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Theorem climrescn 43996
Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climrescn.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climrescn.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climrescn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climrescn (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
2 nfra1 3268 . . . . . 6 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)
31, 2nfan 1903 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1))
4 climrescn.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
54uztrn2 12783 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
65adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7 climrescn.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
87fndmd 6608 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
98ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
106, 9eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
1110adantlr 714 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
12 rspa 3232 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1))
1312adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1))
1413simpld 496 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514adantlll 717 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1611, 15jca 513 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
173, 16ralrimia 3242 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
18 fnfun 6603 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑍 β†’ Fun 𝐹)
19 ffvresb 7073 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)))
207, 18, 193syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)))
2120ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)))
2217, 21mpbird 257 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚)
23 breq2 5110 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1))
2423anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)))
2524rexralbidv 3215 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)))
26 climrescn.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
27 climdm 15437 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
2826, 27sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ))
29 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3026, 29clim 15377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ ( ⇝ β€˜πΉ) ↔ (( ⇝ β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < π‘₯))))
3128, 30mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( ⇝ β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < π‘₯)))
3231simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < π‘₯))
33 1rp 12920 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
3525, 32, 34rspcdva 3583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1))
36 climrescn.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
374rexuz3 15234 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1) ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)))
3836, 37syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1) ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1)))
3935, 38mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ ( ⇝ β€˜πΉ))) < 1))
4022, 39reximddv3 43368 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚)
41 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
4241reseq2d 5938 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)))
4342, 41feq12d 6657 . . 3 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚))
4443cbvrexvw 3227 . 2 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚ ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘–)):(β„€β‰₯β€˜π‘–)βŸΆβ„‚)
4540, 44sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  1c1 11053   < clt 11190   βˆ’ cmin 11386  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  β„+crp 12916  abscabs 15120   ⇝ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  climxlim2  44094
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