Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climrescn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climrescn 42019
Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climrescn.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrescn.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrescn.f (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climrescn (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
2 nfra1 3217 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)
31, 2nfan 1894 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4 climrescn.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
54uztrn2 12254 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
65adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
7 climrescn.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
87fndmd 6449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
98ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → dom 𝐹 = 𝑍)
106, 9eleqtrrd 2914 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1110adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
12 rspa 3204 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
1312adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑖𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
1413simpld 497 . . . . . . 7 (((𝑖𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514adantlll 716 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1611, 15jca 514 . . . . 5 ((((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
173, 16ralrimia 41388 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
18 fnfun 6446 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑍 → Fun 𝐹)
19 ffvresb 6881 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)))
207, 18, 193syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)))
2120ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)))
2217, 21mpbird 259 . . 3 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ)
23 breq2 5061 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
2423anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
2524rexralbidv 3299 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
26 climrescn.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
27 climdm 14903 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
2826, 27sylib 220 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
29 eqidd 2820 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3026, 29clim 14843 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))))
3128, 30mpbid 234 . . . . . 6 (𝜑 → (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥)))
3231simprd 498 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))
33 1rp 12385 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
3525, 32, 34rspcdva 3623 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
36 climrescn.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
374rexuz3 14700 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
3935, 38mpbird 259 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4022, 39reximddv3 41410 . 2 (𝜑 → ∃𝑖𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ)
41 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
4241reseq2d 5846 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)) = (𝐹 ↾ (ℤ𝑖)))
4342, 41feq12d 6495 . . 3 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ))
4443cbvrexvw 3449 . 2 (∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ ↔ ∃𝑖𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑖)):(ℤ𝑖)⟶ℂ)
4540, 44sylibr 236 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  1c1 10530   < clt 10667  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  abscabs 14585  cli 14833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837
This theorem is referenced by:  climxlim2  42117
  Copyright terms: Public domain W3C validator