Theorem climrescn 43289

Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrescn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrescn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrescn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climrescn	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3144	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)
3	1, 2	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4		climrescn.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	uztrn2 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		climrescn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
8	7	fndmd 6538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
9	8	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → dom 𝐹 = 𝑍)
10	6, 9	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
11	10	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
12		rspa 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
13	12	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
14	13	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantlll 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
17	3, 16	ralrimia 3430	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
18		fnfun 6533	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑍 → Fun 𝐹)
19		ffvresb 6998	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
20	7, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
21	20	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
22	17, 21	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
23		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
24	23	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
25	24	rexralbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
26		climrescn.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
27		climdm 15263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
28	26, 27	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
29		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	clim 15203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))))
31	28, 30	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥)))
32	31	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))
33		1rp 12734	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
35	25, 32, 34	rspcdva 3562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
36		climrescn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	4	rexuz3 15060	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
39	35, 38	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
40	22, 39	reximddv3 42700	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
41		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
42	41	reseq2d 5891	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)))
43	42, 41	feq12d 6588	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ))
44	43	cbvrexvw 3384	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
45	40, 44	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   < clt 11009   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945   ⇝ cli 15193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197

This theorem is referenced by:  climxlim2  43387