Theorem climrescn 46757

Description: A sequence converging w.r.t. the standard topology on the complex numbers, eventually becomes a sequence of complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrescn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrescn.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrescn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
climrescn.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climrescn	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem climrescn

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3287	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)
3	1, 2	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
4		climrescn.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	uztrn2 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		climrescn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
8	7	fndmd 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → dom 𝐹 = 𝑍)
10	6, 9	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
11	10	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
12		rspa 3252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
13	12	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
14	13	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	adantlll 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
17	3, 16	ralrimia 3262	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
18		fnfun 6639	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑍 → Fun 𝐹)
19		ffvresb 7126	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
20	7, 18, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
21	20	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)))
22	17, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
23		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
24	23	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
25	24	rexralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
26		climrescn.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
27		climdm 15721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
28	26, 27	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
29		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
30	26, 29	clim 15661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⇝ ‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥)))
32	31	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 𝑥))
33		1rp 13124	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
35	25, 32, 34	rspcdva 3578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
36		climrescn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37	4	rexuz3 15516	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1)))
39	35, 38	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
40	22, 39	reximddv3 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
41		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
42	41	reseq2d 5970	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)))
43	42, 41	feq12d 6697	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ))
44	43	cbvrexvw 3242	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑖)):(ℤ≥‘𝑖)⟶ℂ)
45	40, 44	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   < clt 11343   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655

This theorem is used by:  climxlim2  46855