffvresb 7070	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
20	7, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
21	20	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
22	17, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
23		breq2 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
24	23	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
25	24	rexralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
26		climrescn.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
27		climdm 15477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
29		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	clim 15417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥)))
32	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))
33		1rp 12909	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
35	25, 32, 34	rspcdva 3577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
36		climrescn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	4	rexuz3 15272	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
39	35, 38	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
40	22, 39	reximddv3 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
41		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
42	41	reseq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)))
43	42, 41	feq12d 6650	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ))
44	43	cbvrexvw 3215	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
45	40, 44	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   < clt 11166   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  climxlim2  46100